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1.6 线段垂直平分线的性质
一．选择题
1．和三角形三个顶点的距离相等的点是（　　）
A．三条角平分线的交点
B．三边中线的交点
C．三边上高所在直线的交点
D．三边的垂直平分线的交点
【答案】D
【分析】三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等．
【解答】解：根据线段垂直平分线的性质可得：三角形三个顶点的距离相等的点是三边的垂直平分线的交点．
故选：D．
2．三条公路将A、B、C三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个体育公园，要使体育公园到三个村庄的距离相等，那么这个体育公园应建的位置是（　　）
A．三条高线的交点
B．三条中线的交点
C．三条角平分线的交点
D．三边垂直平分线的交点
【答案】D
【分析】根据线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等解答即可．
【解答】解：∵线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，
∴这个公园应建的位置是△ABC的三边垂直平分线的交点上．
故选：D．
3．如图，在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点M、N．作直线MN，交BC于点D，连接AD．若△ADC的周长为10，AB＝7，则△ABC的周长为（　　）
A．20 B．17 C．14 D．7
【答案】B
【分析】根据线段垂直平分线性质得出AD＝BD，根据△ADC的周长为10求出AC+BC＝10，代入AB+AC+BC求出即可．
【解答】解：∵根据做法可知：MN是AB的垂直平分线，
∴AD＝BD，
∵△ADC的周长为10，
∴AD+CD+AC＝10，
∴BD+DC+AC＝10，
∴AC+BC＝10，
∵AB＝7，
∴△ABC的周长为AB+AC+BC＝7+10＝17，
故选：B．
4．如图，在△ABC中，线段AC的垂直平分线交BC于点D，连接AD，则下列结论一定成立的是（　　）
A．AD＝BD B．BD＝CD C．AD+BD＝BC D．AB+BD＝BC
【答案】C
【分析】根据线段垂直平分线的性质得出AD＝CD，即可得到答案．
【解答】解：∵线段AC的垂直平分线交BC于点D，
∴AD＝CD，
∴AD+BD＝CD+BD＝BC，故选：C．
5．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB，BC于点D，E，连接AE．若AE＝5，EC＝3，则BC的长为（　　）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】B
【分析】由此性质得BE＝AE＝5，再由BC＝BE+EC即可求解．
【解答】解：∵在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB，BC于点D，E，
∴DE是线段AB的垂直平分线，
∴BE＝AE＝5，
∴BC＝BE+EC＝5+3＝8，
故选：B．
6．如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE＝3，△ABD的周长为13，△ABC的周长为（　　）
A．16 B．13 C．19 D．10
【答案】C
【分析】根据线段垂直平分线的性质得到DA＝DC，AC＝2AE＝6，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
【解答】解：∵DE是AC的垂直平分线，AE＝3，
∴DA＝DC，AC＝2AE＝6，
∵△ABD的周长为13，
∴AB+BD+AD＝AB+BD+DC＝AB+BC＝13，
∴△ABC的周长＝AB+BC+AC＝13+6＝19，
故选：C．
二．填空题
7．如图，△ABC中，∠BAC＝135°，AB，AC的垂直平分线分别交BC于点D，E，若BD＝3cm，DE＝4cm，则EC＝ 　　 cm．
【答案】．
【分析】根据三角形内角和定理得到∠B+∠C＝45°，根据线段垂直平分线的性质得到DA＝DB＝3cm，EA＝EC，求出∠DAE＝90°，根据勾股定理计算，得到答案．
【解答】解：∵∠BAC＝135°，
∴∠B+∠C＝45°，
∵边AB、AC的垂直平分线分别交BC于点D、E，
∴DA＝DB＝3cm，EA＝EC，
∴∠DAB＝∠B，∠EAC＝∠C，
∴∠DAE＝∠BAC﹣（∠DAB+∠EAC）＝90°，
由勾股定理得，AEcm，
∴ECcm，
故答案为：．
8．如图，△ABC中，AC＝5，BC的垂直平分线EF与AC相交于点D，若△ABD的周长是9，则AB的长为 　4　 ．
【答案】4．
【分析】根据中垂线的性质，可得DC＝DB，继而可利用△ABD的周长求出AB+AC即可求解．
【解答】解：∵EF垂直平分BC，
∴DB＝DC，
∴△ABD的周长＝AB+AD+BD＝AB+AD+DC＝AB+AC＝9．
∵AC＝5，
∴AB＝9﹣5＝4，
故答案为：4．
9．如图，△ABC中，AB的垂直平分线交BC于点D，交AB于点E．若AE＝2，AC＝6，BC＝8，则△ADC的周长为　14　 ．
【答案】14．
【分析】根据垂直平分线的性质得出AD＝BD，即可解答．
【解答】解：∵DE垂直平分AB，
∴BD＝AD，
∵△ADC的周长＝AC+AD+CD，AC＝6，BC＝8，
∴△ADC的周长＝AC+BD+CD＝AC+BC＝6+8＝14，
故答案为：14．
三．解答题
10．尺规作图：
（1）已知线段AB，求作其垂直平分线；
（2）已知∠α，线段a，b．求作△ABC，使∠C＝∠α，AB＝b，BC＝a．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）分别以A，B为圆心，大于AB为半径，画圆两圆相交于C，D两点，连接CD，CD即为AB的垂直平分线；
（2）先画出与α相等的角，再画出a，b的长，连接AB，则三角形ABC即为所求三角形．
【解答】解：（1）如图：∵AC＝BC，AD＝BD，根据线段垂直平分线的性质可知CD即为AB的垂直平分线；
（2）作法如下：
①以α的顶点为圆心，任意长为半径画圆，交α的两边分别为E′，F′，连接；
②以C为圆心，C′F′为半径画圆，交CM于点E，以E为圆心，E′F′为半径画圆于前圆相交于点F，连接CF，并延长CF；
③在CM上取点B，使CB＝a，以B为圆心，b为半径画圆交CF的延长线于点A，连接AB，则三角形ABC即为所求三角形．
11．已知：如图，直线l是线段AB的垂直平分线，C、D是l上任意两点（除AB的中点外）．求证：∠CAD＝∠CBD．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得AC＝BC，AD＝BD，再根据等边对等角可得∠CAB＝∠CBA，∠DAB＝∠DBA，然后求解即可．
【解答】证明：∵直线l是线段AB的垂直平分线且C、D在直线l上，
∴CA＝CB，DA＝DB，
∴∠CAB＝∠CBA，∠DAB＝∠DBA，
∴∠CAD＝∠CBD．
12．如图，在△ABC中，边AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E．
（1）若BC＝5，求△ADE的周长．
（2）若∠BAD+∠CAE＝60°，求∠BAC的度数．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）直接利用线段垂直平分线的性质得出答案；
（2）利用∠BAD+∠CAE＝60°，得出∠B+∠C＝∠DAB+∠EAC＝60°，进而得出答案．
【解答】解：（1）∵边AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E，
∴DA＝DB，EA＝EC，
∴△ADE的周长＝AD+DE+AE＝DB+DE+EC＝BC＝5；
（2）∵DA＝DB，EA＝EC，
∴∠DAB＝∠B，∠EAC＝∠C，
∴∠B+∠C＝∠DAB+∠EAC＝60°，
∴∠BAC＝120°．1.6 线段垂直平分线的性质
一．选择题
1．和三角形三个顶点的距离相等的点是（　　）
A．三条角平分线的交点
B．三边中线的交点
C．三边上高所在直线的交点
D．三边的垂直平分线的交点
2．三条公路将A、B、C三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个体育公园，要使体育公园到三个村庄的距离相等，那么这个体育公园应建的位置是（　　）
A．三条高线的交点
B．三条中线的交点
C．三条角平分线的交点
D．三边垂直平分线的交点
3．如图，在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点M、N．作直线MN，交BC于点D，连接AD．若△ADC的周长为10，AB＝7，则△ABC的周长为（　　）
A．20 B．17 C．14 D．7
4．如图，在△ABC中，线段AC的垂直平分线交BC于点D，连接AD，则下列结论一定成立的是（　　）
A．AD＝BD B．BD＝CD C．AD+BD＝BC D．AB+BD＝BC
5．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB，BC于点D，E，连接AE．若AE＝5，EC＝3，则BC的长为（　　）
A．7 B．8 C．9 D．10
6．如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE＝3，△ABD的周长为13，△ABC的周长为（　　）
A．16 B．13 C．19 D．10
二．填空题
7．如图，△ABC中，∠BAC＝135°，AB，AC的垂直平分线分别交BC于点D，E，若BD＝3cm，DE＝4cm，则EC＝ 　 　 cm．
8．如图，△ABC中，AC＝5，BC的垂直平分线EF与AC相交于点D，若△ABD的周长是9，则AB的长为 　 　 ．
9．如图，△ABC中，AB的垂直平分线交BC于点D，交AB于点E．若AE＝2，AC＝6，BC＝8，则△ADC的周长为　 　 ．
三．解答题
10．尺规作图：
（1）已知线段AB，求作其垂直平分线；
（2）已知∠α，线段a，b．求作△ABC，使∠C＝∠α，AB＝b，BC＝a．
11．已知：如图，直线l是线段AB的垂直平分线，C、D是l上任意两点（除AB的中点外）．求证：∠CAD＝∠CBD．
12．如图，在△ABC中，边AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E．
（1）若BC＝5，求△ADE的周长．
（2）若∠BAD+∠CAE＝60°，求∠BAC的度数．

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