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北师大版2025—2026学年八年级下册期末考前抢分押题卷
数 学
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1． 若一次函数y=(4-3k)x-2的图象经过点A(x1，y1)和点B(x2，y2)，当 时， y1 < y2 ，则k的取值范围是（　　）.
A． B． C． D．
2．已知等腰三角形的两边长分别为3和6，则这个等腰三角形的周长为（　　）
A．11 B．12 C．15 D．12或15
3．在四边形ABCD中，∠A与∠C互补，∠B=120°，则∠D=（　　）
A．60° B．90° C．120° D．150°
4．下面各式从左到右的变形，属于因式分解的是（　　）
A． B．
C． D．
5．如图，在四边形ABCD中，∠A+∠D=α，∠ABC的平分线与∠BCD的平分线交于点P，则∠P=（　　）
A．90°-α B．90°+ α C． D．360°-α
6．茅洲河的治理，实现了水清、岸绿、景美．某工程队承担茅洲河某段3000米河道的清淤任务，为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，实际施工时每天的工效比原计划增加，结果提前30天完成这一任务．设原计划每天完成x米的清淤任务，则所列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
7．下列命题属于真命题的是（ ）
A．三个角对应相等的两个三角形全等
B．面积相等的两个三角形全等
C．三个角都相等的三角形是等边三角形
D．两个相等的角是对顶角
8．一个正多边形每个外角都等于，若用这种多边形拼接地板，需与下列哪种正多边形组合（　　）
A．正四边形 B．正六边形 C．正八边形 D．正三角形
9．如图，△ABC的面积为1，分别取AC、BC两边的中点A1、B1，则四边形A1ABB1的面积为，再分别取A1C、B1C的中点A2、B2，取A2C、B2C的中点A3、B3，依次取下去…利用这一图形，能直观地计算出（　　）
A．1 B． C． D．
10．已知如图等腰，，，于点D，点P是延长线上一点，点O是线段上一点，．下面的结论：①；②是等边三角形；③；④；其中正确的有（　　）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．若关于的不等式组无解，则的取值范围是　 　．
12．如图，在中，，的垂直平分线分别交，于点和，平分，，　 　．
13．如图，在平面直角坐标系中，点在轴负半轴上，点的坐标为，．以点为圆心，线段的长为半径画弧，交轴正半轴于点，则点的坐标为　 　．
14．如图所示为某城市几条道路的位置关系，道路与道路平行，．城市规划部门计划新修一条道路，要求，则的度数是　 　．
15．已知：，，，则的值为　 　.
16．二月开学季来临，某文具店在2月上旬推出了A、B、C三种不同主题的开学大礼包．已知二月上旬A、B、C三种主题大礼包售价之比为2：4：5，销量之比为7：1：2．开学后不久，根据市场需求，在二月下旬文具店老板对三种主题大礼包售价进行了调整，其中B主题大礼包售价比二月上旬降低了，C主题大礼包在2月上旬售价的基础上打八折，从而使得B、C两种主题大礼包销售额相较于二月上旬有所增加，A主题大礼包销售额相较于二月上旬有所下降．若A主题大礼包减少的销售额与B、C两种主题大礼包增加的销售额之比为4：7：5，且A主题大礼包减少的销售额占二月下旬三种主题大礼包总销售额的，则二月下旬B、C两种主题大礼包的销量之比为　 　．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．解下列不等式（组）：
（1）
（2）．
18．近年来光伏建筑一体化广受关注．某社区拟修建，两种光伏车棚．已知修建个A种光伏车棚需投资万元，个种光伏车棚需投资万元，若修建，两种光伏车棚共个，要求修建的种光伏车棚的数量不少于修建的种光伏车棚数量的倍．设修建种光伏车棚个，修建车棚总费用为万元．
（1）求出（万元）关于（个）的函数关系式，并求出自变量的取值范围；
（2）修建多少个种光伏车棚时，可使投资总额最少？最少投资总额为多少万元？
19． 如图，在四边形 ABCD 中，，，对角线 AC，BD 交于点 O.
（1） 求证：四边形 ABCD 是平行四边形；
（2） 若 ，，，则 AC 的长为　 　；BD 的长为　 　.
20．仔细阅读下面例题，解答问题：
例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值．
解：设另一个因式为，得，则
∴
解得：，．∴另一个因式为，m的值为．
问题：仿照以上方法解答下面问题：
（1）若，则______；
（2）已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及p的值．
21．如图，将绕点A逆时针旋转得到，点E恰好落在边上，与相交于点G，．
（1）求的长；
（2）若，求的度数．
22．“互联网+”助力乡村全面振兴．石家庄市某网络销售商在“双十一”举行促销活动，在11月11日销售甲、乙、丙三种农产品时，记录了如下统计信息：
信息1：乙商品销售单价比甲商品多5元/千克，丙商品销售单价是甲商品的3倍；
信息2：用270元购买丙商品的质量是用60元购买乙商品质量的3倍；
（1）若设甲商品销售单价为元/千克，请依据上述信息填表；
　 销售单价（元/千克） 质量（千克） 销售总价（元）
乙 　 　 60元
丙 　 　 270元
（2）求11月11日当天甲、乙、丙商品销售单价分别为多少元/千克？
（3）“双十一”促销活动结束后，该销售商将三种商品的销售单价在（2）的基础上每千克提高了元（为整数且）．嘉嘉花200元购买甲商品，再花200元购买丙商品，琪琪花400元购买乙商品，设嘉嘉购买商品的质量之和为，设琪琪购买商品的质量为，直接写出的最大值．
23．如图，在中，，点是CB上一动点，点在AD的延长线上，且，平分交DE于，连接BF．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，时，求证：；
（3）如图3，当时，过点作AB的垂线，过点作AB的平行线，两直线l，n相交于，连接ME．当ME取得最大值时，请直接写出此时的值．
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北师大版2025—2026学年八年级下册期末考前抢分押题卷
数 学
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1． 若一次函数y=(4-3k)x-2的图象经过点A(x1，y1)和点B(x2，y2)，当 时， y1 < y2 ，则k的取值范围是（　　）.
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】 解：根据题意，当 x 1 > x 2 时， y1 < y2 ，
∴函数为减函数，
∴4 3 k < 0，
解得 k > ，
故答案为：D.
【分析】 根据函数单调性及题意知函数为减函数，即 4 3 k < 0 ，解不等式得 k 的取值范围.
2．已知等腰三角形的两边长分别为3和6，则这个等腰三角形的周长为（　　）
A．11 B．12 C．15 D．12或15
【答案】C
【解析】【解答】解：当腰为3时，三边分别为3、3、6，
∵3+3=6，∴不能构成三角形，故不符合题意；
当腰为6时，三边分别为3、6、6，
∵3+6＞9，∴能构成三角形，故符合题意，
∴ 这个等腰三角形的周长为：3+6+6=15；
故答案为：C.
【分析】分两种情况：当腰为3或6时，然后根据等腰三角形的性质及三角形三边关系进行解答即可.
3．在四边形ABCD中，∠A与∠C互补，∠B=120°，则∠D=（　　）
A．60° B．90° C．120° D．150°
【答案】A
【解析】【解答】解：∵ ∠A与∠C互补，
∴∠A+∠C=180°，
∵四边形ABCD中，∠A+∠B+∠C+∠D=360°，∠B=120°，
∴∠D=360°-180°-120°=60°，
故答案为：A.
【分析】利用补角的概念可求出∠A+∠C的度数，利用四边形的内角和为360°可求出∠D的度数.
4．下面各式从左到右的变形，属于因式分解的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：x2-x-1=x(x-1)-1中等号右边不是积的形式，则A不符合题意，
x2-1≠(x-1)2，则B不符合题意，
x2-x-6=(x-3)(x+2)符合因式分解的定义，则C符合题意，
a2-b2+1=(a+b)(a-b)+1中等号右边不是积的形式，则D不符合题意，
故答案为：C.
【分析】把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式，据此进行判断即可.
5．如图，在四边形ABCD中，∠A+∠D=α，∠ABC的平分线与∠BCD的平分线交于点P，则∠P=（　　）
A．90°-α B．90°+ α C． D．360°-α
【答案】C
【解析】【解答】解：四边形中，，
和分别为、的平分线，
，
则．
故答案为：C．
【分析】根据四边形内角和定理可得，再根据角平分线定义可得，再根据三角形内角和定理即可求出答案.
6．茅洲河的治理，实现了水清、岸绿、景美．某工程队承担茅洲河某段3000米河道的清淤任务，为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，实际施工时每天的工效比原计划增加，结果提前30天完成这一任务．设原计划每天完成x米的清淤任务，则所列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：由题意，得
．
故答案为：D．
【分析】根据提前30天完成这一任务列方程即可．
7．下列命题属于真命题的是（ ）
A．三个角对应相等的两个三角形全等
B．面积相等的两个三角形全等
C．三个角都相等的三角形是等边三角形
D．两个相等的角是对顶角
【答案】C
【解析】【解答】解：A.三个角对应相等的两个三角形相似，则此命题不正确，是假命题，故A不符合题意；
B.面积相等只能说明两个三角形的面积相同，无法推断出它们的形状或边长完全一致，则此命题不正确，是假命题，故B不符合题意；
C.三个角都相等的三角形是等边三角形，是真命题，故C符合题意；
D.两个相等的角不一定是对顶角，此命题不正确，故D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】A，B选项根据全等三角形的判定方法即可判断；C选项根据等边三角形的判定方法即可判断；D选项根据对顶角的定义判断即可.
8．一个正多边形每个外角都等于，若用这种多边形拼接地板，需与下列哪种正多边形组合（　　）
A．正四边形 B．正六边形 C．正八边形 D．正三角形
【答案】D
【解析】【解答】解：∵一个正多边形每个外角都等于
∴这个正多边形的一个内角的度数为：，
A、正四边形的每个内角是，无法与拼接成360度，故选项A不符合题意；
B、正六边形的每个内角是，无法与拼接成360度，故选项B不符合题意；
C、正八边形的每个内角是，无法与拼接成360度，故选项C不符合题意；
D、正三角形每个内角是60度，则，与拼接成360度，故选项D符合题意；
故答案为：D
【分析】先算出一个正多边形每个内角的度数，再结合拼接地板要形成360度，即可作答．
9．如图，△ABC的面积为1，分别取AC、BC两边的中点A1、B1，则四边形A1ABB1的面积为，再分别取A1C、B1C的中点A2、B2，取A2C、B2C的中点A3、B3，依次取下去…利用这一图形，能直观地计算出（　　）
A．1 B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：∵A1、B1分别是AC、BC两边的中点，且△ABC的面积为1，
∴△A1B1C
的面积为
∴四边形A1ABB1的面积=△ABC的面积-△A1B1C的面积
；
∴四边形A2A1B1B2的面积=的面积-的面积
…
∴第n个四边形的面积
∴
故答案为C
【分析】本题考查的是图形面积的规律探究，由中位线性质得出每次截取后小三角形面积为前一个的，将所求式子转化为总面积减去最后剩余小三角形的面积，进而推导求和公式.
10．已知如图等腰，，，于点D，点P是延长线上一点，点O是线段上一点，．下面的结论：①；②是等边三角形；③；④；其中正确的有（　　）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
【答案】D
【解析】【解答】解：①如图，过点作于，于，过点作于，
∴，
∵，，，
∴，，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，故①正确；
②∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴是等边三角形，故②正确；
③在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，故③正确；
④∵，
∴，
又∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，故④正确；
综上所述，正确的有①②③④，
故答案为：D．
【分析】过点作于，于，过点作于，根据等腰三角形“三线合一”性质以及三角形内角和定理得，，，从而根据角平分线性质得，进而证明，得，于是根据角的和差关系得，即可得①正确；由①中的全等三角形得，从而得，求出，则，于是证明是等边三角形，即可得②正确；证明，得，根据含30°的直角三角形的性质得，由①中的全等三角形得，根据线段的和差关系得，即可得③正确；求出，根据角平分线性质得，利用三角形面积公式得到，即可得④正确.
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．若关于的不等式组无解，则的取值范围是　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：，
解不等式得：，
解不等式得：，
关于的不等式组无解，
，
，
故答案为：．
【分析】先分别求出每个不等式组的解集，要使x的不等式无解，则，解出的取值范围即可．
12．如图，在中，，的垂直平分线分别交，于点和，平分，，　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：∵垂直平分，
∴，
∴，
∵平分，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】
根据垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等，可得AD=CD=5，由于CD平分∠ACB，根据角平分线的定义可得∠ACD=∠BCD，由于AD=CD，根据等边对等角可知∠ACD=∠A，进而得到∠ACD=∠BCD=∠A，Rt△ABC中，∠B=90°，根据三角形内角和为180°，可得∠A+∠ACB=180° ∠B=90°，即∠A+∠ACD+∠BCD=90°，进而得到∠A=∠ACD=∠BCD=30°，最后利用直角三角形中30° 角所对直角边的性质求出BD的长度。
13．如图，在平面直角坐标系中，点在轴负半轴上，点的坐标为，．以点为圆心，线段的长为半径画弧，交轴正半轴于点，则点的坐标为　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：如图，连接，
点的坐标为，
，
∵，
∴，
∴点A的坐标为，
由同圆半径相等得：，
是等腰三角形，
，
，
又点位于轴正半轴，
点的坐标为，
故答案为：．
【分析】
连接，先根据点B的坐标可得，再根据等腰三角形的判定可得，是等腰三角形，然后根据等腰三角形的三线合一可得，最后根据点C在x轴正半轴上的位置特点，确定点C的坐标即可得出答案．
14．如图所示为某城市几条道路的位置关系，道路与道路平行，．城市规划部门计划新修一条道路，要求，则的度数是　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：，
，
，，
，
．
故答案为：．
【分析】根据直线平行性质可得，再根据三角形内角和定理即可求出答案.
15．已知：，，，则的值为　 　.
【答案】-2
【解析】【解答】解：∵，，，
∴，，，
整理得，①，②，③，
①+②+③得，，
∴，
∴，
∴
故答案为：-2.
【分析】先将该题中所有分式的分子和分母颠倒位置，化简后求出的值，从而得出代数式的值.
16．二月开学季来临，某文具店在2月上旬推出了A、B、C三种不同主题的开学大礼包．已知二月上旬A、B、C三种主题大礼包售价之比为2：4：5，销量之比为7：1：2．开学后不久，根据市场需求，在二月下旬文具店老板对三种主题大礼包售价进行了调整，其中B主题大礼包售价比二月上旬降低了，C主题大礼包在2月上旬售价的基础上打八折，从而使得B、C两种主题大礼包销售额相较于二月上旬有所增加，A主题大礼包销售额相较于二月上旬有所下降．若A主题大礼包减少的销售额与B、C两种主题大礼包增加的销售额之比为4：7：5，且A主题大礼包减少的销售额占二月下旬三种主题大礼包总销售额的，则二月下旬B、C两种主题大礼包的销量之比为　 　．
【答案】4：5
【解析】【解答】解：设2月上旬推出了A、B、C三种不同主题的大礼包售价为2x，4x，5x，销量为7y，y，2y，2月下旬B主题大礼包售价为 ，C主题大礼包售价为A主题大礼包减少的销售额与B、C两大主题增加的销售额分别为4a，7a，5a，根据题意得，
∴2月下旬B、C两种主题大礼包的销售额分别为
∴2月下旬B、C两种主题大礼包的销售之比为
故答案为： 4：5 .
【分析】本题考查分式方程的应用，设2月上旬推出了A、B、C三种不同主题的大礼包售价为2x，4x，5x，销量为7y，y，2y， 二月下旬A主题大礼包减少的销售额与B、C两大主题大礼包增加的销售额分别为4a，7a，5a，根据2月下旬A主题大礼包减少的销售额占二月下旬三种主题大礼包总销售额的 列出方程，然后分别求出2月下旬B、C两种主题大礼包的销售额，进而求出2月下旬B、C两种主题大礼包的销售量，即可得出答案。
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．解下列不等式（组）：
（1）
（2）．
【答案】（1）解：
∴，
∴；
（2）解：，解不等式①，得，
解不等式②，得，
∴不等式组的解集为．
【解析】【分析】（1）移项，合并同类项，系数化为1解一元一次不等式即可；
（2）分别求出两个不等式的解集，然后根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，小小大大找不到”求出不等式组的解集即可．
18．近年来光伏建筑一体化广受关注．某社区拟修建，两种光伏车棚．已知修建个A种光伏车棚需投资万元，个种光伏车棚需投资万元，若修建，两种光伏车棚共个，要求修建的种光伏车棚的数量不少于修建的种光伏车棚数量的倍．设修建种光伏车棚个，修建车棚总费用为万元．
（1）求出（万元）关于（个）的函数关系式，并求出自变量的取值范围；
（2）修建多少个种光伏车棚时，可使投资总额最少？最少投资总额为多少万元？
【答案】（1）解：由题意可得，，
∵要求修建的种光伏车棚的数量不少于修建的种光伏车棚数量的倍．
∴，
解得：，
即（万元）关于（个）的函数关系式是（且为整数）；
（2）解：由（1）知：，
∴随的增大而增大，
∵且为整数，
∴当时，取得最小值，此时，
故修建个种光伏车棚时，可使投资总额最少，最少投资总额为万元．
【解析】【分析】（1）设修建A种光伏车棚x个，则修建B种光伏车棚(20-x)个，从而根据单价乘以数量等于总价及“修建车棚总费用等于修建x个A种光伏车棚的费用+修建(20-x)个B种光伏车棚的费用”可以写出（万元）关于（个）的函数关系式，然后根据“要求修建的A种光伏车棚的数量不少于修建的B种光伏车棚数量的2倍”列出不等式，求出x的取值范围；
（2）根据x的取值范围及一次函数的性质，可以求得的最小值，以及此时的值．
（1）解：由题意可得，，
∵要求修建的种光伏车棚的数量不少于修建的种光伏车棚数量的倍．
∴，
解得：，
即（万元）关于（个）的函数关系式是（且为整数）；
（2）解：由（1）知：，
∴随的增大而增大，
∵且为整数，
∴当时，取得最小值，此时，
故修建个种光伏车棚时，可使投资总额最少，最少投资总额为万元．
19． 如图，在四边形 ABCD 中，，，对角线 AC，BD 交于点 O.
（1） 求证：四边形 ABCD 是平行四边形；
（2） 若 ，，，则 AC 的长为　 　；BD 的长为　 　.
【答案】（1）证明： ，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴四边形ABCD是平行四边形；
（2）4；
【解析】【解答】解：（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC=AD=3，OA=OC，OB=OD，
∵AC⊥BC，
∴∠ACB=90°，
∴，
∴，BD=2OB，
∴，
∴BD=2OB=，
故答案为：4；.
【分析】（1）根据平行线的性质求出，再根据平行线的判定方法求出，最后根据平行四边形的判定方法证明求解即可；
（2）根据平行四边形的性质求出BC=AD=3，OA=OC，OB=OD，再利用勾股定理求出AC和OB的值，最后计算求解即可.
20．仔细阅读下面例题，解答问题：
例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值．
解：设另一个因式为，得，则
∴
解得：，．∴另一个因式为，m的值为．
问题：仿照以上方法解答下面问题：
（1）若，则______；
（2）已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及p的值．
【答案】（1）6
（2）解：设另一个因式为，
则，
∴，
解得：，，
∴另一个因式是．
【解析】【解答】（1）解：∵，
∴，，
∴，
故答案为：6．
【分析】（1）根据多项式乘多项式将等号右边展开，再根据对应项相等可得b，c值，再代入代数式即可求出答案.
（2）设另一个因式为，多项式乘多项式将等号右边展开，再根据对应项相等建立方程组，解方程组即可求出答案.
（1）解：∵，
∴，，
∴，
故答案为：6．
（2）解：设另一个因式为，
则，
∴，
解得：，，
∴另一个因式是．
21．如图，将绕点A逆时针旋转得到，点E恰好落在边上，与相交于点G，．
（1）求的长；
（2）若，求的度数．
【答案】（1）解：将绕点A逆时针旋转得到，
，
是等边三角形，
．
（2）解：将绕点A逆时针旋转得到，
．
是的外角，
．
【解析】【分析】（1）由旋转性质可知 ，且旋转角 ，因此 是等边三角形，所以 。
（2）由旋转性质得 ，，因为 是 的外角，所以 。
（1）解：将绕点A逆时针旋转得到，
，
是等边三角形，
．
（2）将绕点A逆时针旋转得到，
．
是的外角，
．
22．“互联网+”助力乡村全面振兴．石家庄市某网络销售商在“双十一”举行促销活动，在11月11日销售甲、乙、丙三种农产品时，记录了如下统计信息：
信息1：乙商品销售单价比甲商品多5元/千克，丙商品销售单价是甲商品的3倍；
信息2：用270元购买丙商品的质量是用60元购买乙商品质量的3倍；
（1）若设甲商品销售单价为元/千克，请依据上述信息填表；
　 销售单价（元/千克） 质量（千克） 销售总价（元）
乙 　 　 60元
丙 　 　 270元
（2）求11月11日当天甲、乙、丙商品销售单价分别为多少元/千克？
（3）“双十一”促销活动结束后，该销售商将三种商品的销售单价在（2）的基础上每千克提高了元（为整数且）．嘉嘉花200元购买甲商品，再花200元购买丙商品，琪琪花400元购买乙商品，设嘉嘉购买商品的质量之和为，设琪琪购买商品的质量为，直接写出的最大值．
【答案】（1）乙：销售单价元/千克，质量千克；丙：销售单价元/千克，质量千克
（2）解：由题意，可列方程：，
解得：
经检验，是原方程的解．
元/千克，元/千克；
∴乙商品单价为10元/千克，丙商品单价为15元/千克。
（3）
【解析】【解答】（1）解：∵甲商品销售单价为元／千克，
∴乙商品销售单价为元/千克，乙商品质量为千克；丙商品销售单价是元／千克，丙商品质量为千克；
（3）解：提价后，甲商品单价为元/千克，丙商品单价为元/千克，乙商品单价为元/千克．
则，
令，则随增大而增大，的范围是．，当最大时，最大，
当时，，．
故答案为：（1）乙：销售单价元/千克，质量千克；丙：销售单价元/千克，质量千克；（3）。
【分析】（1）结合条件“ 乙商品销售单价比甲商品多5元/千克 ”，则乙商品销售单价为元/千克；“ 丙商品销售单价是甲商品的3倍 ”，得出丙商品销售单价是元／千克；最后根据“ 质量总价单价 ”，即可列出乙商品和丙商品的质量；
（2）根据“ 用270元购买丙商品的质量是用60元购买乙商品质量的3倍 ”可以列出分式方程，求解x之后进行检验，然后进一步计算即可；
（3）先分别用m来表示出和，再列出并进行化简，结合换元法得到，此时分析得出随增大而增大，的范围是．当最大时，即为最大值．
（1）解：已知甲商品销售单价为元／千克，由信息1可知乙商品销售单价为元/千克，根据“质量总价单价”，乙商品质量为千克；丙商品销售单价是元／千克，丙商品质量为千克；
（2）解：根据信息2“用270元购买丙商品的质量是用60元购买乙商品质量的3倍”，可列方程：，
解得：
经检验，是原方程的解．
所以乙商品单价为元/千克，丙商品单价为元/千克；
（3）解：提价后，甲商品单价为元/千克，丙商品单价为元/千克，乙商品单价为元/千克．
则，
令，则随增大而增大，的范围是．，当最大时，最大，
当时，，．
23．如图，在中，，点是CB上一动点，点在AD的延长线上，且，平分交DE于，连接BF．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，时，求证：；
（3）如图3，当时，过点作AB的垂线，过点作AB的平行线，两直线l，n相交于，连接ME．当ME取得最大值时，请直接写出此时的值．
【答案】（1）证明：平分
，
在和中，
，
，
（2）证明：连接BF，由（1）得
，
在AF上截取，连接CM，如图2
在和中，
，
，
是等边三角形，
为等边三角形，
，即
（3）解：
【解析】【解答】解：(3)，
点是上一动点，
以为圆心，为半径作
点是上一动点，
则点在上运动，当点到达点时，点到达点，当点到达点时，点到达点，故点在上运动
则当三点共线时，最大
则由题意可得，，，
即此时
如图，延长交于点
由（1）得
由（2）得
．
【分析】（1）由角平分线的定义、全等三角形的的判定定理证明三角形全等，根据全等的性质和等腰三角形的性质即可证明；
（2）连接BF，由全等三角形的性质得，，在AF上截取，连接CM，构造构造出全等三角形，证明是等边三角形，通过线段转化和等边三角形即可证明；
（3）找出点的轨迹，点在上运动，则当三点共线时，最大，根据全等三角形的性质求解即可.
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