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2025-2026学年七年级数学下册期末复习卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分.
1．下列是四款AI工具的标识，其中是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．已知，则下列变形不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．下列命题是真命题的是（ ）
A．两条直线被第三条直线所截，内错角相等
B．两点之间，直线最短
C．直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离
D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
5．一早餐店主营牛奶、饭团和面包，其店内海报如图．某日该早餐店准备了150杯牛奶，100个饭团和160个面包，全部售出后当天总收入为1500元．已知两种套餐售出数量恰好相等，记为a份，单独售出牛奶m杯，饭团n个，面包p个，则下列等式错误的是（ ）
A． B．
C． D．
6．一个长方体的长，宽，高恰好是三个连续的奇数，若中间的奇数为，则这个长方体的体积为（ ）
A． B． C． D．
7．若关于的不等式组无解，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，，分别是 ABC的高和角平分线，F是上一点，过点F垂直于的直线分别交，，及的延长线于点G，H，M，N．甲 乙 丙 丁四个同学根据以上信息分别写出了一个结论．
甲同学的结论：；乙同学的结论：；
丙同学的结论：；丁同学的结论：．
其中结论正确的是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分．
9．若、，则的值为______．
10．随着微电子制造技术的不断进步，电子元件的尺寸大幅度缩小，在芯片上某种电子元件大约只占，将用科学记数法表示为________．
11．如果是关于的二元一次方程的一组解，那么代数式___________．
12．请举例，能说明命题“若，则”是假命题的一组实数，的值为_____，_____．
13．已知一个多边形的内角和比它的外角和的2倍还多180°，则这个多边形的边数为________．
14．如图，两个直角三角形重叠， 沿平移到，，，平移距离 ，阴影面积为______．
15．已知，，则_____．
16．如图，教室内地面有个倾斜的簸箕，箕面与水平地面的夹角为，小明将它扶起，将簸箕绕点顺时针旋转，点落在点处，使其平放在地面，箕面绕点旋转的度数为_____．
17．定义一种法则“”如下：，如：，若，则的值为____．
18．如图，在 ABC中，．点D为边所在直线上一动点，连接，将分别沿翻折至，连接，则面积的最小值为 _____ ．
三、解答题：本题共9小题，共64分.
19．（6分）计算：
(1)； (2)．
20．（6分）解方程组：
(1)； (2)．
21．（6分）解不等式（组）：
(1)； (2)．
22．（6分）先化简，再求值：，其中．
23．（6分）利用无刻度的直尺和圆规，按下列要求作图，不写作法，保留作图痕迹，写出必要的文字说明．
(1)将 ABC纸片沿一条直线折叠，使点与点重合，在图1中作出折痕直线．
(2)将 ABC纸片沿过点的直线折叠，使点恰好落在边上的点处，在图2中作出点以及折痕直线．
24．（8分）如图，已知、、分别是线段、、上的点，，．
(1)求证：；
(2)若把原题设中“”与结论“”互换，所得命题是真命题吗？请说明理由．
25．（8分）国家一直倡导节能减排，改善环境，大力扶持新能源汽车的销售，某汽车专卖店销售A，B两种型号的新能源汽车．上周售出1辆A型车和3辆B型车，销售额为96万元；本周已售出2辆A型车和1辆B型车，销售额为62万元．
(1)求每辆A型车和B型车的售价各为多少万元？
(2)甲公司拟向该店购买A，B两种型号的新能源汽车共6辆，且A型号车不少于2辆，购车费不少于130万元，则有哪几种购车方案？
(3)已知每辆A型车的进价为15万元，每辆B型车的进价为20万元，在（2）的购车方案中，哪种方案的利润最高？最高利润是多少万元？
26．（8分）在学习“整式的乘法”时，我们借助几何图形解释或分析问题，建立了形与数的联系．如图1，是一个面积为的图形，同时此图形中有4个边长为的正方形，1个边长为的正方形，4个两边长分别为和的长方形，从而可以得到乘法公式．
(1)如图2，若，，则图中阴影部分的面积为______；
(2)观察图3，
①从图3中得到______；
②根据得到的结论，解决问题：已知，，，代数式的值．
27．（10分）阅读下列材料并解答问题：在一个三角形中，如果一个内角的度数是另一个内角度数的3倍，那么这样的三角形我们称为“梦想三角形”．例如，一个三角形三个内角的度数分别是，，，这个三角形就是一个“梦想三角形”．反之，若一个三角形是“梦想三角形”，那么这个三角形的三个内角中一定有一个内角的度数是另一个内角度数的3倍．
(1)如图1，已知，在射线上取一点，作交于点，以为端点作射线，交线段于点（点不与点，重合）．若，则 AOB_____“梦想三角形”，_____“梦想三角形”（均填“是”或“不是”）；
(2)如图2，点在 ABC的边上，连接，平分交于点，作交于点，．若是“梦想三角形”，求的度数；
(3)如果一个“梦想三角形”有一个角为，那么这个“梦想三角形”的最小内角的度数为_______．
参考答案
一、单项选择题
1．B
解：A、不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B、是中心对称图形，故本选项符合题意；
C、不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D、不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
2．A
解：对选项A，根据积的乘方运算法则：，选项A正确；
对选项B，根据完全平方公式：，选项B错误；
对选项C，根据同底数幂的乘法法则：，选项C错误；
对选项D，根据同底数幂的除法法则：，选项D错误；
3．B
解：A．不等式两边同时乘同一个正数，不等号方向不变，∵，∴，A变形正确，不符合题意；
B．不等式两边同时乘同一个负数，不等号方向改变，∵，∴，B变形不正确，符合题意；
C．不等式两边同时加同一个常数，不等号方向不变，∵，∴，C变形正确，不符合题意；
D．不等式两边同时减同一个常数，不等号方向不变，∵，∴，D变形正确，不符合题意．
4．D
解：选项A中，只有两条平行直线被第三条直线所截，内错角才相等，原命题缺少“两直线平行”的条件，A是假命题，不符合题意；
选项B中，两点之间，线段最短，不是直线最短，B是假命题，不符合题意；
选项C中，直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离，不是垂线段本身，C是假命题，不符合题意；
选项D中，在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，符合同一平面内垂直的基本性质，D是真命题，符合题意．
5．D
解：套餐①和套餐②各一杯牛奶，共杯，单独售出牛奶m杯，
∴，A选项正确，不符合题意；
套餐①一个饭团，共个，单独售出饭团n个，
∴，B选项正确，不符合题意；
套餐②两个面包，共个，单独售出面包p个，
∴，C选项正确，不符合题意；
总收入等于套餐①、套餐②的收入加上单独售出的收入，
即，
D选项错误，符合题意．
6．D
解：设中间的数为n，那么最小的奇数是，最大的奇数是，则有：
．
7．D
解：
，
∵关于的不等式组无解，
∴．
8．D
解：∵，分别是 ABC的高和角平分线，
∴，，
∵过点F垂直于的直线分别交，，及的延长线于点G，H，M，N．
∴，
∴，
∵，
∴，故甲错误；
∵，不是的角平分线，
∴，故乙错误；
∵，，
∴，
∵，
∴，故丙错误；
∵，
∴，故丁正确；
故选：D．
二、填空题
9．
解：、，
．
10．
解：．
11．
解：是关于的二元一次方程的一组解，
，
．
12． （答案不唯一） 1（答案不唯一）
举例，如，，符合题意．
13．7
解：设这个多边形的边数为，
根据题意列方程得： ，
解得：，
即这个多边形的边数为7．
14．
解：由平移可知，
，
，
，
，
平移距离为，
，
，
，
，
．
15．
解：根据完全平方公式展开已知等式，得：
，
，
由得：
，
整理得，
解得．
16．
解：根据题意可知，，
∵，
∴，
∴箕面绕点旋转的度数为．
17．
解：根据新定义的运算法则，分两种情况讨论：
情况1：当，解不等式得，
根据法则可得 ，
因此列方程得，
解得，满足，符合条件；
情况2：当，解不等式得，
根据法则可得 ，
因此列方程得，
解得，不满足，舍去；
综上，的值为．
18．
解：如图，过点B作于点H．
∵ ABC的面积，
∴，
由翻折变换的性质可知，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，的面积，
当与重合时，的面积最小，
最小值．
故答案为：．
三、解答题
19．（1）解：.
（2）解：.
20．（1）解：，
把代入得，解得，
把代入得，
所以方程组的解为；
（2）解：
得：，解得，
把代入得：，解得，
所以方程组的解为．
21．（1）解：
解得
∴原不等式的解集为；
（2）解：
由①得，；
由②得，
∴原不等式组的解集为．
22．解：，
∵，
∴，
∴原式．
23．（1）如图1，直线m即为所求；
（2）如图2，点N和直线n即为所求．
24．（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴
∴，
∴；
（2）解：所得命题是真命题，理由如下：
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
25．（1）解：设每辆A型车的售价为万元，每辆B型车的售价为万元，依题意得：
，
解得：，
答：每辆A型车的售价为18万元，每辆B型车的售价为26万元；
（2）解：设购买辆A型车，则购买辆B型车，依题意得：
，
解得：，
又为正整数，
可以为2，3，
共有2种购车方案，方案1：购买2辆A型车，4辆B型车；方案2：购买3辆A型车，3辆B型车；
（3）解：由题意得，每辆A型车的利润为（万元），每辆B型车的利润为（万元），
方案1的总利润：（万元），
方案2的总利润：（万元），
，
购买2辆A型车，4辆B型车的方案利润最高，最高利润是30万元．
26．（1）解：由图可知，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：①由图可知，；
②∵，
∴，
∵，
∴，
即，
由①可知，，
∵，
∴，
则，
即．
27．（1）解：∵，
∴，
∵，即，
∴，
∵，
∴ AOB是“梦想三角形”；
∵，
∴，
∴，
∵，
∴是“梦想三角形”；
（2）解：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是“梦想三角形”，
当，即，解得，
此时中，，满足条件；
当，即，解得，
此时中，，满足条件；
综上，的度数为或；
（3）解：如果一个“梦想三角形”有一个角为，
设该“梦想三角形”的另外两个内角为，
则有，
当时，解得，
此时，故最小内角的度数为；
当时，解得，不满足题意；
当时，则有，解得，
此时，故最小内角的度数为；
综上，这个“梦想三角形”的最小内角的度数为或．

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