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北师大版2025—2026学年七年级下册期末聚焦考点押题卷
数 学
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．将一副直角三角板按下图所示各位置摆放，其中∠α和∠β互余的是（　　）
A． B．
C． D．
2．已知，，，则的值是（　　）
A．212 B．54 C．31 D．27
3．不透明的盒子中有5个形状、大小、质地等完全相同的小球，上面分别写着数字1，2，3，4，5.随机从盒子中摸出一个小球，摸出的小球上面的数字是奇数的概率是（　　）
A． B． C． D．
4．如图，的面积是，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交、于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线，过点C作于点D，连接，则的面积是（　　）
A． B． C． D．
5．如图，正方形网格中，利用图形的轴对称设计了一个“蝴蝶”的平面图案，直线l 是它的对称轴，下列结论中：①∠AOD+∠BOC=180°；②∠BOF=∠COE；③∠BOC=∠AOB；④∠BOD=90°。正确结论的个数是 （　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
6．下列长度的三根小木棒能构成三角形的是（　　）
A．2cm，3cm，5cm B．7cm，4cm，2cm
C．3cm，4cm，5cm D．3cm，4cm，8cm
7．在等式□中，“□”所表示的代数式为（　　）
A． B． C． D．
8．每年10月16日为世界粮食日，它告诫人们要珍惜每一粒粮食．已知一粒米的重量约0.000021千克，将数据0.000021用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
9．如图，，点在上，且，点到射线的距离为，点在射线上，．若的形状，大小是唯一确定的，则的取值范围是（　　）
A．或 B． C． D．或
10．下列说法中：①三角形三边高线的交点一定在三角形内部；②八边形有20条对角线；③两个连续偶数的平方差一定是8的倍数；④无论x取何值，代数式的值一定是正数.正确的有（　　）
A．②④ B．①② C．①③ D．③④
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图，在长方形中，厘米，厘米，四边形的面积是3平方厘米，阴影部分的面积和是　 　平方厘米．
12．已知：，则　 　.
13．计算：　 　．
14． 如图， 是直线 A B 上的一点， O C， O D 分别平分 ， 则所有与 互余的角是　 　
15．深圳某校举办了“博古通今，学史明智”的历史事件讲述大赛，选题有“鸦片战争”“香港回归”“改革开放”．八、九年级分别从中随机选择一个不同事件进行比赛，则八、九年级所选的历史事件都发生于新中国成立以后的概率为 　 　．
16．如图，在四边形中，．若的角平分线交于，连接，且边平分，得到如下结论：①；②；③；④若，则的取值范围为，那么以上结论正确的是　 　．（填序号）
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．计算：
（1）；
（2）．
18．在某校七年级（1）班组织的“校园歌曲大赛”活动中，小丽和小芳都想当节目主持人，但现在只有一个名额，小芳想出了一个用游戏来选人的办法，她将一个转盘（均质的)平均分成 6份，如图所示. 游戏规定：随意转动转盘，当转盘停止后，若指针指向偶数，则小丽去；反之，则小芳去.
（1）求小丽获胜的概率是多少
（2）你认为这个游戏公平吗 请说明理由，若不公平，如何使这个游戏变得公平
19．图1是一把多功能对角尺，图2是其示意图，点O在线段AB上，∠DOE是 的补角， OA 平分∠COD。
（1） 若∠DOE为直角， 求∠BOE 的度数。
（2） 若∠DOE-2∠BOE=40°， 求∠BOC 的度数。
20．如图，分别交于点．
（1）若，求的度数．
（2）若和的平分线交于点，探索和之间满足的等量关系，并说明理由．
21．如图在中、，分别垂直平分边和边，交边于、两点、与所在直线相交于点．
（1）若、求的周长；
（2）若，求的度数．
22．由于惯性的作用，行驶中的汽车在刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停止，这段距离称为“刹车距离”．为了测定某种型号小型载客汽车的刹车性能，车速不超过对这种型号的汽车进行了测试，测得的数据如下表：
刹车时车速 0 10 20 30 40 50 …
刹车距离 0 5 10 …
请回答下列问题：
（1）在这个变化过程中，自变量是　 　，因变量是　 　；
（2）当刹车时车速为时，刹车距离是多少米？
（3）观察表中数据可知，当刹车时车速每增加时，刹车距离增加多少米？该型号汽车某次的刹车距离为，推测刹车时的车速是多少？
23．“杨辉三角”是我国古代数学的杰出研究成果之一，它揭示了展开式的规律．如图，是杨辉三角的一部分（两条斜边上的数都是1，其余每个数为它上方（左右）的两数之和），它把乘方展开式系数图形化，它可以指导我们按规律写出形如（为正整数）展开式各项的系数，请你仔细观察下列等式中的规律，并利用杨辉三角解决下列问题．
（1）按以上规则，展开式共有 项，第三项（字母部分为）的系数是 ；
（2）我们在对的推演过程中，是将中的“”代换成“”，可得；利用杨辉三角，写出的展开式 ；进而写出的展开式 ；
（3）若，请求出的值．
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北师大版2025—2026学年七年级下册期末聚焦考点押题卷
数 学
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．将一副直角三角板按下图所示各位置摆放，其中∠α和∠β互余的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解： 故此选项符合题意；
故此选项不符合题意；
故此选项不符合题意；
故此选项不符合题意；
故答案为： A.
【分析】根据余角的定义逐项判断即可.
2．已知，，，则的值是（　　）
A．212 B．54 C．31 D．27
【答案】B
【解析】【解答】解：，，，
∴8m=(23)m=(2m)3=33=27，82n=(82)n=64n=(43)n=(4n)3=23=8，
=54.
故答案为：B．
【分析】根据已知条件可得 8m=(23)m=(2m)3=33=27，82n=8，再代入即可.
3．不透明的盒子中有5个形状、大小、质地等完全相同的小球，上面分别写着数字1，2，3，4，5.随机从盒子中摸出一个小球，摸出的小球上面的数字是奇数的概率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：∵盒子中共有5个小球，这是所有可能出现的结果，即总情况数为5，
又∵其中数字为奇数的小球分别是1、3、5，共3个，这是符合“摸出奇数”这一条件的情况数，∴摸出数字是奇数的概率为.
故答案为：C.
【分析】本题考查概率公式的实际应用，解题思路是先明确概率计算的核心是找出总情况数和符合目标条件的情况数。首先确定摸球的总结果数为小球的总数5，再从数字中筛选出奇数，统计其个数为3，最后用符合条件的个数除以总个数，即可得到所求概率。
4．如图，的面积是，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交、于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线，过点C作于点D，连接，则的面积是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：如图所示，延长交于，
由作图可得，平分，
，
又，
，
又，
，
，S△ACD=S△ADE，
∴S△DBC=S△BDE，
，
故答案为：B．
【分析】延长交于，由尺规作图过程可得AP平分∠BAC，则∠CAD=∠EAD，由垂直定义得∠ADC=∠ADE，从而由“ASA”可证，由全等三角形性质得CD=ED，S△ACD=S△ADE，由等底同高三角形面积相等得S△DBC=S△BDE，据此可得．
5．如图，正方形网格中，利用图形的轴对称设计了一个“蝴蝶”的平面图案，直线l 是它的对称轴，下列结论中：①∠AOD+∠BOC=180°；②∠BOF=∠COE；③∠BOC=∠AOB；④∠BOD=90°。正确结论的个数是 （　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【解析】【解答】解：如图，
由图形可知： ∠IOA =∠BOG =∠GOC =∠HOD，
则∠AOD +∠BOC =∠AOD +∠BOG +∠GOC =∠AOD +∠IOA +∠DOH =180°，即①正确；
由图形可知： ∠BOE =∠COF，则∠BOE +∠BOF =∠COF +∠BOF，
∴∠BOF =∠COE，即②正确；
由OB = OB，OA = OC，但AB≠BC，则△BOC与△AOB不全等，
∴∠BOC ≠∠AOB，故③错误；
由图形可知： ∠BOG =∠HOD，则∠BOD =∠BOG +∠GOD =∠HOD +∠GOD =90°，即④正确.
综上，正确的有3个.
故答案为：B.
【分析】根据轴对称的性质，结合全等三角形的判定与性质、角的和差以及等量代换逐个判断即可.
6．下列长度的三根小木棒能构成三角形的是（　　）
A．2cm，3cm，5cm B．7cm，4cm，2cm
C．3cm，4cm，5cm D．3cm，4cm，8cm
【答案】C
【解析】【解答】解：A.，该选项的三根小木棒不能构成三角形；
B.，该选项的三根小木棒不能构成三角形；
C. ，，该选项的三根小木棒能构成三角形；
D. ，该选项的三根小木棒不能构成三角形；
故答案为：C．
【分析】利用三角形的三边关系计算求解即可。
7．在等式□中，“□”所表示的代数式为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：由题意得：
“□”所表示的代数式为
；
故答案为：D．
【分析】利用同底数幂的除法计算即可。
8．每年10月16日为世界粮食日，它告诫人们要珍惜每一粒粮食．已知一粒米的重量约0.000021千克，将数据0.000021用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：根据题意，得．
故答案为：A．
【分析】用科学记数法表示大于0且小于1的数，一般表示成a×10-n的形式，其中1≤a＜10，n等原数左边第一个非0数字前面所有0的个数，包括小数点前面的那个0，根据方法即可得出答案.
9．如图，，点在上，且，点到射线的距离为，点在射线上，．若的形状，大小是唯一确定的，则的取值范围是（　　）
A．或 B． C． D．或
【答案】A
【解析】【解答】解：当MP⊥OA时，即MP=x=a时，△OMP是直角三角形，
当a＜x＜6时，MP与OA的交点有2个，即△OMP有两个，
当x≥6时，MP与OA的交点有1个，即△OMP有1个，
∴x的范围是x=a或x≥6；
故答案为：A.
【分析】分别找出x=a，a＜x＜6，x≥6时，三角形是不是唯一的即可.
10．下列说法中：①三角形三边高线的交点一定在三角形内部；②八边形有20条对角线；③两个连续偶数的平方差一定是8的倍数；④无论x取何值，代数式的值一定是正数.正确的有（　　）
A．②④ B．①② C．①③ D．③④
【答案】A
【解析】【解答】① 钝角三角形三边高的交点在三角形外部，故①错误；
② n 边形一共有 条对角线，八边型有条对角线，故②正确；
③ 设两个连续的偶数分别为2n和2n+2，则两个连续的偶数的平方差为：
（2n+2）2-（2 n）2=（4n2+8n+4）-4n2=4n2+8n+4-4n2=8n+4=4（2n+1），不是8的倍数；故③错误；
④ 2x2-2x+1=x2+x2-2x+1=x2+(x2-2x+1)=x2+（x-1）2，因为任何数的平方的结果都是非负数，且x2和（x-1）2不可能同时为零，所以x2+（x-1）2的值一定是正数，故④正确；
故本题应选：A
【分析】①画出锐角、钝角、直角三角形的高观察不同三角形中三角条高的交点位置；② n 边形一共有 条对角线，把边数代入公式计算即可；③设两个连续的偶数分别为2n和2n+2，用式子表示两个连续的偶数的平方差，再化简判断即可；④任何数的平方结果都是非负数；
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图，在长方形中，厘米，厘米，四边形的面积是3平方厘米，阴影部分的面积和是　 　平方厘米．
【答案】15
【解析】【解答】解：（平方厘米），
（平方厘米），（平方厘米）．
∵，
∴， 同理，
∴（ 平方厘米），
故答案为：15．
【分析】根据等底等高的三角形面积相等，将阴影部分重新组合，从而利用已知条件求得阴影部分的面积．由题意可知，则，同理，因此，即可求出答案.
12．已知：，则　 　.
【答案】27
【解析】【解答】解：∵，
∴，
，
∴，
故答案为：．
【分析】由完全平方公式变形可得：，据此求解。
13．计算：　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：原式=。
答案：.
【分析】分别用多项式的每一项除以3x，即得结果.
14． 如图， 是直线 A B 上的一点， O C， O D 分别平分 ， 则所有与 互余的角是　 　
【答案】∠DOP或∠BOD
【解析】【解答】解：∵OC，OD分别平分，
∴
∵
∴
∴与∠COP互余的角是∠DOP和∠BOD
故答案为：∠DOP或∠BOD.
【分析】根据角平分线的定义得到：结合平角的定义得到：进而即可求解.
15．深圳某校举办了“博古通今，学史明智”的历史事件讲述大赛，选题有“鸦片战争”“香港回归”“改革开放”．八、九年级分别从中随机选择一个不同事件进行比赛，则八、九年级所选的历史事件都发生于新中国成立以后的概率为 　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：“香港回归”和“改革开放”发生于新中国成立以后.将“鸦片战争”，“香港回归”，“改革开放”分别记为A， B， C，列树状图如图所示：
共有6种可能的情况，其中八九年级选择新中国成立之后的事件的情况有：（B，C），(C，B)，所以 八、九年级所选的历史事件都发生于新中国成立以后的概率为 .
故答案为：.
【分析】根据题意列树状图表示出所有可能情况，并数出满足条件的情况数，再利用简单事件的概率求解即可.
16．如图，在四边形中，．若的角平分线交于，连接，且边平分，得到如下结论：①；②；③；④若，则的取值范围为，那么以上结论正确的是　 　．（填序号）
【答案】①②④
【解析】【解答】解：，
，
、分别是与的平分线，
，，
，
，
故①正确；
如图，延长交延长线于，
，
，
平分，
，
在与中，
，
，
，，
，
∴，
在与中，
，
，
，
，故②正确；
，
，即点为的中点，
与不一定相等，
与不一定相等，故③错误；
，，
的取值范围为，故④正确；
综上所述，正确的有①②④；
故答案为：①②④．
【分析】根据两直线平行，同旁内角互补可得，根据角平分线的定义可得，，，可以推出，即可判断①；延长交的延长线于点F，先根据ASA证明和，即可判断①②④正确．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：
；
（2）解：
．
【解析】【分析】本题考查同底数幂相乘、积的乘方和实数运算。掌握基础知识是关键，同底数幂相乘，底数不变，指数相加。除0以外，任何数的零次方都是1，，
18．在某校七年级（1）班组织的“校园歌曲大赛”活动中，小丽和小芳都想当节目主持人，但现在只有一个名额，小芳想出了一个用游戏来选人的办法，她将一个转盘（均质的)平均分成 6份，如图所示. 游戏规定：随意转动转盘，当转盘停止后，若指针指向偶数，则小丽去；反之，则小芳去.
（1）求小丽获胜的概率是多少
（2）你认为这个游戏公平吗 请说明理由，若不公平，如何使这个游戏变得公平
【答案】（1）解：∵共有6种等可能的情况数，偶数的个数是4个，
∴小丽获胜的概率==.
（2）解：这个游戏不公平，理由如下：
由（1）可知，小丽获胜的概率是
∵转盘上的奇数有 2个，即 5、7，
∴小芳获胜的概率为
∴小丽获胜的概率≠小芳获胜的概率，
∴这个游戏不公平；修改方案：将转盘上的数字改为 1、2、3、4、5、6（答案不唯一)，此时，小丽获胜的概率 小芳获胜的概率
∴小丽获胜的概率=小芳获胜的概率，游戏公平
【解析】【分析】（1）先求出所有符合条件的情况数，再利用概率公式求解即可；
（2）先分别求出小芳和小丽获胜的概率，再比较大小即可.
19．图1是一把多功能对角尺，图2是其示意图，点O在线段AB上，∠DOE是 的补角， OA 平分∠COD。
（1） 若∠DOE为直角， 求∠BOE 的度数。
（2） 若∠DOE-2∠BOE=40°， 求∠BOC 的度数。
【答案】（1）解：∵∠DOE为直角，
∴∠DOE=90°。
∵∠DOE 是∠COD 的补角，
∴∠COD=180°-∠DOE=90°，
∵OA平分∠COD，
∴
∴∠BOE=180°-∠AOD-∠DOE=180°-45°-90°=45°
（2）解：设∠BOE=x， 则∠DOE=2x+40°。
∵∠AOC+∠AOE=∠BOE+∠AOE=180°，
∴∠AOC=∠BOE=x。
∵OA平分∠COD，
∴∠AOD=∠AOC=x。
∴x+(2x+40°) +x=180°， 解得x=35°
∴
【解析】【分析】(1)利用补角定义求出∠COD的度数，由角平分线的概念可求∠AOD，进而计算出∠BOE的度数；
(2)设未知数表示∠BOE， ∠DOE，利用同角的补角相等可得∠AOC=∠BOE，根据三角形内角和定理建立方程求解。
20．如图，分别交于点．
（1）若，求的度数．
（2）若和的平分线交于点，探索和之间满足的等量关系，并说明理由．
【答案】（1）解：，
．
，
．
（2）解：．理由：
，
．
和的平分线交于点，
，
．
【解析】【分析】（1）先根据补角的定义求出∠BGF的度数，再由平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补可求出∠DHF的度数；
（2）先根据平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补，得出，再由角平分线的定义即可得出结论；
21．如图在中、，分别垂直平分边和边，交边于、两点、与所在直线相交于点．
（1）若、求的周长；
（2）若，求的度数．
【答案】（1）解：，分别垂直平分边和边，
，，
的周长；
（2）解：，分别垂直平分边和边，
，
，
，
，
，，
，，
，
．
【解析】【分析】（1）利用线段垂直平分线的性质可证得MC=MA，NC=NB，可推出△CMN的周长就是AB的长.
（2）利用垂直的定义和四边形的内角和定理求出∠ACB的度数，利用三角形的内角和定理可求出∠A+∠B的度数，再利用等边对等角，可证得∠MCA=∠A，∠NCB=∠B，然后求出∠MCN的度数.
22．由于惯性的作用，行驶中的汽车在刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停止，这段距离称为“刹车距离”．为了测定某种型号小型载客汽车的刹车性能，车速不超过对这种型号的汽车进行了测试，测得的数据如下表：
刹车时车速 0 10 20 30 40 50 …
刹车距离 0 5 10 …
请回答下列问题：
（1）在这个变化过程中，自变量是　 　，因变量是　 　；
（2）当刹车时车速为时，刹车距离是多少米？
（3）观察表中数据可知，当刹车时车速每增加时，刹车距离增加多少米？该型号汽车某次的刹车距离为，推测刹车时的车速是多少？
【答案】（1）刹车时车速；刹车距离
（2）解：由表格中的数据可知，当刹车时车速为时，刹车距离是；
（3）解：由表格中的数据可知，当刹车时车速每增加时，刹车距离增加，
∴20÷2.5×10=80km/h
∴该型号汽车某次的刹车距离为，测刹车时的车速是．
【解析】【解答】解：（1）由表可知，刹车距离s是随着刹车时车速v增大而增大，所以自变量是刹车时车速v， 因变量是刹车距离s；
故答案为：刹车时车速；刹车距离；
【分析】（1）结合问题运用函数的概念进行求解；
（2）运用表格中数据进行求解；
（3）由表格中的数据可知，当刹车时车速每增加10km/h时，刹车距离增加2.5，故用刹车的距离除以2.5再乘以10可求出答案.
23．“杨辉三角”是我国古代数学的杰出研究成果之一，它揭示了展开式的规律．如图，是杨辉三角的一部分（两条斜边上的数都是1，其余每个数为它上方（左右）的两数之和），它把乘方展开式系数图形化，它可以指导我们按规律写出形如（为正整数）展开式各项的系数，请你仔细观察下列等式中的规律，并利用杨辉三角解决下列问题．
（1）按以上规则，展开式共有 项，第三项（字母部分为）的系数是 ；
（2）我们在对的推演过程中，是将中的“”代换成“”，可得；利用杨辉三角，写出的展开式 ；进而写出的展开式 ；
（3）若，请求出的值．
【答案】（1） ，
（2）；
（3）解：∵，当时，
∴
即①
当时，
即②
①+②得，
即
∴
【解析】【解答】（1）解：由题中规律可知，结合杨辉三角形：
，展开式共有5项，第三项（字母部分为）的系数是6，
故答案为：5 ，6；
（2）由题中规律可知，结合杨辉三角形：
；
将等式中的“”代换成“”，得到
；
故答案为：；；
【分析】本题以杨辉三角为背景，考查了二项式展开式的系数规律、代数式代换求展开式及赋值法求系数和。
（1）根据杨辉三角的系数规律，写出 的展开式，确定项数和指定项的系数。
（2）利用杨辉三角写出 的展开式，再将 b 替换为 -b 得到 的展开式。
（3）分别令 x=1 和 x=-1 得到两个等式，相加后消去奇次项系数，求出偶次项系数之和。
（1）解：由题中规律可知，结合杨辉三角形：
，展开式共有5项，第三项（字母部分为）的系数是6，
故答案为：5 ，6；
（2）由题中规律可知，结合杨辉三角形：
；
将等式中的“”代换成“”，得到
；
故答案为：；；
（3）解：∵，
当时，
∴
即①
当时，
即②
①+②得，
即
∴
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