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第12章全等三角形 素养练习
一、选择题(本大题共10小题，每小题3INCLUDEPICTURE"赞.tif" INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\庞建宇\\Desktop\\八数HS全国 PPT+希沃\\赞.tif" \* MERGEFORMATINET ，共30INCLUDEPICTURE"赞.tif" INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\庞建宇\\Desktop\\八数HS全国 PPT+希沃\\赞.tif" \* MERGEFORMATINET .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)
1．对于命题“若x2＝4，则x＝2”，下列能说明它是假命题的反例是(　　)
A．x＝－2 B．x＝－4 C．x＝4 D．x＝－16
2．如图，若AC＝DF，BC＝EF，AD＝BE，∠A＝65°，∠C＝85°，则∠E的度数是(　　)
A．30° B．40° C．65° D．85°
INCLUDEPICTURE"22WH43.tif" INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\庞建宇\\Desktop\\八数HS全国 PPT+希沃\\22WH43.tif" \* MERGEFORMATINET (第2题)INCLUDEPICTURE"25秋8HSJ+4.tif" INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\庞建宇\\Desktop\\八数HS全国 PPT+希沃\\25秋8HSJ+4.tif" \* MERGEFORMATINET (第5题)INCLUDEPICTURE"H卷-7.tif" INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\庞建宇\\Desktop\\八数HS全国 PPT+希沃\\H卷-7.tif" \* MERGEFORMATINET (第6题)
3．若等腰三角形的两边长分别为3和6，则它的周长为(　　)
A．12 B．15 C．9或12 D．12或15
4．下列说法不正确的是(　　)
A．等腰三角形是轴对称图形
B．等腰三角形两腰上的高相等
C．等腰三角形的中线与角平分线重合
D．有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形
5．如图，点P是AB上任意一点，∠ABC＝∠ABD，从下列各条件中补充一个条件，不一定能推出△APC≌△APD的是(　　)
A．BC＝BD B．∠ACB＝∠ADB
C．∠CAB＝∠DAB D．AC＝AD
6．如图，在△ABC中，分别以B，C为圆心，大于BC的长为半径作弧，两弧相交于点M，N，作直线MN交AB于点D，连结CD.若CD＝CA，∠A＝50°，则∠ACB的度数为(　　)
A．90° B．95° C．100° D．105°
7．若△ABC的三个内角的平分线交于点O，且OD⊥AB于点D，OD＝a，BC＝5，CA＝7，AB＝9，则S△ABC＝(　　)
A．21a B.a C．30a D．无法计算
8．如图，点B，C，E在同一条直线上，∠B＝∠E＝70°，∠ACF＝70°，且AB＝CE，图中与AC长度相等的线段是(　　)
A．BC B．EF C．CF D．AF
INCLUDEPICTURE"25秋8HSJ+5.tif" INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\庞建宇\\Desktop\\八数HS全国 PPT+希沃\\25秋8HSJ+5.tif" \* MERGEFORMATINET (第8题)　INCLUDEPICTURE"22WH48.tif" INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\庞建宇\\Desktop\\八数HS全国 PPT+希沃\\22WH48.tif" \* MERGEFORMATINET (第9题)INCLUDEPICTURE"26秋八HSJ+1.tif" INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\庞建宇\\Desktop\\八数HS全国 PPT+希沃\\26秋八HSJ+1.tif" \* MERGEFORMATINET (第10题)
9．如图，△ABC是等边三角形，P，Q分别是边BC，AC上的点，AQ＝PQ，PR⊥AB于点R，PS⊥AC于点S，PR＝PS，则下列结论：①点P在∠BAC的平分线上；②AS＝AR；③QP∥AR；④△BRP≌△QSP.其中正确的结论是(　　)
A．①②③④ B．①② C．②③ D．①③
10．如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BM是边AC上的中线，AD⊥BM，交BC于点D，垂足为点E，AH平分∠BAC交BM于点N，交BC于点H，连结DM.则下列结论：
①∠AMB＝∠CMD；②HN＝HD；③BN＝AD；④∠BNH＝∠MDC，错误的有(　　)
A．0个 B．1个 C．3个 D．4个
二、填空题(本大题共5小题，每小题3INCLUDEPICTURE"赞.tif" INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\庞建宇\\Desktop\\八数HS全国 PPT+希沃\\赞.tif" \* MERGEFORMATINET ，共15INCLUDEPICTURE"赞.tif" INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\庞建宇\\Desktop\\八数HS全国 PPT+希沃\\赞.tif" \* MERGEFORMATINET )
11．命题“能被5整除的数的末位数字是5”的逆命题是____________________________．
12．如图，在△ABC中，∠A＝90°，BD是∠ABC的平分线，已知AD＝5 cm，BC＝14 cm，则△BCD的面积是________cm2.
INCLUDEPICTURE"25秋8HSJ+7.tif" INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\庞建宇\\Desktop\\八数HS全国 PPT+希沃\\25秋8HSJ+7.tif" \* MERGEFORMATINET (第12题)　INCLUDEPICTURE"8HK14-24.tif" INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\庞建宇\\Desktop\\八数HS全国 PPT+希沃\\8HK14-24.tif" \* MERGEFORMATINET (第13题)INCLUDEPICTURE"H卷-9.tif" INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\庞建宇\\Desktop\\八数HS全国 PPT+希沃\\H卷-9.tif" \* MERGEFORMATINET (第14题)
13．如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B，点E在线段AB上，CE∥DA.若使△BCE成为等边三角形，可增加的一个条件是__________________．
14．如图，∠MON内有一点P，PP1，PP2分别被OM，ON垂直平分，P1P2与OM，ON分别交于点A，B.若P1P2＝2 027，则△PAB的周长为________．
15．如图，在长方形ABCD中，AB＝4，AD＝6，延长BC到点E，使CE＝2，连结DE，动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿BC→CD→DA向终点A运动，设点P的运动时间为t s，当△ABP与△DCE全等时，t的值为________．
INCLUDEPICTURE"25秋8HS+309.tif" INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\庞建宇\\Desktop\\八数HS全国 PPT+希沃\\25秋8HS+309.tif" \* MERGEFORMATINET
三、解答题(本大题共8小题，共75INCLUDEPICTURE"赞.tif" INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\庞建宇\\Desktop\\八数HS全国 PPT+希沃\\赞.tif" \* MERGEFORMATINET .解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
16．(8INCLUDEPICTURE"赞.tif" INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\庞建宇\\Desktop\\八数HS全国 PPT+希沃\\赞.tif" \* MERGEFORMATINET )如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，EF∥AD，交AC于点E，交BA的延长线于点F.求证：△AEF为等腰三角形．
INCLUDEPICTURE"25秋8HSJ+9.tif" INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\庞建宇\\Desktop\\八数HS全国 PPT+希沃\\25秋8HSJ+9.tif" \* MERGEFORMATINET
17．(8INCLUDEPICTURE"赞.tif" INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\庞建宇\\Desktop\\八数HS全国 PPT+希沃\\赞.tif" \* MERGEFORMATINET )如图，点O是线段AB的中点，在线段AB的同侧作AC＝AO，BD＝BO，过点C作CE⊥AB于点E，过点D作DF⊥AB于点F，已知CE＝DF.求证：△AEC≌△BFD.　
INCLUDEPICTURE"25秋8HSJ+10.tif" INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\庞建宇\\Desktop\\八数HS全国 PPT+希沃\\25秋8HSJ+10.tif" \* MERGEFORMATINET
18.(8INCLUDEPICTURE"赞.tif" INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\庞建宇\\Desktop\\八数HS全国 PPT+希沃\\赞.tif" \* MERGEFORMATINET )如图，AD为△ABC的角平分线，DE⊥AC于点E，DF⊥AB于点F，连结EF.
求证：AD垂直平分EF.
INCLUDEPICTURE"调-LL-47.tif" INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\庞建宇\\Desktop\\八数HS全国 PPT+希沃\\调-LL-47.tif" \* MERGEFORMATINET
19．(9INCLUDEPICTURE"赞.tif" INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\庞建宇\\Desktop\\八数HS全国 PPT+希沃\\赞.tif" \* MERGEFORMATINET )如图，G是△ABC的边AB上的一点，BD⊥CD于点D.
(1)请用无刻度的直尺和圆规在图中过点A作CD的垂线，垂足为E(保留作图痕迹，不写作法)；
(2)在(1)的条件下，连结DG并延长交AE于点F，若AF＝BD，求证：G是AB的中点．
INCLUDEPICTURE"25秋8HSJ+11.tif" INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\庞建宇\\Desktop\\八数HS全国 PPT+希沃\\25秋8HSJ+11.tif" \* MERGEFORMATINET
20．(9INCLUDEPICTURE"赞.tif" INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\庞建宇\\Desktop\\八数HS全国 PPT+希沃\\赞.tif" \* MERGEFORMATINET )如图，为了测量湖宽AB，先在AB的延长线上选定点C，再选一适当的点M，然后延长BM，CM到点B′，C′，使MB′＝MB，MC′＝MC.又在C′B′的延长线上找一点A′，使A′，M，A三点在同一条直线上，这时，只要测出线段A′B′的长度就可知湖宽．你能说明其中的道理吗？
INCLUDEPICTURE"25秋8HSJ+12.tif" INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\庞建宇\\Desktop\\八数HS全国 PPT+希沃\\25秋8HSJ+12.tif" \* MERGEFORMATINET
21．(10INCLUDEPICTURE"赞.tif" INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\庞建宇\\Desktop\\八数HS全国 PPT+希沃\\赞.tif" \* MERGEFORMATINET )如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，E是边AC上一点，过点D作DE⊥DF交CA的延长线于点F，DB＝DF.
(1)求证：△ABD≌△EFD；
(2)若∠B＝30°，AD＝3，求AF的长．
INCLUDEPICTURE"25秋8HSJ+13.tif" INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\庞建宇\\Desktop\\八数HS全国 PPT+希沃\\25秋8HSJ+13.tif" \* MERGEFORMATINET
22．(11INCLUDEPICTURE"赞.tif" INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\庞建宇\\Desktop\\八数HS全国 PPT+希沃\\赞.tif" \* MERGEFORMATINET )如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC交AC的延长线于点F.
(1)求证：BE＝CF；
(2)如果AB＝7，AC＝5，求AE，BE的长．
INCLUDEPICTURE"25秋8HSJ+14.tif" INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\庞建宇\\Desktop\\八数HS全国 PPT+希沃\\25秋8HSJ+14.tif" \* MERGEFORMATINET
23．(12INCLUDEPICTURE"赞.tif" INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\庞建宇\\Desktop\\八数HS全国 PPT+希沃\\赞.tif" \* MERGEFORMATINET )某数学兴趣小组的同学们以等腰三角形为背景展开探究．
如图，在△ABC中，AB＝AC，D为射线BC上(不与B，C重合)一动点，在AD的右侧、射线BC的上方作△ADE，使得AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，连结CE.
(1)求证：△ABD≌△ACE；
【独立思考】
(2)延长EC交AB的延长线于点F，若∠F＝30°，利用(1)中的结论求出∠DCE的度数．
【拓展延伸】
(3)当D在线段BC上时，若线段BC＝4，△ABC的面积为6，则四边形ADCE周长的最小值为________．
INCLUDEPICTURE"25秋8HSJ+15.tif" INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\庞建宇\\Desktop\\八数HS全国 PPT+希沃\\25秋8HSJ+15.tif" \* MERGEFORMATINET
答案
一、1.A　2.A　3.B　4.C　5.D
6．D　7.B　8.C　9.A　10.A
二、11.末位数字是5的数能被5整除
12．35
13．∠BCE＝∠B(答案不唯一)
14．2 027
15．1或7
三、16.证明：∵EF∥AD，
∴∠F＝∠BAD，∠AEF＝∠DAC.
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠DAC.
∴∠F＝∠AEF.∴AE＝AF，
即△AEF为等腰三角形．
17．证明：∵点O是线段AB的中点，
∴OA＝OB.∵AC＝AO，BD＝BO，
∴AC＝BD，∵CE⊥AB，DF⊥AB，
∴∠CEA＝∠DFB＝90°.
∵CE＝DF，
∴Rt△AEC≌Rt△BFD(HL)．
18．证明：∵AD为△ABC的角平分线，DE⊥AC，DF⊥AB，∴DE＝DF，
∴点D在线段EF的垂直平分线上．
在Rt△ADF和Rt△ADE中，AD＝AD，DF＝DE，
∴Rt△ADF≌Rt△ADE(HL)，
∴AF＝AE，
∴点A在线段EF的垂直平分线上，
∴AD垂直平分EF.
19．(1)解：如图所示，AE即为所求．
INCLUDEPICTURE"25秋8HSD+55.tif" INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\庞建宇\\Desktop\\八数HS全国 PPT+希沃\\25秋8HSD+55.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\庞建宇\\Desktop\\八数HS全国 PPT+希沃\\25秋8HSD+55.tif" \* MERGEFORMATINET
(2)证明：如图，
∵BD⊥CD，AE⊥CD，
∴BD∥AE，∴∠FAG＝∠DBG.
在△AGF和△BGD中，∠AGF＝∠BGD，∠FAG＝∠DBG，
AF＝BD，∴△AGF≌△BGD，
∴AG＝BG，即G是AB的中点．
20．解：在△MBC和△MB′C′中，MB＝MB′，∠BMC＝∠B′MC′，MC＝MC′，∴△MBC≌△MB′C′(SAS)，
∴∠MBC＝∠MB′C′.
又∵∠MBC＋∠MBA＝180°，
∠MB′C′＋∠MB′A′＝180°，
∴∠MBA＝∠MB′A′.
在△MBA和△MB′A′中，
∠MBA＝∠MB′A′，MB＝MB′，
∠BMA＝∠B′MA′，
∴△MBA≌△MB′A′(ASA)，
∴AB＝A′B′.
21．(1)证明：∵AB＝AC，AD是边BC上的中线，
∴AD⊥BC，BD＝CD，∠B＝∠C.
∵DE⊥DF，
∴∠ADB＝∠EDF＝90°，
∵DB＝DF，∴DB＝DF＝DC，
∴∠F＝∠C＝∠B，
∴△ABD≌△EFD(ASA)．
(2)解：∵△ABD≌△EFD，
∴DE＝AD＝3，∠F＝∠B＝30°，
∴∠DEF＝60°，
∴△ADE是等边三角形，
∴∠DAE＝60°，
∴∠ADF＝∠DAE－∠F＝30°＝∠F，
∴AF＝AD＝3.
22．(1)证明：连结DB，DC，
∵DG⊥BC且平分BC，
∴DB＝DC.
∵AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF，∠BED＝∠DFC＝90°.
在Rt△DBE和Rt△DCF中，DB＝DC，DE＝DF，
∴Rt△DBE≌Rt△DCF(HL)，
∴BE＝CF.
(2)解：在Rt△ADE和Rt△ADF中，AD＝AD，DE＝DF，
∴Rt△ADE≌Rt△ADF(HL)，
∴AE＝AF.
∵AC＋CF＝AF，
∴AE＝AC＋CF.
∵AE＝AB－BE，
∴AC＋CF＝AB－BE，
由(1)知BE＝CF，
∴5＋BE＝7－BE，
∴BE＝1，
∴AE＝7－1＝6.
23．(1)证明：∵∠DAE＝∠BAC，
∴∠DAE＋∠CAD＝∠BAC＋∠CAD，即∠CAE＝∠BAD，
在△ABD和△ACE中，AB＝AC，∠BAD＝∠CAE，AD＝AE，
∴△ABD≌△ACE(SAS)．
(2)解：如图，
INCLUDEPICTURE"25秋8HSD+57.tif" INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\庞建宇\\Desktop\\八数HS全国 PPT+希沃\\25秋8HSD+57.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\庞建宇\\Desktop\\八数HS全国 PPT+希沃\\25秋8HSD+57.tif" \* MERGEFORMATINET
由题易得∠ABC＝∠F＋∠BCF＝30°＋∠BCF，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝30°＋∠BCF.
∵△ABD≌△ACE，
∴∠ACE＝∠ABC＝30°＋∠BCF，
∵∠BCF＋∠ACB＋∠ACE＝180°，
∴∠BCF＋30°＋∠BCF＋30°＋∠BCF＝180°，
∴∠BCF＝40°，
∴∠DCE＝∠BCF＝40°.
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