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人教版数学八年级上册精做课件授课教师：.班级：8年级（）班.时间：.18.5.1分式方程及其解法第十八章分式18.5.1分式方程及其解法同步练习题（人教版八年级上册）核心知识点回顾：1.分式方程定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程；2.解题核心思路：化分式方程为整式方程；3.标准解题步骤：一找（最简公分母）、二去（两边同乘公分母去分母）、三解（解整式方程）、四验（必须检验）；4.增根定义：去分母后整式方程的根，使原分式方程分母为0，不是原方程的根；5.检验方法：将整式方程的解代入最简公分母，若公分母≠0，是原方程的解；若公分母=0，是增根，原方程无解；6.易错点：忘记检验、去分母漏乘整数项、符号出错、混淆增根与无解。一、选择题（每题4分，共20分）1.下列方程属于分式方程的是（）A. $$\frac{x}{2}+1=0$$ B. $$\frac{1}{x}+2=3$$ C. $$2x+3=5$$ D. $$\frac{x+1}{3}=2$$2.解分式方程$$\frac{1}{x-1}=\frac{2}{x}$$，去分母后得到的整式方程是（）A. $$x=2(x-1)$$ B. $$x=2x-1$$ C. $$x=2(x+1)$$ D. $$x-1=2x$$3.关于分式方程增根，下列说法正确的是（）A.增根是原方程的根B.增根使最简公分母为0 C.有增根方程一定有解D.增根可以不检验二、填空题（每题4分，共20分）4.分母中含有________的方程叫做分式方程。5.解分式方程最后必须进行________，防止出现增根。6.方程$$\frac{2}{x+1}=\frac{1}{x}$$的解是________。三、解答题（共60分）7.（20分）解下列基础分式方程：（1）$$\frac{3}{x}=\frac{2}{x-1}$$（2）$$\frac{1}{x-2}+3=\frac{x-1}{x-2}$$8.（20分）解含增根的分式方程：$$\frac{x}{x-1}-1=\frac{3}{(x-1)(x+2)}$$9.（20分）解方程并检验：$$\frac{2}{x+1}=\frac{4}{x^2-1}$$参考答案与解析选择题：1.B（只有B选项分母含未知数，属于分式方程，其余为整式方程）2.A（最简公分母为$$x(x-1)$$，两边同乘公分母得$$x=2(x-1)$$）3.B（增根的核心特征：使原分式方程最简公分母为0，不是原方程的解）填空题：4.未知数5.检验6. $$x=1$$解答题：7.解：（1）去分母得$$3(x-1)=2x$$，展开化简得$$3x-3=2x$$，解得$$x=3$$。检验：$$x=3$$时，$$x(x-1)\neq0$$，故$$x=3$$是方程的解；（2）去分母得$$1+3(x-2)=x-1$$，化简得$$1+3x-6=x-1$$，解得$$x=2$$。检验：$$x=2$$时分母为0，是增根，原方程无解。8.解：去分母得$$x(x+2)-(x-1)(x+2)=3$$，展开化简得$$x^2+2x-x^2-x+2=3$$，解得$$x=1$$。检验：$$x=1$$时，最简公分母$$(x-1)(x+2)=0$$，是增根，原方程无解。9.解：因式分解得$$\frac{2}{x+1}=\frac{4}{(x+1)(x-1)}$$，去分母得$$2(x-1)=4$$，解得$$x=3$$。检验：$$x=3$$时，$$(x+1)(x-1)\neq0$$，故$$x=3$$是原方程的解。（总字数：808）
情境导入
一艘轮船在静水中的最大航速为 30 km/h，它以最大航速沿江顺流航行 90 km 所用的时间，与以最大航速逆流航行 60 km 所用的时间相等，江水的流速为多少？
等量关系
v顺流 = v静水 + v水流
v逆流 = v静水 – v水流
如果设江水的流速为 v km / h：
速度(km/h) 路程(km) 时间(h) 等量关系式
顺流
逆流 30 + v
30 – v
90
60
仔细观察这个方程，其未知数的位置有什么特点？
知识点1 分式方程的概念
探究新知
分母中含未知数的方程叫作分式方程.
这些方程有什么共同特征？
*我们以前学习的方程都是整式方程，它们的未知数不在分母中.
（1）是方程——含有未知数的等式；
（2）是分式——分母中含有未知数.
提炼
分式方程必须满足的条件：
知识点1 分式方程的定义
1.下列关于x的式子：①＝1；②＝1＋；③＋＝1；④－3＝a＋4；⑤，是分式方程的有(　　)
A.1个 B.2个　　
C.3个 D.4个
A
返回
【点拨】①＝1分母中含有未知数，是分式方程；②＝1＋，分母中不含有未知数，不是分式方程；③关于x的方程＋＝1，分母b是常数，分母中不含有未知数，不是分式方程；④关于x的方程－3＝a＋4，分母a是常数，分母中不含有未知数，不是分式方程；⑤不是等式，且分母中π是常数，不是分式方程.综上所述，是分式方程的有1个.故选A.
返回
例1 下列式子：
；；；；
； .
其中是关于x的分式方程的有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
B
混淆未知数与字母的区别致错
分母中含有字母的方程不一定是分式方程.如关于x的方程=x(a≠0）,分母中虽然含有字母a，但a不是未知数，所以该方程是整式方程.
思考 如何解分式方程呢？
解分式方程的基本思路：
去分母
分式方程
整式方程
转化
.①
分式方程①中各分母的最简公分母是 (30+v)(30-v). 把方程①的两边乘最简公分母可化为整式方程，得
(30+v)(30-v)(30+v)(30-v).
90(30-v)=60(30+v)
解得 v=6.
检验：把v=6代入①中，左边= ，右边= ，这时左、右两边的值相等，因此v=6是方程①的解.
由此可得，江水的流速为6 km/h.
探究 运用上述“去分母化为整式方程”的方法解分式方程.
②
你发现了什么问题？
类似于解分式方程①，在分式方程②的两边乘最简公分母(x-5)(x+5)，去分母得整式方程
(x-5)(x+5) · ·(x-5)(x+5)
x+5=10
解得 x=5.
探究 运用上述“去分母化为整式方程”的方法解分式方程.
②
你发现了什么问题？
将x=5代入②，分母x-5和x2-25的值都为0，相应的分式无意义.因此，x=5虽然是整式方程x+5=10的解，
但不是分式方程的解.
实际上，这个分式方程无解.
思考 比较解分式方程①和②的过程，为什么分式方程①去分母后所得整式方程的解就是①的解，而分式方程②去分母后所得整式方程的解却不是②的解呢？
. ①
②
解分式方程去分母时，方程两边要乘同一个含未知数的式子（最简公分母）.方程①两边乘(30+v)(30-v)，得到整式方程，它的解为v=6.当v=6时，最简公分母(30+v)(30-v)≠0，这就是说，去分母时，①两边乘了同一个不为0的式子，因此所得整式方程的解与①的解相同.
. ①
②
方程②两边乘(x-5)(x+5)，得到整式方程，它的解为x=5.当x=5时，最简公分母(x-5)(x+5)=0，这就是说，去分母时，②两边乘了同一个等于0的式子，这时所得整式方程的解使②分母为0，因此这样的解不是②的解.
. ①
②
一般地，解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中分母为0，因此应做如下检验：
将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解.
解：方程两边乘x(x–3)，得
2x=3x–9.
解得 x=9.
检验：当x=9时，x(x–3)≠0.
所以，原分式方程的解为x=9.
例1 解方程 .
例2 .
解：方程两边同乘(x-1)(x+2)，得
x(x+2)-(x-1)(x+2)=3
x2+2x-(x2+x-2)=3
x2+2x-x2-x+2=3
x+2=3.
解得 x=1.
检验：当x=1时，(x-1)(x+2)=0，因此x=1不是原分式方程的解.
所以，原分式方程无解.
2. 水是人类赖以生存的宝贵资源，为节约用水，创建文明城市，某市经论证从今年1月1日起调整居民用水价格，每立方米水费上涨原价的.小丽家去年5月份的水费是28元，而今年5月份的水费则是24.5元.已知小丽家今年5月份的用水量比去年5月份的用水量少3 m3.设该市去年居民用
水价格为x元/m3，则可列分式方程为　 　　　　.
－＝3
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3.解分式方程＝2＋的步骤：①方程两边同时乘最简公分母(x－3)；②得整式方程x－1＝2(x－3)＋2；③解得x＝3；④故原方程的解为x＝3.其中有误的一步为(　　)
A.①　　 B.②　　
C.③　　 D.④
D
【点拨】其中有误的一步为④，应将求得的根代入原分式方程检验，发现分母x－3的值为0，分式无意义，故原分式方程无解.故选D.
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4.已知关于x的方程＝的解是x＝1，则a的值为(　　)
A.2　　 B.1　　
C.－1　　 D.－2
C
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5.如图，点A，B在数轴上，它们所表示的数分别是－4，，且点A到原点的距离是点B到原点的距离的2倍，则x＝　　　.
－1
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6. 解分式方程：
(1)＝；
【解】方程两边同时乘(x－1)(2x＋1)，
得2(2x＋1)＝3(x－1)，解得x＝－5.
经检验，x＝－5是原分式方程的根.
(2)＋＝1；
【解】方程两边同时乘(2x＋5)(5x－2)，得2x(5x－2)＋5(2x＋5)＝(2x＋5)(5x－2)，解得x＝.
经检验，x＝是原分式方程的根.
(3)－1＝.
【解】方程两边同时乘(x－1)(x＋2)，得x(x＋2)－(x－1)(x＋2)＝3，解得x＝1.
经检验，x＝1是原方程的增根.
所以原分式方程无解.
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知识点3 根据方程解的情况求字母的取值范围
7.题目“关于x的方程－＝1的解是非负数，求符合条件的负整数a的值.”对于其答案，甲答：－1；乙答：－2；丙答：－3，则正确的是(　　)
A.只有甲的答案对
B.甲、丙的答案合在一起才完整
C.甲、乙的答案合在一起才完整
D.三人的答案合在一起才完整
B
8. 若关于x的方程＋＝没有增根，则m的值可以为　　　 　.(写出一个即可)
1(答案不唯一)
【点拨】方程＋＝整理可得(1＋m)x＝6，当1＋m＝0即m＝－1时，方程无解；当1＋m≠0时，解得x＝，若解为增根则x＝2，可得＝2，解得m＝2.∵x＝，∴x≠0.
∴当m≠－1或m≠2时方程没有增根.
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9.小明在解关于x的分式方程＝－2时，发现墨水不小心把其中一个数污染了，翻看答案上说此方程有增根无解，则被污染的数为(　　)
A.－1　　 B.1　　
C.2　　 D.－2
A
10.已知点P(1－2a，a－2)在第三象限内，且a为整数，则关于x的分式方程＝2的解是(　　)
A.x＝5　　 B.x＝1
C.x＝3　　 D.不能确定
C
分式方程
定义
分母中含未知数的方程
解法
去分母，转化为整式方程
解整式方程
检验
代入原方程
代入最简公分母

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