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衔接点01 乘法公式
初中阶段 高中阶段
1、掌握平方差公式，完全平方公式的形式，意义和应用 2、能够熟练的运用平方差公式，完全平方公式展开与化简 1、能够熟练的运用平方差公式，完全平方公式的形式及完全平方公式的凑配 2、掌握立方和，立方差公式，并能灵活展开与化简 3、掌握三数和公式展开过程，并能灵活应用
衔接指引
初中阶段考查形式：选填题，信息题阅读并运用。 高中阶段考查形式：作为数学工具在代数运算中灵活应用。
1、初中知识再现
（1）平方差公式：；注意公式的正逆应用.
（2）完全平方公式：
（3）高频应用方式：
①
②
③
④
⑤
⑥
2、高中相关知识
（1）立方和公式：
（2）立方差公式：
（3）两数和立方公式：
过程：
（4）两数差立方公式：
过程：
（5）三数和平方公式：
过程：
对点集训一：平方差公式的应用
典型例题
例题1．（2025七年级下·全国·专题练习）已知，则 ．
【答案】
【知识点】运用平方差公式进行运算
【分析】本题考查了平方差公式的应用，利用平方差公式将变形为，即可得解，熟练掌握平方差公式是解此题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
故答案为：．
例题2．（2025七年级下·全国·专题练习）若，则等于 ．
【答案】4
【知识点】运用平方差公式进行运算
【分析】本题主要考查了平方差公式，解决本题的关键是利用平方差公式，把等号左边的计算出来，得到：原式，再根据可得，从而可知．
【详解】解：，
又，
，
，
故答案为：．
例题3．（2025七年级下·全国·专题练习）运用乘法公式计算：．
【答案】
【知识点】运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算
【分析】先变形，再利用平方差公式，完全平方公式进而得出答案．
本题主要考查平方差公式、完全平方公式，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
【详解】解：原式
．
例题4．（2025七年级下·全国·专题练习）运用平方差公式计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【知识点】运用平方差公式进行运算
【分析】
本题主要考查平方差公式；
（1）运用平方差公式，先化为，再计算得出结果；
（2）根据平方差公式，变形后进行计算即可．
【详解】（1）
解：原式
．
（2）
解：原式
．
精练
1．（24-25七年级下·全国·课后作业）（ ）．
【答案】
【知识点】运用平方差公式进行运算
【分析】本题考查了平方差公式，运用平方差公式变形，即可作答．
【详解】解：．
故答案为：．
2．（2025七年级下·全国·专题练习）若，则m的值是 ．
【答案】2025
【知识点】运用平方差公式进行运算
【分析】本题考查了平方差公式的应用，由平方差公式得，即可求解；能熟练利用平方差公式进行运算是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：2025．
3．（2025七年级下·全国·专题练习）利用平方差公式计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【知识点】运用平方差公式进行运算
【分析】
（1）将看作一个整体，利用平方差公式进行计算即可；
（2）利用平方差公式进行计算即可；
本题主要考查平方差公式，熟知两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差是解题的关键．
【详解】（1）
解：原式
；
（2）
解：原式
．
4．（2025七年级下·全国·专题练习）计算：．
【答案】
【知识点】运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算
【分析】原式利用平方差公式及完全平方公式化简即可得到结果．
此题考查了平方差公式，以及完全平方公式，熟练掌握公式是解本题的关键．
【详解】解：原式
．
对点集训二：平方差公式与几何图形
典型例题
例题1．（24-25八年级上·内蒙古鄂尔多斯·期末）在数学实践课上，“智慧小组”将大正方形的阴影部分裁剪下来重新拼成一个图形，以下4幅拼法中，其中能够验证平方差公式的是（ ）
A．①② B．①③ C．①②③ D．①②④
【答案】C
【知识点】平方差公式与几何图形
【分析】本题考查了几何图形的面积与平方差公式的应用，正确计算阴影部分的面积是解题的关键．
分别计算原图阴影部分面积与拼后图中阴影部分的面积，根据面积相等即可作出判断，从而确定结果．
【详解】解：①左边阴影图形面积为，右边平行四边形的底为，高为，面积为，可得，能够验证平方差公式，符合题意；
②左边阴影图形面积为，右边长方形的长为，宽为，面积为，可得，能够验证平方差公式，符合题意；
③左边阴影图形面积为，右边平行四边形的底为，高为，面积为，可得，能够验证平方差公式，符合题意；
④左边阴影图形的面积为，右边长方形的面积为，不能够验证平方差公式，不符合题意；
∴能够验证平方差公式的有图①②③，
故选：C．
例题2．（24-25八年级上·河南驻马店·阶段练习）图1为某校八（1）（2）两个班级的劳动实践基地，图2是从实践基地抽象出来的几何模型：两块边长为，的正方形，其中重叠部分为池塘，阴影部分，分别表示八（1）（2）两个班级的基地面积．若，，则 ．
【答案】6
【知识点】平方差公式与几何图形
【分析】本题考查平方差公式与几何图形的面积，根据，得到，进行求解即可．
【详解】解：由图可知：，
∴，
∵，，
∴；
∴；
故答案为：6．
例题3．（24-25八年级上·辽宁·期末）如图，正方形的边长为，正方形的边长为，图中阴影部分的面积可以用正方形的面积与正方形的面积的差来计算；也可以用长方形的面积与长方形的面积的和来计算．
(1)根据图中阴影面积的不同计算方式，请直接写成，，之间的等量关系；
(2)根据（）中得到的等量关系，解决下面的问题：
①计算：；
②若，求的值．
【答案】(1)
(2)①；②
【知识点】运用平方差公式进行运算、平方差公式与几何图形
【分析】（）根据阴影面积的不同计算方式列式表示即可求解；
（）①利用（）中得到的等量关系解答即可求解；②把代入等式左边得，再利用（）中得到的等量关系解答即可求解；
本题考查了平方差公式的应用，根据图形可得等量关系是解题的关键．
【详解】（1）解：图中阴影部分的面积看作用正方形的面积与正方形的面积的差，即；
图中阴影部分的面积也可以用长方形的面积与长方形的面积的和，即，
∴；
（2）解：①原式
；
②∵
，
∵，
，
解得．
例题4．（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）【探究】如图，从边长为的大正方形中剪掉一个边长为的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成图2所示的长方形．
（1）请分别表示出这两个图形中阴影部分的面积：
图中________，图中________；
（2）比较两个图中阴影部分的面积，可以得到乘法公式为：________（用含字母，的式子表示）；
【应用】请应用这个公式完成下列各题：
（3）已知，，则的值为：________；
计算；
【拓展】计算
（4）的结果为________．
【答案】（），；（）；（）；；（）．
【知识点】运用平方差公式进行运算、平方差公式与几何图形
【分析】本题考查了平方差公式，掌握平方差公式的应用是解题的关键．
（）利用两个面积相等列式即可；
（）利用探究中的公式计算即可；
（）利用探究中的公式计算即可；
利用探究中的公式计算即可；
（）算式乘以，再利用探究中的公式计算即可．
【详解】解：（）图中，图中，
故答案为：，；
（）比较两个图中阴影部分的面积，可以得到乘法公式为：，
故答案为：；
（）由，
∵，，
∴原式，
故答案为：；
；
（）解：
．
故答案为：．
精练
1．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图①，从边长为a的大正方形的四个角中挖去四个边长为b的小正方形后，将剩余的部分剪拼成一个长方形，如图②．通过计算阴影部分的面积可以得到（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】平方差公式与几何图形
【分析】本题主要考查了平方差公式的几何背景，解题的关键是求出第一个图的阴影部分面积，进而根据长方形的面积计算公式求出拼成的长方形的面积，根据面积不变得出结论，这个图形变换可以用来证明平方差公式：已知在左图中，大正方形减小正方形剩下的部分面积为；因为拼成的长方形的长为，宽为，根据“长方形的面积长宽”代入为：，因为面积相等，进而得出结论．
【详解】解：由图可知，大正方形减小正方形剩下的部分面积为；
拼成的长方形的面积：，
所以得出：，
故选：C．
2．（24-25七年级下·全国·期末）如图，边长为的正方形中有一个边长为的小正方形，将图中阴影部分剪裁后拼成一个长方形，如图所示．
(1)设图中阴影部分面积为，图中阴影部分面积为，请直接用含，的代数式表示，；
(2)请写出上述过程所揭示的乘法公式；
(3)试利用此公式计算：．
【答案】(1)，
(2)
(3)
【知识点】运用平方差公式进行运算、平方差公式与几何图形
【分析】本题考查了平方差公式的几何意义，掌握以上知识点是解答本题的关键．
（1）根据正方形、长方形的面积公式即可求解；
（2）根据题目已知，两图形面积相等即可写出公式；
（3）根据任何数（或式）乘以，仍得这个数（或式），即可将原式变形为，然后反复运用平方差公式，即可求出结果．
【详解】（1）解：依题意得，；
（2）解：依据阴影部分的面积相等，可得；
（3）解：原式，
，
，
，
，
．
3．（24-25八年级上·安徽阜阳·期末）从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图①），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图②）．
(1)上述操作能验证的等式是 ．（请选择“A”“B”“C”）
A． B． C．
(2)已知，，则的值为 ．
(3)计算：．
【答案】(1)B
(2)3
(3)
【知识点】平方差公式与几何图形、运用平方差公式进行运算
【分析】本题考查了平方差公式的几何背景，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．
（1）根据图中阴影部分面积的两种不同表示方法即可解决问题；
（2）根据（1）中的发现即可解决问题；
（3）根据（1）中的发现，将将平方差的形式改写成两数之和乘以两数之差的形式即可解；
【详解】（1）解：由题知，
图①中阴影部分的面积为，
图②中阴影部分的面积为，
又图②由图①中的阴影部分剪拼而得，
所以．
故选：B．
（2）解：由（1）可知，
，
又，，
所以．
故答案为：3．
（3）解：原式
．
4．（24-25七年级下·山东青岛·开学考试）如图，在边长为的正方形中挖去一个边长为的小正方形，把余下的部分剪拼成一个矩形．
(1)通过计算两个图形的面积（阴影部分的面积），可以验证的等式是 ；（请选择正确的一个）
A．
B．
C．
D．
(2)应用你从（1）选出的等式，完成下列各题：
①已知，，求的值．
②计算：．
【答案】(1)B
(2)①3；②
【知识点】运用平方差公式进行运算、平方差公式与几何图形
【分析】本题考查平方差公式的几何背景和应用，代数式求值，有理数的混合运算以及数式规律问题，利用平方差公式将代数式进行变形是解题关键．
（1）分别表示左图和右图中的阴影部分的面积，根据面积相等得出结论；
（2）①利用平方差公式，整体代入即可求出答案；②利用平方差公式转化为分数的乘积形式，根据规律可得答案．
【详解】（1）解：根据两图形面积可得：，
故选：B；
（2）解：①，
，
又，
；
．
对点集训三：完全平方公式的应用
典型例题
例题1．（24-25八年级上·重庆万州·期末）若，则的最小值是（ ）
A．2014 B．2016 C．2018 D．2020
【答案】A
【知识点】运用完全平方公式进行运算
【分析】本题考查了完全平方公式的应用等知识，利用完全平方公式将转化为，再根据即可得到的最小值是2014．
【详解】解：
，
∵，
∴M的最小值是2014．
故选：A．
例题2．（24-25七年级上·上海静安·期末）计算 ．
【答案】
【知识点】运用完全平方公式进行运算
【分析】本题考查了完全平方公式的应用，熟练掌握完 全平方公式是解题的关键；先将原式变形为，再利用完全平方公式展开得到；然后再次利用完全平方公式展开，从而得到结果．
【详解】原式
故答案为：
例题3．（23-24七年级下·湖南娄底·期中）先化简，再求值：，其中．
【答案】，3
【知识点】运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算、计算单项式乘多项式及求值
【分析】本题考查完全平方公式，平方差公式，多项式乘以单项式，先根据完全平方公式，平方差公式，多项式乘以单项式的运算法则化简，再将代入计算即可．
【详解】解：原式
，
当时，
原式
．
例题4．（2025七年级下·全国·专题练习）计算：
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)
(2)
(3)
【知识点】运用完全平方公式进行运算
【分析】（1）利用完全平方公式计算即可；
（2）利用完全平方公式计算即可；
（3）利用完全平方公式计算即可；
本题主要考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
．
精练
1．（24-25八年级上·河南周口·期末）已知，，则 ， ．
【答案】 10
【知识点】通过对完全平方公式变形求值、运用完全平方公式进行运算
【分析】本题考查完全平方公式的应用，关键在于熟练掌握完全平方公式的变换．
根据完全平方公式变形计算求解即可．
【详解】∵
∴
∵
∴
∴得，
∴；
∴得，
∴．
故答案为：10，．
2．（2025七年级下·全国·专题练习）利用乘法公式计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【知识点】计算单项式乘多项式及求值、运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算
【分析】本题考查了完全平方公式、平方差公式，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）先根据完全平方公式、平方差公式进行展开，再合并同类项，即可作答．
（2）先根据完全平方公式、平方差公式进行展开，单项式乘多项式，再合并同类项，即可作答．
【详解】（1）解：
．
（2）解：
．
3．（2025七年级下·全国·专题练习）已知，求下列代数式的值：
(1)；
(2)．
【答案】(1)8
(2)0
【知识点】运用完全平方公式进行运算
【分析】本题考查的是利用完全平方公式求解代数式的值；
（1）把代入，再计算即可；
（2）把代入，再计算即可；
【详解】（1）解：∵，
∴．
（2）解：∵，
∴．
4．（2025七年级下·全国·专题练习）利用完全平方公式计算：
(1)；
(2)；
(3)
【答案】(1)
(2)
(3)
【知识点】运用完全平方公式进行运算
【分析】
本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
（1）根据完全平方公式计算即可；
（2）根据完全平方公式计算即可；
（3）根据完全平方公式计算即可．
【详解】（1）
解：
；
（2）
解：
；
（3）
解：
．
对点集训四：通过完全平方公式变形求值
典型例题
例题1．（24-25八年级上·辽宁·期末）长方形的长和宽分别为a，b，若，，则该长方形的面积为（ ）
A．10 B．11 C．12 D．13
【答案】D
【知识点】通过对完全平方公式变形求值
【分析】此题考查了完全平方公式的应用能力，通过逆运用完全平方公式进行求解．
【详解】解：∵，，，
∴，
∴，
∴该长方形的面积为．
故选：D．
例题2．（2025七年级下·全国·专题练习）阅读理解：如果，我们可以先将等式两边同时平方得到，再根据完全平方公式计算得：，即，所以．请运用上面的方法解决下面问题：如果，则的值为 ．
【答案】6
【知识点】通过对完全平方公式变形求值
【分析】本题考查了完全平方公式变形运算，可得，两边平方得，即可求解；掌握、、三者之间的关系是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
即，
∴，
∴，
故答案为：6．
例题3．（23-24九年级上·贵州贵阳·阶段练习）已知、是方程的两个实数根，则的值为 ．
【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、通过对完全平方公式变形求值
【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，由题意得，，再将其代入中即可求出的值．解题的关键是掌握：若，是一元二次方程的两根，则，．
【详解】解：∵、是方程的两个实数根，
∴，，
∴，
∴的值为．
故答案为：．
例题4．（2025七年级下·全国·专题练习）已知，，求下列各式的值：
(1) ；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【知识点】运用完全平方公式进行运算、通过对完全平方公式变形求值
【分析】本题考查完全平方公式及其变形，熟练掌握该公式是解题的关键．
（1）利用完全平方公式进行作答，即可求解．
（2）由（1）得：，然后利用完全平方公式再求得，即可求解．
【详解】（1）
解：∵，，
∴①，②，
①②得：，
则；
（2）
解：由（1）得①②得：，
则，
那么
．
精练
1．（24-25九年级上·湖南衡阳·期末）若方程的两个实数根为、，则的值为 ．
【答案】14
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、通过对完全平方公式变形求值
【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式变形求值，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的两个根，，满足，．由根与系数的关系得：，，再根据完全平方公式进行变形，代入即可求值．
【详解】解：∵方程的两个实数根为、，
∴由根与系数的关系得：，，
∴，
故答案为：14．
2．（24-25九年级上·山东日照·期末）已知m，n是一元二次方程的两个实数根，则的值是 ．
【答案】14
【知识点】通过对完全平方公式变形求值、一元二次方程的根与系数的关系
【分析】本题考查根与系数之间的关系，根据根与系数的关系，得到，利用完全平方公式变形和整体代入法进行计算求值即可．
【详解】解：∵m，n是一元二次方程的两个实数根，
∴，
∴
．
故答案为：14．
3．（2025七年级下·全国·专题练习）已知实数满足．
（1）代数式的值为 ；
（2）代数式的值为 ．
【答案】
【知识点】求一个数的平方根、通过对完全平方公式变形求值
【分析】本题考查了完全平方公式变形求值，求一个数的平方根；
（1）根据完全平分公式可得，代入数据，即可求解；
（2）根据完全平方公式，代入数据，即可求解；
【详解】解：（1）∵
∴
故答案为：．
（2）∵，
∴，
∴
故答案为：．
4．（24-25七年级下·全国·周测）两个不相等的实数满足，．
（1）的值为 ；
（2）的值为 ．
【答案】 8或
【知识点】通过对完全平方公式变形求值、已知式子的值，求代数式的值
【分析】本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
（1）将两边平方，再用代入得到方程，解方程即得答案；
（2）先用完全平方公式计算的值，再开平方，即得答案．
【详解】解：（1），
，
，
，
；
故答案为：；
（2）由（1）知，
，
，
8或．
故答案为：8或．
对点集训五：完全平方式中的字母系数
典型例题
例题1．（24-25八年级上·四川绵阳·期末）如果能写成一个完全平方的形式，则（ ）
A． B．12 C． D．
【答案】D
【知识点】求完全平方式中的字母系数
【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用，掌握两数的平方和、再加上或减去它们积的2倍就构成了一个完全平方式成为解题的关键．
将原式化为，再根据完全平方公式解答即可．
【详解】解：∵是一个完全平方式，
∴，即．
故选D．
例题2．（24-25八年级上·湖南衡阳·期中）若一个多项式的平方的结果为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】求完全平方式中的字母系数
【分析】本题主要考查完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解答本题的关键．
根据完全平方公式进行作答即可．
【详解】解：一个多项式的平方的结果为，
，
，
故选：D．
例题3．（24-25八年级下·重庆渝北·开学考试）已知关于的二次三项式是一个完全平方式，则的值是 ．
【答案】
【知识点】求完全平方式中的字母系数
【分析】本题考查了完全平方式，符合形式的式子叫完全平方式，要明确，常数项是一次项系数一半的平方，进而求出即可．
【详解】解：∵关于y的二次三项式是完全平方式，
∴，
∴．
故答案为：．
例题4．（24-25八年级上·湖南衡阳·期末）（1）分解下列因式，将结果直接写在横线上： ； ； ；
（2）观察以上三个多项式的系数，有，，，于是小明猜测：若多项式是完全平方式，则实数系数a、b、c一定存在某种关系：
①请你用数学式子表示a、b、c之间的关系： ；
②解决问题：若多项式是一个完全平方式，求m的值．
【答案】（1），，；（2）①；②
【知识点】求完全平方式中的字母系数
【分析】此题考查了完全平方式，列代数式．
（1）利用完全平方公式分解即可；
（2）①观察各式的特征，得到，，之间的关系即可；
②根据①得出的三者之间的关系列出方程，求出方程的解即可得到的值．
【详解】解：（1）；
；
；
故答案为：，，；
（2）①若多项式是完全平方式，则实数系数，，一定存在某种关系为；
故答案为：；
②∵多项式是一个完全平方式，
∴，
解得：．
精练
1．（2025七年级下·全国·专题练习）若是一个完全平方式，则的值是（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】D
【知识点】求完全平方式中的字母系数
【分析】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解答本题的关键．
根据完全平方公式的特征判断即可得到的值．
【详解】解：是一个完全平方式，
，
或，
故选：D．
2．（24-25七年级下·全国·单元测试）若是一个完全平方式，则m的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】求完全平方式中的字母系数
【分析】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解答本题的关键．
利用完全平方式的特征判断即可确定出的值．
【详解】解：由完全平方公式的形式：，
可知，，
即，，
故，
故选：C．
3．（24-25八年级上·辽宁抚顺·期末）若是一个完全平方式，则的值 ．
【答案】8或
【知识点】求完全平方式中的字母系数
【分析】本题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．利用完全平方式的结构特征列式计算，即可确定出的值．
【详解】解：是一个完全平方式，且，
或，
解得或，
故答案为：8或．
4．（24-25八年级上·广东汕头·期末）探究题：
【问题情景】
（1）分解下列因式，将结果直接写在横线上：
___________；__________；___________；
【探究发现】
（2）观察上述三个多项式的系数，有，，，于是小明发现：若多项式是完全平方式，那么系数、、之间存在的关系式为__________；
【问题解决】
（3）若多项式是一个完全平方式，利用（2）中的结论求出的值．
【答案】（1）；；；（2）；（3）3
【知识点】求完全平方式中的字母系数、因式分解的应用、数字类规律探索
【分析】本题主要考查了完全平方公式、因式分解的理解和应用等知识点，灵活运用完全平方公式是解题的关键．
（1）利用完全平方公式进行分解因式即可解答；
（2）根据问题情境，式子中的系数关系，可猜想；
（3）多项式是一个完全平方式，则系数a，b，c存在的关系为，据此列出关于k的方程求解即可．
【详解】解：（1）；，
故答案为：；；．
（2）∵观察上述三个多项式的系数，有，，，
∴若多项式是完全平方式，那么系数、、之间存在的关系式为：．
故答案为：．
（3）∵多项式是一个完全平方式，
∴，
整理得：，解得：，
∴的值为3.
对点集训六：完全平方公式在几何图形中的应用
典型例题
例题1．（24-25八年级上·山西晋城·阶段练习）阅读与思考
仔细阅读下列材料并完成相应任务．
利用因式分解解决代数式的最值问题 我们把形如的式子称为完全平方式，除了利用完全平方式进行多项式的因式分解外，也可以将一个多项式进行局部因式分解从而解决代数式的最值问题． 例如：． ∵，∴，∴， ∴当时，取得最小值，最小值为2．
任务：
(1)代数式的最小值为 ．
(2)求代数式的最大值，并写出相应的x的值．
(3)小明的爸爸计划用一段长为8米的篱笆围成一个长方形的小型宠物围栏，请你帮助小明的爸爸规划一下怎样围面积才最大，最大面积为多少？
【答案】(1)
(2)代数式的最大值为，对应x的值为1
(3)小明的爸爸规划一个边长为2的正方形宠物围栏，面积才最大，最大面积为8平方米．
【知识点】通过对完全平方公式变形求值、完全平方式在几何图形中的应用
【分析】本题主要考查了非负数的性质、完全平方公式的应用等知识点，利用完全平方公式确定最值问题是解题的关键．
（1）根据非负数的性质求解即可；
（2）先把原式变形为，再根据非负数的性质即可解答；
（3）设当小型宠物围栏的长为x，则宽为，然后列出小型宠物围栏的面积，然后运用配方法求最值即可．
【详解】（1）解：∵，
∴
∴代数式的最小值为．
故答案为：．
（2）解：∵，，
∴，
∴当时，代数式的最大值为．
（3）解：设当小型宠物围栏的长为x米，则宽为米，
则小型宠物围栏的面积为，
∵，
∴，
∴当时，代数式的最大值为4．
∴小明的爸爸规划一个边长为2的正方形宠物围栏，面积才最大，最大面积为8平方米．
例题2．（2025七年级下·全国·专题练习）【问题情境】我们知道对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式．例如：由图1可得到．
【活动猜想】
（1）写出由图2所表示的数学等式： ；
【类比探究】
（2）①根据上面的等式，如果将看成，则　　　　　　　　　　（结果化简）；
②若，求的值．
【拓展运用】
（3）已知实数a、b、c满足以下条件：，，且，求k的值．
【答案】（1）；（2）①；②1或9；（3）
【知识点】运用完全平方公式进行运算、完全平方公式在几何图形中的应用
【分析】本题考查了灵活运用完全平方式，以及运算能力，转换变形是本题得关键．
（1）把几何面积和完全平方式结合起来，便可求出相应关系式；
（2）灵活运用公式，尤其是符号变换；
（3）灵活运用公式，可得，，再结合，可求出k的值．
【详解】解：（1）大正方形面积，大正方形面积也等于各个小矩形面积之和，即：，
∴．
故答案为：；
（2）①根据上面的等式，如果将看成，
则，
②由题意得：，
∵n26，
∴，
∴或2，
∴或9；
（3）∵，，
∴运用公式可得：，，
∴，
∴等号两边同时乘2得：，
与相加得：，
即，
又∵，
∴，
解得： ．
例题3．（24-25八年级上·四川乐山·期末）我们在应用整式的乘法公式解题时，经常将乘法公式进行变形，如：，．
(1)根据以上变形填空：
①已知，，则______；
②已知，，则______；
(2)若，，求的值；
(3)如图，正方形、的边长分别为、，若，，求图中阴影部分的面积之和．
【答案】(1)①；②
(2)
(3)
【知识点】完全平方公式在几何图形中的应用、通过对完全平方公式变形求值
【分析】本题主要考查了完全平方公式和数形结合思想，灵活变形完全平方公式成为解答本题的关键．
（1）①根据即可求解；②根据求出，即可求解；
（2）根据求出，即可求解；
（3）根据题意可得：，四边形为直角梯形，，得到，根据，，求出，进而得到，可求出的值，即可求解．
【详解】（1）解：①，，
，
，
故答案为：；
②，，
，
，
故答案为：；
（2），，
，
；
（3）正方形、的边长分别为、，
，，，
，，
，四边形为直角梯形，
，
，，
，
，
（负值已舍去），
．
例题4．（23-24七年级下·江苏扬州·期末）定义：对于任意四个有理数a、b、c、d，定义一种新运算：．
(1) ；
(2) ；若是完全平方式，则 ；
(3)若有理数m、n满足，且．
① 求的值；
② 如图，四边形是长方形，点E、F、G、H分别在边上，连接交于点P，且将长方形分割成四个小长方形，若，，，，在①的条件下，求图中阴影部分的面积．

【答案】(1)11
(2)；
(3)①2；②
【知识点】多项式乘多项式——化简求值、求完全平方式中的字母系数、完全平方式在几何图形中的应用
【分析】本题考查了新定义，完全平方公式的变形求解，熟练掌握新定义和完全平方公式是解答本题的关键．
（1）根据计算即可；
（2）根据计算，再根据完全平方式的特征求解即可；
（3）①根据得出，再结合即可求出；
②根据图象可得，化简后代入，即可求解；
【详解】（1）解：；
（2）解：；
若是完全平方式，则；
（3）解：①∵ ，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
②由题意可知：
，
将，代入可得，原式．
精练
1．（23-24八年级上·广东江门·阶段练习）（1）下图中的①是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后拼成一个如图中的②所示的正方形．小明用两种不同的方法求图中②的阴影部分的面积，发现了以下等量关系：________．
（2）利用（1）中的等量关系解决下面的问题：
①，，求和的值；
②已知，求的值．
【答案】（1）
（2）①1，，②
【知识点】运用完全平方公式进行运算、完全平方式在几何图形中的应用
【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景：利用几何图形之间的面积关系得到完全平方公式是解题的关键．
（1）可以用大正方形的面积减去4个长方形的面积得到图b中的阴影部分的正方形面积；也可以直接利用正方形的面积公式得到；
（2）①由（1）得到，把，，代入求，再利用完全平方公式求的值；
②由完全平方公式可知，，即则的值可求．
【详解】（1）方法一：图②中的阴影部分的正方形面积等于大正方形的面积减去4个长方形的面积，即；
方法二：图②中的阴影部分的正方形的边长等于，所以其面积为；
∴；
故答案为：；
（2）①由（1）可知
∵，，
∴，
解得，，
∵，
∴，
∴．
②∵，
∴
即，
∴．
2．（23-24八年级上·福建福州·期中）我们已学完全平方公式：，观察下列式子：
，
，原式有最小值是；
，
，原式有最大值是；
并完成下列问题：
(1)代数式有最 （填大或小）值，这个值= ．
(2)解决实际问题：在紧靠围墙的空地上，利用围墙及一段长为100米的木栏围成一个长方形花圃，为了设计一个尽可能大的花圃，如图设长方形一边长度为米，完成下列任务．
①用含的式子表示花圃的面积；
②请说明当取何值时，花圃的最大面积是多少平方米？
【答案】(1)小，
(2)①平方米；②当时，花圃的最大面积为1250平方米
【知识点】通过对完全平方公式变形求值、完全平方式在几何图形中的应用
【分析】本题主要考查完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键；
（1）根据题中所给方法可进行求解；
（2）①利用长方形的面积长宽可得结论；②利用题中所给方法即可解决问题．
【详解】（1）解：，
∵，
∴，
∴代数式有最小值，最小值为；
故答案为小，；
（2）解：①由图可得花圃的面积：平方米；
②由①可知：，
当时，，且，
当时，花圃的最大面积为1250平方米．
3．（22-23八年级下·四川成都·期末）数形结合是解决数学问题的重要思想方法，在学习“因式分解”时，我们可以借助直观、形象的几何模型来求解．下面共有三种卡片：A型卡片是边长为x的正方形；B型卡片是长为y，宽为x的长方形；C型卡片是边长为y的正方形．

(1)用1张A型卡片，2张B型卡片拼成如图1的图形，根据图1，多项式因式分解的结果为______．
(2)请用1张A型卡片，2张B型卡片，1张C型卡片拼成一个大正方形，在图2的虚线框中画出正方形的示意图，再据此写出一个多项式的因式分解．

【答案】(1)
(2)
【知识点】因式分解的应用、完全平方式在几何图形中的应用
【分析】（1）根据大长方形等于小长方形的面积和列式可求解；
（2）根据完全平方公式的几何背景，先拼接出图形，再根据面积法列式可求解．
【详解】（1）；
（2）如图所示，．

【点睛】本题主要考查完全平方公式的几何背景，因式分解的应用，掌握面积法是解题的关键．
4．（22-23七年级下·辽宁丹东·期中）完全平方公式：适当的变形，可以解决很多的数学问题．
例如：若，，求的值．
解：因为，所以，即：，
又因，所以
根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：

(1)若，，则的值为______；
(2)拓展：若，则______．
(3)应用：如图，在长方形中，，，点E、F是、上的点，且，分别以、为边在长方形外侧作正方形和正方形，若长方形的面积为160，求图中阴影部分的面积和．
【答案】(1)12
(2)10
(3)384
【知识点】完全平方式在几何图形中的应用、通过对完全平方公式变形求值
【分析】（1）利用完全平方公式进行计算，即可解答；
（2）设，，则，，然后完全平方公式进行计算，即可解答；
（3）根据题意可得，，然后设，，则，，最后利用完全平方公式进行计算，即可解答．
【详解】（1）解： ，，
，
．
（2）解：设，，
，
，
，
．
（3）解：四边形是长方形，
，，
，
，，
设，，
，
长方形的面积为160，
，
正方形的面积正方形的面积
，
图中阴影部分的面积和为384．
【点睛】本题考查了整式的混合运算化简求值，完全平方公式的几何背景，熟练掌握完全平方公式变形的计算是解题的关键．
对点集训七：乘法公式延伸：立方和、立方差公式的应用
典型例题
例题1．（24-25高一上·江西南昌·开学考试）阅读材料：运用公式法分解因式，除了常用的平方差公式和完全平方公式以外，还可以应用其他公式，如立方和与立方差公式，其公式如下：
立方和公式：；
立方差公式：.
根据材料和已学知识解决下列问题
(1)因式分解：；
(2)先化简，再求值：，其中.
(3)利用材料因式分解：
【答案】(1)
(2)，5
(3)
【知识点】数与式
【分析】（1）利用题干中的立方差公式求解即可；
（2）对式子化简求解即可；
（3）利用题干中的立方差公式因式分解即可.
【详解】（1）原式.
（2）原式
.
当时，原式.
（3）.
例题2．（24-25高一上·全国·假期作业）阅读理解题：
拆项法是因式分解中一种技巧较强的方法，它通常是把多项式中的某一项拆成几项，再分组分解，因而有时需要多次实验才能成功，例如把分解因式，这是一个三项式，最高次项是三次项，一次项系数为零，本题既没有公因式可提取，又不能直接应用公式，因而考虑制造分组分解的条件，把常数项拆成1和3，原式就变成，再利用立方和与平方差先分解，解法如下：
原式
公式：，
根据上述论法和解法，
(1)因式分解：；
(2)因式分解：；
(3)因式分解：．
【答案】(1)
(2)
(3)
【知识点】数与式
【分析】根据题意，结合题设中的公式，准确运算，即可求解.
【详解】（1）解：由题意，得到
.
（2）解：由题意，可得
.
（3）解：由题意，可得
.
例题3．（23-24高一·全国·假期作业）已知函数满足条件：
(1)对称轴为；(2)y的最大值为15；(3)的两根立方和为17.
求的表达式．
【答案】.
【知识点】函数
【分析】根据条件可设，再由，结合韦达定理求解即可.
【详解】根据条件①②设二次函数的表达式为．
设方程的两个根为，则
，
即.
∴所求表达式为.
【点睛】本题主要考查了二次函数解析式的求解，利用韦达定理列式求解是解题的关键，属于基础题.
精练
1．（24-25高一上·全国·假期作业）阅读材料：运用公式法分解因式，除了常用的平方差公式和完全平方公式以外，还可以应用其他公式，如立方和与立方差公式，其公式如下：
立方和公式： ；
立方差公式： ；
根据材料和已学知识，先化简，再求值：，其中．
【答案】，2
【知识点】数与式
【分析】利用立方差公式，以及因式分解，先化简，再代入求值.
【详解】
，
当时，原式.
2．（24-25高一上·全国·假期作业）多项式的乘法公式中，除了平方差公式，完全平方公式之外，还有立方和公式与立方差公式如下：
立方和公式：
立方差公式：
如果把公式逆运用，则成为因式分解中的立方和与立方差公式.
根据以上材料，请完成下列问题：
(1)因式分解：
(2)因式分解：
(3)已知：，求的值
【答案】(1)
(2)
(3)322
【知识点】数与式
【分析】（1）利用立方和公式分解因式即可；
（2）利用立方差公式公解因式即可；
（3）先由已知条件求出，然后利用立方和公式对分解因式，再结合完全平方公式化简求值即可》
【详解】（1）
；
（2）
；
（3）因为，
所以，
所以
.
3．（24-25高一上·全国·假期作业）利用多项式乘法法则计算：
(1) = ______； =______.
在多项式的乘法公式中，除了平方差公式，完全平方公式之外，如果把上面计算结果作为结论逆运用，则成为因式分解中的立方和与立方差公式．
已知，利用自己所学的数学知识，以及立方和与立方差公式，解决下列问题：
(2)______；（直接写出答案）
(3)______；（直接写出答案）
(4)______；（写出解题过程）
【答案】(1)，
(2)6
(3)14
(4)198
【知识点】数与式
【分析】（1）根据多项式的乘法公式求解即可；
（2）将多项式转化即可求解；
（3）将多项式转化即可求解；
（4）将多项式转化即可求解.
【详解】（1）==，
==；
（2）===6；
（3） ====14；
（4）==
==198.
第01讲 乘法公式 (分层精练）
A夯实基础 B能力提升
A夯实基础
一、单选题
1．（24-25八年级上·山西临汾·期末）如果是一个完全平方式，那么的值为（ ）
A．8 B． C．或8 D．或5
【答案】C
【知识点】求完全平方式中的字母系数
【分析】本题主要考查了完全平方式，根据题意可得两平方项为，则一次项为，据此可得答案．
【详解】解：∵是一个完全平方式，，
∴，
∴，
∴或，
故选：C．
2．（23-24七年级下·湖南娄底·期中）若，则下列各式不能成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】整式的混合运算
【分析】本题主要考查整式的乘法，掌握乘法公式进行整式的混合运算是解题的关键．
根据整式的混合运算法则计算判定即可．
【详解】解：、，，
，故此选项不符合题意；
、，故此选项不符合题意；
、，故此选项不符合题意；
、，，
，
，故此选项符合题意；
故选：．
3．（24-25八年级下·广西南宁·开学考试）如图，将图1中阴影部分拼成图2，根据两个图形中阴影部分的关系，可以验证下列哪个公式（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】完全平方公式在几何图形中的应用
【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景，根据图形确定出图1与图2中阴影部分的面积，即可作出判断．
【详解】解：由图1得，阴影部分面积为：，
由图2得，阴影部分面积为：，
∴，
故选：C．
4．（24-25七年级下·全国·课后作业）利用图形中面积的等量关系可以得到某些数学公式．例如，根据图①，我们可以得到两数和的完全平方公式：．根据图②你能得到的数学公式是（）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】完全平方公式在几何图形中的应用
【分析】本题主要考查的是完全平方公式的几何背景，从整体和部分两方面来理解完全平方公式的几何意义是解答本题的关键．用两种方式表示较大正方形的面积即可得解。
【详解】观察图形可得从整体来看（等于大正方形（边长为a）的面积减两个边长分别为和的图形面积，其中最小部分被减了两次，因此应重新加上一次．
∴根据图②能得到的数学公式是：．
故选D．
5．（24-25七年级下·全国·课后作业）下列计算中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】运用完全平方公式进行运算
【分析】本题考查了完全平方公式，熟练掌握是解题关键．根据完全平方公式，把各选项中等式左侧展开，再与等式右侧相比较即可选出答案．
【详解】解：A、，原计算错误，不符合题意；
B、，原计算错误，不符合题意；
C、，原计算错误，不符合题意；
D、，原计算正确，符合题意；
故选：D．
6．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，将图①中的阴影部分拼成图②，根据两个图形中阴影部分的面积关系，可以验证的数学公式是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】完全平方公式在几何图形中的应用
【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景，弄清阴影部分面积的求法是解题关键．根据图形确定出图1与图2中阴影部分的面积，即可作出判断．
【详解】解：由图形可知，图①中的阴影部分面积为，
图②中的阴影部分面积为，
即可以验证的数学公式是，
故选：B．
7．（2025七年级下·全国·专题练习）给出下列式子：
①；
②；
③；
④．
其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】运用平方差公式进行运算
【分析】本题考查了整式的乘法运算—平方差公式，熟记平方差公式是解题的关键．运用平方差公式运算即可判断．
【详解】①，此题计算错误，故不符合题意；
②此题计算错误，故不符合题意；
③，此题计算正确，故符合题意；
④此题计算正确，故符合题意；
只有正确，
故选：B．
8．（24-25七年级下·全国·课后作业）为了运用平方差公式计算，必须先对式子进行变形．下列变形正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】运用平方差公式进行运算
【分析】本题考查了平方差公式，掌握平方差公式是解题的关键．将看作整体，利用平方差公式进行计算即可求解．
【详解】解：
，
故选：D．
9．（24-25八年级下·北京·开学考试）如果是一个完全平方式，那么为（ ）
A．25 B． C．100 D．
【答案】A
【知识点】求完全平方式中的字母系数
【分析】本题主要考查完全平方式的定义和结构，，像满足这样的形式的代数式叫完全平方式，所以，进而求出的值．
【详解】解：根据完全平方式的结构，把写出完全平方式结构；
即；
∴，
故选：A．
二、多选题
10．（23-24八年级下·山东潍坊·期末）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【知识点】积的乘方运算、计算多项式乘多项式、运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算
【分析】本题考查了整式的乘法，积的乘方，平方差公式和完全平方公式，正确的计算是解题的关键．根据整式的乘法，积的乘方，平方差公式和完全平方公式的运算法则进行计算即可．
【详解】解：A. ，原计算错误；
B. ，计算正确；
C. ，原计算错误，
D. ，计算正确；
故选BD．
11．（23-24七年级下·浙江嘉兴·期末）已知实数，满足，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】AD
【知识点】通过对完全平方公式变形求值、化为最简二次根式
【分析】本题考查了完全平方公式的运用以及分式的化简求值，正确掌握相关性质内容是解题的关键．根据异分母分式加法，先通分再代入数值，即，可判断A选项；结合完全平方公式的变形运用得出，再把数值代入计算，可判断B选项；因为，所以代入数值进行计算得出，可判断C选项；因为，所以，则代入数值进行计算，即可判断D选项．
【详解】解：A、∵，，
∴，故该选项是正确的；
B、，故该选项是错误的；
C、，则，故该选项是错误的；
D、∵，且，
∴，
∵，，
∴原式，故该选项是正确的；
故答案为：AD
12．（23-24七年级下·山东潍坊·期中）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【知识点】同底数幂的除法运算、计算单项式乘单项式、计算单项式乘多项式及求值、运用完全平方公式进行运算
【分析】本题主要考查了整式的混合运算，根据整式的混合运算法则一一计算判断即可．
【详解】解：A．，计算正确，故该选项符合题意；
B．，原计算错误，故该选项不符合题意；
C．，原计算错误，故该选项不符合题意；
D．，计算正确，故该选项符合题意；
故选：AD
三、填空题
13．（24-25八年级上·广东广州·期末）以长方形的四条边为边向外作四个正方形，设计出“中”字图案，如图所示．若四个正方形的周长之和为40，面积之和为26，则长方形ABCD的面积为 ．
【答案】6
【知识点】列代数式、完全平方公式在几何图形中的应用
【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景，用代数式表示两个正方形的周长和面积是解决问题的前提．令，，根据题意得到，，再利用完全平方公式求解即可．
【详解】解：令，，
长方形的四条边为边向外作四个正方形，四个正方形的周长之和为40，面积之和为26，
，，
，，
，
故答案为：6．
14．（2025·陕西西安·一模）如图，图1是北京国际数学家大会的会标，它取材于我国古代数学家赵爽的“弦图”，是由四个全等的直角三角形拼成．若图1中大正方形的面积为，小正方形的面积为，现将这四个直角三角形拼成图2，则图2中大正方形的面积为 ．
【答案】
【知识点】以弦图为背景的计算题、完全平方公式在几何图形中的应用
【分析】本题考查了勾股定理，正方形和三角形面积公式，完全平方公式，熟练掌握勾股定理是解题的关键.
设直角三角形的两直角边为，斜边为，根据题意得出，，计算即可得到答案.
【详解】解：设直角三角形的两直角边为，斜边为，
根据题意得：，，
，
图2中大正方形的面积为
故答案为：.
15．（24-25八年级上·陕西渭南·期末）化简的值是 ．
【答案】/
【知识点】整式的加减运算、运用完全平方公式进行运算
【分析】本题考查了完全平方公式，整式的加减，先根据完全平方公式化简，再去括号合并同类项．
【详解】解：
．
故答案为：．
16．（2025七年级下·全国·专题练习）根据整式与整式相乘，可以得到等式：．试利用这个等式解决以下问题：如图，中，，分别以、、为边向外侧作正方形．如果、、的长分别是、、，且，，那么这三个正方形的面积和是 ．
【答案】70
【知识点】完全平方公式在几何图形中的应用
【分析】本题考查了三项完全平方公式的应用，由三项完全平方公式得，即可求解；能熟练利用完全平方公式进行运算是解题的关键．
【详解】解：由公式得：
，
∴这三个正方形的面积和是，
故答案为∶．
四、解答题
17．（24-25八年级上·山西临汾·期末）先化简，再求值：，其中，．
【答案】，．
【知识点】多项式除以单项式、运用完全平方公式进行运算、运用平方差公式进行运算
【分析】本题考查了整式的化简求值，能正确根据整式的运算法则进行化简是解题的关键．
先根据平方差公式和完全平方公式进行计算，再合并同类项，再算整式除法，最后把，代入求出结果即可．
【详解】解：原式=
，
当，时，
原式
．
18．（24-25八年级上·江西上饶·期末）（1）计算：．
（2）解方程：．
【答案】（1）；（2）
【知识点】运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算、解分式方程
【分析】本题主要考查了整式的混合运算及解分式方程，熟练掌握相关计算方法是解决本题的关键．
（1）根据完全平方公式和平方差公式先去括号，然后合并即可求解；
（2）先将分式方程转化为一元一次方程，然后进行计算，再检验即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：等式两边同乘，得，
解得，
经检验，是原方程的解．
19．（24-25八年级上·云南昆明·期末）【阅读材料】
对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个因式分解的等式．如图1-1，边长为的大正方形切去一个边长为的小正方形，剩余部分的面积为，如图1-2，把剩余部分按如图所示的方式继续切割为甲、乙、丙三个长方形（或正方形），则甲的面积为，乙的面积为，丙的面积为，所以
，
【尝试应用】
（1）利用材料中得到的因式分解等式计算：_____；
（2）通过不同的方法表示同一个几何体的体积，也可以探求相应的因式分解等式．如图2-1，棱长为的实心大正方体切除一个棱长为的小正方体，剩余部分的体积按如图2-2所示的方式继续切割为甲、乙、丙三个长方体，类比第（1）题，求可得到的因式分解等式为_____；
【拓广探索】
（3）若，，且，．求的值．
【答案】（1）9800；（2）；（3）的值为
【知识点】多项式乘多项式与图形面积、整式的混合运算
【分析】本题主要考查整式的混合运算，乘法公式，立方公式与几何图形面积，体积的计算，掌握整式的混合运算法则是解题的关键．
[尝试应用]
（1）根据材料提示得到，由此即可求解；
（2）根据立体图形体积的计算方法，分别算出甲、乙、丙的体积，再根据整式的混合运算计算即可求解；
[拓广探索]
（3）运用完全平方公式变形得到，，结合（2）的计算方法得到原式，代入计算即可求解．
【详解】解：[尝试应用]
（1）∵，
∴，
故答案为：；
（2）棱长为的实心大正方体切除一个棱长为的小正方体，剩余部分的体积，
甲的体积为：，
乙的体积为：，
丙的体积为：，
∴剩余部分的体积为甲、乙、丙的体积之和，即，
∴，
故答案为：；
[拓广探索]
（3）∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
根据（2）的计算得到，
同理，，
∴．
20．（2025七年级下·全国·专题练习）观察下列等式：
；
；
；
；
…
(1)根据上述等式，写出_______=_______；
(2)试猜想是哪一个数的平方，并说明理由．
【答案】(1)，
(2)，见解析
【知识点】数字类规律探索、运用完全平方公式进行运算
【分析】本题考查了数字规律，完全平方公式的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）根据已有的式子，得，再把代入进行计算，即可作答．
（2）分别化简等式的左边式子以及等式的右边式子，比较得等式左边=等式右边．，即可作答．
【详解】（1）解：依题意，把式子的第一个数字记为，
则，
∴，
故答案为：，；
（2）解：．理由如下：
等式左边
，
等式右边
，
∴等式左边=等式右边．
故是的平方
B能力提升
1．（24-25八年级上·湖南衡阳·期末）“我们把多项式及叫做完全平方式．”如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等．
例如：分解因式：．
解：原式．
例如：求代数式的最小值．
解：，
因为：，所以：当时，有最小值，最小值是．
根据阅读材料用配方法解决下列问题：
(1)分解因式：______；
(2)当，为何值时，多项式有最小值，并求出这个最小值；
(3)已知，，是的三条边，且满足，试判断的形状．
【答案】(1)
(2)当，时有最小值3
(3)直角三角形
【知识点】运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算、判断三边能否构成直角三角形、利用勾股定理的逆定理求解
【分析】（1）阅读材料，根据材料中的方法，先配方，再由平方差公式分解因式即可得到答案；
（2）阅读材料，根据材料中的方法，先配方，再由平方的非负性即可求出多项式有最小值；
（3）阅读材料，根据材料中的方法，先配方，再由平方的非负性及非负数和为零的条件求出，结合勾股定理的逆定理即可判定的形状．
【详解】（1）解：由材料中的解法可知，
，
故答案为：
（2）解：由材料中的解法可知，
，
，
当时，有最小值，最小值是；
（3）解：由材料中的解法可知，
，
，
即，
，
，
，
，即是直角三角形．
【点睛】本题考查阅读理解，涉及完全平方公式、配方法、平方差公式、因式分解、平方非负性、求多项式最值、非负数和为零的条件、勾股定理的逆定理等知识，读懂题意，理解配方法是解决问题的关键．
2．（24-25八年级上·山东临沂·期末）我们知道形如的二次三项式可以分解因式为，所以
但小明在学习中发现，对于还可以使用以下方法分解因式．
教科书中这样写道：“形如的式子称为完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等问题．
例如：求代数式的最小值．
解：．
因为，所以
所以当时，有最小值，最小值是．
根据阅读材料，用配方法解决下列问题：
(1)分解因式：①；②
(2)当为何值时，多项式有最大值？并求出这个最大值．
(3)利用配方法，尝试求出等式中的值．
【答案】(1)①；②
(2)当时，多项式有最大值，最大值为11
(3)
【知识点】通过对完全平方公式变形求值、因式分解的应用、平方差公式分解因式
【分析】本题考查了配方法因式分解，求多项式的最值，平方的非负性，掌握配方法是解题的关键．
（1）先利用配方法，然后再利用平方差公式进行计算即可；
（2）先对式子进行配方法，然后利用平方的非负性解题即可；
（3）先对方程左边的式子运用完全平方公式进行变形，然后利用平方的非负性得到关于a，b的方程进而可求解．
【详解】（1）解：①
；
②
；
（2）解：由题意得，
，
，
，
当时，多项式有最大值11．
（3）解：，
∴，
配方得，
解得：．
3．（24-25八年级上·山西吕梁·期末）阅读与思考
阅读以下材料并完成相应任务．
换元法，是指引入一个或者几个新的变量代替原来的变量，通过引入的新变量将分散的条件联系起来，变为熟悉的问题，其理论依据是等量代换．对于结构比较复杂的式子．可以把其中某些部分看作整体，用新的字母代替（即整体换元）可以化繁为简，从而找到解题的路径． 例：若x满足，求的值． 解：令，，则，， ，， ， ．
任务：
(1)若x满足，求的值．
(2)如图，在长方形中，，，E、F分别为边，上的点，且，分别过点E、F作边，的垂线段，交于点O，再以和为边向外作正方形和正方形．若长方形的面积为，求图中阴影部分的面积．
【答案】(1)
(2)
【知识点】完全平方公式在几何图形中的应用、通过对完全平方公式变形求值
【分析】本题考查完全平方公式的变形，完全平方公式与图形面积：
（1）令，，则，，利用完全平方公式求出即可；
（2）设，则，．令，，则，，，最后根据即可求解．
【详解】（1）解：令，，
则，，
，
，
，
．
（2）解：设，
则，．
令，，
则．
，
，
．
，
，
，
．
4．（24-25八年级上·陕西商洛·期末）我们把多项式及叫做完全平方式，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变（恒等变形）．这可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等问题．例如：
(1)分解因式：________．
(2)求代数式的最小值：
，
对于代数式，无论x取何值，都大于或等于0，再加上，则，故的最小值为________．
请完成上面的填空．
(3)根据材料解决下列问题：
①分解因式：【请仿照（1）进行解答】________．
②多项式是否有最大值？若有，请求出最大值．
【答案】(1)
(2)
(3)①；②5
【知识点】平方差公式分解因式、通过对完全平方公式变形求值
【分析】本题考查了配方法因式分解、配方法求代数式的最值、完全平方公式，熟记公式，读懂材料，掌握配方法的步骤和运用是解答的关键．
（1）利用平方差公式分解即可；
（2）根据阅读材料即可得出结果；
（3）①根据材料中方法求解即可；②利用配方法将多项式，转化为，然后利用非负数的性质进行解答．
【详解】（1）解：；
（2）解：根据题意：的最小值为；
（3）解：①原式
；
②
，
对于代数式，无论x取何值，都小于或等于0，再加上5，则，故的最大值为5．
5．（24-25六年级上·山东济南·期末）如图1是1个直角三角形和2个小正方形，直角三角形的三条边长分别是a、b、c，其中a、b是直角边，两个小正方形的边长分别是a、b．
(1)将4个完全一样的直角三角形和2个小正方形构成一个大正方形（如图2）．用两种不同的方法列代数式表示图2中的大正方形面积：
方法一：____________；方法二：____________；
(2)观察图2，试写出，，，这四个代数式之间的等量关系：____________；
(3)若图1中一个三角形面积是3，图2的大正方形面积是，求的值．
【答案】(1);
(2)
(3)
【知识点】列代数式、已知式子的值，求代数式的值、完全平方公式在几何图形中的应用
【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，代数式求值，以及列代数式，熟练掌握运算法则是解题的关键，
（1）利用两种方法表示出大正方形的面积即可；
（2）写出四个代数式之间的等量关系即可；
（3）由直角三角形的面积为3，得到，再由大正方形的面积为，把（2）变形后，整体代入即可得到答案．
【详解】（1）解：方法一：；方法二：，
故答案为：；．
（2）解：，
故答案为：．
（3）解：∵图1中一个三角形面积是3，
∴，
∵图2的大正方形面积是，
∴，
∵
∴．
6．（23-24七年级下·湖南娄底·期中）对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，例如图，可以得到，请解答下列问题：
(1)写出图所表示的数学等式 ；
(2)利用（1）中得到的结论，解决下面的问题：若，，则 ；
(3)用图中张边长为的正方形，张边长为的正方形，张长宽分别为、的长方形纸片拼出一个面积为的长方形，则 ．
【答案】(1)
(2)
(3)
【知识点】多项式乘多项式与图形面积、完全平方公式在几何图形中的应用
【分析】本题考查了完全平方式的几何背景，灵活运用完全平方公式是解决本题的关键．
（1）根据图形，可以写出相应的等式；
（2）根据（1）中的结果和，，可以求得所求式子的值；
（3）将展开，即可得到、、的值，再把三者相加即可解答．
【详解】（1）解：正方形的面积，
正方形的面积，
，
故答案为：；
（2）解：，，
，
，
，
，
故答案为：；
（3）解：由题可知，所拼图形的面积为：，
，
，
，
，，，
，
故答案为：．
7．（24-25高一上·全国·假期作业）杨辉，南宋杰出的数学家和数学教育家．杨辉研究了二项式定理，并根据此定理研究了两数的立方和、立方差、三数的立方和等公式．
方法提取 数学学习活动，是在公式化体系的不断完善中进行的．我们已经学方差公式，在平方差公式的基础上，可以对式子a3﹣b3进行如下推导： ． 对于，称为立方差公式．
公式推导 （1）请参考“立方差公式”的推导过程推导立方和公式： ．
学以致用 （2）请灵活运用公式进行因式分解： ①______； ②______. ③______.
【答案】（1）；
（2）①；②；③
【知识点】数与式
【分析】根据题意，结合立方和与立方差公式，准确运算，即可求解.
【详解】解：（1）
；
（2）①原式；
②；
③．
故答案为：（1）；
（2）①；②；③.
8．（24-25高一上·全国·假期作业）阅读材料：运用公式法分解因式，除了常用的平方差公式和完全平方公式以外，还可以应用其他公式，如立方和与立方差公式，其公式如下：
立方和公式：；
立方差公式：．
根据材料和已学知识解决下列问题
(1)因式分解：；
(2)先化简，再求值：，其中．
【答案】(1)
(2)，5
【知识点】数与式
【分析】（1）根据立方差公式直接分解因式即可；
（2）利用立方差公式和乘法公式对代数式中的多项分解因式化简，再利用分式的运算化简，然后将代入计算即可.
【详解】（1）原式
（2）原式
．
当时，原式．
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衔接点01 乘法公式
初中阶段 高中阶段
1、掌握平方差公式，完全平方公式的形式，意义和应用 2、能够熟练的运用平方差公式，完全平方公式展开与化简 1、能够熟练的运用平方差公式，完全平方公式的形式及完全平方公式的凑配 2、掌握立方和，立方差公式，并能灵活展开与化简 3、掌握三数和公式展开过程，并能灵活应用
衔接指引
初中阶段考查形式：选填题，信息题阅读并运用。 高中阶段考查形式：作为数学工具在代数运算中灵活应用。
1、初中知识再现
（1）平方差公式：；注意公式的正逆应用.
（2）完全平方公式：
（3）高频应用方式：
①
②
③
④
⑤
⑥
2、高中相关知识
（1）立方和公式：
（2）立方差公式：
（3）两数和立方公式：
过程：
（4）两数差立方公式：
过程：
（5）三数和平方公式：
过程：
对点集训一：平方差公式的应用
例题1．（2025七年级下·全国·专题练习）已知，则 ．
例题2．（2025七年级下·全国·专题练习）若，则等于 ．
例题3．（2025七年级下·全国·专题练习）运用乘法公式计算：．
例题4．（2025七年级下·全国·专题练习）运用平方差公式计算：
(1)；
(2)．
1．（24-25七年级下·全国·课后作业）（ ）．
2．（2025七年级下·全国·专题练习）若，则m的值是 ．
3．（2025七年级下·全国·专题练习）利用平方差公式计算：
(1)；
(2)．
4．（2025七年级下·全国·专题练习）计算：．
对点集训二：平方差公式与几何图形
例题1．（24-25八年级上·内蒙古鄂尔多斯·期末）在数学实践课上，“智慧小组”将大正方形的阴影部分裁剪下来重新拼成一个图形，以下4幅拼法中，其中能够验证平方差公式的是（ ）
A．①② B．①③ C．①②③ D．①②④
例题2．（24-25八年级上·河南驻马店·阶段练习）图1为某校八（1）（2）两个班级的劳动实践基地，图2是从实践基地抽象出来的几何模型：两块边长为，的正方形，其中重叠部分为池塘，阴影部分，分别表示八（1）（2）两个班级的基地面积．若，，则 ．
例题3．（24-25八年级上·辽宁·期末）如图，正方形的边长为，正方形的边长为，图中阴影部分的面积可以用正方形的面积与正方形的面积的差来计算；也可以用长方形的面积与长方形的面积的和来计算．
(1)根据图中阴影面积的不同计算方式，请直接写成，，之间的等量关系；
(2)根据（）中得到的等量关系，解决下面的问题：
①计算：；
②若，求的值．
例题4．（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）【探究】如图，从边长为的大正方形中剪掉一个边长为的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成图2所示的长方形．
（1）请分别表示出这两个图形中阴影部分的面积：
图中________，图中________；
（2）比较两个图中阴影部分的面积，可以得到乘法公式为：________（用含字母，的式子表示）；
【应用】请应用这个公式完成下列各题：
（3）已知，，则的值为：________；
计算；
【拓展】计算
（4）的结果为________．
1．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图①，从边长为a的大正方形的四个角中挖去四个边长为b的小正方形后，将剩余的部分剪拼成一个长方形，如图②．通过计算阴影部分的面积可以得到（ ）
A． B．
C． D．
2．（24-25七年级下·全国·期末）如图，边长为的正方形中有一个边长为的小正方形，将图中阴影部分剪裁后拼成一个长方形，如图所示．
(1)设图中阴影部分面积为，图中阴影部分面积为，请直接用含，的代数式表示，；
(2)请写出上述过程所揭示的乘法公式；
(3)试利用此公式计算：．
3．（24-25八年级上·安徽阜阳·期末）从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图①），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图②）．
(1)上述操作能验证的等式是 ．（请选择“A”“B”“C”）
A． B． C．
(2)已知，，则的值为 ．
(3)计算：．
4．（24-25七年级下·山东青岛·开学考试）如图，在边长为的正方形中挖去一个边长为的小正方形，把余下的部分剪拼成一个矩形．
(1)通过计算两个图形的面积（阴影部分的面积），可以验证的等式是 ；（请选择正确的一个）
A．
B．
C．
D．
(2)应用你从（1）选出的等式，完成下列各题：
①已知，，求的值．
②计算：．
对点集训三：完全平方公式的应用
例题1．（24-25八年级上·重庆万州·期末）若，则的最小值是（ ）
A．2014 B．2016 C．2018 D．2020
例题2．（24-25七年级上·上海静安·期末）计算 ．
例题3．（23-24七年级下·湖南娄底·期中）先化简，再求值：，其中．
例题4．（2025七年级下·全国·专题练习）计算：
(1)；
(2)；
(3)．
1．（24-25八年级上·河南周口·期末）已知，，则 ， ．
2．（2025七年级下·全国·专题练习）利用乘法公式计算：
(1)；
(2)．
3．（2025七年级下·全国·专题练习）已知，求下列代数式的值：
(1)；
(2)．
4．（2025七年级下·全国·专题练习）利用完全平方公式计算：
(1)；
(2)；
(3)
对点集训四：通过完全平方公式变形求值
例题1．（24-25八年级上·辽宁·期末）长方形的长和宽分别为a，b，若，，则该长方形的面积为（ ）
A．10 B．11 C．12 D．13
例题2．（2025七年级下·全国·专题练习）阅读理解：如果，我们可以先将等式两边同时平方得到，再根据完全平方公式计算得：，即，所以．请运用上面的方法解决下面问题：如果，则的值为 ．
例题3．（23-24九年级上·贵州贵阳·阶段练习）已知、是方程的两个实数根，则的值为 ．
例题4．（2025七年级下·全国·专题练习）已知，，求下列各式的值：
(1) ；
(2)．
1．（24-25九年级上·湖南衡阳·期末）若方程的两个实数根为、，则的值为 ．
2．（24-25九年级上·山东日照·期末）已知m，n是一元二次方程的两个实数根，则的值是 ．
3．（2025七年级下·全国·专题练习）已知实数满足．
（1）代数式的值为 ；
（2）代数式的值为 ．
4．（24-25七年级下·全国·周测）两个不相等的实数满足，．
（1）的值为 ；
（2）的值为 ．
对点集训五：完全平方式中的字母系数
例题1．（24-25八年级上·四川绵阳·期末）如果能写成一个完全平方的形式，则（ ）
A． B．12 C． D．
例题2．（24-25八年级上·湖南衡阳·期中）若一个多项式的平方的结果为，则（ ）
A． B． C． D．
例题3．（24-25八年级下·重庆渝北·开学考试）已知关于的二次三项式是一个完全平方式，则的值是 ．
例题4．（24-25八年级上·湖南衡阳·期末）（1）分解下列因式，将结果直接写在横线上： ； ； ；
（2）观察以上三个多项式的系数，有，，，于是小明猜测：若多项式是完全平方式，则实数系数a、b、c一定存在某种关系：
①请你用数学式子表示a、b、c之间的关系： ；
②解决问题：若多项式是一个完全平方式，求m的值．
1．（2025七年级下·全国·专题练习）若是一个完全平方式，则的值是（ ）
A． B． C．或 D．或
2．（24-25七年级下·全国·单元测试）若是一个完全平方式，则m的值为（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25八年级上·辽宁抚顺·期末）若是一个完全平方式，则的值 ．
4．（24-25八年级上·广东汕头·期末）探究题：
【问题情景】
（1）分解下列因式，将结果直接写在横线上：
___________；__________；___________；
【探究发现】
（2）观察上述三个多项式的系数，有，，，于是小明发现：若多项式是完全平方式，那么系数、、之间存在的关系式为__________；
【问题解决】
（3）若多项式是一个完全平方式，利用（2）中的结论求出的值．
对点集训六：完全平方公式在几何图形中的应用
例题1．（24-25八年级上·山西晋城·阶段练习）阅读与思考
仔细阅读下列材料并完成相应任务．
利用因式分解解决代数式的最值问题 我们把形如的式子称为完全平方式，除了利用完全平方式进行多项式的因式分解外，也可以将一个多项式进行局部因式分解从而解决代数式的最值问题． 例如：． ∵，∴，∴， ∴当时，取得最小值，最小值为2．
任务：
(1)代数式的最小值为 ．
(2)求代数式的最大值，并写出相应的x的值．
(3)小明的爸爸计划用一段长为8米的篱笆围成一个长方形的小型宠物围栏，请你帮助小明的爸爸规划一下怎样围面积才最大，最大面积为多少？
例题2．（2025七年级下·全国·专题练习）【问题情境】我们知道对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式．例如：由图1可得到．
【活动猜想】
（1）写出由图2所表示的数学等式： ；
【类比探究】
（2）①根据上面的等式，如果将看成，则　　　　　　　　　　（结果化简）；
②若，求的值．
【拓展运用】
（3）已知实数a、b、c满足以下条件：，，且，求k的值．
例题3．（24-25八年级上·四川乐山·期末）我们在应用整式的乘法公式解题时，经常将乘法公式进行变形，如：，．
(1)根据以上变形填空：
①已知，，则______；
②已知，，则______；
(2)若，，求的值；
(3)如图，正方形、的边长分别为、，若，，求图中阴影部分的面积之和．
例题4．（23-24七年级下·江苏扬州·期末）定义：对于任意四个有理数a、b、c、d，定义一种新运算：．
(1) ；
(2) ；若是完全平方式，则 ；
(3)若有理数m、n满足，且．
① 求的值；
② 如图，四边形是长方形，点E、F、G、H分别在边上，连接交于点P，且将长方形分割成四个小长方形，若，，，，在①的条件下，求图中阴影部分的面积．

1．（23-24八年级上·广东江门·阶段练习）（1）下图中的①是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后拼成一个如图中的②所示的正方形．小明用两种不同的方法求图中②的阴影部分的面积，发现了以下等量关系：________．
（2）利用（1）中的等量关系解决下面的问题：
①，，求和的值；
②已知，求的值．
2．（23-24八年级上·福建福州·期中）我们已学完全平方公式：，观察下列式子：
，
，原式有最小值是；
，
，原式有最大值是；
并完成下列问题：
(1)代数式有最 （填大或小）值，这个值= ．
(2)解决实际问题：在紧靠围墙的空地上，利用围墙及一段长为100米的木栏围成一个长方形花圃，为了设计一个尽可能大的花圃，如图设长方形一边长度为米，完成下列任务．
①用含的式子表示花圃的面积；
②请说明当取何值时，花圃的最大面积是多少平方米？
3．（22-23八年级下·四川成都·期末）数形结合是解决数学问题的重要思想方法，在学习“因式分解”时，我们可以借助直观、形象的几何模型来求解．下面共有三种卡片：A型卡片是边长为x的正方形；B型卡片是长为y，宽为x的长方形；C型卡片是边长为y的正方形．

(1)用1张A型卡片，2张B型卡片拼成如图1的图形，根据图1，多项式因式分解的结果为______．
(2)请用1张A型卡片，2张B型卡片，1张C型卡片拼成一个大正方形，在图2的虚线框中画出正方形的示意图，再据此写出一个多项式的因式分解．

4．（22-23七年级下·辽宁丹东·期中）完全平方公式：适当的变形，可以解决很多的数学问题．
例如：若，，求的值．
解：因为，所以，即：，
又因，所以
根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：

(1)若，，则的值为______；
(2)拓展：若，则______．
(3)应用：如图，在长方形中，，，点E、F是、上的点，且，分别以、为边在长方形外侧作正方形和正方形，若长方形的面积为160，求图中阴影部分的面积和．
对点集训七：乘法公式延伸：立方和、立方差公式的应用
例题1．（24-25高一上·江西南昌·开学考试）阅读材料：运用公式法分解因式，除了常用的平方差公式和完全平方公式以外，还可以应用其他公式，如立方和与立方差公式，其公式如下：
立方和公式：；
立方差公式：.
根据材料和已学知识解决下列问题
(1)因式分解：；
(2)先化简，再求值：，其中.
(3)利用材料因式分解：
例题2．（24-25高一上·全国·假期作业）阅读理解题：
拆项法是因式分解中一种技巧较强的方法，它通常是把多项式中的某一项拆成几项，再分组分解，因而有时需要多次实验才能成功，例如把分解因式，这是一个三项式，最高次项是三次项，一次项系数为零，本题既没有公因式可提取，又不能直接应用公式，因而考虑制造分组分解的条件，把常数项拆成1和3，原式就变成，再利用立方和与平方差先分解，解法如下：
原式
公式：，
根据上述论法和解法，
(1)因式分解：；
(2)因式分解：；
(3)因式分解：．
例题3．（23-24高一·全国·假期作业）已知函数满足条件：
(1)对称轴为；(2)y的最大值为15；(3)的两根立方和为17.
求的表达式．
1．（24-25高一上·全国·假期作业）阅读材料：运用公式法分解因式，除了常用的平方差公式和完全平方公式以外，还可以应用其他公式，如立方和与立方差公式，其公式如下：
立方和公式： ；
立方差公式： ；
根据材料和已学知识，先化简，再求值：，其中．
2．（24-25高一上·全国·假期作业）多项式的乘法公式中，除了平方差公式，完全平方公式之外，还有立方和公式与立方差公式如下：
立方和公式：
立方差公式：
如果把公式逆运用，则成为因式分解中的立方和与立方差公式.
根据以上材料，请完成下列问题：
(1)因式分解：
(2)因式分解：
(3)已知：，求的值
3．（24-25高一上·全国·假期作业）利用多项式乘法法则计算：
(1) = ______； =______.
在多项式的乘法公式中，除了平方差公式，完全平方公式之外，如果把上面计算结果作为结论逆运用，则成为因式分解中的立方和与立方差公式．
已知，利用自己所学的数学知识，以及立方和与立方差公式，解决下列问题：
(2)______；（直接写出答案）
(3)______；（直接写出答案）
(4)______；（写出解题过程）
第01讲 乘法公式 (分层精练）
一、单选题
1．（24-25八年级上·山西临汾·期末）如果是一个完全平方式，那么的值为（ ）
A．8 B． C．或8 D．或5
2．（23-24七年级下·湖南娄底·期中）若，则下列各式不能成立的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（24-25八年级下·广西南宁·开学考试）如图，将图1中阴影部分拼成图2，根据两个图形中阴影部分的关系，可以验证下列哪个公式（ ）．
A． B．
C． D．
4．（24-25七年级下·全国·课后作业）利用图形中面积的等量关系可以得到某些数学公式．例如，根据图①，我们可以得到两数和的完全平方公式：．根据图②你能得到的数学公式是（）
A． B．
C． D．
5．（24-25七年级下·全国·课后作业）下列计算中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，将图①中的阴影部分拼成图②，根据两个图形中阴影部分的面积关系，可以验证的数学公式是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2025七年级下·全国·专题练习）给出下列式子：
①；
②；
③；
④．
其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．（24-25七年级下·全国·课后作业）为了运用平方差公式计算，必须先对式子进行变形．下列变形正确的是（ ）
A． B．
C． D．
9．（24-25八年级下·北京·开学考试）如果是一个完全平方式，那么为（ ）
A．25 B． C．100 D．
10．（23-24八年级下·山东潍坊·期末）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
11．（23-24七年级下·浙江嘉兴·期末）已知实数，满足，，则（ ）
A． B． C． D．
12．（23-24七年级下·山东潍坊·期中）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
13．（24-25八年级上·广东广州·期末）以长方形的四条边为边向外作四个正方形，设计出“中”字图案，如图所示．若四个正方形的周长之和为40，面积之和为26，则长方形ABCD的面积为 ．
14．（2025·陕西西安·一模）如图，图1是北京国际数学家大会的会标，它取材于我国古代数学家赵爽的“弦图”，是由四个全等的直角三角形拼成．若图1中大正方形的面积为，小正方形的面积为，现将这四个直角三角形拼成图2，则图2中大正方形的面积为 ．
16．（2025七年级下·全国·专题练习）根据整式与整式相乘，可以得到等式：．试利用这个等式解决以下问题：如图，中，，分别以、、为边向外侧作正方形．如果、、的长分别是、、，且，，那么这三个正方形的面积和是 ．
17．（24-25八年级上·山西临汾·期末）先化简，再求值：，其中，．
18．（24-25八年级上·江西上饶·期末）（1）计算：．
（2）解方程：．
19．（24-25八年级上·云南昆明·期末）【阅读材料】
对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个因式分解的等式．如图1-1，边长为的大正方形切去一个边长为的小正方形，剩余部分的面积为，如图1-2，把剩余部分按如图所示的方式继续切割为甲、乙、丙三个长方形（或正方形），则甲的面积为，乙的面积为，丙的面积为，所以
，
【尝试应用】
（1）利用材料中得到的因式分解等式计算：_____；
（2）通过不同的方法表示同一个几何体的体积，也可以探求相应的因式分解等式．如图2-1，棱长为的实心大正方体切除一个棱长为的小正方体，剩余部分的体积按如图2-2所示的方式继续切割为甲、乙、丙三个长方体，类比第（1）题，求可得到的因式分解等式为_____；
【拓广探索】
（3）若，，且，．求的值．
20．（2025七年级下·全国·专题练习）观察下列等式：
；
；
；
；
…
(1)根据上述等式，写出_______=_______；
(2)试猜想是哪一个数的平方，并说明理由．
1．（24-25八年级上·湖南衡阳·期末）“我们把多项式及叫做完全平方式．”如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等．
例如：分解因式：．
解：原式．
例如：求代数式的最小值．
解：，
因为：，所以：当时，有最小值，最小值是．
根据阅读材料用配方法解决下列问题：
(1)分解因式：______；
(2)当，为何值时，多项式有最小值，并求出这个最小值；
(3)已知，，是的三条边，且满足，试判断的形状．
2．（24-25八年级上·山东临沂·期末）我们知道形如的二次三项式可以分解因式为，所以
但小明在学习中发现，对于还可以使用以下方法分解因式．
教科书中这样写道：“形如的式子称为完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等问题．
例如：求代数式的最小值．
解：．
因为，所以
所以当时，有最小值，最小值是．
根据阅读材料，用配方法解决下列问题：
(1)分解因式：①；②
(2)当为何值时，多项式有最大值？并求出这个最大值．
(3)利用配方法，尝试求出等式中的值．
3．（24-25八年级上·山西吕梁·期末）阅读与思考
阅读以下材料并完成相应任务．
换元法，是指引入一个或者几个新的变量代替原来的变量，通过引入的新变量将分散的条件联系起来，变为熟悉的问题，其理论依据是等量代换．对于结构比较复杂的式子．可以把其中某些部分看作整体，用新的字母代替（即整体换元）可以化繁为简，从而找到解题的路径． 例：若x满足，求的值． 解：令，，则，， ，， ， ．
任务：
(1)若x满足，求的值．
(2)如图，在长方形中，，，E、F分别为边，上的点，且，分别过点E、F作边，的垂线段，交于点O，再以和为边向外作正方形和正方形．若长方形的面积为，求图中阴影部分的面积．
4．（24-25八年级上·陕西商洛·期末）我们把多项式及叫做完全平方式，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变（恒等变形）．这可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等问题．例如：
(1)分解因式：________．
(2)求代数式的最小值：
，
对于代数式，无论x取何值，都大于或等于0，再加上，则，故的最小值为________．
请完成上面的填空．
(3)根据材料解决下列问题：
①分解因式：【请仿照（1）进行解答】________．
②多项式是否有最大值？若有，请求出最大值．
5．（24-25六年级上·山东济南·期末）如图1是1个直角三角形和2个小正方形，直角三角形的三条边长分别是a、b、c，其中a、b是直角边，两个小正方形的边长分别是a、b．
(1)将4个完全一样的直角三角形和2个小正方形构成一个大正方形（如图2）．用两种不同的方法列代数式表示图2中的大正方形面积：
方法一：____________；方法二：____________；
(2)观察图2，试写出，，，这四个代数式之间的等量关系：____________；
(3)若图1中一个三角形面积是3，图2的大正方形面积是，求的值．
6．（23-24七年级下·湖南娄底·期中）对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，例如图，可以得到，请解答下列问题：
(1)写出图所表示的数学等式 ；
(2)利用（1）中得到的结论，解决下面的问题：若，，则 ；
(3)用图中张边长为的正方形，张边长为的正方形，张长宽分别为、的长方形纸片拼出一个面积为的长方形，则 ．
7．（24-25高一上·全国·假期作业）杨辉，南宋杰出的数学家和数学教育家．杨辉研究了二项式定理，并根据此定理研究了两数的立方和、立方差、三数的立方和等公式．
方法提取 数学学习活动，是在公式化体系的不断完善中进行的．我们已经学方差公式，在平方差公式的基础上，可以对式子a3﹣b3进行如下推导： ． 对于，称为立方差公式．
公式推导 （1）请参考“立方差公式”的推导过程推导立方和公式： ．
学以致用 （2）请灵活运用公式进行因式分解： ①______； ②______. ③______.
8．（24-25高一上·全国·假期作业）阅读材料：运用公式法分解因式，除了常用的平方差公式和完全平方公式以外，还可以应用其他公式，如立方和与立方差公式，其公式如下：
立方和公式：；
立方差公式：．
根据材料和已学知识解决下列问题
(1)因式分解：；
(2)先化简，再求值：，其中．
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