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第2章　特殊三角形 　章末复习 分值：71分
　　　　　　 　　　　　　　　　　　
选择题每小题3分
轴对称与轴对称图形
1.下列常见的卡通表情包中，属于轴对称图形的是(　A　)
A. B. C. D.
2.小明用两个全等的等腰三角形设计了一个“蝴蝶”的平面图案。如图，其中△OAB与△ODC都是等腰三角形，OA=OB，OC=OD，且它们关于直线l对称，E，F分别是底边AB，CD的中点，OE⊥OF。下列推断错误的是(　B　)
A.OB⊥OD
B.∠BOC=∠AOB
C.OE=OF
D.∠BOC＋∠AOD=180°
【解析】 ∵△OAB与△ODC都是等腰三角形，且它们关于直线l对称，
∴△OAB≌△ODC，
∴∠AOB=∠COD。
∵E，F分别是底边AB，CD的中点，
∴∠AOE=∠BOE=∠AOB，∠COF=∠DOF=∠COD，
∴∠AOE=∠BOE=∠COF=∠DOF。
∵OE⊥OF，
∴∠BOE＋∠BOF=90°，
∴∠DOF＋∠BOF=90°，
∴OB⊥OD，故A正确；
∵∠AOB与∠BOC的度数不能确定，
∴无法证明∠BOC与∠AOB之间的数量关系，故B错误；
∵△OAB≌△ODC，E，F分别是底边AB，CD的中点，
∴OE=OF，故C正确；
∵OB⊥OD，
∴∠BOC＋∠COD=90°。①
∵OE⊥OF，
∴∠COF＋∠EOC=90°。
∵∠COF=∠AOE，
∴∠AOE＋∠EOC=90°，
∴OC⊥OA，
∴∠AOB＋∠BOC=90°。②
①＋②得，∠BOC＋∠COD＋∠AOB＋∠BOC=180°，
∴∠BOC＋∠AOD=180°，故D正确。
　等腰三角形的判定与性质
3.在如图的房屋人字梁架中，AB=AC，点D在BC上，下列条件不能说明AD⊥BC的是(　B　)
A.∠ADB=∠ADC B.∠B=∠C
C.BD=CD D.AD平分∠BAC
4.(8分)在课本“目标与评定”中，有这样一道思考题：如图的钢架中，∠A=20°，焊上等长的钢条来加固钢架。若AP1=P1P2，问这样的钢条至多需要多少根？
(1)(3分)请将如下解答过程补充完整：
解：由题意可知，P1P2=P2P3=P3P4=P4P5=…。
∵∠A=20°，AP1=P1P2，
∴∠AP2P1=　20　°，
∴∠P2P1P3=∠P1P3P2=40°。
同理可得∠P3P2P4=∠P2P4P3=60°，
∠P4P3P5=∠P4P5P3=　80　°，
∴∠P5P4B=100°＞90°，
∴对于射线P4B上任意一点P6(点P4除外)，P4P5＜P5P6，
∴这样的钢条至多需要　4　根。
(2)(5分)继续探究：当∠A=15°时，这样的钢条至多需要多少根？
解：(2)如答图。
第4题答图
∵∠A=∠P1P2A=15°，
∴∠P2P3P1=∠P2P1P3=30°，
∴∠P3P4P2=∠P3P2P4=45°，
∴∠P4P5P3=∠P4P3P5=60°，
∴∠P5P6P4=∠P5P4P6=75°，
∴∠P6P5C=90°，
易知P6P7＞P5P6，此时就不能再焊了。
答：当∠A=15°时，这样的钢条至多需要5根。
5.(8分)如图，在等边三角形ABC中，BD平分∠ABC，交AC于点D，过点D作DE∥AB，交BC于点E，连结AE。求证：AE⊥BC。
证明：∵△ABC是等边三角形，
∴BC=AC=AB，∠ABC=∠C=60°。
∵BD平分∠ABC，
∴DC=AC。
∵DE∥AB，
∴∠DEC=∠ABC=60°，
∴△DEC是等边三角形，
∴EC=DC=AC=BC，
∴AE⊥BC。
6.(8分)如图，在△ABC中，AB=AC，点D，E，F分别在AB，BC，AC边上，且BE=CF，BD=CE。
(1)(4分)求证：△DEF是等腰三角形。
(2)(4分)当∠A=40°时，求∠DEF的度数。
证明：(1)∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB。
在△DBE和△ECF中，
∵
∴△DBE≌△ECF(SAS)，
∴DE=EF，
∴△DEF是等腰三角形。
(2)∵△DBE≌△ECF，
∴∠BDE=∠CEF，∠BED=∠CFE。
∵∠A＋∠B＋∠C=180°，
∴∠B=×(180°－40°)=70°，
∴∠BDE＋∠BED=110°，
∴∠CEF＋∠BED=110°，
∴∠DEF=70°。
　直角三角形的判定与性质
7.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=20°，CD为AB边上的中线，DE⊥AC，则图中与∠A互余的角共有(　C　)
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
8.如图，在△ABC中，∠A=120°，AB=AC，边AC的中点为D，边BC上的点E满足ED⊥AC。若DE=，则AC的长是(　B　)
A.4 B.6 C.2 D.3
【解析】 ∵∠A=120°，AB=AC，
∴∠B=∠C=×(180°－120°)=30°。
∵ED⊥AC，
∴∠CDE=90°，EC=2DE=2，
∴CD==3。
∵D是AC的中点，
∴AC=2DC=6。
9.(8分)如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，BE⊥AC，垂足为E，M为AB边的中点，连结ME，MD，ED。求证：
(1)(4分)△MED为等腰三角形。
(2)(4分)∠EMD=2∠DAC。
证明：(1)∵M为AB边的中点，AD⊥BC，BE⊥AC，
∴ME=AB，MD=AB，
∴ME=MD，
∴△MED为等腰三角形。
(2)∵ME=AB=MA，
∴∠MAE=∠MEA，
∴∠BME=∠MAE＋∠MEA=2∠MAE。
同理，∠BMD=2∠MAD，
∴∠EMD=∠BME－∠BMD=2∠MAE－2∠MAD=2∠DAC。
　勾股定理及其逆定理
10.如图1，以Rt△ABC的各边为边长分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大的正方形内，三个阴影部分的面积分别记为S1，S2，S3。若已知S1=1，S2=2，S3=3，则两个较小正方形纸片的重叠部分(四边形DEFG)的面积为(　D　)
图1　 　图2
A.5 B.5.5
C.5.8 D.6
【解析】 设直角三角形的斜边长为a，较长的直角边长为c，较短的直角边长为b，由勾股定理，得a2=c2＋b2，
∴a2－c2－b2=0，
∴S阴影=a2－c2－(b2－S四边形DEFG)=a2－c2－b2＋S四边形DEFG=S四边形DEFG，
∴S四边形DEFG=S1＋S2＋S3=1＋2＋3=6。
11.(8分)如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，M为边AB的中点，点E在线段AM上，EF⊥AC于点F，连结CM，CE。已知∠A=50°，∠ACE=30°。
(1)(4分)求证：CE=CM。
(2)(4分)若AB=4，求线段FC的长。
解：(1)∵∠ACB=90°，M为AB的中点，
∴MA=MC，
∴∠MCA=∠A=50°，
∴∠CMA=180°－∠A－∠MCA=80°。
又∵∠CEM=∠A＋∠ACE=50°＋30°=80°，
∴∠CME=∠CEM，∴CE=CM。
(2)由题意，得CE=CM=AB=2。
∵EF⊥AC，∠ACE=30°，
∴EF=CE=1，
∴FC=。
　直角三角形全等的判定
12.(8分)如图，△ABC和△ABD均为直角三角形，∠ACB=∠ADB=90°，E是AB的中点，连结CD，CE，DE，过点C作CF⊥AB于点F，过点D作DG⊥AB于点G。若CF=EG，求证：△CED是等腰直角三角形。
证明：在Rt△ABC中，
∵E为斜边AB的中点，
∴CE=AB。
同理，DE=AB，
∴CE=DE。
∵CF⊥AB，DG⊥AB，
∴∠CFE=∠EGD=90°。
在Rt△CFE和Rt△EGD中，
∵
∴Rt△CFE≌Rt△EGD(HL)，
∴∠CEF=∠EDG。
易知∠DEG＋∠EDG=90°，
∴∠CEF＋∠DEG=90°，
∴∠CED=180°－∠CEF－∠DEG=90°。
又∵CE=DE，
∴△CED是等腰直角三角形。第2章　特殊三角形 　章末复习 分值：71分
　　　　　　 　　　　　　　　　　　
选择题每小题3分
轴对称与轴对称图形
1.下列常见的卡通表情包中，属于轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.小明用两个全等的等腰三角形设计了一个“蝴蝶”的平面图案。如图，其中△OAB与△ODC都是等腰三角形，OA=OB，OC=OD，且它们关于直线l对称，E，F分别是底边AB，CD的中点，OE⊥OF。下列推断错误的是( )
A.OB⊥OD
B.∠BOC=∠AOB
C.OE=OF
D.∠BOC＋∠AOD=180°
　等腰三角形的判定与性质
3.在如图的房屋人字梁架中，AB=AC，点D在BC上，下列条件不能说明AD⊥BC的是( )
A.∠ADB=∠ADC B.∠B=∠C
C.BD=CD D.AD平分∠BAC
4.(8分)在课本“目标与评定”中，有这样一道思考题：如图的钢架中，∠A=20°，焊上等长的钢条来加固钢架。若AP1=P1P2，问这样的钢条至多需要多少根？
(1)(3分)请将如下解答过程补充完整：
解：由题意可知，P1P2=P2P3=P3P4=P4P5=…。
∵∠A=20°，AP1=P1P2，
∴∠AP2P1= °，
∴∠P2P1P3=∠P1P3P2=40°。
同理可得∠P3P2P4=∠P2P4P3=60°，
∠P4P3P5=∠P4P5P3= °，
∴∠P5P4B=100°＞90°，
∴对于射线P4B上任意一点P6(点P4除外)，P4P5＜P5P6，
∴这样的钢条至多需要 根。
(2)(5分)继续探究：当∠A=15°时，这样的钢条至多需要多少根？
5.(8分)如图，在等边三角形ABC中，BD平分∠ABC，交AC于点D，过点D作DE∥AB，交BC于点E，连结AE。求证：AE⊥BC。
6.(8分)如图，在△ABC中，AB=AC，点D，E，F分别在AB，BC，AC边上，且BE=CF，BD=CE。
(1)(4分)求证：△DEF是等腰三角形。
(2)(4分)当∠A=40°时，求∠DEF的度数。
　直角三角形的判定与性质
7.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=20°，CD为AB边上的中线，DE⊥AC，则图中与∠A互余的角共有( )
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
8.如图，在△ABC中，∠A=120°，AB=AC，边AC的中点为D，边BC上的点E满足ED⊥AC。若DE=，则AC的长是( )
A.4 B.6 C.2 D.3
9.(8分)如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，BE⊥AC，垂足为E，M为AB边的中点，连结ME，MD，ED。求证：
(1)(4分)△MED为等腰三角形。
(2)(4分)∠EMD=2∠DAC。
　勾股定理及其逆定理
10.如图1，以Rt△ABC的各边为边长分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大的正方形内，三个阴影部分的面积分别记为S1，S2，S3。若已知S1=1，S2=2，S3=3，则两个较小正方形纸片的重叠部分(四边形DEFG)的面积为( )
图1　 　图2
A.5 B.5.5
C.5.8 D.6
11.(8分)如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，M为边AB的中点，点E在线段AM上，EF⊥AC于点F，连结CM，CE。已知∠A=50°，∠ACE=30°。
(1)(4分)求证：CE=CM。
(2)(4分)若AB=4，求线段FC的长。
　直角三角形全等的判定
12.(8分)如图，△ABC和△ABD均为直角三角形，∠ACB=∠ADB=90°，E是AB的中点，连结CD，CE，DE，过点C作CF⊥AB于点F，过点D作DG⊥AB于点G。若CF=EG，求证：△CED是等腰直角三角形。

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