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2.7　探索勾股定理 第1课时　勾股定理 分值：71分
　　　　　　 　　　　　　　　　　　
选择题每小题3分
1.在直角三角形中，若勾为3，股为4，则弦为(　A　)
A.5 B.6 C.7 D.8
2.下列图形中，不能用来证明勾股定理的是(　A　)
A. B. C. D.
3.如图，长方形OABC的边OA长为2，边AB长为1，OA在数轴上。以原点O为圆心，对角线OB长为半径画弧，交正半轴于一点，则这个点表示的实数为(　C　)
A. D.2.5
【解析】 ∵长方形OABC的边OA长为2，边AB长为1，且∠OAB=90°，
∴OB=，
∴以原点O为圆心，对角线OB长为半径画弧，交正半轴于一点，则这个点表示的实数为。
4.(3分)图1中有一首古算诗，根据诗中的描述可以计算出红莲所在位置的湖水深度，其示意图如图2，其中AB=AB'，AB⊥B'C于点C，BC=0.5尺，B'C=2尺。设AC的长度为x尺，所列方程为　x2＋22=(x＋0.5)2　。
5.(3分)如图，在一个高为5 m，长为13 m的楼梯表面铺设地毯，则地毯的长度至少为　17　m。
6.(3分)如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边的中线。若AB=5，BC=6，则AD=　4　。
【解析】 ∵AB=AC，AD是BC边的中线，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB=90°。
∵AB=5，BC=6，
∴BD=CD=3。
在Rt△ABD中，根据勾股定理，
得AD==4。
7.(8分)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的高线，且AB=13，BC=12。求：
(1)(4分)AC的长。
(2)(4分)CD的长。
解：(1)∵∠ACB=90°，AB=13，BC=12，
∴AC==5。
(2)∵S△ABC=AB·CD=BC·AC，
∴13·CD=12×5，∴CD=。
8.(8分)如图，甲、乙两船同时从港口A出发，甲船以16海里/小时的速度向南偏东50°方向航行，乙船向北偏东40°方向航行。3小时后，甲船到达B岛，乙船到达C岛。若B，C两岛相距60海里，请问乙船的速度是多少？
解：由题意得，∠CAE=40°，∠PAB=50°，
∴∠CAB=180°－40°－50°=90°。
∵AB=16×3=48(海里)，BC=60海里，
∴AC==36(海里)，
∴乙船的速度是36÷3=12(海里/小时)。
9.如图1是北京国际数学家大会的会标，它取材于我国古代数学家赵爽的“弦图”，是由四个全等的直角三角形拼成的。若图1中大正方形的面积为24，小正方形的面积为4，现将这四个直角三角形拼成图2，则图2中大正方形的面积为(　D　)
A.24 B.36 C.40 D.44
【解析】 如答图，设直角三角形的两直角边为a，b，斜边为c(b＞a)。
第9题答图
∵图1中大正方形的面积是24，
∴a2＋b2=c2=24。
∵小正方形的面积是4，
∴(b－a)2=a2＋b2－2ab=4，
∴ab=10，
∴图2中最大的正方形的面积为=c2＋4×ab=24＋2×10=44。
10.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，∠B=30°，AC=4。以点A为圆心，AC长为半径作弧，交BC于点D，再分别以点C和点D为圆心，大于DC长为半径作弧，两弧相交于点E，作射线AE，交BC于点F，则BF的长为(　B　)
A.5 B.6 C.7 D.8
【解析】 由作图知，AF⊥BC。
∵∠BAC=90°，∠B=30°，AC=4，
∴∠C=60°，BC=2AC=8。
∵AF⊥BC，
∴∠AFC=90°，∠FAC=90°－∠C=30°，
∴CF=AC=2，
∴BF=BC－CF=6。
11.(3分)一无人超市门口的墙AB上装有一个传感器P，离地面高度PB=4.7 m，当人从门外走到离该传感器4 m及4 m以内时，便自动发出语音“欢迎光临”。身高1.7 m的小明走到D处时，恰好响起“欢迎光临”，则BD的长为 　m。
【解析】 如答图，过点C作CQ⊥AB于点Q，
第11题答图
∴BQ=CD=1.7 m。
∴PQ=PB－QB=4.7－1.7=3(m)，而PC=4 m，
由勾股定理，得BD=CQ=(m)。
12.(8分)如图，在△ABC中，AB=15，BC=14，AC=13，求△ABC的面积。
解：如答图，过点A作AD⊥BC于点D。
第12题答图
设BD=x，则CD=14－x。
由勾股定理，得AD2=AB2－BD2=AC2－CD2，
∴152－x2=132－(14－x)2，解得x=9，即BD=9，
∴AD==12，
∴S△ABC=BC·AD=×14×12=84。
13.(8分)如图，在6×7的网格中，每个小正方形的边长均为1，△ABC和△DFE的顶点都在格点上。求证：∠ABC=∠DFE。
证明：如答图取格点G，每个小正方形的边长均为1，
第13题答图
则在Rt△BCE和Rt△DGF中，
BC=，DF=，
∴BC=DF。
同理可得，DE=AC=，EF=AB=。
在△ABC和△EFD中，
∵
∴△ABC≌△EFD(SSS)，
∴∠ABC=∠DFE。
14.(8分)如图，将等腰直角三角尺按如图所示的方式放置，直角顶点C在直线m上，分别过点A，B作AE⊥m于点E，BD⊥m于点D。
(1)(4分)求证：CE=BD。
(2)(4分)若设△AEC的三边长分别为a，b，c，利用此图证明勾股定理。
证明：(1)∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠ACE＋∠BCD=90°。
∵AE⊥EC，
∴∠CAE＋∠ACE=90°，
∴∠BCD=∠CAE。
∵BD⊥CD，
∴∠CDB=90°=∠AEC，
∴△AEC≌△CDB(AAS)，
∴CE=BD。
(2)∵△AEC≌△CDB，△AEC的三边长分别为a，b，c，
∴BD=CE=a，CD=AE=b，CB=AC=c，
∴S梯形ABDE=(AE＋BD)·ED
=(a＋b)(a＋b)。
又∵S梯形ABDE=S△AEC＋S△ABC＋S△BCD=ab＋c2＋ab，
∴(a＋b)(a＋b)=ab＋c2＋ab，
整理，得a2＋b2=c2。
15.(3分)[创新意识]如图所示的图形是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的一个大正方形。设图中AF=a，DF=b，连结AE，BE。若△ADE与△BEH的面积相等，则=　3　。
【解析】 ∵AF=a，DF=b，
∴ED=AF=a，EH=EF=DF－DE=b－a。
∵△ADE与△BEH的面积相等，
∴DE·AF=EH·BH，
∴a2=(b－a)·b，
∴a2=b2－ab，
∴b2－a2=ab，
∴＋2=＋2=3。
第2课时　勾股定理的逆定理 分值：71分
　　　　　　 　　　　　　　　　　　
选择题每小题3分
1.下列各组数中，能作为直角三角形三边长的是(　C　)
A.6，8，11 B.15，9，17
C.1.5，2，2.5 D.2，4，
2.我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题目：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”这道题讲的是：有一块三角形沙田，三边长分别为5里，12里，13里，问这块沙田的面积有多大？题中的“里”是我国市制长度单位，1里=500 m，则该沙田的面积为(　A　)
A.7.5 km2 B.15 km2
C.75 km2 D.750 km2
【解析】 将里换算为千米，则三角形沙田的三边长分别为2.5 km，6 km，6.5 km。
∵2.52＋62=6.52，
∴这个三角形为直角三角形，直角边长为2.5 km和6 km，
∴S=×6×2.5=7.5(km2)。
3. 如图，在△ABC中，AC=12，BC=16，AB=20，CD是AB边上的中线，则CD的长是(　D　)
A.4 B.6
C.8 D.10
【解析】 在△ABC中，AC=12，BC=16，AB=20，
∴AC2＋BC2=AB2，
∴△ABC是直角三角形，∠ACB=90°。
又∵CD是斜边AB边上的中线，
∴CD=AB=10。
4.(3分)如图，在△DEF中，DE=17，EF=30，EF边上的中线DG为8，则△DGF的形状是　直角　三角形。
【解析】 ∵DG是EF边上的中线，
∴EG=EF=15，
∴EG2＋DG2=152＋82=289=172=DE2，
∴△DEG为直角三角形，且∠DGE=90°，∴∠DGF=90°，
∴△DGF是直角三角形。
5.(3分)清代数学家罗士琳痴迷于勾股定理的研究，提出了推算勾股数的“罗士琳法则”。法则的提出，不仅简化了勾股数的生成过程，也体现了中国传统数学在数论领域的贡献。由此法则写出了下列几组勾股数：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41……根据上述规律，写出第5组勾股数为　11，60，61　。
【解析】 通过观察可得这些勾股数的第一个数是连续的奇数，第2和第3个数相差1。
所以设下一组数为11，x，x＋1，
由勾股定理，得112＋x2=(x＋1)2，
解得x=60，
所以第5组勾股数为11，60，61。
6.(8分)已知在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，判断下列三角形是否为直角三角形，若是，则判断哪一个角是直角。
(1)(4分)a=5，b=7，c=9。
(2)(4分)a=2，b=，c=。
解：(1)∵a=5，b=7，c=9，
∴a2＋b2=74，c2=81，
∴a2＋b2≠c2，
∴△ABC不是直角三角形。
(2)∵a=2，b=，c=，
∴a2＋b2=7=c2，
∴△ABC是直角三角形，∠C是直角。
7.(8分)方格纸中小正方形的顶点叫格点。A和B是格点，位置如图所示。
(1)(2分)在图1中确定格点C，使△ABC为直角三角形，画出一个这样的△ABC。
(2)(3分)在图2中确定格点D，使△ABD为等腰三角形，画出一个这样的△ABD。
(3)(3分)在图2中，满足题(2)条件的格点D有几个？
解：(1)画出△ABC如答图1所示(答案不唯一)。
　
第7题答图
(2)画出△ABD如答图2所示(答案不唯一)。
(3)如答图2，有4个。
8.(8分)如图，△ABC是等腰三角形，其中 AC=AB，BC=3，D是线段AB上一点，满足BD=1.8，连结CD，CD=2.4。
(1)(4分)求证：CD⊥AB。
(2)(4分)求AC的长。
解：(1)∵BD2＋CD2=1.82＋2.42=32=BC2，
∴△BDC是直角三角形，且∠BDC=90°，
∴CD⊥AB。
(2)∵CD⊥AB，
∴△ADC是直角三角形，
∴AD2＋CD2=AC2，
即AD2＋2.42=AC2。
∵AC=AB=AD＋BD=AD＋1.8，
∴AD2＋2.42=(AD＋1.8)2，
解得AD=0.7，
∴AC=1.8＋0.7=2.5。
9.《九章算术》是中国古代重要的数学著作，该著作中给出了勾股数a，b，c的计算公式：a=(m2－n2)，b=mn，c=(m2＋n2)，其中m＞n＞0，m，n是互质的奇数。下列四组勾股数中，不能由该勾股数计算公式直接得出的是(　C　)
A.3，4，5 B.5，12，13
C.6，8，10 D.7，24，25
【解析】 ∵当m=3，n=1时，
a=(m2－n2)=×(32－12)=4，
b=mn=3×1=3，
c=(m2＋n2)=×(32＋12)=5，
∴A不符合题意；
∵当m=5，n=1时，
a=(m2－n2)=×(52－12)=12，
b=mn=5×1=5，
c=(m2＋n2)=×(52＋12)=13，
∴B不符合题意；
∵当m=7，n=1时，
a=(m2－n2)=×(72－12)=24，
b=mn=7×1=7，
c=(m2＋n2)=×(72＋12)=25，
∴D不符合题意；
∵m，n是奇数，∴b是奇数，
∴没有符合条件的m，n，使a，b，c各为6，8，10，
∴C符合题意。
10.(8分)已知：如图，在四边形ABCD中，AB=BC=1，CD=，AD=1，且∠B=90°。试求：
(1)(4分)∠BAD的度数。
(2)(4分)四边形ABCD的面积(结果保留根号)。
解：(1)如答图，连结AC。
第10题答图
∵AB=BC=1，∠B=90°，
∴AC=。
又∵AD=1，DC=，
∴()2=12＋()2，
即CD2=AD2＋AC2，
∴∠DAC=90°。
∵AB=BC=1，
∴∠BAC=∠BCA=45°，
∴∠BAD=90°＋45°=135°。
(2)由(1)可知△ABC和△ADC是直角三角形，
∴S四边形ABCD=S△ABC＋S△ADC
=×1×1＋×1×
=。
11.(8分)如图，点D在△ABC内部，∠BDC=90°，CD=3，BD=4，AC=12，AB=13。求：
(1)(4分)BC的长。
(2)(4分)图中阴影部分的面积。
解：(1)∵∠BDC=90°，BD=4，CD=3，
∴BC==5，
∴BC的长为5。
(2)∵AB=13，AC=12，
∴AC2＋BC2=122＋52=169=132=AB2，
∴△ACB是直角三角形，∠ACB=90°，
∴S阴影=S△ACB－S△BDC=×5×12－×4×3=24，
∴图中阴影部分的面积为24。
12.(8分)一艘轮船以16海里/时的速度离开港口O(如图)，向北偏东40°方向航行，另一艘轮船同时以12海里/时的速度向北偏西的某个方向航行。已知它们离开港口1.5 h后相距30海里(即AB=30海里)，问另一艘轮船航行的方向是北偏西多少度？
解：由题意，得OA=16×1.5=24(海里)，OB=12×1.5=18(海里)，AB=30海里，
∴OA2＋OB2=AB2，
∴△OAB是直角三角形，∠AOB=90°。
又∵∠AOD=40°，
∴∠BOD=∠AOB－∠AOD=50°。
答：另一艘轮船航行的方向是北偏西50°。
13.(8分)[推理能力]如图，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，P是△ABC内一点，PA=1，PB=3，PC=。求∠CPA的度数。
解：易知AC=AB，如答图，以AC为AB的对应边，向左作△AQC≌△APB，连结PQ，
第13题答图
∴∠CAQ=∠BAP，
∴∠PAQ=∠BAC=90°。
易知QA=PA=1，
∴△APQ为等腰直角三角形，PQ2=PA2＋QA2=2，∴∠APQ=45°。
在△CPQ中，易知QC=PB=3，
∴PC2＋PQ2=7＋2=9=QC2，
∴∠QPC=90°，
∴∠CPA=∠QPC＋∠APQ=135°。2.7　探索勾股定理 第1课时　勾股定理 分值：71分
　　　　　　 　　　　　　　　　　　
选择题每小题3分
1.在直角三角形中，若勾为3，股为4，则弦为( )
A.5 B.6 C.7 D.8
2.下列图形中，不能用来证明勾股定理的是( )
A. B. C. D.
3.如图，长方形OABC的边OA长为2，边AB长为1，OA在数轴上。以原点O为圆心，对角线OB长为半径画弧，交正半轴于一点，则这个点表示的实数为( )
A. D.2.5
4.(3分)图1中有一首古算诗，根据诗中的描述可以计算出红莲所在位置的湖水深度，其示意图如图2，其中AB=AB'，AB⊥B'C于点C，BC=0.5尺，B'C=2尺。设AC的长度为x尺，所列方程为 。
5.(3分)如图，在一个高为5 m，长为13 m的楼梯表面铺设地毯，则地毯的长度至少为 m。
6.(3分)如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边的中线。若AB=5，BC=6，则AD= 。
7.(8分)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的高线，且AB=13，BC=12。求：
(1)(4分)AC的长。
(2)(4分)CD的长。
8.(8分)如图，甲、乙两船同时从港口A出发，甲船以16海里/小时的速度向南偏东50°方向航行，乙船向北偏东40°方向航行。3小时后，甲船到达B岛，乙船到达C岛。若B，C两岛相距60海里，请问乙船的速度是多少？
9.如图1是北京国际数学家大会的会标，它取材于我国古代数学家赵爽的“弦图”，是由四个全等的直角三角形拼成的。若图1中大正方形的面积为24，小正方形的面积为4，现将这四个直角三角形拼成图2，则图2中大正方形的面积为( )
A.24 B.36 C.40 D.44
10.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，∠B=30°，AC=4。以点A为圆心，AC长为半径作弧，交BC于点D，再分别以点C和点D为圆心，大于DC长为半径作弧，两弧相交于点E，作射线AE，交BC于点F，则BF的长为( )
A.5 B.6 C.7 D.8
11.(3分)一无人超市门口的墙AB上装有一个传感器P，离地面高度PB=4.7 m，当人从门外走到离该传感器4 m及4 m以内时，便自动发出语音“欢迎光临”。身高1.7 m的小明走到D处时，恰好响起“欢迎光临”，则BD的长为 m。
12.(8分)如图，在△ABC中，AB=15，BC=14，AC=13，求△ABC的面积。
13.(8分)如图，在6×7的网格中，每个小正方形的边长均为1，△ABC和△DFE的顶点都在格点上。求证：∠ABC=∠DFE。
14.(8分)如图，将等腰直角三角尺按如图所示的方式放置，直角顶点C在直线m上，分别过点A，B作AE⊥m于点E，BD⊥m于点D。
(1)(4分)求证：CE=BD。
(2)(4分)若设△AEC的三边长分别为a，b，c，利用此图证明勾股定理。
15.(3分)[创新意识]如图所示的图形是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的一个大正方形。设图中AF=a，DF=b，连结AE，BE。若△ADE与△BEH的面积相等，则= 。
第2课时　勾股定理的逆定理 分值：71分
　　　　　　 　　　　　　　　　　　
选择题每小题3分
1.下列各组数中，能作为直角三角形三边长的是( )
A.6，8，11 B.15，9，17
C.1.5，2，2.5 D.2，4，
2.我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题目：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”这道题讲的是：有一块三角形沙田，三边长分别为5里，12里，13里，问这块沙田的面积有多大？题中的“里”是我国市制长度单位，1里=500 m，则该沙田的面积为( )
A.7.5 km2 B.15 km2
C.75 km2 D.750 km2
3. 如图，在△ABC中，AC=12，BC=16，AB=20，CD是AB边上的中线，则CD的长是( )
A.4 B.6
C.8 D.10
4.(3分)如图，在△DEF中，DE=17，EF=30，EF边上的中线DG为8，则△DGF的形状是 三角形。
5.(3分)清代数学家罗士琳痴迷于勾股定理的研究，提出了推算勾股数的“罗士琳法则”。法则的提出，不仅简化了勾股数的生成过程，也体现了中国传统数学在数论领域的贡献。由此法则写出了下列几组勾股数：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41……根据上述规律，写出第5组勾股数为 。
6.(8分)已知在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，判断下列三角形是否为直角三角形，若是，则判断哪一个角是直角。
(1)(4分)a=5，b=7，c=9。
(2)(4分)a=2，b=，c=。
7.(8分)方格纸中小正方形的顶点叫格点。A和B是格点，位置如图所示。
(1)(2分)在图1中确定格点C，使△ABC为直角三角形，画出一个这样的△ABC。
(2)(3分)在图2中确定格点D，使△ABD为等腰三角形，画出一个这样的△ABD。
(3)(3分)在图2中，满足题(2)条件的格点D有几个？
8.(8分)如图，△ABC是等腰三角形，其中 AC=AB，BC=3，D是线段AB上一点，满足BD=1.8，连结CD，CD=2.4。
(1)(4分)求证：CD⊥AB。
(2)(4分)求AC的长。
9.《九章算术》是中国古代重要的数学著作，该著作中给出了勾股数a，b，c的计算公式：a=(m2－n2)，b=mn，c=(m2＋n2)，其中m＞n＞0，m，n是互质的奇数。下列四组勾股数中，不能由该勾股数计算公式直接得出的是( )
A.3，4，5 B.5，12，13
C.6，8，10 D.7，24，25
10.(8分)已知：如图，在四边形ABCD中，AB=BC=1，CD=，AD=1，且∠B=90°。试求：
(1)(4分)∠BAD的度数。
(2)(4分)四边形ABCD的面积(结果保留根号)。
11.(8分)如图，点D在△ABC内部，∠BDC=90°，CD=3，BD=4，AC=12，AB=13。求：
(1)(4分)BC的长。
(2)(4分)图中阴影部分的面积。
12.(8分)一艘轮船以16海里/时的速度离开港口O(如图)，向北偏东40°方向航行，另一艘轮船同时以12海里/时的速度向北偏西的某个方向航行。已知它们离开港口1.5 h后相距30海里(即AB=30海里)，问另一艘轮船航行的方向是北偏西多少度？
13.(8分)[推理能力]如图，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，P是△ABC内一点，PA=1，PB=3，PC=。求∠CPA的度数。

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