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人教版2025—2026学年八年级下册期末冲刺全能夺冠测评卷
数 学
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1． 菱形和矩形都具有的性质是（　　）
A．对角线互相垂直
B．对角线相等
C．对角线平分一组对角
D．对角线互相平分并且是中心对称图形
2．某校九年级进行了三次数学模拟考试，甲、乙、丙三名同学的平均分和方差如表所示，则这三名同学中数学成绩最稳定的是（　　）
统计量 甲 乙 丙
93 93 93
14 18 11
A．甲 B．乙 C．丙 D．无法确定
3．在同一平面直角坐标系中，函数y＝kx与的图像大致是（　　）
A． B．
C． D．
4．高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为．据研究，高空抛物下落的时间（单位：）和高度（单位：）近似满足公式（不考虑风速的影响）．记从高空抛物到落地所需时间为，从高空抛物到落地所需时间为，则的值为（　　）
A． B． C． D．
5．一辆装满货物，宽为米的卡车，欲通过如图所示的隧道（隧道下方为长方形，上方为半圆形拱门），则卡车的外形不得高于（　　）
A．米 B．米 C．米 D．米
6．直角三角形中，点为中点，，，则长度是（　　）
A． B． C． D．
7．一次函数的图象上有，两点，下列正确的选项是（　　）
A．当时， B．当时，
C．当时， D．当时，
8．如图，在中，，，以点A为圆心，长为半径画弧交于点F；以点A为圆心，适当长为半径画弧分别交、于M、N两点；分别以点M、N为圆心，大于长为半径画弧，两弧在平行四边形内交于点G，连接并延长交于E，连接、，分别交、于P、Q两点，下列结论不正确的是（　　）
A．平分 B．四边形是菱形
C． D．
9．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知，，点A的坐标为，若直线沿x轴平移m个单位后与仍有公共点，则m的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
10．如图，矩形ABCD中，O为AC中点，过点O的直线分别与AB、CD交于点E、F，连结BF交AC于点M，连结DE、BO.若∠COB=60°，FO=FC，则下列结论中正确结论的个数是（　　）
①DE=EF；②四边形DFBE是菱形；③BM=3FM；④=1：14.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图，一架梯子斜靠在墙上，梯子顶端与墙角的距离长为4米，梯子的长为5米，则梯子与墙角的距离为　 　米．
12．正八边形每个外角的度数为　 　．
13．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，若∠ABD=60°，且AB=1，则AC的长为　 　．
14．若关于的函数是一次函数，则的值为　 　．
15．已知某组数据的方差为，则的值为　 　．
16．如图，已知为等边三角形，边长为，点分别是过上的动点，点从点开始沿射线方向运动，同时点从点开始沿射线方向运动，点运动速度始终是点运动速度的倍，以为边向右侧作等边三角形．点是边的中点，连接，则的最小值为　 　．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．计算：
（1）
（2）
18．如图，一条伸直的橡皮筋的两端被固定在水平桌面上，C是上的一点，，将橡皮筋从C点向上垂直拉升2到D点．
（1）求的长；
（2）判断的形状，并说明理由．
19．从2024年起，佛山市中考英语科听力部分将改为单设英语听说考试．为了适应中考，某校举行了“英语听说”大赛，某班在甲、乙两名同学中选拔一人参加，在相同的测试条件下，两人次测试成绩（单位：分）如下：
甲：，，，，． 乙：，，，，．
（1）下列表格中的　 　，　 　，　 　；
平均数 众数 中位数 方差
甲
乙
（2）班主任根据这次的测试成绩，应选择谁参加大赛更合适，请说明理由．
20．如图，直线y＝﹣3x+6交x轴和y轴于点A和点B，点C（0，﹣3）在y轴上，连接AC．
（1）求点A和点B的坐标；
（2）若点P是直线AB上一点，若△BCP的面积为18，求点P的坐标；
（3）过点B的作直线BE交x轴于点E（E点在点A右侧），当∠ABE＝45°时，直接写出直线BE的函数表达式．
21．如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，且AO＝CO，AD∥BC．
（1）求证：四边形ABCD为平行四边形；
（2）若AB＝10，OA＝6，BD＝16．
①求∠BOA的度数；
②求四边形ABCD的面积．
22．【定义新运算】
对于正实数a、b，定义运算“⊙”，满足．例如： ．
（1）计算： ， （a为正实数）；
【应用新运算】
（2）对于正实数a、b，若满足，，求a、b的值．
【拓展应用】
（3）如图，记的三边长分别为a、b、c，，，，．若，，求．
23．如图，在平面直角坐标系中，边长为a（a为大于0的常数)的正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点P，顶点A在x轴的正半轴上运动，顶点B在y轴的正半轴上运动（x轴的正半轴、y轴的正半轴都不包含原点O)，顶点C，D都位于第一象限。
（1）当 时，求点P的坐标。
（2）求证：无论点A在x轴的正半轴上、点B在y轴的正半轴上怎样运动，点P都在 的平分线上。
（3）设点P到x轴的距离为h，试确定h的取值范围，并说明理由。
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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人教版2025—2026学年八年级下册期末冲刺全能夺冠测评卷
数 学
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1． 菱形和矩形都具有的性质是（　　）
A．对角线互相垂直
B．对角线相等
C．对角线平分一组对角
D．对角线互相平分并且是中心对称图形
【答案】D
【解析】【解答】解：选项 A：菱形对角线互相垂直，但矩形对角线不互相垂直，A错误；
选项 B：矩形对角线相等，但菱形对角线不相等，B错误；
选项 C：菱形对角线平分一组对角，但矩形对角线不平分一组对角，C错误；
选项 D：菱形和矩形都属于平行四边形，根据平行四边形的性质，平行四边形的对角线互相平分，因此菱形、矩形的对角线都互相平分；菱形和矩形的对称中心都是对角线交点，因此都是中心对称图形。
D正确；
故答案为：D.
【分析】本题考查菱形和矩形的性质，利用菱形和矩形的性质（基于平行四边形的共性与各自特性 ），可判断二者共有的性质是 “对角线互相平分且是中心对称图形”.
2．某校九年级进行了三次数学模拟考试，甲、乙、丙三名同学的平均分和方差如表所示，则这三名同学中数学成绩最稳定的是（　　）
统计量 甲 乙 丙
93 93 93
14 18 11
A．甲 B．乙 C．丙 D．无法确定
【答案】C
【解析】【解答】解：已知甲、乙、丙三名同学的平均分都为93，方差分别为：甲14、乙18、丙11 ，
比较方差大小：11＜14＜18，即丙的方差最小，
所以丙同学的数学成绩最稳定，
故答案选 C，
【分析】方差反映了一组数据的波动大小，方差越小，数据越稳定，反之则越不稳定 ，通过比较甲、乙、丙三人成绩的方差，来判断成绩的稳定程度.
3．在同一平面直角坐标系中，函数y＝kx与的图像大致是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】【解答】A．由图知y＝kx中k<0，中-k<0，即k>0，k的符号不同，故A选项不符合题意；
B．由图知y＝kx中k<0，中-k>0，即k<0，k的符号相同，故 B选项符合题意；
C．由于 中>0，所以的图像y 应随 x的增大而增大，故C 选项不符合题意；
D．由于 中>0，所以的图像y 应随 x的增大而增大，故D 选项不符合题意；
故答案为：B ．
【分析】
根据正比例函数与一次函数图象性质，判断分析即可.
4．高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为．据研究，高空抛物下落的时间（单位：）和高度（单位：）近似满足公式（不考虑风速的影响）．记从高空抛物到落地所需时间为，从高空抛物到落地所需时间为，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：由题意得：，，
∴，
故答案为：A．
【分析】把h=25和h=50代入分别求出、，再计算与的比值即可得解.
5．一辆装满货物，宽为米的卡车，欲通过如图所示的隧道（隧道下方为长方形，上方为半圆形拱门），则卡车的外形不得高于（　　）
A．米 B．米 C．米 D．米
【答案】C
【解析】【解答】解：由图形可得，（米），（米），
∵，
∴，
解得：（米），
∵，
∴（米），
∴卡车的外形不得高于米．
故答案为：C．
【分析】先得到，然后利用勾股定理得到长，即可利用得到CH长，解题．
6．直角三角形中，点为中点，，，则长度是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：由题意，画出图形如下：
∵在直角三角形中，点为中点，，
∴，
∵，
∴，
故答案为：B．
【分析】利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，然后根据勾股定理解题即可．
7．一次函数的图象上有，两点，下列正确的选项是（　　）
A．当时， B．当时，
C．当时， D．当时，
【答案】C
【解析】【解答】解： 当，则，
解得：，
∴一次函数与轴的交点坐标为：；如图所示，
∴当时，，当时，，
一次函数的图象上有，两点，
∴当时，则，
∴，，
∴，
当时，则，
∴的符号不确定，，
∴符号不确定.
故答案为：C.
【分析】先根据函数解析式求出与x轴交点坐标，画出图象，再根据图象运算即可.
8．如图，在中，，，以点A为圆心，长为半径画弧交于点F；以点A为圆心，适当长为半径画弧分别交、于M、N两点；分别以点M、N为圆心，大于长为半径画弧，两弧在平行四边形内交于点G，连接并延长交于E，连接、，分别交、于P、Q两点，下列结论不正确的是（　　）
A．平分 B．四边形是菱形
C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：由作图可得，，平分，故A不符合题意；
∵四边形为平行四边形，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，AF=BE
∴四边形是平行四边形，
又∵
∴四边形是菱形，故B不符合题意；
∴，，
∴，故C不符合题意；
∵四边形是菱形，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，故D符合题意，
故答案为：D．
【分析】由作图可得，，平分，即可判断A；由角平分线的定义结合平行线的性质得出，推出，利用一组邻边相等的平行四边形是菱形即可判断B；由菱形的性质得出，BE的长，再求出的长，即可判断C；证明，得出，的长，再证明，得出，即可判断D.
9．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知，，点A的坐标为，若直线沿x轴平移m个单位后与仍有公共点，则m的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：过点A作轴于点E，过点B作于点F，
，
根据勾股定理得，，
又
对于，当时，，
，
∴直线与轴的交点坐标为；
设过点A且与直线平行的直线解析式为，
把代入，得：，
，
，
当时，，
∴直线与轴的交点坐标为
设过点B且与直线平行的直线解析式为
把代入得：，
当时，，
，
与轴的交点坐标为
∴直线沿x轴平移m个单位后与仍有公共点，则m的取值范围是，即，
故选：A．
【分析】过点A作轴于点E，过点B作于点F，根据含直角三角形的性质和勾股定理求出点B的坐标，再利用待定系数法求出过点A和点B且与直线平行的直线解析式，分别求出与x轴的交点坐标，则直线沿x轴平移m个单位后与仍有公共点，则m的取值范围是，即．
10．如图，矩形ABCD中，O为AC中点，过点O的直线分别与AB、CD交于点E、F，连结BF交AC于点M，连结DE、BO.若∠COB=60°，FO=FC，则下列结论中正确结论的个数是（　　）
①DE=EF；②四边形DFBE是菱形；③BM=3FM；④=1：14.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】【解答】解：∵矩形ABCD中，O为AC中点，
∴OB=OC.
∵∠COB=60°，
∴△OBC是等边三角形，
∴OB=BC.
∴FO=FC，
∴FB垂直平分OC；
∵△BOC为等边三角形，FO=FC，
∴BO⊥EF，BF⊥OC，
∴∠CMB=∠EOB=90°，
易知△ADE△CBF，∠1=∠2=∠3=30°，
∴∠ADE=∠CBF=30°，∠BEO=60°，
∴ ∠CDE=60°，∠DFE=∠BEO=60°，
∴∠CDE=∠DFE，
∴DE=EF=DF，故①正确；
∴BE=DF
又∵BE//DF
∴四边形DEBF是平行四边形
又∵DE=DF
∴四边形DEBF是菱形，故②正确；
易知△AOE≌△COF，
∴S△AOE=S△COF.
∴S△COF=2S△CMF，
∴S△AOE：S△BCM=2S△CMF：S△BCM=
∵∠FCO=30°，
∴，
∴FM=3BM，故③正确；
∴S△FOM：S△BOM=1：3
∴S△FOM：S△BCM=1：6
∴△FOM：S△ABC=1：12
∴△FOM：S矩形ABCDM=1：24，故④错误。
故答案为：C.
【分析】根据矩形性质可得 OB=OC，再根据等边三角形判定定理可得△OBC是等边三角形，则OB=BC，根据垂直平分线判定定理可得FB垂直平分OC，再根据等边三角形性质可得BO⊥EF，BF⊥OC，根据全等三角形判定定理可得△ADE△CBF，∠1=∠2=∠3=30°，则∠ADE=∠CBF=30°，∠BEO=60°，再根据角之间的关系可得∠CDE=∠DFE，再根据等腰三角形性质可判断①；再根据菱形判定定理可判断②；根据全等三角形性质可得S△AOE=S△COF，再根据三角形面积之间的关系可得S△AOE：S△BCM=2S△CMF：S△BCM=，再根据含30°角的直角三角形性质可得，，则FM=3BM，可判断③；再根据三角形面积之间的关系可判断④.
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图，一架梯子斜靠在墙上，梯子顶端与墙角的距离长为4米，梯子的长为5米，则梯子与墙角的距离为　 　米．
【答案】3
【解析】【解答】解：由题意得，米，米，
∴米，
故答案为：3．
【分析】
本题主要考查了勾股定理的应用，熟知勾股定理的内容是解题关键.
由题意可知：梯子斜靠在墙上可得：∠ACB=90°，即△ACB是直角三角形，其中：梯子AB为斜边，长度AB=5米，墙AC为一条直角边，长度AC=4米，根据勾股定理可得：米 ，由此可得出答案．
12．正八边形每个外角的度数为　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：.
故答案为：.
【分析】多边形的外角和为；正多边形的每一个内角相等.
13．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，若∠ABD=60°，且AB=1，则AC的长为　 　．
【答案】2
【解析】【解答】∵四边形ABCD是矩形，
∴AO=CO=AC，BO=DO=BD，
∵∠ABD=60°，
∴△ABO是等边三角形，
∵AB=1，
∴AO=AB=1，
∴AC=2AO=2×1=2，
故答案为：2.
【分析】利用矩形的性质及∠ABD=60°证出△ABO是等边三角形，再结合AB的长求出AC=2AO=2×1=2即可.
14．若关于的函数是一次函数，则的值为　 　．
【答案】-1
【解析】【解答】m-1≠0，|m|=1得m=-1.
答案：-1
【分析】直接由一次函数的概念求出m的值.
15．已知某组数据的方差为，则的值为　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：由题意知，这组数据为3、4、7、10，
所以这组数据的平均数为，即的值为
故答案为：6．
【分析】根据一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方和的平均数，叫做这组数据的方差可得这组数据为3、4、7、10，再根据平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数即可求解.
16．如图，已知为等边三角形，边长为，点分别是过上的动点，点从点开始沿射线方向运动，同时点从点开始沿射线方向运动，点运动速度始终是点运动速度的倍，以为边向右侧作等边三角形．点是边的中点，连接，则的最小值为　 　．
【答案】
【解析】解：∵点运动速度始终是点运动速度的倍，∴设，则，，
如图，在上截取，连接，，
则，，
∵为等边三角形，
∴，
∵，
∴为等边三角形，
∴，
∵为等边三角形，
∴，
∵，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∴
作射线，如图所示，
在中，，，，
取的中点，连接，
则，
∴，
∴为等边三角形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴是的角平分线，
即：点在的角平分线上运动，
如图所示，作于，此时，最小，
∵是的中点，
∴，
在中，，
∴，
∴的最小值为．
故答案为：．
【分析】在上截取，连接，，根据SAS证得，从而得出HF=BE，DHF=B=60°，从而得出FHC=60°，即可得出为等边三角形，再证明平分， 即：点在的角平分线上运动， 根据垂线段最短，可 作于，此时，最小， 即可求出的最小值．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．计算：
（1）
（2）
【答案】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
【解析】【分析】
(1)根据二次根式的运算法则进行计算即可 ；
(2)先化简各根式，再进行加减计算。
18．如图，一条伸直的橡皮筋的两端被固定在水平桌面上，C是上的一点，，将橡皮筋从C点向上垂直拉升2到D点．
（1）求的长；
（2）判断的形状，并说明理由．
【答案】（1）解：根据题意可得：，
由勾股定理得，.
（2）解：由勾股定理得， ，
∵，
∴，
∴是直角三角形．
【解析】【分析】（1）结合图形并利用勾股定理求出AD的长即可；
（2）先利用勾股定理求出DB的长，再利用勾股定理的逆定理证出是直角三角形即可．
19．从2024年起，佛山市中考英语科听力部分将改为单设英语听说考试．为了适应中考，某校举行了“英语听说”大赛，某班在甲、乙两名同学中选拔一人参加，在相同的测试条件下，两人次测试成绩（单位：分）如下：
甲：，，，，． 乙：，，，，．
（1）下列表格中的　 　，　 　，　 　；
平均数 众数 中位数 方差
甲
乙
（2）班主任根据这次的测试成绩，应选择谁参加大赛更合适，请说明理由．
【答案】（1）28；28；29
（2）解：选甲参加比赛更加合适，
理由：∵甲平均成绩等于乙的平均成绩，且甲的方差较小，即甲的成绩稳定，
∴选甲参加比赛更加合适．
【解析】【解答】解：（1）甲成绩中28分的最多，所以众数a＝28，
乙成绩的平均数为b=，
中位数c＝29；
故答案为：28，28，29；
【分析】（1）利用众数、平均数和方差的定义及计算方法列出算式求解即可；
（2）利用平均数和方差的定义及性质分析求解即可.
20．如图，直线y＝﹣3x+6交x轴和y轴于点A和点B，点C（0，﹣3）在y轴上，连接AC．
（1）求点A和点B的坐标；
（2）若点P是直线AB上一点，若△BCP的面积为18，求点P的坐标；
（3）过点B的作直线BE交x轴于点E（E点在点A右侧），当∠ABE＝45°时，直接写出直线BE的函数表达式．
【答案】（1）解：∵y＝﹣3x+6交轴和y轴于点A和点B，
∴当x＝0时，y＝6；
当y＝﹣3x+6＝0时，解得x＝2，
∴A（2，0），B（0，6）．
（2）解：如图1，连接PC，设点P（a，﹣3a+6）
则，
解得：a＝±4，
∴点P（4，-6）或（﹣4，18）．
（3）解：当∠ABE＝45°，如图2，过点A作AD⊥AB交BE于点D，过点D作DH⊥x轴，
∵∠ABE＝45°，
∴△BAD为等腰直角三角形，
∴AB＝AD，∠BAD＝90°，
∴∠BAO+∠DAH＝90°，∠DAH+∠ADH＝90°，
∴∠BAO＝∠ADH，
在△AOB与△DHA中，
∵，
∴△AOB≌△DHA（AAS），
∵OA＝2，OB＝6，
∴OH＝OA+AH＝2+6＝8，DH＝2，
∴D（8，2），
设直线BE的表达式为y＝kx+b，
将D（8，2），B（0，6），代入得：
，
解得
∴直线BE的表达式为．
【解析】【分析】（1）根据直线与坐标轴相交的特征，将分别代入解析式，求解相应的的值即可求得A、B两点的坐标；
（2）如图1，连接PC，设点P（a，﹣3a+6），根据可得关于a的方程，解方程即可求解；
（3）当∠ABE＝45°，如图2，过点A作AD⊥AB交BE于点D，过点D作DH⊥x轴，△BAD为等腰直角三角形，结合已知，用角角边可证△AOB≌△DHA，由全等三角形的对应边相等可得OA=DH，OB=AH，由线段的和差OH=OA+AH求得OH的值，于是可得点D的坐标，设直线BE的表达式为y＝kx+b，用待定系数法即可求解．
（1）解：∵y＝﹣3x+6交轴和y轴于点A和点B，
∴当x＝0时，y＝6；
当y＝﹣3x+6＝0时，解得x＝2，
∴A（2，0），B（0，6）．
（2）解：如图1，连接PC，设点P（a，﹣3a+6）
则，解得a＝±4，
∴点P（4，-6）或（﹣4，18）．
（3）解：当∠ABE＝45°，如图2，过点A作AD⊥AB交BE于点D，过点D作DH⊥x轴，
∵∠ABE＝45°，
∴△BAD为等腰直角三角形，
∴AB＝AD，∠BAD＝90°，
∴∠BAO+∠DAH＝90°，∠DAH+∠ADH＝90°，
∴∠BAO＝∠ADH，
在△AOB与△DHA中，
∵，
∴△AOB≌△DHA（AAS），
∵OA＝2，OB＝6，
∴OH＝OA+AH＝2+6＝8，DH＝2，
∴D（8，2），
设直线BE的表达式为y＝kx+b，
将D（8，2），B（0，6），代入得，
解得
∴故直线BE的表达式为．
21．如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，且AO＝CO，AD∥BC．
（1）求证：四边形ABCD为平行四边形；
（2）若AB＝10，OA＝6，BD＝16．
①求∠BOA的度数；
②求四边形ABCD的面积．
【答案】（1）证明：∵AD∥BC．，
∴∠DAO＝∠BCO，
在△ADO和△CBO中，
，
∴△ADO≌△CBO（ASA），
∴AD＝BC，
∵AD∥BC，
∴四边形ABCD为平行四边形；
（2）解：①∵OA＝6，OB＝8，AB＝10，OB＝BD＝8，
∴OA2+OB2＝AB2，
∴△AOB是直角三角形，
∴∠BOA＝90°；
②由①可知，AC垂直平分BD，
∴AB＝AD，
∴四边形ABCD是菱形，
∴AC＝2OA＝12，
∴S四边形ABCD＝AC BD＝×12×16＝96．
【解析】【分析】（1）根据已知条件及几何直观易判断多组全等，结合平行四边形的判定，即证已知一组对边AD∥BC的基础上再证AD=BC即可；
（2）①结合（1）中平行四边形的性质及勾股数进而利用勾股定理逆定理得证直角；
②在对角线互相垂直的基础上得出菱形，进而利用菱形的性质求得其面积即可.
22．【定义新运算】
对于正实数a、b，定义运算“⊙”，满足．例如： ．
（1）计算： ， （a为正实数）；
【应用新运算】
（2）对于正实数a、b，若满足，，求a、b的值．
【拓展应用】
（3）如图，记的三边长分别为a、b、c，，，，．若，，求．
【答案】（1），；
（2）解：∵，，
∴
解得
（3）解：，，
，
，，
，
为直角三角形
，
，，
为直角三角形
，
，即
，
，
∴．
【解析】【解答】解：（1），；
故答案为：（1），；
【分析】（1）依据新定义的计算方法分别列式计算即可；
（2）根据新定义的计算方法，先分别列出化简得到3a-2b=8、2a+b=10，此时列式关于a和b的方程组，求解即可；
（3）利用“两直线平行、内错角相等”得出，结合条件推出；此时利用SAS证明，从而推出为直角三角形，继而得出为直角三角形；利用三角形的面积公式求出，勾股定理列式并化简求出ab=6，最后再根据新运算的法则进行计算即可．
23．如图，在平面直角坐标系中，边长为a（a为大于0的常数)的正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点P，顶点A在x轴的正半轴上运动，顶点B在y轴的正半轴上运动（x轴的正半轴、y轴的正半轴都不包含原点O)，顶点C，D都位于第一象限。
（1）当 时，求点P的坐标。
（2）求证：无论点A在x轴的正半轴上、点B在y轴的正半轴上怎样运动，点P都在 的平分线上。
（3）设点P到x轴的距离为h，试确定h的取值范围，并说明理由。
【答案】（1）解：∵四边形ABCD为正方形，
∴PB=PA，∠BPA=90°，∠BAP=45°。
当∠BAO=45°时，∠PAO=90°。
在Rt△AOB中，
在Rt△APB中，
∴点P的坐标为
（2）证明：如图，过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为M，N，则有∠PMA=∠PNB=∠NPM=∠BPA=90°。
∴∠MPA=∠NPB。
又PA=PB，∴△PAM≌△PBN。
∴PM=PN。∴点P在∠AOB的平分线上。
（3）解：当点B与点O重合时，点P到x轴的距离为a/2，然后顶点A在x轴正半轴上向左运动，顶点B在y轴正半轴上向上运动时，点P到x轴的距离逐渐增大，当∠BAO=45°时，PA⊥x轴，这时点P到x轴的距离最大为 ，然后又逐渐减小到。∵x轴的正半轴、y轴的正半轴都不包含原点O，∴点P到x轴的距离h的取值范围是
【解析】【分析】 （1）当∠BAO=45°时，因为四边形ABCD是正方形，P是AC，BD对角线的交点，能证明OAPB是正方形，从而求出P点的坐标．
（2）过P点作x轴和y轴的垂线，可通过三角形全等，证明是角平分线．
（3）因为点P在∠AOB的平分线上，所以h＞0．
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