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2.8　直角三角形全等的判定 分值：71分
　　　　　　 　　　　　　　　　　　
选择题每小题3分
1.下列条件中，不能使两个直角三角形全等的是(　D　)
A.一条直角边及其对角对应相等
B.斜边和一条直角边对应相等
C.斜边和一锐角对应相等
D.两个锐角对应相等
2.如图，AC⊥BC，BD⊥AD，要根据“HL”证明Rt△ABC与Rt△BAD全等，则还需要添加的条件可以是(　C　)
A.∠CAB=∠DBA
B.AB=BD
C.BC=AD
D.∠ABC=∠BAD
3.(3分)如图，AC⊥BC，BD⊥BC，若AB=CD=10，AC=7，则BD的长为　7　。
4.(3分)如图，已知AB=DC，BE⊥AD，CF⊥AD，垂足分别为E，F。给出下列条件，①∠B=∠C；②AB∥CD；③BE=CF；④AF=DE。可以判定Rt△ABE≌Rt△DCF的是　①②③④　(填序号)。
5.(3分)如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，AD与BE相交于点H。若BH=AC=2，DH=DC=1，则AB= 　。
【解析】 ∵AD⊥BC，BH=2，DH=1，
∴BD=。
在Rt△ADC和Rt△BDH中，
∵
∴Rt△ADC≌Rt△BDH(HL)，
∴AD=BD=，
∴在Rt△ABD中，
AB=。
6.(8分)如图，已知线段a和b，a＞b，求作直角三角形ABC，使直角三角形的斜边AB=a，直角边AC=b(用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法)。
解：如答图所示， △ABC为所求作的直角三角形。
第6题答图
7.(8分)如图，∠A=∠B=90°，E是AB上的一点，且AE=BC，∠1=∠2。求证：Rt△ADE≌Rt△BEC。
证明：∵∠1=∠2，∴DE=EC。
在Rt△ADE和Rt△BEC中，
∵
∴Rt△ADE≌Rt△BEC(HL)。
8.(8分)求证：有一条直角边及斜边上的高线对应相等的两个直角三角形全等(画出图形，写出已知、求证和证明过程)。
解：已知：如答图，在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中，∠ACB=∠A'C'B'=90°，CD⊥AB于点D，C'D'⊥A'B'于点D'，BC=B'C'，CD=C'D'。
求证：△ABC≌△A'B'C'。
第8题答图
证明：∵CD⊥AB于点D，C'D'⊥A'B'于点D'，
∴∠CDB=∠C'D'B'=90°。
在△CDB与△C'D'B'中，
∵
∴△CDB≌△C'D'B'(HL)，
∴∠B=∠B'。
在△ABC和△A'B'C'中，
∵
∴△ABC≌△A'B'C'(ASA)。
9.如图，在Rt△ABC中，以点A为圆心，适当长为半径作弧，交AB于点F，交AC于点E。分别以点E，F为圆心，大于EF长为半径作弧，两弧在∠BAC的内部相交于点G，作射线AG，交BC于点D。若AC=3，BC=4，则CD的长为(　C　)
A. B.1 C. D.2
第9题图　　 第9题答图
【解析】 如答图，过点D作DH⊥AB于点H。
∵∠C=90°，AC=3，BC=4，
∴AB==5。
由作图知，AD平分∠CAB。
又∵∠C=90°，DH⊥AB，
∴CD=DH。
在Rt△ACD与Rt△AHD中，
∵
∴Rt△ACD≌Rt△AHD(HL)，
∴AH=AC=3，
∴BH=AB－AH=2。
∵BH2＋DH2=BD2，
∴22＋CD2=(4－CD)2，∴CD=。
10.(8分)如图，点C，E，B，F在一条直线上，AB⊥CF于点B，DE⊥CF于点E，AC=DF，AB=DE。求证：CE=BF。
证明：∵AB⊥CF，DE⊥CF，
∴∠ABC=∠DEF=90°。
在Rt△ABC和Rt△DEF中，
∵
∴Rt△ABC≌Rt△DEF(HL)，
∴BC=EF，
∴BC－BE=EF－BE，
即CE=BF。
11.(8分)(1)(4分)求证：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三边的距离相等(利用图1，写出已知、求证和证明过程)。
(2)(4分)如图2，∠ABC的平分线与△ABC的外角∠ACD的平分线相交于点P，连结AP。若∠BAC=62°，求∠PAC的度数。
解：(1)已知：如答图1，作∠BAC的平分线，与∠BCA的平分线相交于点F，连结BF。过点F作FG⊥AB于点G，FD⊥BC于点D，FE⊥AC于点E。
求证：∠ABC，∠BCA，∠CAB三个角的平分线相交于点F，且点F到三边的距离相等。
第11题答图1
证明：∵∠GAF=∠EAF，FG⊥AB，FE⊥AC，
∴FG=FE。
同理可得FD=FE，
∴FG=FD=FE，
∴点F在∠ABC的平分线上，即BF平分∠ABC，
∴∠ABC，∠BCA，∠CAB三个角的平分线相交于点F，且点F到三边的距离相等。
(2)如答图2，过点P作PN⊥BD于点N，PF⊥BA，交BA的延长线于点F，PM⊥AC于点M。
第11题答图2
∵CP平分∠ACD，
∴PM=PN。
∵BP平分∠ABC，
∴PF=PN，
∴PF=PM，
∴∠FAP=∠PAC，
∴∠FAC=2∠PAC。
又∵∠FAC＋∠BAC=180°，
∴2∠PAC＋∠BAC=180°。
又∵∠BAC=62°，
∴∠PAC=(180°－∠BAC)=×(180°－62°)=59°。
12.(10分)[推理能力]如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是∠CAB的平分线，DE⊥AB于点E，点F在边AC上，连结DF。
(1)(3分)求证：AC=AE。
(2)(3分)若DF=DB，则∠B与∠AFD之间有何数量关系？请说明理由。
(3)(4分)在(2)的条件下，若AB=m，AF=n，求BE的长(用含m，n的代数式表示)。
解：(1)∵∠C=90°，DE⊥AB，
∴∠C=∠AED=90°。
∵AD是∠CAB的平分线，
∴∠CAD=∠EAD。
在△ACD和△AED中，
∵
∴△ACD≌△AED(AAS)，
∴AC=AE。
(2)∠B＋∠AFD=180°。理由如下：
由(1)，得△ACD≌△AED，
∴DC=DE。
在Rt△CDF和Rt△EDB中，
∵
∴Rt△CDF≌Rt△EDB(HL)，
∴∠CFD=∠B。
又∵∠CFD＋∠AFD=180°，
∴∠B＋∠AFD=180°。
(3)∵Rt△CDF≌Rt△EDB，
∴CF=EB。
∵AB=AE＋BE，AC=AE，
∴AB=AC＋BE。
又∵AC=AF＋CF，CF=BE，
∴AB=AF＋2BE。
又∵AB=m，AF=n，
∴BE=(m－n)。2.8　直角三角形全等的判定 分值：71分
　　　　　　 　　　　　　　　　　　
选择题每小题3分
1.下列条件中，不能使两个直角三角形全等的是( )
A.一条直角边及其对角对应相等
B.斜边和一条直角边对应相等
C.斜边和一锐角对应相等
D.两个锐角对应相等
2.如图，AC⊥BC，BD⊥AD，要根据“HL”证明Rt△ABC与Rt△BAD全等，则还需要添加的条件可以是( )
A.∠CAB=∠DBA
B.AB=BD
C.BC=AD
D.∠ABC=∠BAD
3.(3分)如图，AC⊥BC，BD⊥BC，若AB=CD=10，AC=7，则BD的长为 。
4.(3分)如图，已知AB=DC，BE⊥AD，CF⊥AD，垂足分别为E，F。给出下列条件，①∠B=∠C；②AB∥CD；③BE=CF；④AF=DE。可以判定Rt△ABE≌Rt△DCF的是 (填序号)。
5.(3分)如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，AD与BE相交于点H。若BH=AC=2，DH=DC=1，则AB= 。
6.(8分)如图，已知线段a和b，a＞b，求作直角三角形ABC，使直角三角形的斜边AB=a，直角边AC=b(用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法)。
7.(8分)如图，∠A=∠B=90°，E是AB上的一点，且AE=BC，∠1=∠2。求证：Rt△ADE≌Rt△BEC。
8.(8分)求证：有一条直角边及斜边上的高线对应相等的两个直角三角形全等(画出图形，写出已知、求证和证明过程)。
9.如图，在Rt△ABC中，以点A为圆心，适当长为半径作弧，交AB于点F，交AC于点E。分别以点E，F为圆心，大于EF长为半径作弧，两弧在∠BAC的内部相交于点G，作射线AG，交BC于点D。若AC=3，BC=4，则CD的长为( )
A. B.1 C. D.2
第9题图　　
10.(8分)如图，点C，E，B，F在一条直线上，AB⊥CF于点B，DE⊥CF于点E，AC=DF，AB=DE。求证：CE=BF。
11.(8分)(1)(4分)求证：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三边的距离相等(利用图1，写出已知、求证和证明过程)。
(2)(4分)如图2，∠ABC的平分线与△ABC的外角∠ACD的平分线相交于点P，连结AP。若∠BAC=62°，求∠PAC的度数。
12.(10分)[推理能力]如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是∠CAB的平分线，DE⊥AB于点E，点F在边AC上，连结DF。
(1)(3分)求证：AC=AE。
(2)(3分)若DF=DB，则∠B与∠AFD之间有何数量关系？请说明理由。
(3)(4分)在(2)的条件下，若AB=m，AF=n，求BE的长(用含m，n的代数式表示)。

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