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7.1.2 课时1 垂线
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
1．甲、乙、丙共同完成这样一道题目：“直线，相交于点，平分，，垂足为（如图所示）．若，请用含的代数式表示，，中任意两个角的度数．”甲的结果是，；乙的结果是，；丙的结果是，．下列判断正确的是（ ）
A. 甲对乙错 B. 甲和乙都错
C. 乙和丙都对 D. 乙对丙错
2．如图,如果直线ON⊥直线a,直线OM⊥直线a,那么OM与ON重合(即O,M,N三点共线),其理由是 ( )
A. 两点确定一条直线
B. 在同一平面内,过两点有且只有一条直线与已知直线垂直
C. 在同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
D. 两点之间,线段最短
3．如图，以 的顶点B为圆心， 长为半径画弧，交 于点D，再分别以C，D为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧交于点E，作射线 交 于点F，若 ， ，则 （ ）

A. B. C. D.
4．如图，直线AB、CD相交于点O，EO⊥CD．下列说法错误的是（　　）
A. ∠AOD=∠BOC B. ∠AOE+∠BOD=90°
C. ∠AOC=∠AOE D. ∠AOD+∠BOD=180°
5． 下列各图中,过直线l外一点P画l的垂线CD,三角板操作正确的是 ( )
A. B.
C. D.
6．如图,直线AB与CD交于点O,EO⊥CD,垂足为O,AO平分∠EOD,则∠BOD的度数为 ( )
A. 120° B. 130° C. 135° D. 140°
7．如图，砌墙师傅用重垂线检验砌的墙体是否与地面垂直，墙体竖直线用a表示，重垂线用b表示，当a∥b时，因为b⊥c,则a⊥c,这里运用了平行线的性质是 _____．
8．已知 和 互为邻补角，若 ，则 ．
9．如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥AB，垂足为O，若∠COA=30°，则∠EOD的大小是 _____．
10．如图,直线EF,CD相交于点O,OC平分∠AOF,∠AOE=2∠BOD.
(1)∠COF的对顶角是 ,∠BOD的邻补角是 .
(2)若∠AOE=40°,求∠DOE的度数.
(3)猜想OA与OB之间的位置关系,并说明理由.
11．在学习了等边三角形相关知识后，数学学习小组进行了深入的探究后发现：在等腰 中， ， ， 为 中点，过点 作 于点 ，过点 作 于点 ，连接 ，则 为等边三角形．
（1）用尺规完成以下操作：过点 作 的垂线交 于点 ，连接 （只保留作图痕迹）；
（2）根据（1）中所作图形，数学学习小组发现 是等边三角形的结论成立，并给出了证明，请补全证明过程．
证明：
，
①
，
为 中点
②
在 和 中
④
为等边三角形
12．如图，直线l与直线m相交于点O，P是直线l上一点，请根据下列要求画图．
（1）过点P画出直线m的平行线n.
（2）过点P画出直线m的垂线PH（垂足为点H）．
13．如图，在 中， ，点D为 上一点， 交 的延长线于点E．
（1）请你利用尺规作图：过点A作 的垂线交 于点F．（保留作图痕迹，不写作法，不下结论）
（2）求证： ．（请补全下面的证明过程）
证明：∵ ，
∴_①_ ．
∵ ；
∴ ．
∴_②_（_③ ）
在 和 中 ，
∴ ．
∴ ．
14．如图,直线AB与CD相交于点O,OE平分∠AOD.
(1)如果∠AOC=50°,求∠DOE的度数;
(2)如图,作OF⊥OE,试说明OF平分∠BOD.
试卷答案
1．【答案】C
【解析】根据几何图形中的角度计算，含的代数式表示出，，即可求解．
解：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
，
∴,
∵，
∴，
∴，
所以乙和丙都对．
故选：C
【点睛】本题考查了垂直的定义，几何图形中角度的计算，数形结合是解题的关键．
2．【答案】C
3．【答案】B
【解析】本题考查了三角形的内角和，等边三角形的性质，设 ，则 ，得出 ， ，根据 得出 ，列出方程，求出x的值，即可求解．
解：由作图可知， ，
设 ，则 ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
解得： ，
∴ ，
∴ ，
故选B．
4．【答案】C
5．【答案】D
6．【答案】C
7．【答案】两直线平行，同旁内角互补
【解析】根据a,b平行得到∠1和∠2的关系，再结合b,c的关系求出∠2即可判断．
解：如图，∵a∥b,
∴∠1+∠2=180°，
∵b⊥c,
∴∠1=90°，
∴∠2=180°-∠1=90°，
∴a⊥c,
理由为：两直线平行，同旁内角互补，
故答案为：两直线平行，同旁内角互补．
8．【答案】
【解析】由邻补角的性质得到 ，又 ，即可求出 ．
解：∵ 和 互为邻补角，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
9．【答案】120°
【解析】欲求∠EOD，需求∠EOC．由EO⊥AB，得∠AOE=90°，进而求得∠EOC=60°．
解：∵EO⊥AB，
∴∠AOE=90°．
∴∠EOC=∠AOE-∠AOC=90°-∠AOC=90°-30°=60°．
∴∠EOD=180°-∠EOC=180°-60°=120°．
故答案为：120°．
10．【答案】(1)∠DOE;∠BOC
(2)70°
(3)OA⊥OB.
【解析】解:(1)∠DOE;∠BOC.
(2)因为∠AOF+∠AOE=180°,∠AOE=40°,
所以∠AOF=140°.
因为OC平分∠AOF,
所以∠FOC=∠AOF=70°,
所以∠DOE=∠FOC=70°.
(3)OA⊥OB.理由如下:
设∠BOD=α,∠BOE=β,
所以∠AOE=2∠BOD=2α,∠FOC=∠DOE=α+β.因为OC平分∠AOF,
所以∠AOC=∠FOC=α+β.
因为∠AOC+∠AOE+∠DOE=180°,
所以α+β+2α+α+β=180°,
所以2α+β=90°,
所以∠AOE+∠BOE=90°,
所以OA⊥OB.
11．【答案】（1）图见详解
（2） ； ； ；
【解析】（1）根据垂线的画法作出垂线，连接 即可．
（2）根据等腰三角形的性质可得 ， ，再根据 为 中点，可得 ，从而证明 ，根据全等三角形的性质得出 ，即可证明 为等边三角形,即可得出答案．
（1）解：以点 为圆心画弧，交 于两个点，再分别以两个交点为圆心，以大于两个交点长度的二分之一画弧交于一点，连接交点和点 ，交 于点 ，连接 即可，如图：
（2）证明： ， ，
① ，
， ，
，
，
，
为 中点，
② ，
在 和 中，
，
，
④ ，
为等边三角形．
12．【解析】（1）把三角板的一条直角边与直线m重合，用直尺靠紧三角板的另一条直角边，沿直尺移动三角板，使三角板的原来和直线m已知直线重合的直角边和P点重合，过P点沿三角板的直角边画直线n即是已知直线的平行线；
（2）把三角板的一条直角边与直线m重合；，沿着直线移动三角板，使三角板的另一直角边过直线外的一点；沿着三角板的另一条直角边画一条直线，这条直线就是已知直线的垂线；标出直角符号和垂足．
解：（1）把三角板的一条直角边与直线m重合，用直尺靠紧三角板的另一条直角边，沿直尺移动三角板，使三角板的原来和直线m已知直线重合的直角边和P点重合，过P点沿三角板的直角边画直线n即是已知直线的平行线
如图所示：直线n即为所求，
（2）把三角板的一条直角边与直线m重合；，沿着直线移动三角板，使三角板的另一直角边过直线外的一点；沿着三角板的另一条直角边画一条直线，这条直线就是已知直线的垂线；标出直角符号和垂足如图所示：垂线PH即为所求；
13．【答案】（1）见详解
（2）① ；② ；③同角的余角相等；④
【解析】本题主要考查了尺规作一条直线的垂线，三角形全等的判定和性质，熟练掌握三角形全等的判定方法，是解题的关键．
（1）根据过直线外一点作一条直线的垂线的方法，作图即可；
（2）先证明 ，得出 ，即可证明结论．
（1）解：如图， 即为所求作的垂线；
（2）解：证明：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ （同角的余角相等），
在 和 中 ，
∴ ．
∴ ．
14．【答案】(1)∠DOE=65°
(2)见解析
【解析】解:(1)∵∠AOC=50°,∴∠AOD=180°-∠AOC=130°,
∵OE平分∠AOD,∴∠DOE=∠AOD=65°;
(2)∵OF⊥OE,∴∠EOF=90°,∴∠DOE+∠DOF=90°,∴∠AOE+∠BOF=90°,
∵∠AOE=∠DOE,∴∠DOF=∠BOF,∴OF平分∠BOD.

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