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2.5　逆命题和逆定理 分值：71分
　　　　　　 　　　　　　　　　　　
选择题每小题3分
1.下列命题的逆命题，属于真命题的是(　B　)
A.若a=b，则|a|=|b|
B.如果x=y，那么
C.如果|x|，|y|互为相反数，那么|x|－|y|=0
D.若a＞0，b＞0，则a＋b＞0
2.下列命题和其逆命题都成立的是(　B　)
①全等三角形的对应边都相等；
②全等的两个三角形成轴对称；
③全等三角形的周长相等；
④能够完全重合的两个三角形全等。
A.①② B.①④ C.②④ D.③④
3.下列a的取值中，可以用来证明命题“若a＞1，则a2＞1”的逆命题是假命题的反例是(　A　)
A.a=－2 B.a=－1
C.a=1 D.a=2
4.给出下列说法：
①“两直线平行，同位角相等”与“同位角相等，两直线平行”互为逆定理；
②命题“如果两个角相等，那么它们都是直角”的逆命题为假命题；
③命题“如果－a=5，那么a=－5”的逆命题为“如果a=－5，那么－a=5”。
其中正确的是(　B　)
A.①② B.①③
C.②③ D.①②③
5.如图，点D在△ABC的边BC上，点P在射线AD上(不与点A，D重合)，连结PB，PC。下列命题中，不一定是真命题的是(　D　)
A.若AB=AC，AD⊥BC，则PB=PC
B.若PB=PC，AD⊥BC，则AB=AC
C.若AB=AC，∠1=∠2，则PB=PC
D.若PB=PC，∠1=∠2，则AB=AC
【解析】 若AB=AC，AD⊥BC，则D是BC的中点，
∴AP是BC的垂直平分线，
∴PB=PC，∴A是真命题。
同理可得B是真命题。
若AB=AC，∠1=∠2，则AD⊥BC，
且D是BC的中点，∴AP是BC的垂直平分线，
∴PB=PC，C是真命题。
由PB=PC，∠1=∠2，AP=AP，既不能得到三角形全等(SSA)，也不能得到垂直平分线，故不一定能得到AB=AC(在题图中，作射线AC，以点P为圆心，PC为半径画弧，交射线AC于点C'，此时BP=C'P，即使∠1=∠2，AC'也显然大于AB)，D不一定是真命题。
6.(3分)写出命题“全等三角形的对应角都相等”的逆命题：　对应角都相等的两个三角形是全等三角形　。
【解析】 先写出命题的条件和结论，条件：如果两个三角形是全等三角形；结论：那么它们的对应角都相等。再写出逆命题的条件：如果两个三角形的对应角都相等；结论：那么它们是全等三角形。最后尝试将逆命题写成和命题相同的形式：对应角都相等的两个三角形是全等三角形。
7.(9分)写出下列各命题的逆命题，并判断其逆命题是真命题还是假命题。若是假命题，请举反例说明。
(1)(3分)垂直于同一条直线的两条直线平行。
(2)(3分)有一个角是60°的三角形为等边三角形。
(3)(3分)若x=y=0，则x＋y=0。
解：(1)如果两条直线平行，那么这两条直线垂直于同一条直线；真命题。
(2)等边三角形有一个角是60°；真命题。
(3)若x＋y=0，则x=y=0；假命题。
反例：当x=－1，y=1时，x＋y=0，但x≠0，y≠0。
8.(8分)利用线段垂直平分线的性质定理及其逆定理证明以下命题：
已知：如图，AB=AC，DB=DC，点E在AD上。求证：EB=EC。
证明：∵AB=AC，
∴点A在线段BC的垂直平分线上。
∵DB=DC，
∴点D在线段BC的垂直平分线上，
∴AD是线段BC的垂直平分线。
又∵点E在AD上，∴EB=EC。
9.(3分)命题“等腰三角形两腰上的高线长相等”的逆命题是　两边上的高线长相等的三角形是等腰三角形　。逆命题是　真　命题(填“真”或“假”)。
【解析】 若要证明两边上的高线长相等的三角形是等腰三角形时，需分这两边的夹角是锐角、直角和钝角三种情况，其中直角的情况直接能得到结论，锐角和钝角的情况须通过AAS证明三角形全等来得到结论。
10.(7分)证明定理：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。
已知：如图，在△ABC中，分别作AB边，BC边的垂直平分线，垂足分别为E，F，两线相交于点P。
求证：AB，BC，AC的垂直平分线相交于点P，并且点P到点A，B，C的距离相等。
证明：∵P是AB边垂直平分线上的一点，
∴　PA　=　PB　(　线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等　)。
同理可得，PB=　PC　。
∴PA=　PC　，
∴　点P在AC的垂直平分线上　(与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的　垂直平分线　上)，
∴AB，BC，AC的垂直平分线相交于点P，且点P到A，B，C的距离相等。
11.(8分)如图，已知在等腰三角形ABC中，AB=AC，点D，E分别在边AB，AC上，且AD=AE，连结BE，CD，两者相交于点F。
(1)(4分)判断∠ABE与∠ACD之间的数量关系，并说明理由。
(2)(4分)求证：过点A，F的直线垂直平分线段BC。
解：(1)∠ABE=∠ACD。理由如下：
∵AB=AC，∠BAE=∠CAD，AE=AD，
∴△ABE≌△ACD(SAS)，
∴∠ABE=∠ACD。
(2)∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB。
由(1)，得∠ABE=∠ACD，
∴∠FBC=∠FCB，∴FB=FC，
∴点A，F均在线段BC的垂直平分线上，即过点A，F的直线垂直平分线段BC。
12.(8分)如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，D是AB的中点，连结CD，过点A作CD的垂线，交CD于点H，交BC于点F，BE∥AC，交AF的延长线于点E，连结DE，交BC于点P。求证：BC垂直平分DE。
证明：∵AF⊥CD，∠BAC=90°，
∴∠DAH＋∠ADH=90°，∠ACH＋∠ADH=90°，
∴∠DAH=∠DCA。
∵∠BAC=90°，BE∥AC，
∴∠ABE=90°=∠CAD。
在△ABE与△CAD中，
∵
∴△ABE≌△CAD(ASA)，
∴AD=BE。
又∵AD=BD，∴BD=BE。
在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠ABC=45°，
∴∠EBF=∠ABE－∠ABC=45°=∠ABC，
∴DP=EP，∠BPD=∠BPE=90°，
∴BC垂直平分DE。
13.(10分)[推理能力](1)(5分)已知命题：“P为等边三角形ABC内一点，若点P到三边的距离相等，则PA=PB=PC。”写出它的逆命题，判断其逆命题是否成立。若成立，请给出证明。
(2)(5分)进一步证明：等边三角形ABC内一点P到各边的距离之和为定值。
解：(1)逆命题：P为等边三角形ABC内一点，若PA=PB=PC，则点P到三边的距离相等。
该逆命题成立。证明如下：
如答图1，延长AP，BP，CP，分别交BC，AC，AB于点E，F，D。
第13题答图1
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC。
又∵PB=PC，
∴AE垂直平分BC。
同理，BF垂直平分AC，CD垂直平分AB，
∴S△ABC=BC·AE=AC·BF=AB·CD。
又∵AB=AC=BC，
∴AE=BF=CD。
又∵PA=PB=PC，
∴PE=PF=PD，
∴点P到三边的距离相等。
(2)如答图2。设PD⊥AB，PF⊥AC，PE⊥BC，垂足分别为D，F，E，h为△ABC的一条高线长。
第13题答图2
∵AB=BC=AC，S△ABC=S△ABP＋S△PBC＋S△APC，
∴BC·h=AB·PD＋BC·PE＋AC·PF
=(PD＋PE＋PF)·BC，
∴PD＋PE＋PF=h，
∴点P到各边的距离之和等于任意边上的高线长，为定值。2.5　逆命题和逆定理 分值：71分
　　　　　　 　　　　　　　　　　　
选择题每小题3分
1.下列命题的逆命题，属于真命题的是( )
A.若a=b，则|a|=|b|
B.如果x=y，那么
C.如果|x|，|y|互为相反数，那么|x|－|y|=0
D.若a＞0，b＞0，则a＋b＞0
2.下列命题和其逆命题都成立的是( )
①全等三角形的对应边都相等；
②全等的两个三角形成轴对称；
③全等三角形的周长相等；
④能够完全重合的两个三角形全等。
A.①② B.①④ C.②④ D.③④
3.下列a的取值中，可以用来证明命题“若a＞1，则a2＞1”的逆命题是假命题的反例是( )
A.a=－2 B.a=－1
C.a=1 D.a=2
4.给出下列说法：
①“两直线平行，同位角相等”与“同位角相等，两直线平行”互为逆定理；
②命题“如果两个角相等，那么它们都是直角”的逆命题为假命题；
③命题“如果－a=5，那么a=－5”的逆命题为“如果a=－5，那么－a=5”。
其中正确的是( )
A.①② B.①③
C.②③ D.①②③
5.如图，点D在△ABC的边BC上，点P在射线AD上(不与点A，D重合)，连结PB，PC。下列命题中，不一定是真命题的是( )
A.若AB=AC，AD⊥BC，则PB=PC
B.若PB=PC，AD⊥BC，则AB=AC
C.若AB=AC，∠1=∠2，则PB=PC
D.若PB=PC，∠1=∠2，则AB=AC
6.(3分)写出命题“全等三角形的对应角都相等”的逆命题： 。
7.(9分)写出下列各命题的逆命题，并判断其逆命题是真命题还是假命题。若是假命题，请举反例说明。
(1)(3分)垂直于同一条直线的两条直线平行。
(2)(3分)有一个角是60°的三角形为等边三角形。
(3)(3分)若x=y=0，则x＋y=0。
8.(8分)利用线段垂直平分线的性质定理及其逆定理证明以下命题：
已知：如图，AB=AC，DB=DC，点E在AD上。求证：EB=EC。
9.(3分)命题“等腰三角形两腰上的高线长相等”的逆命题是 。逆命题是 命题(填“真”或“假”)。
10.(7分)证明定理：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。
已知：如图，在△ABC中，分别作AB边，BC边的垂直平分线，垂足分别为E，F，两线相交于点P。
求证：AB，BC，AC的垂直平分线相交于点P，并且点P到点A，B，C的距离相等。
证明：∵P是AB边垂直平分线上的一点，
∴ = ( )。
同理可得，PB= 。
∴PA= ，
∴ (与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的 上)，
∴AB，BC，AC的垂直平分线相交于点P，且点P到A，B，C的距离相等。
11.(8分)如图，已知在等腰三角形ABC中，AB=AC，点D，E分别在边AB，AC上，且AD=AE，连结BE，CD，两者相交于点F。
(1)(4分)判断∠ABE与∠ACD之间的数量关系，并说明理由。
(2)(4分)求证：过点A，F的直线垂直平分线段BC。
12.(8分)如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，D是AB的中点，连结CD，过点A作CD的垂线，交CD于点H，交BC于点F，BE∥AC，交AF的延长线于点E，连结DE，交BC于点P。求证：BC垂直平分DE。
13.(10分)[推理能力](1)(5分)已知命题：“P为等边三角形ABC内一点，若点P到三边的距离相等，则PA=PB=PC。”写出它的逆命题，判断其逆命题是否成立。若成立，请给出证明。
(2)(5分)进一步证明：等边三角形ABC内一点P到各边的距离之和为定值。

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