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第01讲 集合的概念
内容导航——预习三步曲
第一步：学
析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习
练习题 讲典例：教材习题学解题、快速掌握解题方法
练考点 强知识：6大核心考点精准练
第二步：记
串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握
第三步：测
过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升
知识点1 集合的概念
元素：把研究对象统称为元素，用小写拉丁字母a、b、c表示.
集合：把一些元素组成的总体叫做集合，或简称集，用大写字母A、B、C表示.
集合中元素的特征：
确定性 一个集合中的元素必须是确定的，即一个集合一旦确定，某一个元素要么是该集合中的元素，要么不是，二者必居其一，这个特性通常被用来判断涉及的总体是否能构成集合
互异性 集合中的元素必须是互异的．对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的．这个特性通常被用来判断集合的表示是否正确，或用来求集合中的未知元素
无序性 集合与其中元素的排列顺序无关，如a，b，c组成的集合与b，c，a组成的集合是相同的集合．这个特性通常被用来判断两个集合的关系
只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的.
注意：集合的判断从元素的三要素入手，考察确定性的问题一般出现在自然语言表示的集合，要注意题目中不明确的词语，例如：“很大”、“著名”等。考察互异性的问题一般是针对数字类的题目，注意同一个数字不同的表示方法。
知识点2 元素与集合的关系
如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记做；
如果a不是集合A的元素，就说a不属于集合A，记做.
熟记数学中一些常用的数集及其记法
符号 名称 含义
N 非负数集或自然数集 全体非负整数组成的集合
N*或 正整数集 所有正整数组成的集合
Z 整数集 全体整数组成的集合
Q 有理数集 全体有理数组成的集合
R 实数集 全体实数组成的集合
注意：当元素属于集合时，应该进行分类讨论求出参数，参数代入验证集合中的元素是否满足元素的三个特征。
知识点3 集合的分类与表示
集合的分类：
（1）按元素的数量分为有限集、无限集；
（2）按元素的属性分为数集、点集以及其他集合.
表示方法：
（1）自然语言描述法.
（2）列举法：把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号 “｛ ｝”括起来表示集合的方法叫做列举法。
（3）描述法：设A是一个集合，我们把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为｛x∈A｜P(x)｝，这种表示集合的方法称为描述法．
教材习题01 用符号“”或“”填空： 0 N； N；0.5 Z； Z； Q； R. 解题方法 是自然数，则；不是自然数，则；不是整数，则； 是有理数，则；是无理数，则
【答案】
教材习题02 判断下列各组对象能否构成集合．若能构成集合，指出是有限集还是无限集；若不能构成集合，试说明理由． (1)北京各区县的名称； (2)尾数是5的自然数； (3)我们班身高大于1.7m的同学． 解题方法 （1）因为北京各区县的名称是确定的，故北京各区县的名称能构成集合；因为北京各区县是有限的，故该集合为有限集； （2）因为尾数是5的自然数是确定的，故尾数是5的自然数能构成集合；因为尾数是5的自然数是无限的，故该集合为无限集； （3）因为我们班身高大于1.7m的同学是确定的，故我们班身高大于1.7m的同学能构成集合；因为我们班身高大于1.7m的同学是有限的，故该集合为有限集.
【答案】(1)能；有限集；(2)能；无限集；(3)能；有限集.
教材习题03 求下列方程的解集： （1）； （2） 解题方法 （1），， 解得或，故、、、， 方程的解集为. （2），，， 解得或， 方程的解集为.
【答案】（1）；（2）.
考点一 判断元素能否构成集合
1．若，则a的值为（ ）
A．－1 B．0 C．1 D．2
【答案】A
【详解】因为，
所以，或，或，
当时，得，此时集合为，不合题意，舍去，
当时，得，此时集合为，
当时，得无解，
综上，.
故选：A
2．下列说法正确的是（ ）
A．我校很喜欢足球的同学能组成一个集合
B．联合国安理会常任理事国能组成一个集合
C．数组成的集合中有7个元素
D．由不大于4的自然数组成的集合的所有元素为
【答案】B
【详解】对于A，因为很喜欢足球的同学没有明确的标准，不符合集合的确定性，所以不能组成一个集合，故A错误；
对于B，因为联合国安理会常任理事国有明确的标准，符合集合的确定性，所以能组成一个集合，故B正确；
对于C，因为存在，所以组成的集合中不可能有7个元素，故C错误；
对于D，由不大于4的自然数组成的集合的所有元素为，故D错误；
故选：B.
3．下列给出的对象中能构成集合的是（ ）
A．著名物理家 B．很大的数 C．聪明的人 D．小于3的实数
【答案】D
【详解】只有选项有明确的标准，能构成一个集合．
故选：.
考点二 判断是否为同一集合
1．有下列说法：其中正确的说法是（ ）
（1）0与表示同一个集合
（2）由1，2，3组成的集合可表示为或；
（3）方程的所有解的集合可表示为；
（4）集合是有限集.
A．（1）、（4） B．（1）、（3）、（4） C．（2） D．（3）
【答案】C
【详解】对于（1），0是元素，不表示集合，为集合，二者不一样，（1）错误；
对于（2），由集合元素的无序性知，（2）正确；
对于（3），方程的所有解的集合可表示为，（3）错误；
对于（4），集合是无限集.
故选：C
2．下列四组中表示同一集合的为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】B
【详解】选项A：两个集合中元素对应的坐标不同，A错误；
选项B：集合中的元素具有无序性，两个集合是同一集合，B正确；
选项C：两个集合研究的对象不同，一个是点集，一个是数集，C错误；
选项D：是以0为元素的集合，是数字0，D错误.
故选：B
3．集合与集合表示同一个集合吗？
【答案】答案见解析
【详解】是同一个集合．虽然两个集合的代表元素的符号（字母）不同，但实质上它们均表示大于3的所有实数，故表示同一个集合．
考点三 判断元素与集合之间的关系
（多选题）1．下列说法错误的是（ ）
A．集合用列举法表示为
B．实数集可以表示为{为所有实数}或
C．能被4整除余3的所有自然数组成的集合用描述法可表示为
D．集合与是同一个集合
【答案】BD
【详解】对于A，集合中只含有两个元素0和1，
所以用列举法表示为，故A正确；
对于B，因为花括号本身就具有所有的意义，
所以在描述内容中不能再出现“所有”这样的字眼，
另外表示实数集，实数集为错误表示，故B错误；
对于C，根据描述法表示集合可得集合为，故C正确；
对于D，集合为的取值集合，为数集，
集合表示抛物线上点的集合，为点集，
所以两个集合不是同一个集合，故D错误．
故选：BD
2．若，的值为 .
【答案】2
【详解】因为，
所以或3或，
当时，，此时集合中元素有1,3,1，不满足集合中元素的互异性，舍去；
当时，，此时集合中元素为1,3,1，不满足集合中元素的互异性，舍去；
当时，解得或（舍去），此时集合中元素为1,3,4，符合题意.
故答案为：2
（多选题）3．已知非空数集M具有如下性质：①若，则；②若，则.下列说法中正确的有（ ）.
A．. B．.
C．若，则. D．若，则.
【答案】BC
【详解】对于，若，令，则，令，则，令，不存在，即，矛盾，所以，故错误，
对于，由于集合非空，取任意元素，根据性质①，得，再根据性质②，得，进而，故正确，
对于，因为，所以，因为，所以，故正确，
对于，若，则，故错误，
故选：.
考点四 集合中元素互异性的应用
1．下列所给对象不能组成集合的是 ．
（1）高一数学课本中所有的难题；
（2）某班16岁以下的学生；
（3）某中学的大个子；
（4）某学校身高超过1.80米的学生．
【答案】（1）（3）
【详解】“难题”没有判断标准，无法判断一道题是否属于难题，不满足集合中元素的“确定性”，故（1）不能组成集合；
某班16岁以下的学生可以组成一个集合，16及16岁以上的学生则不在集合内，满足集合中元素的“确定性”，且每个学生都不一样，满足集合中元素的“互异性”，故（2）可以组成集合；
“大个子”没有判断标准，不知身高多少才能称为大个子，不满足集合中元素的“确定性”，故（3）不能组成集合；
某学校身高超过1.80米的学生可以组成一个集合，身高等于或低于1.80米的学生则不再集合内，满足集合中元素的“确定性”，且每个学生都不一样，满足集合中元素的“互异性”，故（4）可以组成集合；
故答案为：（1）（3）
（多选题）2．若集合，则实数的取值可以是（ ）
A．2 B．3 C． D．5
【答案】BD
【详解】集合，则，解得，知BD符合.
故选：BD.
3．设集合.若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】因为，所以，所以.
故选：C
考点五 集合的表示方法
1．用符号或填空：3.1 N，3.1 Z， 3.1 ，3.1 Q，3.1 R.
【答案】
【详解】因为不是自然数，也不是整数，也不是正整数，是有理数，也是实数，
所以有：；；；；.
故答案为：，，，，.
2．用列举法表示集合为 ．
【答案】
【详解】由，则，即，
又，所以，
则.
故答案为：.
3．把下列集合用另一种方法表示出来：
(1)；
(2)由1，2，3这三个数字抽出一部分或全部数字（没有重复）所组成的一切自然数；
(3)；
【答案】(1){且}
(2)
(3)
【详解】（1）可以表示成{且}；
（2）根据题意可列举得；
（3）易知.
考点六 集合的分类
（判断题）1．判断下列命题是否正确．
（1）集合与集合表示同一集合；( )
（2）集合与集合表示同一集合；( )
（3）集合与集合不表示同一集合；( )
（4）集合与集合表示同一集合．( )
【答案】 正确 错误 错误 错误
【详解】（1）集合元素具有无序性，集合与集合元素相同，故表示同一集合，正确；
（2）两集合为点集，和表示的点不同，所以集合与集合表示两个不同的集合，错误；
（3）集合与集合均表示大于3的所有实数的集合，所以集合与集合表示同一集合，错误；
（4）集合为数集，集合为点集，不是同一集合，错误；
故答案为：（1）正确；（2）错误；（3）错误；（4）错误.
2．下列命题中正确的有（ ）．
①很小的实数可以构成集合；
②R表示一切实数组成的集合；
③给定的一条长度为0.3的线段上的所有点组成的集合是有限集；
④2023年联合国所有常任理事国组成一个集合．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】C
【详解】对于①，很小的实数是个不确定的概念，不可以构成集合，故错误；
对于②，R表示一切实数组成的集合，故正确；
对于③，给定的一条长度为0.3的线段上的所有点组成的集合是无限集，故错误；
对于④，2023年联合国常任理事国有中国、俄罗斯、英国、法国、美国，能组成一个集合，故正确．
故选：C．
3．（多选）下列集合是有限集的是（ ）
A．不超过π的正整数构成的集合
B．平方后等于自身的数构成的集合
C．高一（2）班中体重在55kg以上的同学构成的集合
D．所有小于2的整数构成的集合
【答案】ABC
【详解】对于A，不超过的正整数有1，2，3，构成的集合是有限集，A对；
对于B，平方后等于自身的数有0和1，构成的集集合是有限集，B对；
对于C，高一（2）班中体重在以上的同学人数一定，构成的集合是有限集，C对；
对于D，所有小于2的整数有无数个，因此构成的集合属于无限集.
故选：ABC.
知识导图记忆
知识目标复核
1．集合的概念。
2．集合中元素的三大特征。
3．元素与集合的关系。
4．集合相等。
5．集合的表示方法与分类。
1．已知集合，，则的元素个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【难度】0.94
【知识点】列举法求集合中元素的个数
【分析】根据给定条件，求出集合即可.
【详解】集合，则，
所以集合C的元素个数为3个.
故选：C
2．以下对象的全体不能构成集合的个数是（ ）
（1）高一（1）班的高个子同学； （2）所有的数学难题；
（3）北京市中考分数580以上的同学； （4）中国古代四大发明；
（5）我国的大河流； （6）大于3的偶数．
A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】B
【难度】0.94
【知识点】判断元素能否构成集合
【分析】由集合元素三要素逐个判断即可.
【详解】（1）（2）（5）的元素不确定，不能构成集合．
（3）（4）（6）符合集合概念，
故选：B
3．现有、、、四个数，从这四个数中任取两个相加，可以得到多少个不同的数（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【难度】0.94
【知识点】列举法表示集合
【分析】将所得结果列举出来即可.
【详解】现有、、、四个数，从这四个数中任取两个相加，所得结果构成的集合为.
故选：A.
4．已知集合，则的元素个数为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．0
【答案】B
【难度】0.94
【知识点】列举法求集合中元素的个数
【分析】根据题意求集合，即可判断元素个数.
【详解】由题意可得：，
可知有3个元素.
故选：B
5．集合，且，则有（ ）
A． B． C． D．不属于中的任意一个
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】判断元素与集合的关系
【详解】由题知P表示偶数集，Q表示奇数集，R表示所有被4除余1的整数，新以当时，则a为偶数，b为奇数，则一定为奇数．
6．已知，则实数的值为（ ）
A．0 B．1 C． D．
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】根据元素与集合的关系求参数、利用集合元素的互异性求参数
【分析】讨论对应元素，结合集合中元素的互异性确定参数值即可.
【详解】若，显然时不符合集合元素的互异性；
若，不符合集合元素的互异性；
若或，不符合集合元素的互异性；
综上，.
故选：C
7．下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【难度】0.94
【知识点】判断元素与集合的关系
【分析】根据的意义进行判断.
【详解】根据的意义,,
故选：C.
8．设集合，若，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【难度】0.94
【知识点】根据元素与集合的关系求参数
【分析】由元素与集合的关系求出参数，求解方程从而得到集合.
【详解】，所以，时，，
解得或，即．
故选：D．
9．集合的另一种表示法是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【难度】0.94
【知识点】描述法表示集合、列举法表示集合
【分析】根据集合中的限制条件，得到，，利用列举法表示集合即可做出判定.
【详解】因为，所以．
又因为，所以，
所以．
故选：B.
10．已知集合，若且，则实数m的取值范围是（ ）
A．B． C． D．
【答案】A
【难度】0.94
【知识点】根据元素与集合的关系求参数
【分析】根据元素与集合的从属关系列式，可求实数m的取值范围.
【详解】由且，得，解得．
故选：A
11．已知集合中只有一个元素，则实数a的所有可能值的乘积为（ ）
A． B．-1 C．1 D．
【答案】D
【难度】0.94
【知识点】根据集合中元素的个数求参数
【分析】分、、三种情况讨论，若为一次方程则符合题意，若为二次方程只需即可.
【详解】若，则，符合题意；
若，则变为，显然不成立，
则，不符合题意；
当，即时，则，
解得（舍）或，
所以的所有可能值为，故所有可能值的乘积为．
故选：D
12．设，，若集合，则，与集合的关系是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】A
【难度】0.85
【知识点】判断元素与集合的关系
【分析】化简，由中元素结构即可判断.
【详解】，，
对比集合中元素的系数可得，，
故选：A
13．下列说法错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】判断元素与集合的关系
【分析】由几个数集的含义逐个判断即可.
【详解】，，正确，
因为是无理数，所以．
故选：C
14．[多选题]已知集合，则下列四个元素中属于M的元素的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【难度】0.85
【知识点】判断元素与集合的关系
【分析】由选项代入求解出，判断出是否为有理数，逐项判断即可.
【详解】当时，有，这与矛盾，故A不正确；
因为，
当时，有，都是有理数，所以B正确；
因为，当时，有都是有理数，所以C正确；
因为，
当时，有或，与矛盾，所以D不正确．
故选：BC.
15．已知集合，则实数a的值为 ．
【答案】或5
【难度】0.85
【知识点】根据元素与集合的关系求参数
【分析】由元素与集合的关系建立方程，再由集合元素的互异性排除错误答案，即可得到结果.
【详解】依题意，当时，或．
若，则，符合题意；
若，则，对于集合B，不满足集合中元素的互异性，所以不符合．
当时，或．
若，则，对于集合A，不满足集合中元素的互异性，所以不符合；
若，则，，符合题意．
综上所述，a的值为或5．
故答案为：或5．
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第01讲 集合的概念
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第一步：学
析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习
练习题 讲典例：教材习题学解题、快速掌握解题方法
练考点 强知识：6大核心考点精准练
第二步：记
串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握
第三步：测
过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升
知识点1 集合的概念
把研究对象统称为元素，用小写拉丁字母a、b、c表示.
把一些元素组成的总体叫做集合，或简称集，用大写字母A、B、C表示.
确定性 一个集合中的元素必须是确定的，即一个集合一旦确定，某一个元素要么是该集合中的元素，要么不是，二者必居其一，这个特性通常被用来判断涉及的总体是否能构成集合
互异性 集合中的元素必须是互异的．对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的．这个特性通常被用来判断集合的表示是否正确，或用来求集合中的未知元素
无序性 集合与其中元素的排列顺序无关，如a，b，c组成的集合与b，c，a组成的集合是相同的集合．这个特性通常被用来判断两个集合的关系
只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的.
注意：集合的判断从元素的三要素入手，考察确定性的问题一般出现在自然语言表示的集合，要注意题目中不明确的词语，例如：“很大”、“著名”等。考察互异性的问题一般是针对数字类的题目，注意同一个数字不同的表示方法。
知识点2 元素与集合的关系
如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记做；
如果a不是集合A的元素，就说a不属于集合A，记做.
熟记数学中一些常用的数集及其记法
符号 名称 含义
N 非负数集或自然数集 全体非负整数组成的集合
N*或 正整数集 所有正整数组成的集合
Z 整数集 全体整数组成的集合
Q 有理数集 全体有理数组成的集合
R 实数集 全体实数组成的集合
注意：当元素属于集合时，应该进行分类讨论求出参数，参数代入验证集合中的元素是否满足元素的三个特征。
知识点3 集合的分类与表示
集合的分类：
（1）按元素的数量分为有限集、无限集；
（2）按元素的属性分为数集、点集以及其他集合.
表示方法：
（1）
（2）把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号 “｛ ｝”括起来表示集合的方法叫做列举法。
（3）设A是一个集合，我们把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为｛x∈A｜P(x)｝，这种表示集合的方法称为描述法．
用符号“”或“”填空： 0 N； N；0.5 Z； Z； Q； R.
判断下列各组对象能否构成集合．若能构成集合，指出是有限集还是无限集；若不能构成集合，试说明理由． (1)北京各区县的名称； (2)尾数是5的自然数； (3)我们班身高大于1.7m的同学．
求下列方程的解集： （1）； （2）
1．若，则a的值为（ ）
A．－1 B．0 C．1 D．2
2．下列说法正确的是（ ）
A．我校很喜欢足球的同学能组成一个集合
B．联合国安理会常任理事国能组成一个集合
C．数组成的集合中有7个元素
D．由不大于4的自然数组成的集合的所有元素为
3．下列给出的对象中能构成集合的是（ ）
A．著名物理家 B．很大的数 C．聪明的人 D．小于3的实数
1．有下列说法：其中正确的说法是（ ）
（1）0与表示同一个集合
（2）由1，2，3组成的集合可表示为或；
（3）方程的所有解的集合可表示为；
（4）集合是有限集.
A．（1）、（4） B．（1）、（3）、（4） C．（2） D．（3）
2．下列四组中表示同一集合的为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
3．集合与集合表示同一个集合吗？
（多选题）1．下列说法错误的是（ ）
A．集合用列举法表示为
B．实数集可以表示为{为所有实数}或
C．能被4整除余3的所有自然数组成的集合用描述法可表示为
D．集合与是同一个集合
2．若，的值为 .
1．下列所给对象不能组成集合的是 ．
（1）高一数学课本中所有的难题；
（2）某班16岁以下的学生；
（3）某中学的大个子；
（4）某学校身高超过1.80米的学生．
3．设集合.若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
1．用符号或填空：3.1 N，3.1 Z， 3.1 ，3.1 Q，3.1 R.
2．用列举法表示集合为 ．
3．把下列集合用另一种方法表示出来：
(1)；
(2)由1，2，3这三个数字抽出一部分或全部数字（没有重复）所组成的一切自然数；
(3)；
2．下列命题中正确的有（ ）．
①很小的实数可以构成集合；
②R表示一切实数组成的集合；
③给定的一条长度为0.3的线段上的所有点组成的集合是有限集；
④2023年联合国所有常任理事国组成一个集合．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
3．（多选）下列集合是有限集的是（ ）
A．不超过π的正整数构成的集合
B．平方后等于自身的数构成的集合
C．高一（2）班中体重在55kg以上的同学构成的集合
D．所有小于2的整数构成的集合
1．集合的概念。
2．集合中元素的三大特征。
3．元素与集合的关系。
4．集合相等。
5．集合的表示方法与分类。
1．已知集合，，则的元素个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．以下对象的全体不能构成集合的个数是（ ）
（1）高一（1）班的高个子同学； （2）所有的数学难题；
（3）北京市中考分数580以上的同学； （4）中国古代四大发明；
（5）我国的大河流； （6）大于3的偶数．
A．2 B．3 C．4 D．6
3．现有、、、四个数，从这四个数中任取两个相加，可以得到多少个不同的数（ ）
A． B． C． D．
4．已知集合，则的元素个数为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．0
5．集合，且，则有（ ）
A． B． C． D．不属于中的任意一个
6．已知，则实数的值为（ ）
A．0 B．1 C． D．
7．下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
8．设集合，若，则（ ）
A． B．
C． D．
9．集合的另一种表示法是（ ）
A． B． C． D．
10．已知集合，若且，则实数m的取值范围是（ ）
A．B． C． D．
11．已知集合中只有一个元素，则实数a的所有可能值的乘积为（ ）
A． B．-1 C．1 D．
12．设，，若集合，则，与集合的关系是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
13．下列说法错误的是（ ）
A． B． C． D．
14．[多选题]已知集合，则下列四个元素中属于M的元素的是（ ）
A． B． C． D．
15．已知集合，则实数a的值为 ．
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