资源简介

2.3　等腰三角形的性质定理 第1课时　等腰三角形的性质定理1及等边三角形的性质 分值：71分
　　　　　　 　　　　　　　　　　　
选择题每小题3分
1.如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，则∠ACD的度数为(　C　)
A.70° B.100° C.110° D.140°
2.如图，AB=AC=AD。若AD∥BC，∠C=80°，则∠D的度数为(　B　)
A.30° B.40° C.50° D.60°
【解析】 ∵AB=AC=AD，
∴∠ABC=∠C，∠D=∠ABD。
∵AD∥BC，
∴∠D=∠CBD，
∴∠ABD=∠CBD=∠ABC=∠C=40°。
3.如图，∠ABC=∠DCB，给出下列条件：①AB=DC，②OB=OC，③∠A=∠D，④∠ACB=∠DBC，从中添加一个条件后，能证明△ABC≌△DCB的是(　D　)
A.①②
B.③④
C.①②③
D.①②③④
【解析】 由AB=DC，∠ABC=∠DCB，BC=CB，得△ABC≌△DCB(SAS)，①符合题意。
由OB=OC，得∠OBC=∠OCB，又因为∠ABC=∠DCB，所以∠ABO=∠DCO。
又因为∠AOB=∠DOC，OB=OC，所以△ABO≌△DCO(ASA)，
所以AB=DC，同①得△ABC≌△DCB，②符合题意。
由∠A=∠D，∠ABC=∠DCB，BC=CB，得△ABC≌△DCB(AAS)，③符合题意。
由∠ACB=∠DBC，∠ABC=∠DCB，BC=CB，得△ABC≌△DCB(ASA)，④符合题意。
综上所述，能证明△ABC≌△DCB的是①②③④。
4.(3分)若等腰三角形的一个底角的度数为40°，则它的顶角的度数为　100　°。
5.(3分)如图，在△ABC中，以点A为圆心，线段AB的长为半径画弧，交BC于点D，连结AD。若∠ABD=55°，则∠ADC=　125　°。
6.(3分)如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD平分∠ABC，交AC于点D。写出图中相等的角　∠A=∠ABD=∠DBC，∠ABC=∠C=∠BDC　。
【解析】 ∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C。
∵∠A＋∠ABC＋∠C=180°，∠A=36°，
∴∠ABC=∠C=72°。
∵BD平分∠ABC，
∴∠DBC=∠ABD=36°=∠A，
∴∠BDC=180°－∠C－∠CBD=180°－72°－36°=72°，
∴∠BDC=∠C=∠ABC。
7.(8分)如图，已知线段a和∠1，用直尺和圆规作等腰三角形ABC，使AB=AC=a，∠B=∠1(保留作图痕迹，不写作法)。
解：如答图，△ABC即为所作。
第7题答图
8.(8分)如图，△ABC是等边三角形，点D，E在直线BC上，DB=EC。求证：∠D=∠E。
证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠ABC=∠ACB=60°，
∴∠ABD=∠ACE=120°。
在△ABD和△ACE中，
∵
∴△ABD≌△ACE(SAS)，
∴∠D=∠E。
9.(8分)如图，在△ABC中，AB=AC，点E，F在边BC上，BE=CF，点D在AF的延长线上，AD=AC。若∠BAE=30°，求∠ADC的度数。
解：∵AB=AC，
∴∠B=∠ACF。
在△ABE和△ACF中，
∵
∴△ABE≌△ACF(SAS)，
∴∠CAF=∠BAE=30°。
∵AD=AC，
∴∠ADC=∠ACD，
∴∠ADC==75°。
10.(3分)定义：等腰三角形的顶角与其中一个底角的度数的比值k称为这个等腰三角形的“特征值”。若在等腰三角形ABC中，∠A=80°，则它的特征值k为 或　。
【解析】 分两种情况讨论：①当∠A为顶角时，等腰三角形两底角的度数均为=50°，
此时特征值k=；
②当∠A为底角时，顶角的度数为180°－80°－80°=20°，
此时特征值k=。
综上所述，这个等腰三角形的特征值k为或。
11.(3分)【数学文化】“三等分角”是古希腊三大几何问题之一，借助如图1的三等分角仪可以三等分角。图2是这个三等分角仪的示意图，有公共端点P的两条线段PA，PB，可以绕点P转动，点C固定，点D，E分别可以在PA，PB的槽中滑动，且CE=DE=CP。若∠DEB=87°，则∠APB的度数为　29　°。
【解析】 如答图标所示注角。
第11题答图
因为PC=CE=DE，
所以∠1=∠P，∠2=∠3，
所以∠2=2∠P，
所以∠DEB=∠3＋∠P=2∠P＋∠P=3∠P，
所以3∠P=87°，所以∠P=29°，
即∠APB=29°。
12.(8分)如图，△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AC于点P。
(1)(4分)若∠A=35°，求∠BPC的度数。
(2)(4分)若AB=5 cm，BC=3 cm，求△PBC的周长。
解：(1)∵AB的垂直平分线交AC于点P，
∴AP=BP，
∴∠A=∠ABP=35°，
∴∠BPC=∠A＋∠ABP=35°＋35°=70°。
(2)△PBC的周长=BP＋PC＋BC
=AP＋PC＋BC
=AC＋BC
=AB＋BC
=5＋3=8(cm)。
13.(8分)如图，△ABC是等边三角形，点D，E分别在BC，AC边上，其中BD=CE，连结AD，BE，两者相交于点P。
(1)(4分)求证：AD=BE。
(2)(4分)求∠APE的度数。
解：(1)∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC，∠ABC=∠BAC=∠C=60°。
在△ABD和△BCE中，
∵
∴△ABD≌△BCE(SAS)，
∴AD=BE。
(2)∵△ABD≌△BCE，
∴∠BAD=∠CBE。
又∵∠ABP＋∠CBE=∠ABD=60°，
∴∠ABP＋∠BAD=60°，
∴∠APE=∠ABP＋∠BAD=60°。
14.(10分)[应用意识]如果一个三角形被一条线段分割成两个等腰三角形，那么这种分割叫做等腰分割，并称这条线段为这个三角形的等腰分割线。如图1，当△ABD和△ACD为等腰三角形时，AD为△ABC的等腰分割线。
(1)(5分)如图2，在△ABC中，∠B=2∠C，线段AC的垂直平分线交AC于点D，交BC于点E。求证：AE是△ABC的一条等腰分割线。
(2)(5分)如图3，在△ABC中，∠A=120°，∠B=20°，∠C=40°，请你用两种不同的方法完成△ABC的等腰分割，并在图中标注底角的度数。
解：(1)∵ED垂直平分AC，
∴AE=CE，
∴∠C=∠CAE，△ACE为等腰三角形，
∴∠AEB=∠C＋∠CAE=2∠C。
又∵∠B=2∠C，
∴∠AEB=∠B，
∴AE=AB，
∴△AEB为等腰三角形，
∴AE是△ABC的一条等腰分割线。
(2)分情况讨论：
①当AC是△ACD的底时，
此时∠DAC=∠C=40°，∠BAD=∠BDA=∠DAC＋∠C=80°，如答图1；
第14题答图1
②当AC是△ACD的腰时，
此时∠ADC=∠C=40°，∠BAD=∠B=20°，如答图2。
第14题答图2
第2课时　等腰三角形的性质定理2 分值：71分
　　　　　　 　　　　　　　　　　　
选择题每小题3分
1.如图，在△ABC中，AC=BC，CD⊥AB于点D，给出下列结论：①CD平分∠ACB；②CD=AB；③∠A=∠B；④AD=BD。其中正确的是(　C　)
A.②③ B.①④
C.①③④ D.②③④
2.如图，AD，CE均为△ABC的角平分线。若AB=AC，∠CAD=20°，则∠ACE的度数为(　B　)
A.20° B.35° C.40° D.70°
3.如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，E为BC的中点，连结DE，AE，AE恰好垂直于DE，延长DE，交AB的延长线于点F。若AB=5，CD=2，则AD的长为(　C　)
A.3 B.4 C.7 D.9
【解析】 ∵E为BC的中点，
∴BE=EC。
∵AB∥CD，
∴∠F=∠CDE。
在△BEF与△CED中，
∵
∴△BEF≌CED(AAS)，
∴EF=DE，BF=CD=2，
∴AF=AB＋BF=7。
∵AE⊥DE，EF=DE，
∴AF=AD=7。
4.(3分)如图，已知线段AB，使用直尺和圆规作得直线l，交AB于点D，点C在直线l上，若∠ACB=110°，则∠ACD的度数为　55　°。
5.(3分)如图，在等边三角形ABC中，AD⊥BC，垂足为D，点E在线段AD上。若∠EBC=45°，则∠ACE的度数为　15　°。
【解析】 ∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，
∴∠ACB=60°，BD=CD，
∴AD是BC的垂直平分线。
又∵点E在线段AD上，
∴BE=CE，
∴∠ECB=∠EBC=45°，
∴∠ACE=∠ACB－∠ECB=15°。
6.(8分)如图，在△ABC中，AB=AC，AD为BC边上的中线，E为AC上一点，且AE=AD。若∠BAD=50°，求∠CDE的度数。
解：∵AB=AC，AD为BC边上的中线，
∴∠ADC=90°，∠CAD=∠BAD=50°。
又∵AD=AE，
∴∠ADE=∠AED==65°，
∴∠CDE=∠ADC－∠ADE=25°。
7.(8分)如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，点E在BD上，连结AD，AE，AE=BE。
(1)(4分)若∠B=40°，求∠DAE的度数。
(2)(4分)若CA=CE，求∠B的度数。
解：(1)∵AB=AC，D是BC的中点，
∴∠C=∠B=40°，∠BAD=∠CAD，
∴∠BAC=180°－40°－40°=100°，
∴∠BAD=∠BAC=50°。
∵AE=BE，
∴∠BAE=∠B=40°，
∴∠DAE=∠BAD－∠BAE=10°。
(2)∵CA=CE，∴∠CAE=∠CEA。
由(1)得，∠B=∠BAE，∠B=∠C，
∴∠CAE=∠CEA=∠B＋∠BAE=2∠B。
∵∠BAC＋∠B＋∠C=180°，
∴∠BAE＋∠CAE＋∠B＋∠C
=5∠B=180°，
∴∠B=36°。
8.(8分)如图，在△ABC中，AB=AC，AD为△ABC的角平分线。以点A圆心，AD长为半径画弧，与AB，AC分别相交于点E，F，连结DE，DF。
(1)(4分)求证：△ADE≌△ADF。
(2)(4分)若∠BAC=80°，求∠BDE的度数。
解：(1)∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠BAD=∠CAD。
由作图知AE=AF。
在△ADE和△ADF中，
∵
∴△ADE≌△ADF(SAS)。
(2)∵∠BAC=80°，AD为△ABC的角平分线，
∴∠EAD=∠BAC=40°。
由作图知AE=AD，
∴∠AED=∠ADE，
∴∠ADE=×(180°－40°)=70°。
∵AB=AC，AD为△ABC的角平分线，
∴AD⊥BC，
∴∠BDE=90°－∠ADE=20°。
9.如图，已知△ABC为等边三角形，D为BC上一动点，E为△ABC外一点，AD=AE，∠DAE=60°，连结CE。若AB=4，当四边形ADCE的周长取最小值时，BD的长为(　B　)
A.1 B.2 C.3 D.4
【解析】 ∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠BAC=60°。
又∵∠DAE=60°，
∴∠BAD=∠CAE。
在△ABD和△ACE中，
∵
∴△ABD≌△ACE(SAS)，
∴BD=CE。
∵△ABC是等边三角形，
∴BC=AC=AB=4，
∴四边形ADCE的周长=CE＋DC＋AD＋AE=BD＋DC＋2AD=4＋2AD。
当AD⊥BC时，AD的值最小，此时四边形ADCE的周长取最小值。
又∵AB=AC，∴BD=BC=2。
10.(3分)如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，BF⊥AC于点F，交AD于点E。若AF=BF，BD=2，则AE=　4　。
【解析】 ∵BF⊥AC，
∴∠BFC=∠AFE=90°，
∴∠CBF＋∠C=180°－∠BFC=90°。
∵AB=AC，D是BC的中点，
∴BC=2BD=4，AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，
∴∠EAF＋∠C=180°－∠ADC=90°，
∴∠EAF=∠CBF。
在△AEF和△BCF中，
∵
∴△AEF≌△BCF(ASA)，
∴AE=BC=4。
11.(8分)如图，已知∠α和线段a，用直尺和圆规作一个等腰三角形，使它的顶角等于∠α，底边上的高线等于a。
解：如答图，△ABC即为所作。
第11题答图
12.(8分)如图，在等边三角形ABC中，D为AC边的中点，E为BC延长线上一点，CE=CD，求∠BDE的度数。
解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=60°，BA=BC。
又∵D为AC边的中点，
∴BD⊥AC，∴∠BDC=90°。
∵CE=CD，∴∠CDE=∠E。
又∵∠CDE＋∠E=∠ACB，
∴∠CDE=∠ACB=30°，
∴∠BDE=∠BDC＋∠CDE=90°＋30°=120°。
13.(8分)如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC的中点，E是BA延长线上一点，AE=AF，F是AC上一点，连结EF并延长，交BC于点G。
(1)(4分)若∠ABC=50°，求∠AEF的度数。
(2)(4分)求证：AD∥EG。
解：(1)∵AB=AC，∴∠B=∠C=50°，
∴∠EAF=∠B＋∠C=100°。
又∵AE=AF，∴∠AEF=∠AFE=(180°－∠EAF)=40°。
(2)∵AB=AC，D是BC的中点，
∴AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠BAC。
∵AE=AF，∴∠AEF=∠AFE。
又∵∠AEF＋∠AFE=∠BAC，
∴∠AEF=∠BAC，
∴∠AEF=∠BAD，∴AD∥EG。
14.[模型观念]如图，在等边三角形ABC中，AD，CE是△ABC的两条中线，AD=5。若P是AD上一动点，则PB＋PE的最小值为(　B　)
A.2.5 B.5 C.7.5 D.10
【解析】 如答图，连结PC。
第14题答图
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC=BC。
又∵AD为△ABC的中线，
∴AD⊥BC，BD=CD=BC。
∵点P在AD上，∴PB=PC，
∴PB＋PE=PC＋PE≥CE，
∴当C，P，E三点共线时，PC＋PE的值最小，此时PC＋PE=CE，即PB＋PE=CE。
∵CE为△ABC的中线，AC=BC，
∴CE⊥AB。
易知S△ABC=AB·CE=BC·AD。
又∵AB=BC，∴CE=AD=5，
∴PB＋PE的最小值为5。2.3　等腰三角形的性质定理 第1课时　等腰三角形的性质定理1及等边三角形的性质 分值：71分
　　　　　　 　　　　　　　　　　　
选择题每小题3分
1.如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，则∠ACD的度数为( )
A.70° B.100° C.110° D.140°
2.如图，AB=AC=AD。若AD∥BC，∠C=80°，则∠D的度数为( )
A.30° B.40° C.50° D.60°
3.如图，∠ABC=∠DCB，给出下列条件：①AB=DC，②OB=OC，③∠A=∠D，④∠ACB=∠DBC，从中添加一个条件后，能证明△ABC≌△DCB的是( )
A.①②
B.③④
C.①②③
D.①②③④
4.(3分)若等腰三角形的一个底角的度数为40°，则它的顶角的度数为 °。
5.(3分)如图，在△ABC中，以点A为圆心，线段AB的长为半径画弧，交BC于点D，连结AD。若∠ABD=55°，则∠ADC= °。
6.(3分)如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD平分∠ABC，交AC于点D。写出图中相等的角 。
7.(8分)如图，已知线段a和∠1，用直尺和圆规作等腰三角形ABC，使AB=AC=a，∠B=∠1(保留作图痕迹，不写作法)。
8.(8分)如图，△ABC是等边三角形，点D，E在直线BC上，DB=EC。求证：∠D=∠E。
9.(8分)如图，在△ABC中，AB=AC，点E，F在边BC上，BE=CF，点D在AF的延长线上，AD=AC。若∠BAE=30°，求∠ADC的度数。
10.(3分)定义：等腰三角形的顶角与其中一个底角的度数的比值k称为这个等腰三角形的“特征值”。若在等腰三角形ABC中，∠A=80°，则它的特征值k为 。
11.(3分)【数学文化】“三等分角”是古希腊三大几何问题之一，借助如图1的三等分角仪可以三等分角。图2是这个三等分角仪的示意图，有公共端点P的两条线段PA，PB，可以绕点P转动，点C固定，点D，E分别可以在PA，PB的槽中滑动，且CE=DE=CP。若∠DEB=87°，则∠APB的度数为 °。
12.(8分)如图，△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AC于点P。
(1)(4分)若∠A=35°，求∠BPC的度数。
(2)(4分)若AB=5 cm，BC=3 cm，求△PBC的周长。
13.(8分)如图，△ABC是等边三角形，点D，E分别在BC，AC边上，其中BD=CE，连结AD，BE，两者相交于点P。
(1)(4分)求证：AD=BE。
(2)(4分)求∠APE的度数。
14.(10分)[应用意识]如果一个三角形被一条线段分割成两个等腰三角形，那么这种分割叫做等腰分割，并称这条线段为这个三角形的等腰分割线。如图1，当△ABD和△ACD为等腰三角形时，AD为△ABC的等腰分割线。
(1)(5分)如图2，在△ABC中，∠B=2∠C，线段AC的垂直平分线交AC于点D，交BC于点E。求证：AE是△ABC的一条等腰分割线。
(2)(5分)如图3，在△ABC中，∠A=120°，∠B=20°，∠C=40°，请你用两种不同的方法完成△ABC的等腰分割，并在图中标注底角的度数。
第2课时　等腰三角形的性质定理2 分值：71分
　　　　　　 　　　　　　　　　　　
选择题每小题3分
1.如图，在△ABC中，AC=BC，CD⊥AB于点D，给出下列结论：①CD平分∠ACB；②CD=AB；③∠A=∠B；④AD=BD。其中正确的是( )
A.②③ B.①④
C.①③④ D.②③④
2.如图，AD，CE均为△ABC的角平分线。若AB=AC，∠CAD=20°，则∠ACE的度数为( )
A.20° B.35° C.40° D.70°
3.如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，E为BC的中点，连结DE，AE，AE恰好垂直于DE，延长DE，交AB的延长线于点F。若AB=5，CD=2，则AD的长为( )
A.3 B.4 C.7 D.9
4.(3分)如图，已知线段AB，使用直尺和圆规作得直线l，交AB于点D，点C在直线l上，若∠ACB=110°，则∠ACD的度数为 °。
5.(3分)如图，在等边三角形ABC中，AD⊥BC，垂足为D，点E在线段AD上。若∠EBC=45°，则∠ACE的度数为 °。
6.(8分)如图，在△ABC中，AB=AC，AD为BC边上的中线，E为AC上一点，且AE=AD。若∠BAD=50°，求∠CDE的度数。
7.(8分)如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，点E在BD上，连结AD，AE，AE=BE。
(1)(4分)若∠B=40°，求∠DAE的度数。
(2)(4分)若CA=CE，求∠B的度数。
8.(8分)如图，在△ABC中，AB=AC，AD为△ABC的角平分线。以点A圆心，AD长为半径画弧，与AB，AC分别相交于点E，F，连结DE，DF。
(1)(4分)求证：△ADE≌△ADF。
(2)(4分)若∠BAC=80°，求∠BDE的度数。
9.如图，已知△ABC为等边三角形，D为BC上一动点，E为△ABC外一点，AD=AE，∠DAE=60°，连结CE。若AB=4，当四边形ADCE的周长取最小值时，BD的长为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
10.(3分)如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，BF⊥AC于点F，交AD于点E。若AF=BF，BD=2，则AE= 。
11.(8分)如图，已知∠α和线段a，用直尺和圆规作一个等腰三角形，使它的顶角等于∠α，底边上的高线等于a。
12.(8分)如图，在等边三角形ABC中，D为AC边的中点，E为BC延长线上一点，CE=CD，求∠BDE的度数。
13.(8分)如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC的中点，E是BA延长线上一点，AE=AF，F是AC上一点，连结EF并延长，交BC于点G。
(1)(4分)若∠ABC=50°，求∠AEF的度数。
(2)(4分)求证：AD∥EG。
14.[模型观念]如图，在等边三角形ABC中，AD，CE是△ABC的两条中线，AD=5。若P是AD上一动点，则PB＋PE的最小值为( )
A.2.5 B.5 C.7.5 D.10

展开更多......

收起↑