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2.4　等腰三角形的判定定理 分值：71分
　　　　　　 　　　　　　　　　　　
选择题每小题3分
1.下列说法正确的是( )
A.∠A=40°，∠B=70°，△ABC是等腰三角形
B.a=3，b=7，两条线段a和一条线段b首尾相接组成等腰三角形
C.∠A=30°，∠B=60°，△ABC是等腰三角形
D.AB=2，周长是6，△ABC是等腰三角形
2.下列三角形中，不能判定为等边三角形的是( )
A.有一个内角是60°的锐角三角形
B.有一个内角是60°的等腰三角形
C.顶角和底角相等的等腰三角形
D.腰和底边相等的等腰三角形
3.已知在△ABC中，AH为边BC上的高线，再添加下列条件中的一个后，仍不能判定△ABC是等腰三角形的是( )
A.BH=HC B.∠BAH=∠CAH
C.∠B=∠HAC D.S△ABH=S△AHC
4.(3分)如图，在△ABC中，AB=AC，BD是∠ABC的平分线。若∠A=36°，AD=2，则BC的长为 。
5.(3分)将两个全等的各有一个角为60°的直角三角形拼成如图所示的图形，其中两条长直角边在同一条直线上，则图中等腰三角形的个数是 。
6.(3分)如图，上午8时，一条船从A处出发，以15海里/时的速度向正北方向航行，10时到达B处。从A，B处分别望向灯塔C，测得∠NAC=42°，∠NBC=84°，则从B处到灯塔C的距离为 海里。
7.(8分)在学习三角形时，小舟和小海讨论一个证明题：“如图，AB=AC，∠ABD=∠ACD。求证：BD=DC。”你觉得谁说的对？请写出正确的证明过程。
小海 我准备连结AD来证明，下面是我的证明过程：
证明：如图，连结AD。
在△ABD和△ACD中，
∵
∴△ABD≌△ACD，
∴BD=DC。　　　　
小舟 你这个方法不正确，应当连结BC证明。
8.(8分)如图，在△ABC中，AB=AC。分别根据以下条件，说明△OBC是等腰三角形。
(1)(2分)BD，CE分别是两腰上的高线。
(2)(3分)BD，CE分别是两腰上的中线。
(3)(3分)BD，CE分别是两底角的平分线。
9.如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC=6，D为边BC的中点，点E，F分别在边AB，AC上，AE=CF，则四边形AEDF的面积为( )
A.18 B.9 C.9 D.6
10.(3分)如图，在△ABC中，∠B=50°，∠C=90°。在射线BA上找一点D，使△ACD为等腰三角形，则∠ACD的度数为 。
11.(3分)有下列三角形：①有两个角等于60°；②有一个角等于60°的等腰三角形；③所有外角都相等的三角形；④一腰上的中线也是这条腰上的高线的等腰三角形。其中是等边三角形的有 (填序号)。
12.(8分)如图，BD是等边三角形ABC的中线，以点D为圆心，DB的长为半径画弧，交BC的延长线于点E，连结DE。求证：CD=CE。
13.(8分)如图，请在下列四个等式中，选出两个作为条件，推出△AED是等腰三角形，并予以证明(写出一种即可)。
等式：①AB=DC；②BE=CE；③∠B=∠C；④∠BAE=∠CDE。
已知： (填序号)。
求证：△AED是等腰三角形。
证明：
14.(10分)[推理能力]如图，O为等边三角形ABC内一点，∠AOB=110°，∠BOC=α。以OC为一边作等边三角形OCD，连结AD。
(1)(5分)当α=150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由。
(2)(5分)当α为多少度时，△AOD是等腰三角形？2.4　等腰三角形的判定定理 分值：71分
　　　　　　 　　　　　　　　　　　
选择题每小题3分
1.下列说法正确的是(　A　)
A.∠A=40°，∠B=70°，△ABC是等腰三角形
B.a=3，b=7，两条线段a和一条线段b首尾相接组成等腰三角形
C.∠A=30°，∠B=60°，△ABC是等腰三角形
D.AB=2，周长是6，△ABC是等腰三角形
2.下列三角形中，不能判定为等边三角形的是(　A　)
A.有一个内角是60°的锐角三角形
B.有一个内角是60°的等腰三角形
C.顶角和底角相等的等腰三角形
D.腰和底边相等的等腰三角形
3.已知在△ABC中，AH为边BC上的高线，再添加下列条件中的一个后，仍不能判定△ABC是等腰三角形的是(　C　)
A.BH=HC B.∠BAH=∠CAH
C.∠B=∠HAC D.S△ABH=S△AHC
4.(3分)如图，在△ABC中，AB=AC，BD是∠ABC的平分线。若∠A=36°，AD=2，则BC的长为　2　。
5.(3分)将两个全等的各有一个角为60°的直角三角形拼成如图所示的图形，其中两条长直角边在同一条直线上，则图中等腰三角形的个数是　3　。
6.(3分)如图，上午8时，一条船从A处出发，以15海里/时的速度向正北方向航行，10时到达B处。从A，B处分别望向灯塔C，测得∠NAC=42°，∠NBC=84°，则从B处到灯塔C的距离为　30　海里。
【解析】 ∵∠ACB=∠NBC－∠NAC=42°=∠CAB，
∴BC=BA=2×15=30(海里)。
7.(8分)在学习三角形时，小舟和小海讨论一个证明题：“如图，AB=AC，∠ABD=∠ACD。求证：BD=DC。”你觉得谁说的对？请写出正确的证明过程。
小海 我准备连结AD来证明，下面是我的证明过程：
证明：如图，连结AD。
在△ABD和△ACD中，
∵
∴△ABD≌△ACD，
∴BD=DC。　　　　
小舟 你这个方法不正确，应当连结BC证明。
解：小舟说的对。正确的证明过程如下：
如答图，连结BC。
第7题答图
∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB。
又∵∠ABD=∠ACD，
∴∠ABD－∠ABC=∠ACD－∠ACB，
∴∠DBC=∠DCB，
∴BD=DC。
8.(8分)如图，在△ABC中，AB=AC。分别根据以下条件，说明△OBC是等腰三角形。
(1)(2分)BD，CE分别是两腰上的高线。
(2)(3分)BD，CE分别是两腰上的中线。
(3)(3分)BD，CE分别是两底角的平分线。
解：∵在△ABC中，AB=AC，
∴∠ABC=∠BCA。
(1)∵BD，CE分别是腰AC，AB上的高线，
∴∠BEC=∠CDB=90°，
∴∠OBC=90°－∠ACB=90°－∠ABC=∠OCB，
∴OB=OC，
∴△OBC为等腰三角形。
(2)∵BD，CE分别是腰AC，AB上的中线，
∴BE=AB=AC=CD。
在△BEC和△CDB中，
∵
∴△BEC≌△CDB(SAS)，
∴∠OCB=∠OBC，
∴△OBC为等腰三角形。
(3)∵BD，CE分别平分∠ABC，∠BCA，
∴∠OBC=∠OCB，
∴△OBC为等腰三角形。
9.如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC=6，D为边BC的中点，点E，F分别在边AB，AC上，AE=CF，则四边形AEDF的面积为(　C　)
A.18 B.9 C.9 D.6
【解析】 如答图，连结AD。
第9题答图
∵∠BAC=90°，AB=AC=6，D为边BC的中点，
∴AD⊥BC，BD=CD，∠BAD=∠CAD，
∴∠B=∠C=∠BAD=45°，
∴AD=BD=CD。
在△ADE和△CDF中，
∵
∴△ADE≌△CDF(SAS)，
∴S△ADE=S△CDF，
∴四边形AEDF的面积=S△ADC=S△ABC=×6×6=9。
10.(3分)如图，在△ABC中，∠B=50°，∠C=90°。在射线BA上找一点D，使△ACD为等腰三角形，则∠ACD的度数为　70°或40°或20°　。
【解析】 ∵∠B=50°，∠BCA=90°，
∴∠BAC=40°。
如答图，分三种情况讨论：
第10题答图
①当AC=AD时，∠ACD=(180°－∠BAC)=70°；
②当CD'=AD'时，∠ACD'=∠BAC=40°；
③当AC=AD″时，∠ACD″=∠BAC=20°。
综上所述，∠ACD的度数为70°或40°或20°。
11.(3分)有下列三角形：①有两个角等于60°；②有一个角等于60°的等腰三角形；③所有外角都相等的三角形；④一腰上的中线也是这条腰上的高线的等腰三角形。其中是等边三角形的有　①②③④　(填序号)。
12.(8分)如图，BD是等边三角形ABC的中线，以点D为圆心，DB的长为半径画弧，交BC的延长线于点E，连结DE。求证：CD=CE。
证明：∵BD是等边三角形ABC的中线，
∴∠ACB=∠ABC=60°，
∴∠DBC=∠ABC=30°。
由作图知BD=DE，
∴∠E=∠DBC=30°。
又∵∠CDE＋∠E=∠ACB=60°，
∴∠CDE=30°=∠E，
∴CD=CE。
13.(8分)如图，请在下列四个等式中，选出两个作为条件，推出△AED是等腰三角形，并予以证明(写出一种即可)。
等式：①AB=DC；②BE=CE；③∠B=∠C；④∠BAE=∠CDE。
已知：　①③(或①④，②③，②④)　(填序号)。
求证：△AED是等腰三角形。
证明：
证明：在△ABE和△DCE中，
∵
∴△ABE≌△DCE(AAS)，
∴AE=DE，
∴△AED是等腰三角形。
14.(10分)[推理能力]如图，O为等边三角形ABC内一点，∠AOB=110°，∠BOC=α。以OC为一边作等边三角形OCD，连结AD。
(1)(5分)当α=150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由。
(2)(5分)当α为多少度时，△AOD是等腰三角形？
解：(1)△AOD是直角三角形。理由如下：
∵△OCD是等边三角形，
∴OC=DC，∠ODC=∠OCD=60°。
∵△ABC是等边三角形，
∴BC=AC，∠ACB=60°，
∴∠BCO=∠ACD=60°－∠ACO。
在△BOC和△ADC中，
∵
∴△BOC≌△ADC(SAS)，
∴∠BOC=∠ADC。
∵∠BOC=α=150°，
∴∠ADC=150°，
∴∠ADO=∠ADC－∠ODC=90°，
∴△AOD是直角三角形。
(2)在△AOD中，易知∠AOD=360°－110°－α－60°=190°－α，∠ADO=α－60°，
∴∠OAD=180°－(190°－α)－(α－60°)=50°。
分三种情况讨论：
①当AO=AD时，∠AOD=∠ADO，
即190°－α=α－60°，∴α=125°；
②当OA=OD时，∠OAD=∠ADO，
即50°=α－60°，∴α=110°；
③当OD=AD时，∠AOD=∠OAD，
即190°－α=50°，∴α=140°。
综上所述，当α为125°或110°或140°时，△AOD是等腰三角形。

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