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人教版数学八年级上册精做课件授课教师：.班级：8年级（）班.时间：.章末复习第十七章因式分解第十七章因式分解同步练习题（人教版八年级上册）章节核心知识点总览：1.因式分解定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做因式分解（和整式乘法互为逆运算）；2.解题万能顺序：一提、二套、三检查；3.提公因式法：先找各项最大公因式（系数最大公约数+相同字母最低次幂），整体公因式优先；4.两大公式法：平方差公式$$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$$（两项、异号、平方形式），完全平方公式$$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$$（三项、首尾平方同号、中间两倍乘积）；5.综合运算：先提公因式，再套用公式，最终必须分解彻底；6.必考易错：分解不彻底、混淆平方差与完全平方、漏提负号、公因式找不全、整式乘法和因式分解混淆。一、选择题（每题4分，共20分）1.下列变形属于因式分解的是（）A. $$x^2+2x=x(x+2)$$ B. $$x(x+2)=x^2+2x$$ C. $$x^2+4x+1=x(x+4)+1$$ D. $$x^2-4+3x=(x+2)(x-2)+3x$$2.多项式$$3x^2-6x$$的公因式是（）A. $$3x$$ B. $$3$$ C. $$x$$ D. $$3x^2$$3.下列多项式能运用完全平方公式分解的是（）A. $$x^2+2x-1$$ B. $$x^2-4x+4$$ C.$$x^2-2x-4$$ D. $$x^2+4$$二、填空题（每题4分，共20分）4.因式分解的结果必须是几个________的积的形式。5.分解因式：$$a^2-16=$$________。6.分解因式：$$x^2-8x+16=$$________。三、解答题（共60分）7.（20分）提公因式法分解因式：（1）$$4x^2y-8xy^2$$（2）$$-3a^2+6a$$8.（20分）公式法分解因式：（1）$$9x^2-25y^2$$（2）$$a^2-12ab+36b^2$$9.（20分）综合法分解因式（先提后套）：（1）$$2x^2-8$$（2）$$3x^2-12x+12$$参考答案与解析选择题：1.A（因式分解是多项式化整式积，B是整式乘法，C、D未化成积的形式）2.A（系数最大公约数3，相同最低次幂x，公因式为3x）3.B（符合完全平方式特征：首平方、尾平方、中间两倍乘积）填空题：4.整式5. $$(a+4)(a-4)$$ 6. $$(x-4)^2$$解答题：7.解：（1）原式=$$4xy(x-2y)$$；（2）原式=$$-3a(a-2)$$。8.解：（1）原式=$$(3x)^2-(5y)^2=(3x+5y)(3x-5y)$$；（2）原式=$$(a-6b)^2$$。9.解：（1）原式=$$2(x^2-4)=2(x+2)(x-2)$$；（2）原式=$$3(x^2-4x+4)=3(x-2)^2$$。知识结构
整式的乘法
因式分解
公式法
乘法公式
(a+b)(a-b)=a2-b2
(a±b)2=a2±2ab+b2
特殊形式
相反变形
提公因式法
相反变形
具体方法
知识回顾
概念：把一个多项式化为几个整式的______的形式，叫作这个多项式的因式分解，也叫作把这个多项式___________.
与整式乘法的关系：因式分解与整式乘法是方向相反的变形.
因式分解
乘积
分解因式
知识点一 因式分解
注意：因式分解必须分解到每一个因式都不能再分解为止.
知识点二 提公因式法
公因式：一个多项式的各项都含有的公共的因式.
确定公因式：①定______，②定______，③定______.
提公因式：如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式.
系数
字母
指数
知识点三 公式法
十字相乘法：
x2 + (p + q)x + pq = (x + p)(x + q)
综合运用多种方法分解因式
考点1 因式分解的定义
1.下列等式中，从左向右的变形为因式分解的是(　　)
A.x3－x＝x(x－1)(x＋1)
B.a2(a－1)＝a3－a2
C.a2－2a－1＝a(a－2)－1
D.(a－3)(a＋3)＝a2－9
A
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2.已知多项式x2＋ax－6因式分解的结果为(x＋2) (x＋b)，则a＋b的值为(　　)
A.－4 B.－2
C.2 D.4
A
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考点2 用提公因式法和公式法分解因式
3.多项式①2x2－x；②4x2＋1＋4x；③x2－4x＋4；④－4x2－1＋4x.在分解因式后，结果含有相同因式的是(　　)
A.①④ B.①②
C.③④ D.②③
A
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4.下列因式分解正确的是(　　)
A.ab＋ac＋a＝a(b＋c)
B.a2－2a－3＝(a＋3)(a－1)
C.a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2
D.a4－81＝(a2＋9)(a2－9)
C
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5. 因式分解：
(1)a3－6a2＋9a；
【解】原式＝a(a2－6a＋9)
＝a(a－3)2.
(2)(a2－6)2－6(a2－6)＋9；
【解】原式＝［(a2－6)－3］2
＝(a2－9)2
＝(a－3)2(a＋3)2.
(3)9a2(x－y)＋4b2(y－x)；
【解】原式＝9a2(x－y)－4b2(x－y)
＝(x－y)(9a2－4b2)
＝(x－y)(3a－2b)(3a＋2b).
(4)x2－3x＋2；
【解】原式＝(x－1)(x－2).
(5)x2－xy＋xz－yz.
【解】原式＝(x2－xy)＋(xz－yz)
＝x(x－y)＋z(x－y)
＝(x－y)(x＋z).
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考点3 因式分解的应用
6.［2026淄博期中］已知a－b＝3，b－c＝－4，则整式a2－ac－b(a－c)的值为(　　)
A.－12 B.－4
C.－3 D.3
C
【点拨】∵a－b＝3，b－c＝－4，∴a－c＝－1.∴a2－ac－b(a－c)＝a(a－c)－b(a－c)＝(a－b)(a－c)＝3×(－1)＝－3.
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7.实数m满足(m－2 027)2＋(2 026－m)2＝15，则(m－2 027)(2 026－m)的值是　　　.
－7
【点拨】∵(m－2 027)2＋(2 026－m)2＝15，∴［(m－2 027)＋(2 026－m)］2－2(m－2 027)(2 026－m)＝15.∴1－2(m－2 027)
(2 026－m)＝15.∴1－15＝2(m－2 027)(2 026－m).∴(m－2 027)(2 026－m)＝－7.
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8. 生活中我们经常用到密码，有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆，其原理是：将一个多项式因式分解，如多项式x3－x可以因式分解为x(x－1)(x＋1)，当x＝29时，x－1＝28，x＋1＝30，此时可以得到的数字密码为282930，292830等.根据上述方法，当x＝15，y＝5时，对于多项式x3－xy2分解因式后可以形成的数字密码是　　 　.
　 (写出一个即可).
152010
(答案不唯一)
【点拨】x3－xy2＝x(x＋y)(x－y)，当x＝15，y＝5时，x＋y＝20，x－y＝10，∴形成的密码可以是152010，151020，201510等.
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9.简便计算：222＋44×18＋182＋19×20.
【解】222＋44×18＋182＋19×20＝222＋2×22×18＋182＋×＝(22＋18)2＋202－2＝402＋400－＝1 600＋400－＝2 000－＝1 999.
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10.若一个三角形的三边长分别为a，b，c，且满足a2＋2b2＋c2－2ab－2bc＝0，试判断该三角形的形状，并说明理由.
【解】该三角形是等边三角形.理由如下：
∵a2＋2b2＋c2－2ab－2bc＝0，
∴a2－2ab＋b2＋b2－2bc＋c2＝0.
∴(a－b)2＋(b－c)2＝0.
∴a－b＝0，b－c＝0.∴a＝b，b＝c，即a＝b＝c.
∴该三角形是等边三角形.
涉及的多项式不止三项时，通常要将多项式进行分组，将每一组式子化为完全平方式是解此类问题的常用方法.
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11.已知4m＋n＝40，2m－3n＝5，求(m＋2n)2－(3m－n)2的值.
【解】(m＋2n)2－(3m－n)2＝(m＋2n＋3m－n)(m＋2n－3m＋n)＝(4m＋n)(3n－2m)＝－(4m＋n)(2m－3n).
当4m＋n＝40，2m－3n＝5时，原式＝－40×5＝－200.
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12. 一个两位数的十位上的数为a，个位上的数为b，这个两位数记作；也可以表示成10a＋b，一个三位数的百位上的数为x，十位上的数为y，个位上的数为z，这个三位数记作.
(1)－能被9整除吗？请说明理由；
【解】能被9整除.理由如下：
－＝10a＋b－10b－a＝9a－9b＝9(a－b)，
易知a－b为整数，
∴－能被9整除.
(2)小明发现：如果x＋y＋z能被3整除，那么就能被3整除.请补全小明的证明思路.
小明的证明思路
＝　 　　　①
＝　　　 　②＋(x＋y＋z)
＝3(　　　 　)③＋(x＋y＋z).
∵代数式③，(x＋y＋z)都能被3整除，
∴能被3整除.
100x＋10y＋z
(99x＋9y)
33x＋3y
思想1 整体思想
13. ［上海中学自主招生］已知(b－c)2＝(a－b)(c－a)，且a≠0，求的值.
【解】∵(b－c)2＝4(a－b)(c－a)，即b2－2bc＋c2＝4ac－4bc＋4ab－4a2，∴4a2＋b2＋c2－4ac－4ab＋2bc＝0，(b2＋2bc＋c2)－4a(b＋c)＋4a2＝0，逆用完全平方公式得(b＋c)2－4a(b＋c)＋4a2＝0，［2a－(b＋c)］2＝0，∴2a＝b＋c.又∵a≠0，∴＝2.
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思想2 数形结合思想
14. 数与形是数学研究的两大部分，它们间的联系称为数形结合，数形结合大致分为两种情形：借助图形的直观来阐明数之间的关系，或借助数的精确性来阐明图形的属性，即“以形助数”或“以数解形”.
(1)用1张边长为a的正方形卡片，2张边长为a，b的长方形卡片，1张边长为b的正方形卡片，拼成一个正方形(如图①)，观察拼图的过程，写出相应的等式：　 　；
a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2
(2)用1张边长为a的正方形卡片，3张边长为a，b的长方形卡片，2张边长为b的正方形卡片，拼成一个长方形(如图②)，观察拼图的过程，写出相应的等式：　 .
　；
a2＋3ab＋2b2＝(a＋2b)
(a＋b)
(3)用1张边长为a的正方形卡片，6张边长为a，b的长方形卡片，9张边长为b的正方形卡片，可以不重叠无缝隙地拼成一个大正方形，则这个大正方形的边长为　　　　；
a＋3b
【点拨】∵用1张边长为a的正方形卡片，6张边长为a，b的长方形卡片，9张边长为b的正方形卡片拼成一个大正方形，∴大正方形卡片的面积为a2＋6ab＋9b2＝(a＋3b)2.∴大正方形的边长为a＋3b.
(4)用4张边长为a，b的长方形卡片，拼成一个大正方形(如图③).若大正方形的面积是64，中间围成的小正方形的面积是16，则边长为a，b的长方形卡片的面积是　　；
12
【点拨】由题图可知4ab＝64－16，4ab＝48，ab＝12.
(5)将2张边长为m的正方形卡片放到1张边长为n的正方形卡片内(m＜n)，拼成如图④所示的形状，再将3张边长为m的正方形卡片放到1张边长为n的正方形卡片内，拼成如图⑤所示的形状.若图⑤中阴影部分的面积比图④中阴影部分的面积大2m2，则m与n的关系为　　　　.
m＝n
【点拨】题图④中阴影部分为正方形，且边长为2m－n，∴该阴影部分的面积为(2m－n)2.将题图⑤中阴影部分拼成一个长方形，则该长方形相邻两边长均为n－m，∴阴影部分的面积为(n－m)2.∵题图⑤中阴影部分的面积比题图④中阴影部分的面积大2m2，∴(n－m)2－(2m－n)2＝2m2.∴n2－2mn＋m2－4m2＋4mn－n2＝2m2.∴2mn＝5m2.∵m＞0，∴5m＝2n.∴m＝n.
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