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2.2　等腰三角形 分值：71分
　　　　　　 　　　　　　　　　　　
选择题每小题3分
1.在等腰三角形ABC中，腰长AB=8，底边长BC=5，则这个三角形的周长为( )
A.21 B.20
C.19 D.18
2.等边三角形对称轴的条数是( )
A.1 B.2
C.3 D.6
3.(3分)如图，点D在线段AC上，AB=AC，AD=BD=BC，图中的等腰三角形共有 个，分别是 。
4.(8分)(1)(4分)如图，已知线段m，n，以m为底边，n为腰作等腰三角形。
(2)(4分)用至少4个等腰三角形拼成一个轴对称多边形(画出示意图即可)。
5.(8分)(1)(4分)一个等腰三角形的周长为18，若腰长的3倍比底边的2倍多6，求它的三边长。
(2)(4分)一个等腰三角形的周长为12，一边长与另一边长的差为3，求它的三边长。
6.(8分)如图，在△ABC中，AB=AC，BD⊥AC，CE⊥AB，垂足分别为D，E。求证：BD=CE。
7.(8分)如图，在△ABC中，AB=AC，D，E分别是边AB，AC上的点，且AD=AE，BE与CD相交于点F。求证：DF=EF。
8.在正方形网格中，网格线的交点称为格点。如图，已知A，B是两格点，若存在格点C，使得△ABC为等腰三角形，则格点C的个数是( )
A.3 B.5 C.6 D.8
9.(3分)定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫作“倍长三角形”。若等腰三角形ABC是“倍长三角形”，底边BC的长为3，则腰AB的长为 。
10.(8分)求证：等腰三角形的底边中点到两腰的距离相等(要求画图，写已知、求证，然后证明)。
11.(8分)已知等腰三角形一腰上的中线将这个等腰三角形的周长分成20 cm和8 cm两部分，求等腰三角形的底边长。
12.(10分)[推理能力]如图，△ADB和△ACE都是等腰直角三角形，连结DC，BE，两者相交于点M。
(1)(5分)试判断线段BE与线段CD的数量关系和位置关系，并证明你的结论。
(2)(5分)连结AM，求证：MA平分∠DME。2.2　等腰三角形 分值：71分
　　　　　　 　　　　　　　　　　　
选择题每小题3分
1.在等腰三角形ABC中，腰长AB=8，底边长BC=5，则这个三角形的周长为(　A　)
A.21 B.20
C.19 D.18
2.等边三角形对称轴的条数是(　C　)
A.1 B.2
C.3 D.6
3.(3分)如图，点D在线段AC上，AB=AC，AD=BD=BC，图中的等腰三角形共有　3　个，分别是　△ABC，△ABD，△BCD　。
4.(8分)(1)(4分)如图，已知线段m，n，以m为底边，n为腰作等腰三角形。
(2)(4分)用至少4个等腰三角形拼成一个轴对称多边形(画出示意图即可)。
解：(1)如答图，△ABC即为所求。
第4题答图
(2)略。
5.(8分)(1)(4分)一个等腰三角形的周长为18，若腰长的3倍比底边的2倍多6，求它的三边长。
(2)(4分)一个等腰三角形的周长为12，一边长与另一边长的差为3，求它的三边长。
解：(1)设腰长为x，底边长为y。
由题意，得
解得
∴该等腰三角形的三边长分别为6，6，6。
(2)设腰长为x，则底边长为x＋3或x－3。
若腰长为x，底边长为x＋3，
则2x＋x＋3=12，
解得x=3，则x＋3=6，
此时三角形的三边长分别为3，3，6，不能构成三角形，舍去；
若腰长为x，底边长为x－3，
则2x＋x－3=12，
解得x=5，则x－3=2，
此时三角形的三边长分别为5，5，2，能构成三角形。
综上所述，该等腰三角形的三边长分别为5，5，2。
6.(8分)如图，在△ABC中，AB=AC，BD⊥AC，CE⊥AB，垂足分别为D，E。求证：BD=CE。
证明：∵BD⊥AC，CE⊥AB，
∴∠BDA=∠CEA=90°。
在△ABD 和△ACE中，
∵
∴△ABD≌△ACE(AAS)，
∴BD=CE。
7.(8分)如图，在△ABC中，AB=AC，D，E分别是边AB，AC上的点，且AD=AE，BE与CD相交于点F。求证：DF=EF。
证明：在△ABE与△ACD中，
∵
∴△ABE≌△ACD(SAS)，
∴∠ABF=∠ACF。
∵AB=AC，AD=AE，∴BD=CE。
在△BDF与△CEF中，
∵
∴△BDF≌△CEF(AAS)，
∴DF=EF。
8.在正方形网格中，网格线的交点称为格点。如图，已知A，B是两格点，若存在格点C，使得△ABC为等腰三角形，则格点C的个数是(　C　)
A.3 B.5 C.6 D.8
【解析】 使△ABC为等腰三角形的格点C的情况如答图所示。
第8题答图
故符合题意的格点C的个数是6。
9.(3分)定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫作“倍长三角形”。若等腰三角形ABC是“倍长三角形”，底边BC的长为3，则腰AB的长为　6　。
【解析】 ∵等腰三角形ABC是“倍长三角形”，BC是底边，∴AB=2BC或BC=2AB。
①若AB=2BC=6，则△ABC的三边长分别是6，6，3，符合题意，
∴腰AB的长为6。
②若BC=3=2AB，则AB=1.5，△ABC的三边长分别是1.5，1.5，3。
∵1.5＋1.5=3，∴此时不能构成三角形，不合题意。
综上所述，腰AB的长是6。
10.(8分)求证：等腰三角形的底边中点到两腰的距离相等(要求画图，写已知、求证，然后证明)。
解：已知：如答图，AB=AC，BD=CD，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F。
求证：DE=DF。
第10题答图
证明：在△ABD和△ACD中，
∵
∴△ABD≌△ACD(SSS)，
∴∠BAD=∠CAD，
∴AD是∠BAC的平分线。
又∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF。
11.(8分)已知等腰三角形一腰上的中线将这个等腰三角形的周长分成20 cm和8 cm两部分，求等腰三角形的底边长。
解：设等腰三角形的腰长为x(cm)，底边长为y(cm)，
由题意，得x＋x=20或x＋x=8，解得x=或x=。
∵三角形的周长为2x＋y=20＋8，
∴①当x=时，可解得y=，
此时等腰三角形的三边长分别为cm，cm，cm，满足三角形的三边关系，此时等腰三角形的底边长为cm。
②当x=时，可解得y=，
此时等腰三角形的三边长分别为cm，cm，cm，不满足三角形的三边关系，舍去。
综上所述，等腰三角形的底边长为cm。
12.(10分)[推理能力]如图，△ADB和△ACE都是等腰直角三角形，连结DC，BE，两者相交于点M。
(1)(5分)试判断线段BE与线段CD的数量关系和位置关系，并证明你的结论。
(2)(5分)连结AM，求证：MA平分∠DME。
解：(1)BE=CD，BE⊥CD。理由如下：
如答图1，设AB与CD相交于点N。
第12题答图1
∵△ADB和△ACE是等腰直角三角形，
∴∠DAB=∠CAE=90°，AD=AB，AC=AE，
∴∠DAB＋∠BAC=∠CAE＋∠BAC，即∠DAC=∠BAE。
在△ADC与△ABE中，
∵
∴△ADC≌△ABE(SAS)，
∴BE=CD，∠ADC=∠ABE。
∵∠DAB=90°，
∴∠AND＋∠ADC=90°。
又∵∠AND=∠BNM，
∴∠BNM＋∠ABE=90°，
∴∠BMN=180°－(∠BNM＋∠ABE)=90°，
∴BE⊥CD。
综上所述，BE=CD，BE⊥CD。
(2)如答图2，作AP⊥DC于点P，AQ⊥BE于点Q。
第12题答图2
∵△ADC≌△ABE，
∴S△ADC=S△ABE，即DC·AP=BE·AQ。
又∵DC=BE，
∴AP=AQ，
∴MA平分∠DME。

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