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第13章勾股定理 素养练习
一、选择题(本大题共10小题，每小题3INCLUDEPICTURE"赞.tif" INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\庞建宇\\Desktop\\八数HS全国 PPT+希沃\\赞.tif" \* MERGEFORMATINET ，共30INCLUDEPICTURE"赞.tif" INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\庞建宇\\Desktop\\八数HS全国 PPT+希沃\\赞.tif" \* MERGEFORMATINET .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)
1．下列各组长度的线段不能组成直角三角形的是(　　)
A．3，4，5 B．0.6，0.8，1
C.，， D．13，5，12
2．用反证法证明“a≥b”时，应先假设(　　)
A．a≤b B．a3．古代埃及人用如图的方法画直角，把一根长绳打上等距离的结，最后一个结与打的第一个结重合，这个结应标的数字是(　　)
A．12 B．13 C．14 D．15
INCLUDEPICTURE"26BHJ-4.tif" INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\庞建宇\\Desktop\\八数HS全国 PPT+希沃\\26BHJ-4.tif" \* MERGEFORMATINET (第3题)　　　　INCLUDEPICTURE"H卷-10.tif" INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\庞建宇\\Desktop\\八数HS全国 PPT+希沃\\H卷-10.tif" \* MERGEFORMATINET (第4题)
4．如图，在4×4的方格纸中，有一个格点三角形ABC，关于△ABC的描述正确的是(　　)
A．三边长都是有理数 B．是等腰三角形
C．是直角三角形 D．有一条边长为5
5．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，AB＝10，AC＝6，BD＝5，则点D到AB的距离是(　　)
A．3 B．4 C．5 D．6
INCLUDEPICTURE"25秋8HSJ+16.tif" INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\庞建宇\\Desktop\\八数HS全国 PPT+希沃\\25秋8HSJ+16.tif" \* MERGEFORMATINET (第5题)　　　INCLUDEPICTURE"25HKJ-4.tif" INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\庞建宇\\Desktop\\八数HS全国 PPT+希沃\\25HKJ-4.tif" \* MERGEFORMATINET (第6题)
6．如图，一只小猫沿着斜立在墙角的木板往上爬，木板底端距离墙角O处为0.7 m．当小猫从木板底端爬到顶端时，木板底端向左滑动了1.3 m，木板顶端向下滑动了0.9 m，则小猫在木板上爬动的距离为(　　)
A．3 m B．2.5 m C．2 m D．1.5 m
7．“赵爽弦图”被人们称为“中国古代数学的图腾”，是数形结合的典型体现．如图，大正方形ABCD是由四个全等的直角三角形和小正方形EFGH组成的．连结FH，DF，若正方形EFGH的面积为9，DF＝5，则大正方形ABCD的边长为(　　)
A．4 B. C. D．5
INCLUDEPICTURE"26秋八HSJ+2.tif" INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\庞建宇\\Desktop\\八数HS全国 PPT+希沃\\26秋八HSJ+2.tif" \* MERGEFORMATINET (第7题)　　　INCLUDEPICTURE"25QJ-14.tif" INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\庞建宇\\Desktop\\八数HS全国 PPT+希沃\\25QJ-14.tif" \* MERGEFORMATINET (第8题)
8．如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD，点E为对角线BD上任意一点，连结AE，CE.若AB＝5，BC＝3，则AE2－CE2等于(　　)
A．7 B．9 C．16 D．25
9．如图，在底面周长约为6 m且带有层层回环不断的云朵石柱上，有一条雕龙从柱底沿立柱表面均匀地盘绕2圈到达柱顶(从点A到点C，B为AC的中点)，每根石柱刻有雕龙的部分的柱身高约16 m，则刻在石柱上的雕龙的长度至少为(　　)
A．10 m B．12 m C．16 m D．20 m
INCLUDEPICTURE"25QJ-15.tif" INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\庞建宇\\Desktop\\八数HS全国 PPT+希沃\\25QJ-15.tif" \* MERGEFORMATINET (第9题)　　INCLUDEPICTURE"25秋8HSJ+18.tif" INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\庞建宇\\Desktop\\八数HS全国 PPT+希沃\\25秋8HSJ+18.tif" \* MERGEFORMATINET (第10题)
10．如图，线段OP＝1，过点P作PP1⊥OP且PP1＝1，连结OP1；过点P1作P1P2⊥OP1且P1P2＝1，连结OP2；过点P2作P2P3⊥OP2且P2P3＝1，连结OP3，依照此法继续作图，则OPn(n为正整数)的长为(　　)
A. B. C. D.
二、填空题(本大题共5小题，每小题3INCLUDEPICTURE"赞.tif" INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\庞建宇\\Desktop\\八数HS全国 PPT+希沃\\赞.tif" \* MERGEFORMATINET ，共15INCLUDEPICTURE"赞.tif" INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\庞建宇\\Desktop\\八数HS全国 PPT+希沃\\赞.tif" \* MERGEFORMATINET )
11．请写出一组勾股数：____________________．
12．木工师傅要做一张长方形的桌面，完成后，量得桌面的长为100 cm，宽为80 cm，对角线为130 cm，则做出的这个桌面________．(填“合格”或“不合格”)
13．如图，学校B前面有一条笔直的公路，学生放学后走AB，BC两条路可到达公路，经测量BC＝600 m，BA＝800 m，AC＝1 000 m，现需修建一条路从学校B到公路，则学校B到公路的最短距离为________．
INCLUDEPICTURE"22WH65.tif" INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\庞建宇\\Desktop\\八数HS全国 PPT+希沃\\22WH65.tif" \* MERGEFORMATINET (第13题)INCLUDEPICTURE"25秋8HSJ+19.tif" INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\庞建宇\\Desktop\\八数HS全国 PPT+希沃\\25秋8HSJ+19.tif" \* MERGEFORMATINET (第14题)　　　INCLUDEPICTURE"25秋8HSJ+20.tif" INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\庞建宇\\Desktop\\八数HS全国 PPT+希沃\\25秋8HSJ+20.tif" \* MERGEFORMATINET (第15题)
14．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，分别以这个三角形三边长为边长向外侧作正方形，面积分别记为S1，S2，S3，若S3＋S1－S2＝26，则阴影部分的面积为________．
15．如图，在长方形ABCD中，AB＝6，BC＝8，E是边BC上一点，将长方形沿AE折叠，点B落在点B′处．当△B′EC是直角三角形时，BE的长为________．
三、解答题(本大题共8小题，共75INCLUDEPICTURE"赞.tif" INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\庞建宇\\Desktop\\八数HS全国 PPT+希沃\\赞.tif" \* MERGEFORMATINET .解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
16．(7INCLUDEPICTURE"赞.tif" INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\庞建宇\\Desktop\\八数HS全国 PPT+希沃\\赞.tif" \* MERGEFORMATINET )如图，AD是△ABC的中线，AD＝24，AB＝26，BC＝20，求AC的长．
INCLUDEPICTURE"22WH67.tif" INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\庞建宇\\Desktop\\八数HS全国 PPT+希沃\\22WH67.tif" \* MERGEFORMATINET
17．(8INCLUDEPICTURE"赞.tif" INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\庞建宇\\Desktop\\八数HS全国 PPT+希沃\\赞.tif" \* MERGEFORMATINET )如图，四边形ABCD的周长为42，△ABD是等边三角形，AB＝12，∠ADC＝150°，求BC的长．
INCLUDEPICTURE"25秋8HSJ+21.tif" INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\庞建宇\\Desktop\\八数HS全国 PPT+希沃\\25秋8HSJ+21.tif" \* MERGEFORMATINET
18.(8INCLUDEPICTURE"赞.tif" INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\庞建宇\\Desktop\\八数HS全国 PPT+希沃\\赞.tif" \* MERGEFORMATINET )如图，某船从港口A出发沿南偏东32°方向航行12 n mile到达B岛，然后沿某方向航行16 n mile到达C岛，最后沿某方向航行20 n mile回到港口A，试说明该船从B到C是沿哪个方向航行的．
INCLUDEPICTURE"J14-4.tif" INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\庞建宇\\Desktop\\八数HS全国 PPT+希沃\\J14-4.tif" \* MERGEFORMATINET
19．(9INCLUDEPICTURE"赞.tif" INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\庞建宇\\Desktop\\八数HS全国 PPT+希沃\\赞.tif" \* MERGEFORMATINET )如图，∠ACB＝90°，AC＝AD.
(1)用尺规过点D作AB的垂线DE交BC于点E，连结AE；(不写作法，保留作图痕迹)
(2)若BD＝8，BE＝10，求BC的长．
INCLUDEPICTURE"25秋8HSJ+22.tif" INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\庞建宇\\Desktop\\八数HS全国 PPT+希沃\\25秋8HSJ+22.tif" \* MERGEFORMATINET
20．(10INCLUDEPICTURE"赞.tif" INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\庞建宇\\Desktop\\八数HS全国 PPT+希沃\\赞.tif" \* MERGEFORMATINET )如图是某块四边形花园ABCD，经测量可知∠B＝90°，AB＝24 m，BC＝7 m，CD＝15 m，AD＝20 m.
INCLUDEPICTURE"J14-5.tif" INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\庞建宇\\Desktop\\八数HS全国 PPT+希沃\\J14-5.tif" \* MERGEFORMATINET
(1)判断∠D是不是直角，并说明理由；
(2)求四边形ABCD的面积．
21．(10INCLUDEPICTURE"赞.tif" INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\庞建宇\\Desktop\\八数HS全国 PPT+希沃\\赞.tif" \* MERGEFORMATINET )对于任意大于或等于4的偶数，存在下列勾股数：
组别 a b c
第1组 4＝2×2 3＝22－1 5＝22＋1
第2组 6＝2×3 8＝32－1 10＝32＋1
第3组 8＝2×4 15＝42－1 17＝42＋1
(1)根据以上规律，请你直接写出第7组勾股数；
(2)请你猜想出第n组(n为正整数)，并证明这是一组勾股数．
22．(11INCLUDEPICTURE"赞.tif" INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\庞建宇\\Desktop\\八数HS全国 PPT+希沃\\赞.tif" \* MERGEFORMATINET )如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10 cm，BC＝6 cm，若动点P从点A出发，以1 cm/s的速度沿折线A－C－B运动，到点B停止．设运动时间为t s(t＞0)．
(1)当点P在边AB的垂直平分线上时，求t的值；
(2)当点P在∠BAC的平分线上时，求t的值．
INCLUDEPICTURE"22WH72.tif" INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\庞建宇\\Desktop\\八数HS全国 PPT+希沃\\22WH72.tif" \* MERGEFORMATINET
23．(12INCLUDEPICTURE"赞.tif" INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\庞建宇\\Desktop\\八数HS全国 PPT+希沃\\赞.tif" \* MERGEFORMATINET )问题背景：在△ABC中，AB，BC，AC的长分别为，，，求这个三角形的面积．小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格(每个小正方形的边长为1)，再在网格中画出格点△ABC(即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处)，如图①所示．这样不需求△ABC的高，借用网格就能计算出它的面积．
(1)图①中△ABC的面积为________；
(2)类比迁移：求边长分别为，，的三角形的面积(请利用图②的正方形网格画出相应的△A1B1C1)；
(3)思维拓展：求边长分别为，，(a＞0，b＞0，a≠b)的三角形的面积S；
(4)如图③，已知△PQR，以PQ，PR为边向外作正方形PQAF，正方形PRDE，连结EF，若PQ＝，PR＝，QR＝，则六边形AQRDEF的面积是________．
INCLUDEPICTURE"J14-6.tif" INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\庞建宇\\Desktop\\八数HS全国 PPT+希沃\\J14-6.tif" \* MERGEFORMATINET
答案
一、1.C　2.B　3.B　4.D　5.A
6．B　7.B　8.C　9.D　10.C
二、11.3，4，5(答案不唯一)
12．不合格　13.480 m
14.　15.3或6
三、16.解：∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝BC＝10.
又∵AD＝24，AB＝26，
∴AB2＝AD2＋BD2，
∴△ABD为直角三角形，且AD⊥BC，
∴AC＝AB＝26.
17．解：∵△ABD是等边三角形，
∴AB＝AD＝BD＝12，
∠ADB＝60°.
∴∠CDB＝150°－60°＝90°.
∵四边形ABCD的周长为42，
∴BC＋CD＝42－12－12＝18.
∴CD＝18－BC.
在Rt△CDB中，CD2＋DB2＝BC2，
即(18－BC)2＋122＝BC2，
解得BC＝13.
故BC的长是13.
18．解：∵AB＝12 n mile，BC＝16 n mile，AC＝20 n mile，
∴AB2＋BC2＝122＋162＝400＝202＝AC2，
∴∠ABC＝90°.
如图，由题易知∠1＝32°，
∴∠2＝180°－∠ABC－∠1＝58°，
∴该船从B到C是沿南偏西58°方向航行的．
INCLUDEPICTURE"JD14-1.tif" INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\庞建宇\\Desktop\\八数HS全国 PPT+希沃\\JD14-1.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\庞建宇\\Desktop\\八数HS全国 PPT+希沃\\JD14-1.tif" \* MERGEFORMATINET
19．解：(1)如图即为所求作的图形．
INCLUDEPICTURE"25秋8HSD+59.tif" INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\庞建宇\\Desktop\\八数HS全国 PPT+希沃\\25秋8HSD+59.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\庞建宇\\Desktop\\八数HS全国 PPT+希沃\\25秋8HSD+59.tif" \* MERGEFORMATINET
(2)∵ED⊥AB，
∴∠ADE＝∠EDB＝90°，
在Rt△BDE中，
DE＝＝＝6，
在Rt△ADE和Rt△ACE中，
AD＝AC，AE＝AE，
∴Rt△ADE≌Rt△ACE(HL)，
∴EC＝ED＝6，
∴BC＝BE＋EC＝16.
20．解：(1)∠D是直角，理由：连结AC.
∵∠B＝90°，AB＝24 m，BC＝7 m，
∴AC＝＝＝25(m)．∵CD＝15 m，AD＝20 m，
∴CD2＋AD2＝AC2，∴△ACD为直角三角形，且∠D＝90°.
(2)四边形ABCD的面积为BC·AB＋AD·CD＝×7×24＋×20×15＝234(m2)．
21．解：(1)第7组勾股数为16，63，65.
(2)第n组：2(n＋1)，(n＋1)2－1，
(n＋1)2＋1.
证明：＋
＝4(n＋1)2＋(n＋1)4－2(n＋1)2＋1
＝(n＋1)4＋2(n＋1)2＋1，
＝(n＋1)4＋2(n＋1)2＋1，
所以＋[(n＋1)2－1]2＝，
所以2(n＋1)，(n＋1)2－1，(n＋1)2＋1是勾股数．
22．解：(1)如图①，当点P在边AB的垂直平分线PD上时，连结BP，则PB＝PA＝t cm.∵∠ACB＝90°，AB＝10 cm，BC＝6 cm，∴易得AC＝8 cm，∴PC＝(8－t)cm.在Rt△PCB中，由勾股定理，得PC2＋BC2＝PB2，
即(8－t)2＋62＝t2，解得t＝.
∴当点P在边AB的垂直平分线上时，t的值为.
(2)当点P在∠BAC的平分线AP上时，如图②，过点P作PE⊥AB于点E.
∵AP平分∠BAC，∠ACB＝90°，
∴∠CAP＝∠EAP，PE＝PC＝(t－8)cm，
在△ACP与△AEP中，∠CAP＝∠EAP，∠ACP＝∠AEP＝90°，
PC＝PE，
∴△ACP≌△AEP(AAS)，
∴AE＝AC＝8 cm，∴BE＝AB－AE＝10－8＝2 (cm)．易知PB＝(14－t)cm，在Rt△PEB中，由勾股定理，得PE2＋EB2＝PB2，即(t－8)2＋22＝(14－t)2，解得t＝.
∴当点P在∠BAC的平分线上时，t的值为.
INCLUDEPICTURE"22MJ72.tif" INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\庞建宇\\Desktop\\八数HS全国 PPT+希沃\\22MJ72.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\庞建宇\\Desktop\\八数HS全国 PPT+希沃\\22MJ72.tif" \* MERGEFORMATINET
23．解：(1)
(2)如图①所示，△A1B1C1即为所求，S△A1B1C1＝2×4－×1×2－×2×2－×1×4＝3.
(3)如图②，△A2B2C2是边长分别为，，的三角形．S＝3a×4b－×3a×2b－×2a×2b－×a×4b＝5ab.
INCLUDEPICTURE"JD14-3.tif" INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\庞建宇\\Desktop\\八数HS全国 PPT+希沃\\JD14-3.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\庞建宇\\Desktop\\八数HS全国 PPT+希沃\\JD14-3.tif" \* MERGEFORMATINET
(4)31
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