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八年级下册期末复习——四边形综合压轴
1.定义：对于一个四边形，我们把依次连接它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”，如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形”某兴趣小组围绕该定义进行探究活动，请解决下列问题：
如图，点，，，分别为任意四边形的边，，，的中点该小组发现任意四边形的中点四边形都是平行四边形，证明思路如下：
请指出上述解题思路中的“依据”、“依据”分别是什么？
依据：______；依据：______；
该小组从特殊四边形出发，判断以下图形中，一定属于“中方四边形”的是______填序号．
平行四边形；矩形；菱形；正方形
如图，该小组深入探究发现，要使得四边形为“中方四边形”，则其对角线与应满足特殊的数量关系和位置关系请写出与应满足的条件，并证明你的结论．
如图，以锐角的两边，为边长，分别向外侧作正方形和正方形，连接，，，求证：四边形是“中方四边形”．
【答案】三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边长的一半一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 ，；证明：四边形是“中方四边形”，
四边形是正方形，
，，
，
， 如图，连接，，设分别交，于点，点，
四边形和四边形都是正方形，
，，，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
又，
，
，
，
且，
由可得四边形是“中方四边形”
【解析】解：由题意得，依据是三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边长的一半；
依据是一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，
故答案为：
解：如图，连接，
同理可得，
当四边形是平行四边形时，与不一定垂直，
故此时与不一定垂直，
四边形不一定是正方形，即此时四边形不是“中方四边形”；
当四边形是矩形时，与不一定垂直，
故此时与不一定垂直，
四边形不一定是正方形，即此时四边形不是“中方四边形”；
当四边形是菱形时，与不一定相等，
故此时与不一定相等，
四边形不一定是正方形，即此时四边形不是“中方四边形”；
当四边形是正方形时，，，
故此时，，
四边形是正方形，即此时四边形是“中方四边形”，
故答案为：；
解：，；
证明：四边形是“中方四边形”，
四边形是正方形，
，，
，
，；
证明：如图，连接，，设分别交，于点，点，
四边形和四边形都是正方形，
，，，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
又，
，
，
，
且，
由可得四边形是“中方四边形”．
根据三角形中位线定理和平行四边形的判定定理可得答案；
只需要四边形是否是正方形即可得到结论；
根据定义可得四边形是正方形，则，，据此可得，；
连接，，设分别交，于点，点，可证明≌，得到，，再证明，得到，由可得四边形是“中方四边形”．
本题属于四边形综合题，主要考查了三角形中位线定理，平行四边形的判定与性质，正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质．
2.已知在四边形中，，，．
如图，当时，求证：四边形是正方形；
联结，过点作，垂足为，延长交边或边于点．
如图，如果点在边上，且，求的度数；
如果，，求的长．
【答案】连接，
，，
，
，，，
≌，
，
四边形是矩形，
又，
矩形是正方形 ；或
【解析】证明：连接，
，，
，
，，，
≌，
，
四边形是矩形，
又，
矩形是正方形；
解：过作，
，
四边形是平行四边形，
，
又，，
，，
，
设，
，
，，
，
，
，
，
，
，即，
，
；
当在边上，过作交的延长线于点，
，
，
，，
四边形是平行四边形，
，
又，
，
，
，
，
当在上，此时，
，
，，
由知，
，
，
，
，，
，，
，
，，
，，
，
综上，的长为或．
根据平行线的性质求出，证明≌，得出，然后证明四边形是矩形，最后根据正方形的判定即可得证；
过作，根据平行四边形的判定与性质可得出，进而得出，根据等边对等角得出，，设，根据平行线的性质得出，，，则，结合得出，则，求出，即可求解；
分两种情况讨论：当在边上，过作交于，根据平行四边形的判定与性质得出，证明，根据勾股定理求出，然后根据等面积法即可求出的长度；当在上，此时，由知，根据余角的性质得出，根据等角对等边得出，根据三线合一的性质求出，根据勾股定理求出，根据等面积法求出，根据完全平方公式可求出，，则，，即可求解．
本题考查四边形综合，矩形的性质，正方形的判定，全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
3.如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别是，，动点从点出发，沿轴正方向以每秒个单位的速度运动，同时动点从点出发，沿射线方向以每秒个单位的速度运动以，为邻边构造 在线段延长线上一动点，且满足，设点运动时间为秒．
当点运动到线段中点时，______，点的坐标为______；
当点在线段上运动时，
求证：四边形为平行四边形；
当时，求四边形的周长．
【答案】 四边形是平行四边形，
，，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
四边形是平行四边形；或
【解析】解：点，的坐标分别是，，
，，
点运动到线段的中点，
，
则，
，
，
，
则的坐标是，
故答案为：；；
证明：四边形是平行四边形，
，，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
四边形是平行四边形；
解：当点在线段上时，
当时，，
，
，
，，
在直角三角形中，由勾股定理得：，
在直角三角形中，，，
由勾股定理得：，
平行四边形的周长为；
如图，当点在线段的延长线上时，
同中原理可得≌，
，，
，
四边形是平行四边形，
当时，，
，
，
，，
在直角三角形中，由勾股定理得：，
在直角三角形中，，，
由勾股定理得：，
平行四边形的周长为；
综上所述，四边形的周长为或．
当运动到的中点时，根据时间等于路程除以时间即可求得，进而求得的坐标；
证明≌，则，，则和平行且相等，则四边形为平行四边形；
分两种情况，即点在线段上或点在线段延长线上，再利用勾股定理分别求得平行四边形的两边即可．
本题属于四边形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质．
4.如图，四边形和四边形均为正方形．
如图，当点在上时，连接，求证：；
如图，当点在上时，连接，猜想和之间的数量关系，并证明；
如图，当点在下方时，连接、中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
【答案】四边形和四边形均为正方形，
，，，
，
在和中，
，
≌，
；证明：如图，在上取点，使，连，
四边形和四边形均为正方形，
，，，
，，
，，
，
在和中，
，
≌，
，
在中，由勾股定理得：，
，
中结论仍成立；证明：如图，过点作，截取，连接，，
设交于点，交于点，
，
，
，
四边形是正方形，
，
在和中，
，
≌，
，，
，，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
在中，由勾股定理得：，
，

【解析】证明：四边形和四边形均为正方形，
，，，
，
在和中，
，
≌，
；
解：；
证明：如图，在上取点，使，连，
四边形和四边形均为正方形，
，，，
，，
，，
，
在和中，
，
≌，
，
在中，由勾股定理得：，
，
；
解：中结论仍成立；
证明：如图，过点作，截取，连接，，
设交于点，交于点，
，
，
，
四边形是正方形，
，
在和中，
，
≌，
，，
，，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
在中，由勾股定理得：，
，
．
根据正方形的性质可得：，，，，由可证≌，根据全等三角形的性质可证结论成立；
在上取点，使，连，利用可证≌，根据全等三角形的性质可证，根据勾股定理可证；
过点作，截取，连接，，可证≌，根据全等三角形的性质可证，，根据边和角之间的关系可证：四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质可证，根据勾股定理可证．
本题属于四边形综合题，主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、平行四边形的判定与性质，解决本题的关键是作辅助线构造全等三角形，利用全等三角形的性质找边和角之间的关系．
5.背景介绍：勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力，千百年来，人们对它的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，向常春在年构造发现了一个新的证法．
小试牛刀：
把两个全等的直角三角形如图放置，其三边长分别为、、如图所示，，．
请用、、分别表示出梯形、四边形、的面积，再探完这三个图形面积之间的关系，并验证勾股定理；
知识运用：
如图，铁路上、两点看作直线上的两点相距千米，、为两个村庄看作两个点，，垂足分别为、，千米，千米，则两个村庄的距离为______千米直接填空；
在的背景下，若千米，千米，千米，要在上建进一个供应站，使得，请用尺规作图在图中作出点的位置并求出的距离请写出求解过程．
知识迁移：
借助上面的思考过程与几何函数，求代数式的最小值请直接写出结果．
【答案】 千米
【解析】解：，，，
它们满足的关系式为：，
；
如图，连接，作于点，
，，
，，
千米，
千米，
两个村庄相距千米．
故答案为：；
如图所示：
设千米，则千米，
在中，，
在中，，
，
，
解得，
即千米．
如图，
先作出点关于的对称点，连接，过点作与，即：就是代数式的最小值．
代数式的几何意义是线段上一点到点，的距离之和，
而它的最小值就是点的对称点和点的连线与线段的交点就是它取最小值时的点，
从而构造出了以为一条直角边，和的和为另一条直角边的直角三角形，斜边就是最小的值，
代数式的最小值为：．
根据三角形的面积和梯形的面积就可得出答案．
连接，作于点，根据，得到，，从而得到千米，利用勾股定理求得两地之间的距离．
连接，作的垂直平分线角于，即为所求；设千米，则千米，分别在和中，利用勾股定理表示出和，然后通过建立方程，解方程即可．
根据轴对称最短路线的求法即可求出．
此题是四边形综合题，主要考查了证明勾股定理，勾股定理的应用，轴对称最短路线问题以及线段的垂直平分线等，证明勾股定理常用的方法是利用面积证明，是解本题的关键．构造出直角三角形是解本题的难点．
6.如图，在 中，，，点是边上一点，连接．
如图，连接，点关于的对称点落在上，求证：．
连接，在边上取一点，连接交于点，以为折痕将 折叠，使得点关于的对称点始终落在上．
如图，若与重合，，求的长；
如图，若，，直接写出的长．
【答案】点关于的对称点落在上，
，
，
，
，
，
；
【解析】证明：点关于的对称点落在上，
，
四边形为平行四边形，
，
，
，
；
解：在 中，，
过点作于，则，
，
，
，
，
，，
负值舍去，
，
，
点关于的对称点始终落在上，
，
与重合，
，
即，
，
，
，
，
，
设，则，，
在直角三角形中，，
解得负值舍去，
；
的长为理由如下：
如图，过点作于点，过点作于点，连接，则四边形是矩形，
，，
，，
，，
，
，
，
，
，，
点关于的对称点始终落在上，，
点关于的对称点即为点，
则，
设，
则，
，
，
解得：负值舍去，
即．
根据轴对称的性质得到，根据平行四边形的性质求出，可知，即可证明；
过点作于，根据等角对等边及勾股定理求出，根据勾股定理求出，根据轴对称的性质可知，根据勾股定理求出，则，根据等面积法求出，设，根据勾股定理求出，即可求出的长；
过点作于点，过点作于点，连接，则四边形是矩形，得到，，根据等腰三角形的性质及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可知，根据勾股定理可知，即，，根据轴对称的性质可知点关于的对称点即为点，则，设，根据勾股定理求解即可．
本题属于四边形综合题，主要考查了轴对称的性质，平行四边形的性质，勾股定理，三角形的面积，矩形的判定与性质，等腰三角形的性质，直角三角形斜边上的中线，熟练掌握平行四边形的性质以及勾股定理是解答本题的关键．
7.在菱形中，，是直线上一动点，以为边向右侧作等边按逆时针排列，点的位置随点的位置变化而变化．
如图，当点在线段上，且点在菱形内部或边上时，连接，则与的数量关系是______，与的位置关系是______；
如图，当点在线段上，且点在菱形外部时，中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由；
当点在直线上时，其他条件不变，连接若，，求线段的长．
【答案】 中结论仍然成立，理由如下：如图，连接，如图所示，
四边形是菱形，
，，，
和都是等边三角形，
，，
，
，
是等边三角形，
，，
，
，
≌，
，，
，，
，
，
，
．
，
中结论，仍然成立 的长为或
【解析】解：如图，连接，延长交于，如图所示，
四边形是菱形，，
，都是等边三角形，，
，，，
是等边三角形，
，，
，
，
，
≌，
，，
同理可证是等边三角形，
，
，即，又
．
．
故答案为：，；
中结论仍然成立，理由如下：
如图，连接，如图所示，
四边形是菱形，
，，，
和都是等边三角形，
，，
，
，
是等边三角形，
，，
，
，
≌，
，，
，
，
，
，
，
．
，
中结论，仍然成立；
如图，当点在点左侧时，连接交于点，
四边形是菱形，
，平分，
，，
，，
在中，由勾股定理得：，
，由可知：，，
，
在中，由勾股定理得：，
，
，
；
如图，当点在点右侧时，连接交于点，
四边形是菱形，
，平分，
，，
，
，
在中，由勾股定理得：，
，由可知：，，
，
在中，由勾股定理得：，
，
，
，
，
综上可知：的长为或．
连接，延长交于，证明≌，得到，，再证明，即可得到：，再由，即可证明；
连接，与交于点，证明≌，得到，，再证明，即可得到：，再由即可证明；
分两种情形：当点在的延长线上时或点在线段的延长线上时，连接交于点，由，根据勾股定理求出的长即得到的长，再求、、的长及等边三角形的边长可得结论．
此题考查菱形的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，解题的关键是正确地作出解题所需要的辅助线，将菱形的性质与三角形全等的条件联系起来．
8.在平面直角坐标系中，若，为某个矩形不相邻的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，则称该矩形为点，的“相关矩形”，图为点，的“相关矩形”的示意图．
已知点的坐标为．
如图，点的坐标为．
若，则点，的“相关矩形”的面积是______；
若点，的“相关矩形”的面积是，则的值为______．
点在过点且平行轴的直线上，若点，的“相关矩形”是正方形，直接写出点坐标；
请利用图画图并研究：等边的边在轴上，顶点在轴的正半轴上，点的坐标为，点的坐标为若在的边上存在一点，使得点，的“相关矩形”为正方形，请直接写出的取值范围．
【答案】或 或 的取值范围为或
【解析】解：，
点的坐标为，如图所示：
点的坐标为，
由矩形的性质可得：点，的“相关矩形”的面积，
故答案为：；
如图所示：
由矩形的性质可得：点，的“相关矩形”的面积，
，
或，
故答案为：或；
过点作直线的垂线，垂足为点，则，
点在直线上，点，的“相关矩形”是正方形，
正方形的边长为，
当点在直线右侧时，如图所示：
，
则，
设直线的表达式为：，
则，
解得，
直线的表达式为：；
当点在直线左侧时，如图所示：
，
则；
或；
点的坐标为，
点在直线上，
是等边三角形，顶点在轴的正半轴上，点的坐标为，
，，
，
分两种情况：如图所示：
当点在边上时，若点与重合，点，的“相关矩形”为正方形，
则点的坐标为或；
若点与重合，点，的“相关矩形”为正方形，
则点的坐标为或；
的取值范围为或；
当点在边上时，若点与重合，点，的“相关矩形”为正方形，
则点的坐标为或；
若点与重合，点，的“相关矩形”为正方形，
则点的坐标为或；
的取值范围为或；
综上所述，的取值范围为或．
由矩形的性质即可得出结果；
由矩形的性质即可得出结果；
过点作直线的垂线，垂足为点，则求出正方形的边长为，分两种情况求出直线的表达式即可；
由题意得出点在直线上，由等边三角形的性质和题意得出，，得出，分两种情况：
当点在边上时，若点与重合，点，的“相关矩形”为正方形，则点的坐标为或；若点与重合，点，的“相关矩形”为正方形，求得点的坐标，得出的取值范围为或；
当点在边上时，若点与重合，点，的“相关矩形”为正方形，则点的坐标为或；若点与重合，点，的“相关矩形”为正方形，则点的坐标；得出的取值范围为或；即可得出结论．
本题是四边形综合题目，考查了待定系数法确定一次函数的解析式、新定义“相关矩形”、矩形的性质、正方形的性质、坐标与图形性质、等边三角形的性质、勾股定理等知识；本题综合性强，有一定难度．
9.【问题情境】小明在期中复习时，遇到了这样一个问题：如图，在正方形中，点、分别在边、上，且，垂足为那么与相等吗？
请直接判断：______填“”或“”；
在“问题情境”的基础上，小明继续探索以下问题：
如图，在正方形中，点、、分别在边、和上，且，垂足为那么与相等吗？证明你的结论．
【答案】 ，证明如下：
如图，过点作，交于点，交于点，
，
，
四边形是正方形，
，，，
，，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
≌，
，
，

【解析】解：，
，
，
四边形是正方形，
，，
，
，
在和中，
，
≌，
，
故答案为：；
解：，证明如下：
如图，过点作，交于点，交于点，
，
，
四边形是正方形，
，，，
，，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
≌，
，
，
．
证明≌即可得出结论；
过点作，证明≌，由此可得．
本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，菱形的判定和性质，正方形的性质和判定，折叠的性质，轴对称的性质等，熟练掌握正方形的性质和等腰直角三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．
10.本小题分
如图，是正方形内一点，．
填空：
若，则______；
若，则______；
若，求的值；
若，，求的长．
【答案】
【解析】解：如图所示：
，，
，
四边形是正方形，
，，
，
又，
是等边三角形，
，
，
故答案为：；
，，
，
四边形是正方形，
，，
，
又，
，
，
故答案为：；
过点作于点，如图所示：
，
是线段的垂直平分线，
，
，
四边形是正方形，
，，
，
，，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
；
过点作于点，的延长线交的延长线于点，连接，如图所示：
四边形是正方形，，
，，
在中，由勾股定理得：，
，
是线段的垂直平分线，
，
由可知：，
，
是等腰直角三角形，
设，，
由勾股定理得：，
，
，，
在中，由勾股定理得：，
，
整理得：，
解得：，不合题意，舍去，
．
根据，得，根据正方形性质得，，则，进而得是等边三角形，则，由此可得的度数；
根据，得，再根据，得，由此可得的度数；
过点作于点，根据是线段的垂直平分线得，证明和全等得，则，由此即可得出结论；
过点作于点，的延长线交的延长线于点，连接，先求出，根据等腰三角形性质得是线段的垂直平分线，则，再由的结论得，则是等腰直角三角形，设，由勾股定理得，在中，由勾股定理求出，继而可得出的长．
此题是四边形的综合题，主要考查了正方形的性质，理解正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理是解决问题的关键，正确地添加辅助线是解决问题的难点．
11.如图，把一个含角的直角三角板和一个正方形摆放在一起，使三角板的直角顶点和正方形的顶点重合，点、分别在正方形的边、上，连，取的中点，的中点，连接、．
请判断与之间的数量关系，直接写出结论；
将图中的直角三角板绕点顺时针旋转得到图，其他条件不变，则中的结论还成立吗？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．
连接，若，，将图中的直角三角板绕点在平面内自由旋转，其他条件不变，请直接写出面积的最大值和最小值．
【答案】解：，证明如下：
如图，连接，
四边形是正方形，
，，
，
，
≌，
，
为的中位线，
，
；
仍然成立，证明如下：
如图，连接，
四边形是正方形，
，
，
，
，
即，
≌，
，
，分别为，的中点，
，，
，
；
解：如图，连接，，设交于，交于，
，
，
，，
，
，
，
，
四边形是正方形，，
，
，
，
由题意可知，，
即，
当时，最小值，
当时，最大值，
面积的最大值和最小值分别为：，．
【解析】连接，利用证明≌，得，再根据直角三角形斜边上中线的性质和三角形中位线定理可得答案；
连接，由同理可证明结论；
连接，设交于，交于，首先证明是等腰直角三角形，可得，再根据三角形三边关系知，从而解决问题．
本题四边形综合题，主要考查了正方形的性质，直角三角形斜边上中线的性质，三角形中位线定理，等腰直角三角形的判定与性质，三角形三边关系等知识，证明是等腰直角三角形是解题的关键．
12.本小题分
如图，在正方形中，是上的点不与、重合，连接，把沿折叠得到，延长交于点，连接．
求证：≌；
如图，过点作的垂线，交的延长线于点，连接，求证：；
在图中，判断和的数量关系，并说明理由．
【答案】证明：沿折叠得到，
则，，
，，
≌，
即≌；
证明：≌，则，
则，
则，
则，
，
则为等腰直角三角形，
即；
解：，理由：
设正方形的边长为，
在上取，则，
则，
，，
，
，
则≌，
则．
【解析】沿折叠得到，则，，，，用即可证明；
证明，而，则为等腰直角三角形，即可求解；
证明≌，则．
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定定理和性质定理，等腰直角三角形的性质，解决本题的关键是利用正方形的性质得到相等的边和相等的角，证明三角形全等，作出辅助线也是解决本题的关键．
13.综合与实践：在数学综合实践课上，孙老师和“希望小组”的同学们从特殊的几何图形入手，探究旋转变换的几何问题
【建立模型】如图，点为等边三角形内部一点，小颜发现：将绕点逆时针旋转得到，则，请思考并证明：
【类比探究】小梁进一步探究；如图，点为正方形内部一点，将绕点逆时针旋转得到，连接并延长，交于点求证：；
【拓展延伸】孙老师提出新的探究方向：如图，点为内部一点，点，是，上的动点，且，若，请直接写出的最小值
【答案】证明见解析；
证明见解析；
．
【解析】证明：绕点逆时针旋转得到，
，
为等边三角形，
，
，
，
，
，，，
≌，

证明：如图，过点分别作 于点， 于点

绕点逆时针旋转得到，
，，
四边形为正方形，
，，
，


，，，
≌，

，，，
≌
，，
，

，
，
四边形为矩形，
，
矩形为正方形，
，

四边形为正方形，
，

解：如图，连接，将绕点逆时针旋转一定的度数得到，使得，连接，

由前问思路可证：≌

连接交于点，
两点之间线段最短，
当，，三点共线时，有最小值是的长度．
由前问思路可证：≌
，
，，
，
，
过作 于
，，
，
，
，

的最小值为．
利用边角边证≌即可得证；
过点分别作 于点，于点先证≌，再证≌，从而可证四边形为正方形，所以，即可得证；
连接，将绕点逆时针旋转一定的度数得到，使得，连接，易证≌，所以两点之间线段最短，当且仅当三点共线取等，再证≌，得到，过作 于，，根据勾股定理求出即可．
本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的性质和判定、最短路径等问题，熟练掌握等线段转化方式是解题的关键．
14.新概念：我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形如图．
概念理解：我们已经学行四边形、菱形、矩形、正方形在这四种图形中是垂美四边形的是______．
性质探究：小美同学猜想“垂美四边形两组对边的平方和相等”，即：如图，若四边形是垂美四边形，则，请判断小美同学的猜想是否正确，并说明理由．
问题解决：如图，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接、、若，，则：
求证：≌．
______．
【答案】菱形和正方形；
正确，理由见解析；
见解析；．
【解析】概念理解：菱形、正方形的对角线垂直，
菱形、正方形都是垂美四边形，
故答案为：菱形和正方形；
正确．理由如下：
连接，交于点，
四边形是垂美四边形；
，
，
由勾股定理得，，
，
；
问题解决：连接，，如图所示：
，
，即，
在和中，
，
≌；
≌，
，
又，
，即，
四边形是垂美四边形，
由得，，
，，
，，，
，
；
故答案为：．
概念理解：根据垂美四边形的定义即可判断；
性质探究：连接，交于点，根据垂直的定义和勾股定理解答即可；
问题解决：连接，，由知，结合与即可得证；
由≌得出，进而根据垂美四边形的性质、勾股定理、结合的结论计算．
此题是四边形综合题，主要考查的是正方形的性质、全等三角形的判定和性质、垂直的定义、勾股定理的应用，正确理解垂美四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题的关键．
15.综合与探究．
【问题背景】
数学活动课上，老师提出了一个问题：如图，点为 的边上一点，连接，，请探究的面积与 面积的关系？“领航”学习小组在数学活动中发现： 的面积等于面积的倍请你写出完整的解答过程．
【尝试应用】
如图，长方形中，点为边上一点，点为右侧一点，，若，，，求的长；
【深入思考】
如图， 中，点为边上一点，点为边上一点，连接，交于点，连接，若，证明：平分．
【答案】证明见解析；
；
证明见解析．
【解析】如图，过点作于点，
，，
；
如图，过点作于点，连接，
，
四边形是矩形．
．
，，
，
．
．
四边形是矩形，
，，，
设，则，
．
．
．
，
，
；
如图，连接，，过点作于点，作于点，
由知，
，即，
，
，
点在的平分线上，即平分．
过点作于点，根据题意得到，进而求解即可；
过点作，连接，首先证明出四边形是矩形，得到，然后利用勾股定理求出，设，则，然后利用列方程求解即可．
连接，，过点作于，作于，得到，得到，进而求解即可；
此题是四边形的综合题，考查了矩形的性质，平行四边形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是添加辅助线构造平行四边形．
16.如图，四边形为矩形，其中为原点，、两点分别在轴和轴上，点的坐标是点，分别在，边上，且：：，将矩形沿直线折叠，使点落在边上点处．
点的坐标为______，并求出线段的长；
若点在第二象限，且四边形是矩形，求点的坐标；
若是坐标系内的点，点在轴上，若以点，，，为顶点的四边形是菱形，请直接写出所有满足条件的点的坐标．
【答案】矩形的边、分别在轴、轴上，且，
，，，，
，且：：，
，，
由折叠得，，
在直角三角形中，，
由勾股定理得：，
，
；
如图，过作交于，

则四边形，为矩形，
设长为，则，
，，
在中，，
由勾股定理得：，
由折叠的性质得：，
，
解得：，
，
故答案为：；
如图，连结交于点，

由得，，，，
四边形是矩形，
点分别为、的中点，
点的横坐标为，纵坐标为，
，
设，则，，
，，
；
点的坐标为或或或；理由如下：
由得：，，，，
由折叠的性质得：，
当、为菱形的边时，则，
点在轴上，点在上，
如图，当点与点重合时，此时满足四边形为菱形，

则，
，
；
如图，当点与点重合时，此时满足四边形为菱形，

则；
当为菱形的边，为菱形的对角线时，如图，四边形为菱形，

连结，交于点，则四边形为矩形，
，
，
，
四边形为菱形，
垂直平分，
，
，
；
当为菱形的对角线，为菱形的边时，如图，四边形是菱形，

设，
作于点，则，，，
，
在直角三角形中，由勾股定理得：，
，
解得：，
，
，
综上所述，点的坐标为或或或
【解析】矩形的边、分别在轴、轴上，且，
，，，，
，且：：，
，，
由折叠得，，
在直角三角形中，，
由勾股定理得：，
，
；
如图，过作交于，

则四边形，为矩形，
设长为，则，
，，
在中，，
由勾股定理得：，
由折叠的性质得：，
，
解得：，
，
故答案为：；
如图，连结交于点，

由得，，，，
四边形是矩形，
点分别为、的中点，
点的横坐标为，纵坐标为，
，
设，则，，
，，
；
点的坐标为或或或；理由如下：
由得：，，，，
由折叠的性质得：，
当、为菱形的边时，则，
点在轴上，点在上，
如图，当点与点重合时，此时满足四边形为菱形，

则，
，
；
如图，当点与点重合时，此时满足四边形为菱形，

则；
当为菱形的边，为菱形的对角线时，如图，四边形为菱形，

连结，交于点，则四边形为矩形，
，
，
，
四边形为菱形，
垂直平分，
，
，
；
当为菱形的对角线，为菱形的边时，如图，四边形是菱形，

设，
作于点，则，，，
，
在直角三角形中，由勾股定理得：，
，
解得：，
，
，
综上所述，点的坐标为或或或
由，且：：，求出、的长，再由折叠的特征求出的长，由勾股定理求出的长即可得到点的坐标；过作交于，设长为，由折叠知，以此为等量关系列方程即可求得长度；
连结、分别交于点、，由为的中点，可求出点的坐标，用待定系数法求直线的解析式，得到点的坐标，再由点分别为、的中点求出点的坐标；
以点、、、为顶点的四边形是菱形，则，而点在轴上，点在上，可知点在直线上，由、以及折叠得，，按以为菱形的边或对角线分类讨论，求出对应的点的坐标即可．
本题属于四边形综合题，主要考查了矩形的判定与性质，折叠的性质，菱形的性质，勾股定理，中点坐标等，熟练掌握相关知识点，采用分类讨论的思想方法是解决问题的关键．
17.如图，在正方形中，是对角线上的一动点，且，连接，过点作的垂线，交的延长线于点，交于点，且．
依题意补全图，求的大小用含的式子表示；
若点在线段上，，连接用等式表示，，之间的数量关系，并证明；
连接若，请直接写出线段长度的最小值．
【答案】补全图形，如图即为所求；
；
．
证明：如图，连接，，，交于，
四边形是正方形，
，
由 得：，，
在和中，
，
≌，
，
，
，，，共线，
四边形是正方形，
，，，
，
在直角三角形中，由勾股定理得：，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，
，
，
；

【解析】补全图形，如图即为所求；
四边形是正方形，
，，，
，
，
，
，
，
；
．
证明：如图，连接，，，交于，
四边形是正方形，
，
由得：，，
在和中，
，
≌，
，
，
，，，共线，
四边形是正方形，
，，，
，
在直角三角形中，由勾股定理得：，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，
，
，
；
线段长度的最小值为理由如下：
如图，取的中点，连接，，，
，，四边形是正方形，
，，，
，
，
线段长度的最小值为．
根据题意先补全图形，根据，，再进一步可得答案；
如图，连接，，，交于，证明≌，可得，，，共线，证明≌，再进一步利用勾股定理解答即可；
如图，取的中点，连接，，，证明，，，求解，结合，可得线段长度的最小值为．
本题属于四边形综合题，主要考查的是互余的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，正方形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，化为最简二次根式，添加合适的辅助线是解答本题的关键．
18.综合与实践
问题情境：
数学兴趣小组在探究与正方形有关的动点问题时，如图，在正方形内取一点，使，将点绕点逆时针旋转得到点，射线，交于点．
特例研究：
精勤小组在探究过程中遵循由特殊到一般的探究规律：如图，发现点在对角线中点处时，点与点重合，此时四边形的形状为______ ．
探究发现：
博雅小组发现，如图，只要，四边形的形状都是正方形，请证明．
卓越小组受博雅小组的启发，进一步深入探究，如图，取中点，连接，，，又发现：在点运动过程中，与始终保持特定的数量关系，请写出此数量关系，并说明理由．
拓展应用：
在的条件下，已知，，直接写出的长．
【答案】解：点在对角线中点处，点与点重合，四边形是正方形，
，，
将点绕点逆时针旋转得到点，
，，
，，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是矩形，
，
四边形是正方形，
故答案为：正方形；
证明：四边形是正方形，
，，
，
点绕点逆时针旋转得到点，
，，
四边形是正方形，，
；
又，
，
在和中，
，
≌，
，
四边形是矩形，
，
四边形是正方形；
解：；理由如下：
如图，四边形是正方形，是的中点，连接，，

是的中点，，
四边形是正方形，
，
，
四边形是正方形，是的中点，
，，，
是的中点，
，
在直角三角形中，由勾股定理得：，
四边形是正方形，
，
是的中点，
，
，
；
解：的长为理由如下：
如图，取的中点，取的中点，连接，，，，

，
根据得，，
，，
，
四边形是正方形，是的中点，
，
在直角三角形中，由勾股定理得：，，
，
，
过点作于点，
，
是等腰直角三角形
，
在直角三角形中，由勾股定理得：，
，
在直角三角形中，由勾股定理得：，
．

【解析】利用正方形的性质即可得出结论；
先证明≌，再利用正方形的判定定理证明即可；
利用正方形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的特点，推理证明即可；
取的中点，取的中点，连接，，，，求得，再证明，利用勾股定理求得，即可求得．
本题属于四边形综合题，主要考查了正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，旋转的性质，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质．
19.如图，点是 的边上的任意一点，点是的中点，点是 内一点，，连接、，且；
求证：四边形是矩形；
如图，连接并延长，交边于点，若，求证：；
如图，在的条件下，连接并延长交边于点，交的延长线于点，，，当时，求的长．
【答案】如图，作的外接圆，
，点是的中点，
为圆的直径，点为圆心，
，
，
点也在圆上，
，
又四边形是平行四边形，
四边形是矩形；
由 可知，，
点、都在以为直径的圆上，
如图，以为直径作圆，圆心为点，
，
，
又，
，
，，
，
，
，
四边形是矩形，
，，
，
，
，
，
；

【解析】证明：如图，作的外接圆，
，点是的中点，
为圆的直径，点为圆心，
，
，
点也在圆上，
，
又四边形是平行四边形，
四边形是矩形；
证明：由可知，，
点、都在以为直径的圆上，
如图，以为直径作圆，圆心为点，
，
，
又，
，
，，
，
，
，
四边形是矩形，
，，
，
，
，
，
；
解：如图，设与交于点，作于点，设，
由可知，，
在和中，
，
≌，
，
，
，，
四边形是矩形，
又，
四边形是正方形，
，，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
在中，由勾股定理得：，
，
，
，
，
，
，
，
∽，
，
，，
，
，
∽，
，
，，
，
，
∽，
，
，
在中，由勾股定理得：，
，
解得：或不合题意，舍去，
．
作的外接圆，容易判断为圆的直径，点为圆心，由可得点也在圆上，因此，命题得证；
以为直径作圆，圆心为点，容易判断点、都圆上，由可得，则，进而得到，因此，由可得，从而得到，由可得，因此；
设与交于点，作于点，设，结合的结论容易证明≌，从而得到，容易判断四边形是正方形，进而证明≌，则，，结合可得，利用勾股定理可得，再使用面积法可得，则由可判定∽和∽，从而计算出，由可判定∽，则，计算得，在中，利用勾股定理构造方程，解得．
本题属于四边形综合题，主要考查了圆周角定理，全等三角形的判定与性质，正方形的判定与性质，勾股定理，三角形的面积，相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形与相似三角形的性质．
20.阅读下面材料：
小明遇到这样一个问题：如图，在正方形中，点、分别为、边上的点，，连接，求证：小明是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法将这些分散的线段集中到同一条线段上他先后尝试了平移、翻折、旋转的方法，发现通过旋转可以解决此问题他的方法是将绕点顺时针旋转得到如图，此时即是．
在图中，的度数是______ 直接写答案．
参考小明得到的结论和思考问题的方法，解决下列问题：
如图，在直角梯形中，，，，是上一点，若，，求的长度．
如图，中，，，以为边作正方形，连接当______ 时，线段有最大值，的最大值为______ ．
【答案】解：；
如图，过点作，交延长线于，将绕点顺时针旋转得到，

，，，，
直角梯形中，，，，
，
四边形是正方形，，，
点与重合，、、三点共线，
，
由可知，
在和中，
，
≌，
，
，
，
，，
，
在中，由勾股定理得：，
，
解得：；
；．
【解析】解：的度数是；理由如下：
将绕点顺时针旋转得到，
，，
四边形是正方形，
，
，
，
，
；
故答案为：；
如图，过点作，交延长线于，将绕点顺时针旋转得到，

，，，，
直角梯形中，，，，
，
四边形是正方形，，，
点与重合，、、三点共线，
，
由可知，
在和中，
，
≌，
，
，
，
，，
，
在中，由勾股定理得：，
，
解得：；
当时，线段有最大值，
如图，将绕点逆时针旋转得线段，连接、，

是等腰直角三角形，，
，
由勾股定理得：，
四边形是正方形，
，，
，即，
在和中，
，
≌，
，
当有最大值时，有最大值，
，，
当、、三点共线时，有最大值，
最大值为，
，
此时，
当时，线段有最大值，最大值为，
故答案为：；．
将绕点顺时针旋转得到，根据正方形的性质可知，因为，可得：；
过点作，交延长线于，将绕点顺时针旋转得到，可证≌，根据全等三角形的性质可得，可以求出，根据勾股定理可得：，即可求出；
将绕点逆时针旋转得线段，连接、，利用勾股定理可以求出，利用可证≌，根据全等三角形的性质可证，当、、三点共线时，有最大值，最大值为．
本题属于四边形综合题，主要考查正方形的性质、勾股定理、三角形三边之间的关系、旋转的性质，全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质．
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八年级下册期末复习——四边形综合压轴
1.定义：对于一个四边形，我们把依次连接它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”，如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形”某兴趣小组围绕该定义进行探究活动，请解决下列问题：
如图，点，，，分别为任意四边形的边，，，的中点该小组发现任意四边形的中点四边形都是平行四边形，证明思路如下：
请指出上述解题思路中的“依据”、“依据”分别是什么？
依据：______；依据：______；
该小组从特殊四边形出发，判断以下图形中，一定属于“中方四边形”的是______填序号．
平行四边形；矩形；菱形；正方形
如图，该小组深入探究发现，要使得四边形为“中方四边形”，则其对角线与应满足特殊的数量关系和位置关系请写出与应满足的条件，并证明你的结论．
如图，以锐角的两边，为边长，分别向外侧作正方形和正方形，连接，，，求证：四边形是“中方四边形”．
2.已知在四边形中，，，．
如图，当时，求证：四边形是正方形；
联结，过点作，垂足为，延长交边或边于点．
如图，如果点在边上，且，求的度数；
如果，，求的长．
3.如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别是，，动点从点出发，沿轴正方向以每秒个单位的速度运动，同时动点从点出发，沿射线方向以每秒个单位的速度运动以，为邻边构造 在线段延长线上一动点，且满足，设点运动时间为秒．
当点运动到线段中点时，______，点的坐标为______；
当点在线段上运动时，
求证：四边形为平行四边形；
当时，求四边形的周长．
4.如图，四边形和四边形均为正方形．
如图，当点在上时，连接，求证：；
如图，当点在上时，连接，猜想和之间的数量关系，并证明；
如图，当点在下方时，连接、中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
5.背景介绍：勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力，千百年来，人们对它的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，向常春在年构造发现了一个新的证法．
小试牛刀：
把两个全等的直角三角形如图放置，其三边长分别为、、如图所示，，．
请用、、分别表示出梯形、四边形、的面积，再探完这三个图形面积之间的关系，并验证勾股定理；
知识运用：
如图，铁路上、两点看作直线上的两点相距千米，、为两个村庄看作两个点，，垂足分别为、，千米，千米，则两个村庄的距离为______千米直接填空；
在的背景下，若千米，千米，千米，要在上建进一个供应站，使得，请用尺规作图在图中作出点的位置并求出的距离请写出求解过程．
知识迁移：
借助上面的思考过程与几何函数，求代数式的最小值请直接写出结果．
6.如图，在 中，，，点是边上一点，连接．
如图，连接，点关于的对称点落在上，求证：．
连接，在边上取一点，连接交于点，以为折痕将 折叠，使得点关于的对称点始终落在上．
如图，若与重合，，求的长；
如图，若，，直接写出的长．
7.在菱形中，，是直线上一动点，以为边向右侧作等边按逆时针排列，点的位置随点的位置变化而变化．
如图，当点在线段上，且点在菱形内部或边上时，连接，则与的数量关系是______，与的位置关系是______；
如图，当点在线段上，且点在菱形外部时，中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由；
当点在直线上时，其他条件不变，连接若，，求线段的长．
8.在平面直角坐标系中，若，为某个矩形不相邻的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，则称该矩形为点，的“相关矩形”，图为点，的“相关矩形”的示意图．
已知点的坐标为．
如图，点的坐标为．
若，则点，的“相关矩形”的面积是______；
若点，的“相关矩形”的面积是，则的值为______．
点在过点且平行轴的直线上，若点，的“相关矩形”是正方形，直接写出点坐标；
请利用图画图并研究：等边的边在轴上，顶点在轴的正半轴上，点的坐标为，点的坐标为若在的边上存在一点，使得点，的“相关矩形”为正方形，请直接写出的取值范围．
9.【问题情境】小明在期中复习时，遇到了这样一个问题：如图，在正方形中，点、分别在边、上，且，垂足为那么与相等吗？
请直接判断：______填“”或“”；
在“问题情境”的基础上，小明继续探索以下问题：
如图，在正方形中，点、、分别在边、和上，且，垂足为那么与相等吗？证明你的结论．
10.如图，是正方形内一点，．
填空：
若，则______；
若，则______；
若，求的值；
若，，求的长．
11.如图，把一个含角的直角三角板和一个正方形摆放在一起，使三角板的直角顶点和正方形的顶点重合，点、分别在正方形的边、上，连，取的中点，的中点，连接、．
请判断与之间的数量关系，直接写出结论；
将图中的直角三角板绕点顺时针旋转得到图，其他条件不变，则中的结论还成立吗？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．
连接，若，，将图中的直角三角板绕点在平面内自由旋转，其他条件不变，请直接写出面积的最大值和最小值．
12.如图，在正方形中，是上的点不与、重合，连接，把沿折叠得到，延长交于点，连接．
求证：≌；
如图，过点作的垂线，交的延长线于点，连接，求证：；
在图中，判断和的数量关系，并说明理由．
13.综合与实践：在数学综合实践课上，孙老师和“希望小组”的同学们从特殊的几何图形入手，探究旋转变换的几何问题
【建立模型】如图，点为等边三角形内部一点，小颜发现：将绕点逆时针旋转得到，则，请思考并证明：
【类比探究】小梁进一步探究；如图，点为正方形内部一点，将绕点逆时针旋转得到，连接并延长，交于点求证：；
【拓展延伸】孙老师提出新的探究方向：如图，点为内部一点，点，是，上的动点，且，若，请直接写出的最小值
14.新概念：我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形如图．
概念理解：我们已经学行四边形、菱形、矩形、正方形在这四种图形中是垂美四边形的是______．
性质探究：小美同学猜想“垂美四边形两组对边的平方和相等”，即：如图，若四边形是垂美四边形，则，请判断小美同学的猜想是否正确，并说明理由．
问题解决：如图，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接、、若，，则：
求证：≌．
______．
15.综合与探究．
【问题背景】
数学活动课上，老师提出了一个问题：如图，点为 的边上一点，连接，，请探究的面积与 面积的关系？“领航”学习小组在数学活动中发现： 的面积等于面积的倍请你写出完整的解答过程．
【尝试应用】
如图，长方形中，点为边上一点，点为右侧一点，，若，，，求的长；
【深入思考】
如图， 中，点为边上一点，点为边上一点，连接，交于点，连接，若，证明：平分．
16.如图，四边形为矩形，其中为原点，、两点分别在轴和轴上，点的坐标是点，分别在，边上，且：：，将矩形沿直线折叠，使点落在边上点处．
点的坐标为______，并求出线段的长；
若点在第二象限，且四边形是矩形，求点的坐标；
若是坐标系内的点，点在轴上，若以点，，，为顶点的四边形是菱形，请直接写出所有满足条件的点的坐标．
17.如图，在正方形中，是对角线上的一动点，且，连接，过点作的垂线，交的延长线于点，交于点，且．
依题意补全图，求的大小用含的式子表示；
若点在线段上，，连接用等式表示，，之间的数量关系，并证明；
连接若，请直接写出线段长度的最小值．
18.综合与实践
问题情境：
数学兴趣小组在探究与正方形有关的动点问题时，如图，在正方形内取一点，使，将点绕点逆时针旋转得到点，射线，交于点．
特例研究：
精勤小组在探究过程中遵循由特殊到一般的探究规律：如图，发现点在对角线中点处时，点与点重合，此时四边形的形状为______ ．
探究发现：
博雅小组发现，如图，只要，四边形的形状都是正方形，请证明．
卓越小组受博雅小组的启发，进一步深入探究，如图，取中点，连接，，，又发现：在点运动过程中，与始终保持特定的数量关系，请写出此数量关系，并说明理由．
拓展应用：
在的条件下，已知，，直接写出的长．
19.如图，点是 的边上的任意一点，点是的中点，点是 内一点，，连接、，且；
求证：四边形是矩形；
如图，连接并延长，交边于点，若，求证：；
如图，在的条件下，连接并延长交边于点，交的延长线于点，，，当时，求的长．
阅读下面材料：
小明遇到这样一个问题：如图，在正方形中，点、分别为、边上的点，，连接，求证：小明是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法将这些分散的线段集中到同一条线段上他先后尝试了平移、翻折、旋转的方法，发现通过旋转可以解决此问题他的方法是将绕点顺时针旋转得到如图，此时即是．
在图中，的度数是______ 直接写答案．
参考小明得到的结论和思考问题的方法，解决下列问题：
如图，在直角梯形中，，，，是上一点，若，，求的长度．
如图，中，，，以为边作正方形，连接当______ 时，线段有最大值，的最大值为______ ．
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