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1.7 角平分线的性质
一．选择题
1．三条公路将A、B、C三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是（　　）
A．三条高线的交点
B．三条中线的交点
C．三条角平分线的交点
D．三边垂直平分线的交点
【答案】C
【分析】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等解答即可．
【解答】解：在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，
根据角平分线的性质，集贸市场应建在∠A、∠B、∠C的角平分线的交点处．
故选：C．
2．在正方形网格中，∠AOB的位置如图所示，到∠AOB两边距离相等的点应是（　　）
A．M点 B．N点 C．P点 D．Q点
【答案】A
【分析】根据角平分线的性质“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”，注意观察点M、N、P、Q中的哪一点在∠AOB的平分线上．
【解答】解：从图上可以看出点M在∠AOB的平分线上，其它三点不在∠AOB的平分线上．
所以点M到∠AOB两边的距离相等．故选A．
3．如图，点P是∠BAC的平分线AD上一点，PE⊥AC于点E．点F是射线AB上任意一点，则下列关系成立的是（　　）
A．PE＝PF B．PE＜PF C．PE＞PF D．PE≤PF
【答案】D
【分析】过P作PH⊥AB于H，由角平分线的性质推出PH＝PE，由垂线段最短得到PF≥PH，即可得解．
【解答】解：过P作PH⊥AB于H，
∵P是∠BAC的平分线AD上一点，PE⊥AC，
∴PH＝PE，
∵点F是射线AB上任意一点，
∴PF≥PH，
∴PE≤PF，
故选：D．
4．如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（　　）
A．△ABC的三条中线的交点
B．△ABC三条角平分线的交点
C．△ABC三条高所在直线的交点
D．△ABC三边的中垂线的交点
【答案】B
【分析】由于凉亭到草坪三条边的距离相等，所以根据角平分线上的点到边的距离相等，可知是△ABC三条角平分线的交点．由此即可确定凉亭位置．
【解答】解：∵凉亭到草坪三条边的距离相等，
∴凉亭选择△ABC三条角平分线的交点．
故选：B．
5．两个完全一样的三角板如图摆放，使三角板的一条直角边分别与△ABC的边AB、AC重合，它们的顶点重合于点M，则点M一定在（　　）
A．∠A的平分线上 B．AC边的高上
C．BC边的中垂线上 D．AB边的中线上
【答案】A
【分析】根据角平分线的判定推出M在∠BAC的角平分线上，即可得到答案．
【解答】解：如图：
∵ME⊥AB，MF⊥AC，ME＝MF，
∴M在∠A的角平分线上，
故选：A．
6．如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB，交AB于点E，DF⊥AC，交AC于点F，若DE＝2，AC＝4，则△ADC的面积是（　　）
A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】A
【分析】先根据角平分线的性质得到DF＝DE＝2，再利用三角形面积公式即可求解．
【解答】解：∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DF＝DE，
∵DE＝2，
∴DF＝2，
∴S△ADCAC×DF4×2＝4，
故选：A．
7．如图，在△ABC中，∠C＝90°，D是AC上一点，DE⊥AB于点E，BD平分∠ABC，连接BD，若AC＝8cm，则AD+DE等于（　　）
A．6cm B．7cm C．8cm D．9cm
【答案】C
【分析】根据角平分线的性质得出CD＝DE，则可得出答案．
【解答】解：∵BD平分∠ABC，DE⊥AB，∠C＝90°，
∴CD＝DE，
∴AD+DE＝AD+CD＝AC，
∵AC＝8cm，
∴AD+DE＝AC＝8cm．
故选：C．
8．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BD平分∠ABC，DCAD，则点D到AB的距离等于（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C
【分析】过点D作DH⊥AB，垂足为H，由题意可求DC的长，由角平分线的性质可求解．
【解答】解：如图，过点D作DH⊥AB，垂足为H，
∵AC＝8，，
∴DC＝2，
∵BD平分∠ABC，∠C＝90°，DH⊥AB，
∴CD＝DH＝2，
∴点D到AB的距离等于2，
故选：C．
二．填空题
9．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E，若BC＝10，DE＝4，则BD的长为 　6　 ．
【答案】6．
【分析】由角平分线的性质可知CD＝DE＝4，根据线段的和差得出BD＝BC﹣CD＝10﹣4＝6．
【解答】解：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，∠C＝90°，
∴CD＝DE，
∵DE＝4，
∴CD＝4，
∵BC＝10，
∴BD＝BC﹣CD＝10﹣4＝6．
故答案为：6．
10．如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，△ADC的面积＝9，DE＝2，则AC的长是 　9　 ．
【答案】9．
【分析】根据题意得到DF＝DE＝2，再根据三角形面积公式即可求解．
【解答】解：过点D作DF⊥AC，交AC于点F，如图：
∵DF⊥AC，DE⊥AB，AD是△ABC的角平分线，DE＝2，
∴DE＝DF＝2，
∵△ADC的面积AC DF＝9，
∴AC＝9，
故答案为：9．
11．如图，已知△ABC的周长是21，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD＝4，△ABC的面积是 　42　 ．
【答案】42
【分析】过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连接OA，根据角平分线性质求出OE＝OD＝OF＝4，根据△ABC的面积等于△ACO的面积、△BCO的面积、△ABO的面积的和，即可求出答案．
【解答】解：
过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连接OA，
∵OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC，
∴OE＝OD，OD＝OF，
即OE＝OF＝OD＝4，
∴△ABC的面积是：S△AOB+S△AOC+S△OBC
AB×OEAC×OFBC×OD
4×（AB+AC+BC）
4×21＝42，
故答案为：42．
12．如图，点O是△ABC内一点，BO平分∠ABC，OD⊥BC于点D，连接OA．若OD＝2，AB＝8，则△AOB的面积是 　8　 ．
【答案】8．
【分析】过O作OE⊥AB于点E，根据角平分线性质可得OE＝OD＝2，然后利用三角形面积公式即可求解．
【解答】解：如图，过O作OE⊥AB于点E，
∵BO平分∠ABC，OD⊥BC，OD＝2，
∴OE＝OD＝2，
∴，即△AOB的面积是8，
故答案为：8．
三．解答题
13．两个城镇A、B与两条公路ME，MF位置如图所示，其中ME是东西方向公路．现电信部门需在C处修建一座信号发射塔，要求发射塔到两个城镇A、B的距离必须相等，到两条公路ME，MF的距离也必须相等，且在∠FME的内部，请在图中，用尺规作图找出符合条件的点C．（不写已知、求作、作法，只保留作图痕迹）
【答案】图形见解答内容．
【分析】到城镇A、B距离相等的点在线段AB的垂直平分线上，到两条公路距离相等的点在两条公路所夹角的角平分线上，分别作出垂直平分线与角平分线，它们的交点即为所求作的点C．
【解答】解：如图：
点C即为所求作的点．
14．已知△ABC中，∠B＝50°，∠C＝70°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E点．
（1）求∠EAD的度数；
（2）AB＝10，AC＝8，DE＝3，求S△ABC．
【答案】（1）30°；
（2）27．
【分析】（1）直接利用三角形内角和定理得出∠BAC的度数，再利用角平分线的定义得出答案；
（2）过D作DF⊥AC于F，依据角平分线的性质，即可得到DF＝DE＝3，再根据S△ABCAB×DEAC×DF进行计算即可．
【解答】解：（1）∵∠B＝50°，∠C＝70°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣50°﹣70°＝60°，
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠EAD∠BAC60°＝30°；
（2）如图，过D作DF⊥AC于F，
∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，
∴DF＝DE＝3，
又∵AB＝10，AC＝8，
∴S△ABCAB×DEAC×DF10×38×3＝27．1.7 角平分线的性质
一．选择题
1．三条公路将A、B、C三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是（　　）
A．三条高线的交点
B．三条中线的交点
C．三条角平分线的交点
D．三边垂直平分线的交点
2．在正方形网格中，∠AOB的位置如图所示，到∠AOB两边距离相等的点应是（　　）
A．M点 B．N点 C．P点 D．Q点
3．如图，点P是∠BAC的平分线AD上一点，PE⊥AC于点E．点F是射线AB上任意一点，则下列关系成立的是（　　）
A．PE＝PF B．PE＜PF C．PE＞PF D．PE≤PF
4．如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（　　）
A．△ABC的三条中线的交点
B．△ABC三条角平分线的交点
C．△ABC三条高所在直线的交点
D．△ABC三边的中垂线的交点
5．两个完全一样的三角板如图摆放，使三角板的一条直角边分别与△ABC的边AB、AC重合，它们的顶点重合于点M，则点M一定在（　　）
A．∠A的平分线上 B．AC边的高上
C．BC边的中垂线上 D．AB边的中线上
6．如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB，交AB于点E，DF⊥AC，交AC于点F，若DE＝2，AC＝4，则△ADC的面积是（　　）
A．4 B．6 C．8 D．10
7．如图，在△ABC中，∠C＝90°，D是AC上一点，DE⊥AB于点E，BD平分∠ABC，连接BD，若AC＝8cm，则AD+DE等于（　　）
A．6cm B．7cm C．8cm D．9cm
8．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BD平分∠ABC，DCAD，则点D到AB的距离等于（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
二．填空题
9．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E，若BC＝10，DE＝4，则BD的长为 　 　 ．
10．如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，△ADC的面积＝9，DE＝2，则AC的长是 　 　 ．
11．如图，已知△ABC的周长是21，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD＝4，△ABC的面积是 　 　 ．
12．如图，点O是△ABC内一点，BO平分∠ABC，OD⊥BC于点D，连接OA．若OD＝2，AB＝8，则△AOB的面积是 　 　 ．
三．解答题
13．两个城镇A、B与两条公路ME，MF位置如图所示，其中ME是东西方向公路．现电信部门需在C处修建一座信号发射塔，要求发射塔到两个城镇A、B的距离必须相等，到两条公路ME，MF的距离也必须相等，且在∠FME的内部，请在图中，用尺规作图找出符合条件的点C．（不写已知、求作、作法，只保留作图痕迹）
14．已知△ABC中，∠B＝50°，∠C＝70°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E点．
（1）求∠EAD的度数；
（2）AB＝10，AC＝8，DE＝3，求S△ABC．

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