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第02讲 集合间的基本关系
内容导航——预习三步曲
第一步：学
析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习
练习题 讲典例：教材习题学解题、快速掌握解题方法
练考点 强知识：5大核心考点精准练
第二步：记
串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握
第三步：测
过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升
知识点1 子集与真子集
一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集.
记作：
读作：“A包含于B”(或“B包含A”)
符号语言：任意
在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图.
可以用图表示为：
如果集合,但存在元素B，且xA，就称集合A是集合B的真子集.
记作：（或).
知识点2 空集与集合相等
一般地，我们把不含任何元素的集合叫做空集，记为.
空集是任何集合的子集，即对于任意一个集合A，有
对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，我们就说集合A等于集合B，记作A=B.
知识点3 子集的个数
若一个集合含有m个元素，则其子集有2m个，真子集有(2m -1)个，非空真子集有(2m -2)个。
下列四个集合中，( )是空集 A．，B． C．，D．
集合，且的真子集的个数是（ ） A．32 B．31 C．16 D．15
已知，，，，写出所有满足上述条件的集合．
1．若 ，则集合M的个数是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
2．已知集合，则的子集个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．4
3．集合，则的子集个数为（ ）
A．3 B．4 C．8 D．16
4．已知集合，，，则集合C的子集有（ ）
A．64个 B．63个 C．16个 D．15个
1．给出下列关系：①；②；③；④，其中正确的个数为（ ）
A． B． C． D．
2．已知集合，则集合A与B之间的关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．已知集合，那么集合与Q的关系是（ ）
A． B． C． D．
1．下列选项正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．下列各组集合中表示同一集合的是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．下列各项中两个集合不是同一个集合的是（ ）
A． B．
C． D．
4．设集合，，若，则 .
1．下列集合中表示空集的是（ ）
A． B．
C． D．
2．已知集合，下列选项中为的元素的是（ ）
① ② ③ ④
A．①② B．①③ C．②③ D．②④
3．下列六个关系式：①；②；③；④；⑤；⑥ ；其中正确的个数为（ ）
A．6个 B．5个 C．4个 D．少于4个
1．已知，则可能的取值的个数为（ ）
A．5个 B．6个 C．7个 D．8个
2．已知集合，且，则M可以是（ ）
A． B． C． D．
1．子集与真子集
2．空集与集合相等
3．子集的个数
1．已知集合，若，则所有的取值构成的集合为（ ）
A． B． C． D．
2．已知集合，，若，则（ ）
A． B． C．或 D．或
3．已知集合，，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
5．已知集合，，若，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．已知集合的子集B满足：对任意x，，有，则集合B中元素个数的最大值是（ ）
A．506 B．507 C．1012 D．1013
7．已知集合，且，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
8．设是整数集的一个非空子集，对于，如果且，那么是的一个“孤立元”，给定，由的3个元素构成的所有集合中，含有“孤立元”的集合共有（ ）个．
A．14 B．16 C．18 D．20
9．已知集合，，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
10．已知 ，且若，则，则满足条件的集合的有（ ）
A．4个 B．7个 C．8个 D．15个
13．.设，，若，则实数的取值范围为 ．
14．已知集合，若，则实数的取值范围是 .
15．已知集合，，且满足，则实数的取值范围是 ．
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第02讲 集合间的基本关系
内容导航——预习三步曲
第一步：学
析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习
练习题 讲典例：教材习题学解题、快速掌握解题方法
练考点 强知识：5大核心考点精准练
第二步：记
串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握
第三步：测
过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升
知识点1 子集与真子集
子集：一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集.
记作：
读作：“A包含于B”(或“B包含A”)
符号语言：任意
Venn图：在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图.
可以用图表示为：
真子集：如果集合,但存在元素B，且xA，就称集合A是集合B的真子集.
记作：（或).
知识点2 空集与集合相等
空集：一般地，我们把不含任何元素的集合叫做空集，记为.
空集是任何集合的子集，即对于任意一个集合A，有
集合相等：对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，我们就说集合A等于集合B，记作A=B.
知识点3 子集的个数
若一个集合含有m个元素，则其子集有2m个，真子集有(2m -1)个，非空真子集有(2m -2)个。
教材习题01 下列四个集合中，( )是空集 A．，B． C．，D． 解题方法 选项A：集合中有一个元素0，不为空集； 选项B：集合中不存在元素，所以该集合为空集； 选项C：集合中有一个元素1，所以不为空集； 选项D：集合中存在无数个元素，所以不为空集.
【答案】 B.
教材习题02 集合，且的真子集的个数是（ ） A．32 B．31 C．16 D．15 解题方法 由得且，又， 则， 其子集个数共有，除去集合本身， 则其真子集个数为，
【答案】D.
教材习题03 已知，，，，写出所有满足上述条件的集合． 解题方法 因为，， 则， 又由，，可知，即， 所以或或或.
【答案】或或或.
考点一 判断集合的子集（真子集）的个数
1．若 ，则集合M的个数是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【详解】因为为M的真子集，所以，且M中至少还有一个元素．又，所以或或，故满足条件的集合M有3个．
2．已知集合，则的子集个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．4
【答案】C
【详解】根据题意，联立方程组，可得，
所以，解得，即集合，
所以集合的子集个数为2个．
故选：C．
3．集合，则的子集个数为（ ）
A．3 B．4 C．8 D．16
【答案】C
【详解】因为，
故子集个数为，
故选：C.
4．已知集合，，，则集合C的子集有（ ）
A．64个 B．63个 C．16个 D．15个
【答案】C
【详解】由集合，，且，
因为，，可得集合，所以集合的子集有个.
故选：C.
考点二 判断两集合的包含关系
1．给出下列关系：①；②；③；④，其中正确的个数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】显然，，①③正确；
，②正确
在中，当时，
即有
因此，④正确
正确命题的个数是
故选：D
2．已知集合，则集合A与B之间的关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】集合A中所有的元素都是集合B的子集，
即集合A是由集合B的子集组成的集合，
所以，
故B是集合A中的一个元素，D正确．
故选：D
3．已知集合，那么集合与Q的关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由题意可得，故集合是集合的真子集．
故选：B
（多选题）4．已知集合，，下列说法错误的是（ ）
A．不存在实数，使得 B．存在实数，使得
C．当时， D．当时，
【答案】BCD
【详解】对于A：若，则，此方程组无解，故不存在实数a使得集合，故A正确；
对于B：由，则，即，此不等式组无解，不存在实数，使得故B错误；
对于C：当时，不满足，故C错误；
对于D：当，即时，，符合，
当时，要使，则，解得，不满足，
综上，当且仅当时，
所以当时不正确，故D错误．
故选：BCD
考点三 判断两集合是否相等
1．下列选项正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】A选项：，故A错误；
B选项：中的元素为点中的元素为实数，故B错误；
C选项：,，故C选项正确；
D选项：中的元素为点，而中的元素为点，故D错误．
故选：C.
2．下列各组集合中表示同一集合的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】对于A中，集合与集合中的元素完全相同，所以，所以A正确；
对于B中，集合表示由点作为元素，构成的单元素集合，
集合表示由点作为元素，构成的单元素集合，
所以集合与集合不相等，所以B不符合题意；
对于C中，集合表示由两个元素构成的数集；
集合表示由点作为元素，构成的单元素数集，
所以集合与集合不相等，所以B不符合题意；
对于D中，集合表示直线的点作为元素构成的无限点集，
集合表示直线的点的纵坐标作为元素构成的无限数集，
所以集合与集合不相等，所以B不符合题意；
故选：A.
3．下列各项中两个集合不是同一个集合的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】集合中的元素具有无序性，选项A中两个集合是同一个集合，故A不符题意；
选项B中两个集合都是数集，且范围都是全体实数，故是同一个集合，故B不符题意；
选项C中两个集合都是数集，描述的都是大于1的数，故是同一个集合，故C不符题意；
选项D中两个集合都是点集，在平面直角坐标系中，点与点是不同的，
故两集合不是同一个集合，故D正确．
故选：D
4．设集合，，若，则 .
【答案】/0.5
【详解】在中，，则且，
而，，显然，因此，解得，
所以.
故答案为：
考点四 空集的性质与应用
1．下列集合中表示空集的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】对于A，集合存在一个元素为，故A不符合题意；
对于B，集合存在一个元素为，故B不符合题意；
对于C，由，则，即该方程存在两个不相等的实数根，
所以集合存在两个元素，故C不符合题意；
对于D，由，则，即该方程不存在实数根，
所以集合无元素，故D符合题意.
故选：D.
2．已知集合，下列选项中为的元素的是（ ）
① ② ③ ④
A．①② B．①③ C．②③ D．②④
【答案】B
【详解】集合有两个元素：和.
故选：B
3．下列六个关系式：①；②；③；④；⑤；⑥ ；其中正确的个数为（ ）
A．6个 B．5个 C．4个 D．少于4个
【答案】D
【详解】根据任意集合是自身的子集，可知①正确；
根据集合的元素及相等集合的概念可知②不正确；
因集合中含有1个元素，故不是空集，可知③不正确；
根据元素与集合之间可知④正确；
根据集合与集合间没有属于关系可知⑤不正确；
根据空集是任何集合的子集可知⑥正确．
所以①④⑥正确
故选：D.
考点五 子集的概念
1．已知，则可能的取值的个数为（ ）
A．5个 B．6个 C．7个 D．8个
【答案】D
【详解】当时，由，可得，所以为或；当时，由，可得，
所以为或或；
当时，由知，，
所以为或；
当，则，所以为综上，共有8种取值．
故选：D．
2．已知集合，且，则M可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由于，,故,
故选：B
（多选题）3．下列结论错误的是（ ）
A．任何一个集合至少有两个子集
B．空集是任何集合的真子集
C．若且，则
D．若且，则
【答案】ABD
【详解】空集只有一个子集，故A错；
空集时任何非空集合的真子集，故B错；
因为，所以集合中所有元素都属于集合，则，故C正确；
例如，，，满足且，此时，故D错.
故选：ABD.
知识导图记忆
知识目标复核
1．子集与真子集
2．空集与集合相等
3．子集的个数
1．已知集合，若，则所有的取值构成的集合为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】根据集合的包含关系求参数
【分析】本题根据子集的含义可得集合A为空集或非空集合，进而对参数a分类讨论即可求解.
【详解】，，
故当时，易求；
当时，由得，或,
所以所有的取值构成的集合为，
故选：C.
2．已知集合，，若，则（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】C
【难度】0.94
【知识点】根据集合的包含关系求参数
【分析】分和两种情况进行讨论，结合集合中元素的特性即可得答案.
【详解】①当时，解得，此时，满足题意，
②当时，解得，此时，满足题意，
故选：C.
3．已知集合，，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【难度】0.85
【知识点】根据集合的包含关系求参数
【分析】根据，由此列出满足题意的不等式组，求解出m的取值范围.
【详解】因为，所以，解得．所以的取值范围是．
故选：A.
4．已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】判断两个集合的包含关系
【分析】根据子集的定义以及符号表示，可得答案.
【详解】由，则.
故选：B.
5．已知集合，，若，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【难度】0.94
【知识点】根据集合的包含关系求参数
【分析】根据子集的关系即可求解.
【详解】由于，所以，
故选：D
6．已知集合的子集B满足：对任意x，，有，则集合B中元素个数的最大值是（ ）
A．506 B．507 C．1012 D．1013
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】抽屉原理、利用集合中元素的性质求集合元素个数
【分析】假设B中的最大元素为2025，再将其余元素分组，再结合抽屉原理即可得解.
【详解】假设B中的最大元素为2025，
将其余元素分组，，..，，共1012组，
若B中元素多于1013个，由抽屉原理可知，必有两个数在同一组，两个数的和为2025，与条件矛盾.
所以B中元素不能多于1013个.
所以当时，
B中元素个数最多为.
故选：D
7．已知集合，且，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】根据集合的包含关系求参数
【分析】分情况讨论集合是否为空集，再根据集合间的包含关系列出不等式组求解，最后综合两种情况得出的取值范围.
【详解】当为空集时，时.解不等式，可得.
因为空集是任何集合的子集，所以当时，.
当不为空集时，时，解不等式，可得.
此时，要使，那么集合中的元素都要满足集合的范围.

已知，，所以需满足.
解不等式，可得.
综合可得，又因为前提是，所以取交集得.
综合两种情况，将和两种情况综合起来，取并集可得.
能使成立的所有组成的集合为，
故选： C.
8．设是整数集的一个非空子集，对于，如果且，那么是的一个“孤立元”，给定，由的3个元素构成的所有集合中，含有“孤立元”的集合共有（ ）个．
A．14 B．16 C．18 D．20
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】集合新定义
【分析】根据“孤立元”的含义写出所有可能集合即可.
【详解】由题意，要使集合含有“孤立元”，则集合中的元素不是3个一致连续的整数即可，
故满足条件的集合有：，，，，，，
，，，，，，，，
，.
故选：B.
9．已知集合，，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【难度】0.85
【知识点】利用集合元素的互异性求参数、根据集合的包含关系求参数
【分析】求出集合，分析可知集合中必含元素、，可得出关于实数的方程，结合集合中的元素满足互异性可得出实数的值.
【详解】因为且，
所以，
所以或，得或，
根据集合中元素的互异性可得，解得且且，故.
故选：A.
10．已知 ，且若，则，则满足条件的集合的有（ ）
A．4个 B．7个 C．8个 D．15个
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】根据元素与集合的关系求参数
【分析】根据题意求出集合A即可.
【详解】因为 ，
都满足题意，共7个.
故选：B.
（多选题）11．已知集合，，下列结论正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则可以取3
【答案】AC
【难度】0.85
【知识点】根据集合的包含关系求参数
【分析】把代入，求解判断AB；利用集合的包含关系求解判断CD.
【详解】对于AB，若，则任意实数均满足，因此，A正确，B错误；
对于CD，由，得，解得，C正确，D错误.
故选：AC.
（多选题）12．已知集合，且 ，则的值可以是（ ）
A．4 B．3 C． D．0
【答案】BCD
【难度】0.85
【知识点】根据集合的包含关系求参数、一元二次方程的解集及其根与系数的关系
【分析】根据题意，分或或，三种情况讨论，结合一元二次方程的性质，即可求解.
【详解】因为 ，则或或，
当时，可得且，解得，则；
当时，可得且，解得，则；
当时，可得，解得，则，
综上可得，的值可以是或或.
故选：BCD.
13．.设，，若，则实数的取值范围为 ．
【答案】
【难度】0.65
【知识点】根据集合的包含关系求参数
【分析】利用一次函数的单调性求解值域即集合B，按照、、和四种情况分类讨论，根据列不等式求解实数的取值范围即可.
【详解】由在上是增函数，得，
即．
作出的图像，该函数定义域右端点有三种不同情况，如图所示：
①当时，，即，
要使，必须且只需，得，与矛盾．
②当时，，即，
要使，由图可知：必须且只需解得．
③当时，，即，
要使，必须且只需解得．
④当时，，此时，则成立．
综上所述，的取值范围是．
故答案为：
14．已知集合，若，则实数的取值范围是 .
【答案】
【难度】0.85
【知识点】根据集合的包含关系求参数
【分析】分和，得到不等式，求出的取值范围.
【详解】，若，则，解得，
若，则，解得，
综上，实数的取值范围是.
故答案为：
15．已知集合，，且满足，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【难度】0.85
【知识点】根据集合的包含关系求参数
【分析】结合，分，两种情况讨论求解即可.
【详解】当时，，即，满足；
当时，有，解得.
综上所述，实数的取值范围是.
故答案为：.
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