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2.6　直角三角形 第1课时　直角三角形的性质 分值：71分
　　　　　　 　　　　　　　　　　　
选择题每小题3分
1.设直角三角形中一个锐角为x°(0＜x＜90)，另一个锐角为y°，则y与x的数量关系为(　D　)
A.y=180＋x B.y=180－x
C.y=90＋x D.y=90－x
2.一技术人员用刻度尺(单位：cm)测量某三角形部件的尺寸。如图，已知∠ACB=90°，点A，D，B对应的刻度分别为1，4，7，则CD的长为(　A　)
A.3 cm B.3.5 cm
C.4.5 cm D.6 cm
3.如图，一根木棍(AB)斜靠在与地面(OM)垂直的墙(ON)上，当木棍A端沿墙下滑，且B端沿地面向右滑行时，AB的中点P到点O的距离(　D　)
A.变大 B.变小
C.先变小后变大 D.不变
4.如图，在Rt△ABC中，D是AC的中点，∠BDC=60°，AC=6，则BC的长是(　A　)
A.3 B.6 C.8 D.9
【解析】 ∵D是Rt△ABC斜边AC的中点，AC=6，
∴BD=CD=AD=AC=3。
又∵∠BDC=60°，
∴△BCD为等边三角形，
∴BC=BD=3。
5.(3分)如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，D为AC的中点。若∠C=55°，则∠ABD的度数为　35　°。
【解析】 ∵∠ABC=90°，D为AC的中点，C=55°，
∴BD=AC=AD，∠A=90°－∠C=35°，
∴∠ABD=∠A=35°。
6.(3分)若直角三角形斜边上的高线长与中线长分别为5和6，则它的面积为　30　。
7.(3分)某房梁如图所示，D，E，F分别是BC，AB，AC的中点。若AB=AC=8 m，则DE的长为　4　m。
8.(3分)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为AB的中点，DE⊥AC于点E。若∠A=30°，DE=4 cm，则AB=　16　cm，CD=　8　cm。
【解析】 ∵DE⊥AC，∠A=30°，DE=4 cm，
∴AD=2DE=8 cm。
又∵D为AB的中点，
∴AB=2AD=16 cm。
又∵∠ACB=90°，
∴CD=AB=8 cm。
9.(8分)求证：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
已知：如图，在Rt△ABC中，∠A=30°，∠ACB=90°。求证：BC=AB。
(1)(5分)请用两种方法完成证明。
(2)(3分)这个命题的逆命题是　真　命题(填“真”或“假”)。
证明：(1)方法一：如答图1，延长BC至点D，使CD=BC，连结AD，则易知∠BCA=∠ACD=90°。
又∵BC=CD，∴AB=AD，
∴∠DAC=∠BAC=30°，∴∠BAD=60°，
∴△ABD为等边三角形，
∴AB=BD，
∴BC=CD=BD=AB。
图1 图2
第9题答图
方法二：如答图2，取AB的中点D，连结DC，则CD=AB=AD=DB，
∴∠DCA=∠A=30°，
∴∠BDC=∠DCA＋∠A=60°，
∴△DBC为等边三角形，
∴BC=DB=AB。
10.如图，在△ABC中，若AB=AC=4，∠BAC=150°，则S△ABC的值为(　C　)
A.2 B.3 C.4 D.6
【解析】 如答图，过点C作CD⊥BA，交BA的延长线于点D。
第10题答图
∵在Rt△ACD中，∠CAD=180°－∠BAC=30°，AB=AC=4，
∴CD=AC=2，
∴S△ABC=AB·CD=×4×2=4。
11.如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AB的垂直平分线交AB于点E，交BC于点F。若BF=5，则FC的长为(　C　)
A.5 B.7 C.10 D.12
【解析】 如答图，连结AF。
第11题答图
∵AB=AC，∠BAC=120°，
∴∠B=∠C=30°。
∵EF为AB的垂直平分线，
∴AF=BF=5，
∴∠BAF=∠B=30°，
∴∠CAF=∠BAC－∠BAF=90°。
又∵∠C=30°，
∴FC=2AF=10。
12.(3分)如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=8，BC=6，线段DE的两个端点D，E分别在边AC，BC上滑动，且DE=4。若M，N分别是DE，AB的中点，则MN的最小值为　3　。
【解析】 如答图，连结CM，CN。
第12题答图
在△ABC中，∠ACB=90°，M，N分别是DE，AB的中点，
∴CN=AB=5，CM=DE=2。
当点C，M，N在同一条直线上时，MN取最小值，
∴MN的最小值为5－2=3。
13.(8分)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的中线，DE⊥AB于点D，交AC于点E。求证：∠AED=∠DCB。
证明：∵∠ACB=90°，CD是AB边上的中线，
∴CD=AD=DB，∠A＋∠B=90°，
∴∠B=∠DCB。
∵DE⊥AB，∴∠A＋∠AED=90°，
∴∠B=∠AED，
∴∠AED=∠DCB。
14.(8分)如图，Rt△ABD和Rt△BCD分别位于BD异侧，∠DAB=∠BCD=90°，O是BD的中点，连结AC，AO，OC。
(1)(4分)若∠ADB=30°，∠BDC=40°，求∠AOC的度数。
(2)(4分)若锐角∠ADC=α，求∠AOC的度数(用α的代数式表示)。
解：(1)∵∠DAB=∠BCD=90°，O是BD的中点，
∴OA=OD=BD，OC=OD=BD，
∴∠ADB=∠OAD=30°，∠BDC=∠OCD=40°，
∴∠AOB=∠ADB＋∠DAO=60°，∠BOC=∠CDB＋∠OCD=80°，
∴∠AOC=∠AOB＋∠BOC=140°。
(2)同(1)可知，∠ADB=∠OAD，∠BDC=∠OCD，
而∠AOB=∠ADB＋∠DAO=2∠ADB，∠BOC=∠CDB＋∠OCD=2∠CDB，
∴∠AOC=∠AOB＋∠BOC=2∠ADB＋2∠CDB=2∠ADC=2α。
15.(10分)[推理能力]如图，在△ABC中，D是边BC的中点，BE⊥AC，CF⊥AB，垂足分别是E，F，连结DE，DF。
(1)(5分)求证：DE=DF。
(2)(5分)若∠A=75°，BC=8，连结EF，求△DEF的面积。
第15题图 第15题答图
解：(1)∵BE⊥AC，CF⊥AB，D是BC的中点，
∴DE=BC，DF=BC。
∴DE=DF。
(2)如答图，过点E作EG⊥DF于点G。
∵∠A=75°，
∴∠ABC＋∠ACB=105°。
易知BD=DF=BC，
∴∠DBF=∠BFD，
∴∠BDF=180°－2∠DBF。
同理∠EDC=180°－2∠BCA，
∴∠FDB＋∠EDC=180°－2∠ABC＋180°－2∠BCA=360°－2×105°=150°，
∴∠EDF=180°－150°=30°。
∵BC=8，∴DE=4=DF。
又∵∠EGD=90°，∴EG=DE=2，
∴S△DEF=DF·EG=×4×2=4。
第2课时　直角三角形的判定 分值：71分
　　　　　　 　　　　　　　　　　　
选择题每小题3分
1.在具备下列条件的△ABC中，不属于直角三角形的是(　D　)
A.∠A＋∠B=∠C
B.∠A－∠B=∠C
C.∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3
D.∠A=∠B=2∠C
2.下列说法错误的是(　A　)
A.三角形的三条高线都在三角形内部
B.三角形的三条角平分线都在三角形内部
C.三角形的重心是三角形三条中线的交点
D.有两个角互余的三角形是直角三角形
3.如图，在四边形ABCD中，AB∥DC。若∠BAD的平分线与∠CDA的平分线相交于点E，则△AED的形状一定为(　B　)
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.等腰三角形
4. 如图，在△ABC中，AB=AC=6，AD是角平分线，BE是中线，则DE的长为(　A　)
A.3 B.4 C.5 D.6
5.(3分)如图，在△ABC中，CD是AB边上的高线。若∠DCB=∠A，则∠BCA=　90　°。
6.(3分)在△ABC中，若∠A=∠B=∠C，则此三角形是　等腰直角　三角形。
【解析】 ∵∠A=∠B=∠C，∠A＋∠B＋∠C=180°，
∴∠C＋∠C＋∠C=180°，
∴∠C=90°，
∴∠A=∠B=×90°=45°，
∴△ABC是等腰直角三角形。
7.(8分)如图，CE⊥AD，垂足为E，∠A=∠C。求证：△ABD是直角三角形。
证明：∵CE⊥AD，
∴∠C＋∠D=90°。
又∵∠A=∠C，∴∠A＋∠D=90°，
∴△ABD是直角三角形。
8.(8分)如图，在△ABC中，∠ABC=45°，AD⊥BC于点D，E是AD上的一点，且DE=DC。
(1)(4分)求证：BE=AC。
(2)(4分)判断BE与AC的位置关系，并说明理由。
解：(1)∵AD⊥BC，
∴∠ADC=∠BDE=90°。
又∵∠ABC=45°，
∴△ABD为等腰直角三角形，
∴AD=BD。
又∵DE=DC，
∴.△ADC≌△BDE(SAS)，
∴BE=AC。
(2)BE⊥AC。理由如下：
如答图，延长BE，交AC于点F。
第8题答图
由(1)得，△ADC≌△BDE，
∴∠DBE=∠DAC。
又∵∠DAC＋∠C=90°，
∴∠DBE＋∠C=90°，
∴∠BFC=180°－(∠DBE＋∠C)=90°，
∴BE⊥AC。
9.(8分)我们知道定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。请思考：上述定理的逆命题成立吗？若成立，写出其逆命题，画出图形，并证明；若不成立，试说明理由。
(1)(3分)逆命题是：　如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形　。
(2)(5分)已知：　)在△ABC中，CD是AB边的中线，且CD=AB　。
求证：　△ABC是直角三角形　。
证明：
证明：(2)如答图。
第9题答图
∵CD是AB边的中线，
∴BD=AD=AB。
又∵CD=AB，
∴BD=AD=CD，
∴∠DCB=∠B，∠DCA=∠A。
∵∠A＋∠B＋∠ACB=180°，
∴∠A＋∠B＋∠DCB＋∠DCA=180°，
∴2(∠DCB＋∠DCA)=180°，
∴∠DCB＋∠DCA=90°，
∴∠ACB=90°，
∴△ABC是直角三角形。
10.(3分)如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，AD=AB，E，F分别是BD，AC的中点。若AC=8，则EF的长为　4　。
【解析】 如答图，连结AE。
第10题答图
∵AB=AD，E是BD的中点，
∴AE⊥BD，∴△AEC是直角三角形。
又∵F是AC的中点，AC=8，
∴EF=AC=4。
11.(8分)已知：如图，BD⊥AC，垂足为E，△ABE的中线EF的反向延长线交CD于点G，∠B=∠C。
(1)(4分)求证：EG是△CDE的高线。
(2)(4分)若EG是△CDE的中线，判断△ABE的形状，并说明理由。
解：(1)∵BD⊥AC，EF是△ABE的中线，
∴EF=BF=AB，
∴∠B=∠BEF。
又∵∠B=∠C，
∴∠C=∠BEF。
又∵∠AEF=∠CEG，∠BEF＋∠AEF=90°，
∴∠C＋∠CEG=90°，
∴∠EGC=90°，
∴EG是△CDE的高线。
(2)△ABE是等腰直角三角形。理由如下：
∵EG是△CDE的中线，EG⊥CD，
∴EG是CD的垂直平分线，
∴DE=CE，
∴△DEC是等腰直角三角形，
∴∠B=∠C=45°，
∴∠A=90°－∠B=45°=∠B，
∴AE=BE，
∴△ABE是等腰直角三角形。
12.(8分)如图，△ACB和△DCE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°。求证：
(1)(4分)AE=BD。
(2)(4分)AE⊥BD。
证明：(1)∵△ACB和△DCE都是等腰直角三角形，
∴∠ACB=∠DCE=90°，AC=BC，DC=EC，
∴∠ACB＋∠BCE=∠DCE＋∠BCE，
∴∠ACE=∠BCD。
在△ACE与△BCD中，
∵
∴△ACE≌△BCD(SAS)，
∴AE=BD。
(2)由(1)知△ACE≌△BCD，
∴∠AEC=∠BDC。
∵∠BDC＋∠CND=90°，∠CND=∠ONE，
∴∠AEC＋∠ONE=90°，
∴∠NOE=90°，
∴AE⊥BD。
13.(10分)[模型观念]如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=4 cm。动点P，Q分别从A，B两点同时出发，各在AB，BC边上匀速移动，它们的速度分别为vP=2 cm/s，vQ=1 cm/s。当点P到达点B时，P，Q两点同时停止运动，设点P运动的时间为t(s)。
(1)(5分)当t为何值时，△PBQ是等边三角形？
(2)(5分)当t为何值时，△PBQ是直角三角形？
解：∵∠C=90°，∠A=30°，AB=4 cm，
∴BC=AB=2 cm，∠B=60°。
∵4÷2=2(s)，2×1=2(cm)，
∴当点P到达点B时，点Q恰好到达点C，
∴0≤t≤2，BP=4－2t，BQ=t。
(1)当BP=BQ时，△PBQ是等边三角形，
此时4－2t=t，∴t=，
∴当t=时，△PBQ是等边三角形。
(2)分两种情况讨论：
①当∠BQP=90°时，∠BPQ=30°，
此时BP=2BQ，
即4－2t=2t，∴t=1；
②当∠BPQ=90°时，∠BQP=30°，
此时BQ=2BP，
即t=2(4－2t)，∴t=。
综上所述，当t=1或时，△PBQ是直角三角形。2.6　直角三角形 第1课时　直角三角形的性质 分值：71分
　　　　　　 　　　　　　　　　　　
选择题每小题3分
1.设直角三角形中一个锐角为x°(0＜x＜90)，另一个锐角为y°，则y与x的数量关系为( )
A.y=180＋x B.y=180－x
C.y=90＋x D.y=90－x
2.一技术人员用刻度尺(单位：cm)测量某三角形部件的尺寸。如图，已知∠ACB=90°，点A，D，B对应的刻度分别为1，4，7，则CD的长为( )
A.3 cm B.3.5 cm
C.4.5 cm D.6 cm
3.如图，一根木棍(AB)斜靠在与地面(OM)垂直的墙(ON)上，当木棍A端沿墙下滑，且B端沿地面向右滑行时，AB的中点P到点O的距离( )
A.变大 B.变小
C.先变小后变大 D.不变
4.如图，在Rt△ABC中，D是AC的中点，∠BDC=60°，AC=6，则BC的长是( )
A.3 B.6 C.8 D.9
5.(3分)如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，D为AC的中点。若∠C=55°，则∠ABD的度数为 °。
6.(3分)若直角三角形斜边上的高线长与中线长分别为5和6，则它的面积为 。
7.(3分)某房梁如图所示，D，E，F分别是BC，AB，AC的中点。若AB=AC=8 m，则DE的长为 m。
8.(3分)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为AB的中点，DE⊥AC于点E。若∠A=30°，DE=4 cm，则AB= cm，CD= cm。
9.(8分)求证：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
已知：如图，在Rt△ABC中，∠A=30°，∠ACB=90°。求证：BC=AB。
(1)(5分)请用两种方法完成证明。
(2)(3分)这个命题的逆命题是 命题(填“真”或“假”)。
10.如图，在△ABC中，若AB=AC=4，∠BAC=150°，则S△ABC的值为( )
A.2 B.3 C.4 D.6
11.如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AB的垂直平分线交AB于点E，交BC于点F。若BF=5，则FC的长为( )
A.5 B.7 C.10 D.12
12.(3分)如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=8，BC=6，线段DE的两个端点D，E分别在边AC，BC上滑动，且DE=4。若M，N分别是DE，AB的中点，则MN的最小值为 。
13.(8分)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的中线，DE⊥AB于点D，交AC于点E。求证：∠AED=∠DCB。
14.(8分)如图，Rt△ABD和Rt△BCD分别位于BD异侧，∠DAB=∠BCD=90°，O是BD的中点，连结AC，AO，OC。
(1)(4分)若∠ADB=30°，∠BDC=40°，求∠AOC的度数。
(2)(4分)若锐角∠ADC=α，求∠AOC的度数(用α的代数式表示)。
15.(10分)[推理能力]如图，在△ABC中，D是边BC的中点，BE⊥AC，CF⊥AB，垂足分别是E，F，连结DE，DF。
(1)(5分)求证：DE=DF。
(2)(5分)若∠A=75°，BC=8，连结EF，求△DEF的面积。
第15题图
第2课时　直角三角形的判定 分值：71分
　　　　　　 　　　　　　　　　　　
选择题每小题3分
1.在具备下列条件的△ABC中，不属于直角三角形的是( )
A.∠A＋∠B=∠C
B.∠A－∠B=∠C
C.∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3
D.∠A=∠B=2∠C
2.下列说法错误的是( )
A.三角形的三条高线都在三角形内部
B.三角形的三条角平分线都在三角形内部
C.三角形的重心是三角形三条中线的交点
D.有两个角互余的三角形是直角三角形
3.如图，在四边形ABCD中，AB∥DC。若∠BAD的平分线与∠CDA的平分线相交于点E，则△AED的形状一定为( )
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.等腰三角形
4. 如图，在△ABC中，AB=AC=6，AD是角平分线，BE是中线，则DE的长为( )
A.3 B.4 C.5 D.6
5.(3分)如图，在△ABC中，CD是AB边上的高线。若∠DCB=∠A，则∠BCA= °。
6.(3分)在△ABC中，若∠A=∠B=∠C，则此三角形是 三角形。
7.(8分)如图，CE⊥AD，垂足为E，∠A=∠C。求证：△ABD是直角三角形。
8.(8分)如图，在△ABC中，∠ABC=45°，AD⊥BC于点D，E是AD上的一点，且DE=DC。
(1)(4分)求证：BE=AC。
(2)(4分)判断BE与AC的位置关系，并说明理由。
9.(8分)我们知道定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。请思考：上述定理的逆命题成立吗？若成立，写出其逆命题，画出图形，并证明；若不成立，试说明理由。
(1)(3分)逆命题是： 。
(2)(5分)已知： 。
求证： 。
证明：
10.(3分)如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，AD=AB，E，F分别是BD，AC的中点。若AC=8，则EF的长为 。
11.(8分)已知：如图，BD⊥AC，垂足为E，△ABE的中线EF的反向延长线交CD于点G，∠B=∠C。
(1)(4分)求证：EG是△CDE的高线。
(2)(4分)若EG是△CDE的中线，判断△ABE的形状，并说明理由。
12.(8分)如图，△ACB和△DCE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°。求证：
(1)(4分)AE=BD。
(2)(4分)AE⊥BD。
13.(10分)[模型观念]如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=4 cm。动点P，Q分别从A，B两点同时出发，各在AB，BC边上匀速移动，它们的速度分别为vP=2 cm/s，vQ=1 cm/s。当点P到达点B时，P，Q两点同时停止运动，设点P运动的时间为t(s)。
(1)(5分)当t为何值时，△PBQ是等边三角形？
(2)(5分)当t为何值时，△PBQ是直角三角形？

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