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第04讲 充分条件与必要条件
内容导航——预习三步曲
第一步：学
析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习
练习题 讲典例：教材习题学解题、快速掌握解题方法
练考点 强知识：5大核心考点精准练
第二步：记
串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握
第三步：测
过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升
知识点1 充分条件与必要条件
命题
命题的定义：一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫命题。判断为真的语句为真命题，判断为假的语句为假命题。
中学数学中许多命题可以写成“若p，则q”，“如果p，那么q”等形式，其中p称为命题的条件，q称为命题的结论。
2、充分条件与必要条件
命题真假 “若p，则q”是真命题 “若p，则q”是假命题
推出关系 p q pq
条件关系 p是q的充分条件 q是p的必要条件 p不是q的充分条件 q不是p的必要条件
知识点2 充要条件
(1)一般地，如果既有p q，又有q p，就记作p q.此时，我们说，p是q的充分必要条件，简称充要条件．
概括地说，如果p q，那么p与q互为充要条件．
(2)若p q，但q p，则称p是q的充分不必要条件．
(3)若q p，但p q，则称p是q的必要不充分条件．
(4)若p q，且q p，则称p是q的既不充分也不必要条件．
知识点3 从集合角度看充分、必要条件
若A B，则p是q的充分条件，若AB，则p是q的充分不必要条件
若B A，则p是q的必要条件，若BA，则p是q的必要不充分条件
若A=B，则p，q互为充要条件
若或，但则p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件
教材习题01 用“充分条件但不是必要条件”“必要条件但不是充分条件”或“充要条件”填空： （1）“是有理数”是“是实数”的 ； （2）“”是“”的 ； （3）“”是“”的 ； （4）“”是“”的 ． 解题方法 （1）一方面若“是有理数”，则必定有“是实数”； 另一方面若“是实数”，则不一定有“是有理数”， 因为“可能是无理数”， 所以“是有理数”是“是实数”的充分条件但不是必要条件； （2）若，则， 所以“”是“”的必要条件但不是充分条件； （3）因为当且仅当，而当且仅当， 所以“”是“”的充要条件； （4）一方面设， 则，但， 这说明了“”不是“”的充分条件， 另一方面若，则， 这说明了“”是“”的必要条件， 结合以上两方面可知“”是“”的必要条件但不是充分条件.
【答案】充分条件但不是必要条件 必要条件但不是充分条件 充要条件 必要条件但不是充分条件
教材习题02 用“充分条件”“必要条件”或“充要条件”填空： （1）“”是“”的 ； （2）“”是“”的 ； （3）“”是“”的 ； （4）“”是“”的 ． 解题方法 （1）当时，一定有成立，但反之不一定成立，如，但，故填充分条件； （2）当时，，反之当时，或，故填充分条件； （3）当时，不一定成立，如，但，反之时，一定成立，故填必要条件； （4）当时，说明x，y同号，即成立，反之当时，一定成立，故填充要条件.
【答案】充分条件 充分条件 必要条件 充要条件
教材习题03 判断下列说法是否正确： （1）“”是“”的充分条件；( ) （2）“”是“”的充要条件；( ) （3）“两个三角形全等”是“两个三角形相似”的充分条件；( ) （4）“两个三角形中有两边及其中一边的对角分别相等”是“两个三角形全等”的充要条件．( ) 解题方法 （1）当时，则，∴“”是“”的充分条件，∴正确； （2）当时，满足，但不成立， ∴“”不是“”的充要条件，∴错误； （3）当两个三角形全等时，则两个三角形相似， ∴“两个三角形全等”是“两个三角形相似”的充分条件，∴正确； （4）当两个三角形中有两边及其中一边的对角分别相等，两个三角形不一定全等， ∴“两个三角形中有两边及其中一边的对角分别相等”不是“两个三角形全等”的充要条件，∴错误．
【答案】正确 错误 正确 错误
考点一 判断命题的真假
1．下列命题为假命题的是（ ）
A．正方形既是矩形又是菱形 B．若或，则
C．一个奇数是两个整数的平方差 D．当时，
【答案】D
【详解】A是真命题，由正方形的定义知正方形既是矩形又是菱形；B是真命题，或能得到；C是真命题，因为当时，任意奇数，所以一个奇数是两个整数的平方差；D是假命题，不满足．
2．下列语句是命题的有（ ）
A．求证：的对称轴是y轴 B．你是高一学生吗？
C．若，则 D．三角形的内角和是
【答案】CD
【详解】A是祈使句，不是命题；B是疑问句，不涉及真假，不是命题；C，D是命题．
（多选题）3．下列语句中，真命题有（ ）
A．若，则x，y互为倒数
B．同一平面内四条边相等的四边形是正方形
C．平行四边形是梯形
D．若，则
【答案】AD
【详解】A，D是真命题，B中同一平面内四条边相等的四边形是菱形，但不一定是正方形，故B错误；C中平行四边形不是梯形，故C错误．
考点二 充分条件的判定及性质
1．已知集合，集合，若“”是 “”的充分条件，则实数的取值范围是
【答案】
【详解】因为“”是 “”的充分条件，
所以，
所以，
故答案为：.
2．已知集合，．若P的充分条件为Q，则实数m的取值范围为 ．
【答案】
【详解】由已知，P的充分条件为Q，则Q是P的子集，
当时，即时，，满足题意；
当，即时，由题意得，解得，
综上，m的取值范围是．
3．已知集合，.
(1)若，求；
(2)若是的充分条件，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)或.
【详解】（1）当时，，，
∴.
（2）∵是的充分条件，∴.
当时，，即，满足；
当时，，
由可得，解得.
综上，实数的取值范围为或.
考点三 必要条件的判定及性质
（多选题）1．下列“若p，则q”形式的命题中，q是p的必要条件的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若mn为无理数，则m，n为无理数
D．若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形是菱形
【答案】AB
【详解】若，则，即是的必要条件，故A正确；由“”可以推出“”，故B正确；取，，满足mn为无理数，但m为有理数，故C错误；对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，故D错误.
2．若“”是“”的必要条件，则实数的取值范围是 .
【答案】
【详解】由题意，“若，则”为真命题，
故实数的取值范围是.
故答案为：
3．设集合，.
(1)若，求实数的值；
(2)若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围.
【答案】(1)或
(2)
【详解】（1）由，所以或，故集合.
因为，所以，将代入中的方程，
得，解得或，
当时，，满足条件；
当时，，满足条件，
综上，实数的值为或.
（2）因为“”是“” 的必要条件，所以.
对于集合，.
当，即时，，此时；
当，即时，，此时；
当，即时，要想有，须有，
此时：，该方程组无解.
综上，实数的取值范围是.
考点四 充要条件的证明
1．已知a，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【详解】由推不出，例如，；由可得，或，，当，时不能推出，例如，，所以“”是 “”的既不充分也不必要条件.
2．设为全集，，是集合，则“存在集合使得，”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【详解】1.判断充分性
已知，所以.
又因为，即中的元素都在中.而中的元素都不在中，
所以和没有公共元素，即.
由此可知，当“存在集合使得，”时，能推出“”，
所以“存在集合使得，”是“”的充分条件.
2. 判断必要性
已知，即和没有公共元素.此时取集合，
那么对于全集，就是由所有不属于但属于的元素组成的集合.如图，
因为和没有公共元素，所以中的元素都不属于，即，
同时（即）.所以当“”时，
能推出“存在集合使得，”，
所以“存在集合使得，”是“”的必要条件.
则“存在集合使得，”是“”的充分必要条件.
故选：C.
3．“一元二次方程有实数根”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【详解】若一元二次方程有实数根，则；
当时，为一元二次方程，且时，有两个实数根.
故选：C.
考点五 探究命题为真的充要条件
1．已知集合，则“”是“”的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】由，可得，又，所以，
由，得，
因此“”是“”的充要条件．
故选：A
2．等式成立的充要条件是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】因为，
两边平方得：，
所以，即，
所以等式成立的充要条件是.
故选：B
3．已知集合，集合，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【详解】因为，
所以，
故“”是“”的充要条件.
故选：C．
4．设集合．
(1)证明：“”是“”的充分不必要条件；
(2)写出“偶数属于M”的一个充要条件并证明．
【答案】(1)证明见解析
(2)k为偶数；证明见解析
【详解】证明：（1）设集合中的元素，所以．因为，所以，所以，则成立，故“”是“”的充分条件．
若，则，可取，设．因为，所以与有相同的奇偶性．因为2为偶数，所以与均为偶数，所以应为4的倍数，而2不是4的倍数，所以假设不成立，所以，故“，”是“”的不必要条件．
综上所述，“”是“”的充分不必要条件．
（2）“偶数属于M”的一个充要条件是k为偶数．
充分性：因为k为偶数，所以设，所以，而，所以满足集合，所以偶数属于M．
必要性：因为偶数属于M，所以．因为，所以与有相同的奇偶性．因为为偶数，所以与均为偶数，所以应为4的倍数，必为4的倍数，即k必为2的倍数，所以k为偶数．
知识导图记忆
知识目标复核
1．充分条件与必要条件
2．充要条件
3．从集合角度看充分、必要条件
1．“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【难度】0.85
【知识点】判断命题的充分不必要条件
【分析】根据给定条件，利用充分条件、必要条件定义判断即可.
【详解】当时，，且当时，，即当时，不一定成立，
所以“”是“”的充分不必要条件，
故选：A
2．“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【难度】0.85
【知识点】既不充分也不必要条件
【分析】举反例和可得出.
【详解】若，则满足，但不满足，故无法得到；
若，则满足，但不满足，故无法得到，
故“”是“”的既不充分也不必要条件.
故选：D
3．若“”是“”的充要条件，则ab的值为（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】A
【难度】0.85
【知识点】根据充要条件求参数
【详解】由题意得，解得，所以．
4．已知，，若是的必要不充分条件，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【难度】0.94
【知识点】根据必要不充分条件求参数
【详解】因为，所以，即．
5．若是或的一个既不充分也不必要条件，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【难度】0.94
【知识点】根据集合的包含关系求参数、既不充分也不必要条件
【详解】解法1 设，，由题意可知和都不成立，所以．
解法2 若，则，故不成立，排除A，C；若，则，故不成立，排除D．
6．命题A：是无理数，命题B：是无理数，则命题A是命题B的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【难度】0.94
【知识点】判断命题的必要不充分条件
【分析】根据充分条件、必要条件判断即可.
【详解】是无理数，不一定是无理数，如，；而是无理数，一定是无理数，
故命题A是命题B的必要不充分条件.
故选：B
7．“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】判断命题的必要不充分条件
【分析】根据充分必要条件关系判断.
【详解】因为，
所以不能推出，而由可以推出，
所以是的必要不充分条件.
故选：B.
8．设，，分别是的三条边，且，则为锐角三角形的充要条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】充要条件的证明
【详解】记边a，b，c所对的角分别为A，B，C．根据题意，则，故证明如下：必要性，在中，假设是锐角，作，为垂足，如图1．显然，即．充分性，在中，因为，所以不是直角．假设为钝角，如图2，作，交BC的延长线于点．则，即，与矛盾．故为锐角，则，都为锐角，即为锐角三角形．
（多选题）9．在下列条件中，能成为“使二次方程的两根为正数”的必要不充分条件是（ ）
A． B．
C．且 D．，，
【答案】ABC
【难度】0.65
【知识点】判断命题的必要不充分条件
【详解】若二次方程的两根为正数，则，，，故满足其中一个或两个不能推出二次方程的两根为正数，所以选项A，B，C能成为使二次方程的两根为正数的必要不充分条件.
10．已知集合，．若“”是“”的充分不必要条件，则实数a的取值范围为 ．
【答案】
【难度】0.85
【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据充分不必要条件求参数、补集的概念及运算
【详解】．因为，所以集合不是空集，即，解得．由题意知集合A是集合的真子集，即或，解得或．综上所述，实数a的取值范围为．
11．若“或”是“”的必要不充分条件，则实数m的取值范围为 ．
【答案】
【难度】0.94
【知识点】根据必要不充分条件求参数
【详解】由必要不充分条件的定义可知或，或，所以或，即或．
12．从符号“”“”“”中选择适当的一个填空：
（1） ；
（2） .
【答案】
【难度】0.65
【知识点】交集的概念及运算、补集的概念及运算、并集的概念及运算、充要条件的证明
【分析】利用并集、交集、补集的定义即可推出.
【详解】（1）若，则，则且，
则且，则，
故；
若，则且，则且，
则，则，
故；
综上所述，.
（2）若，则，则或，
则或，则，
故；
若，则或，则或，
则，则，
故；
综上所述，.
故答案为：；
13．已知集合，.
(1)若，求；
(2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【难度】0.65
【知识点】交并补混合运算、根据充分不必要条件求参数
【分析】（1）当时，求出集合，利用补集和交集的定义可求得集合；
（2）分析可知是的真子集，分、两种情况讨论，结合集合的包含关系可得出关于实数的不等式（组），综合可得出实数的取值范围.
【详解】（1）当时，集合，可得或，
因为，所以.
（2）若“”是“”的充分不必要条件，所以是的真子集，
当时，即时，此时，满足是的真子集；
当时，则满足，解得，
当时，，此时是的真子集，合乎题意；
当时，，此时是的真子集，合乎题意.
综上，实数的取值范围为.
14．已知集合．
(1)若，求;
(2)若，求实数的取值范围；
(3)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)；
(3)．
【难度】0.65
【知识点】根据并集结果求集合或参数、根据充分不必要条件求参数、根据交集结果求集合或参数
【分析】 利用交集运算即可；
利用子集关系，再分两类空集和非空集讨论即可；
把充分不必要关系转化为真子集关系，再求参数范围.
【详解】（1）当时，，
所以；
（2）因为，
所以由，得，
当时，，解得，满足题意；
当时，则，解得，
综上，，故实数的取值范围为；
（3）由是的充分不必要条件，可得 ，
又，
则，且式等号不同时成立，解得，
故实数的取值范围是．
15．已知集合，集合．
(1)若，求；
(2)设命题；命题，若命题是命题的必要不充分条件，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【难度】0.65
【知识点】补集的概念及运算、根据必要不充分条件求参数、并集的概念及运算
【分析】（1）求出集合，再求即可；
（2）由命题是命题的必要不充分条件得集合是集合的真子集，再分、讨论可得答案.
【详解】（1），
若，则集合，
所以，
则=；
（2）∵命题是命题的必要不充分条件，
∴集合是集合的真子集，
当时，，解得，
当时，，或，
解得，
综上所述，实数的取值范围为．
16．已知集合，，全集．
(1)当时，求；
(2)若““是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围．
【答案】(1)或；
(2)
【难度】0.65
【知识点】交并补混合运算、根据必要不充分条件求参数
【分析】（1）先求出特定值下集合的补集，再与集合求交集；
（2）根据必要不充分条件得出集合与的包含关系，进而求出实数的取值范围.
【详解】（1）当时，集合，则或
所以或；
（2）“”是“”的必要不充分条件，故A为的真子集，
则或，解得.
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第三步：测
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知识点1 充分条件与必要条件
命题
命题的定义：一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫命题。判断为真的语句为真命题，判断为假的语句为假命题。
中学数学中许多命题可以写成“若p，则q”，“如果p，那么q”等形式，其中p称为命题的条件，q称为命题的结论。
2、充分条件与必要条件
命题真假 “若p，则q”是真命题 “若p，则q”是假命题
推出关系 p q pq
条件关系 p是q的充分条件 q是p的必要条件 p不是q的充分条件 q不是p的必要条件
知识点2 充要条件
(1)一般地，如果既有p q，又有q p，就记作p q.此时，我们说，p是q的充分必要条件，简称充要条件．
概括地说，如果p q，那么p与q互为充要条件．
(2)若p q，但q p，则称p是q的充分不必要条件．
(3)若q p，但p q，则称p是q的必要不充分条件．
(4)若p q，且q p，则称p是q的既不充分也不必要条件．
知识点3 从集合角度看充分、必要条件
若A B，则p是q的充分条件，若AB，则p是q的充分不必要条件
若B A，则p是q的必要条件，若BA，则p是q的必要不充分条件
若A=B，则p，q互为充要条件
若或，但则p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件
用“充分条件但不是必要条件”“必要条件但不是充分条件”或“充要条件”填空： （1）“是有理数”是“是实数”的 ； （2）“”是“”的 ； （3）“”是“”的 ； （4）“”是“”的 ．
用“充分条件”“必要条件”或“充要条件”填空： （1）“”是“”的 ； （2）“”是“”的 ； （3）“”是“”的 ； （4）“”是“”的 ．
判断下列说法是否正确： （1）“”是“”的充分条件；( ) （2）“”是“”的充要条件；( ) （3）“两个三角形全等”是“两个三角形相似”的充分条件；( ) （4）“两个三角形中有两边及其中一边的对角分别相等”是“两个三角形全等”的充要条件．( )
1．下列命题为假命题的是（ ）
A．正方形既是矩形又是菱形 B．若或，则
C．一个奇数是两个整数的平方差 D．当时，
2．下列语句是命题的有（ ）
A．求证：的对称轴是y轴 B．你是高一学生吗？
C．若，则 D．三角形的内角和是
1．已知集合，集合，若“”是 “”的充分条件，则实数的取值范围是
2．已知集合，．若P的充分条件为Q，则实数m的取值范围为 ．
3．已知集合，.
(1)若，求；
(2)若是的充分条件，求实数的取值范围.
（多选题）1．下列“若p，则q”形式的命题中，q是p的必要条件的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若mn为无理数，则m，n为无理数
D．若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形是菱形
2．若“”是“”的必要条件，则实数的取值范围是 .
3．设集合，.
(1)若，求实数的值；
(2)若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围.
1．已知a，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．设为全集，，是集合，则“存在集合使得，”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2. 判断必要性
已知，即和没有公共元素.此时取集合，
那么对于全集，就是由所有不属于但属于的元素组成的集合.如图，
因为和没有公共元素，所以中的元素都不属于，即，
同时（即）.所以当“”时，
能推出“存在集合使得，”，
所以“存在集合使得，”是“”的必要条件.
则“存在集合使得，”是“”的充分必要条件.
故选：C.
3．“一元二次方程有实数根”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
1．已知集合，则“”是“”的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
2．等式成立的充要条件是（ ）
A． B．
C． D．
3．已知集合，集合，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．设集合．
(1)证明：“”是“”的充分不必要条件；
(2)写出“偶数属于M”的一个充要条件并证明．
1．充分条件与必要条件
2．充要条件
3．从集合角度看充分、必要条件
1．“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
3．若“”是“”的充要条件，则ab的值为（ ）
A． B． C．1 D．2
4．已知，，若是的必要不充分条件，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．若是或的一个既不充分也不必要条件，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．命题A：是无理数，命题B：是无理数，则命题A是命题B的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
7．“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
8．设，，分别是的三条边，且，则为锐角三角形的充要条件是（ ）
A． B． C． D．
10．已知集合，．若“”是“”的充分不必要条件，则实数a的取值范围为 ．
11．若“或”是“”的必要不充分条件，则实数m的取值范围为 ．
12．从符号“”“”“”中选择适当的一个填空：
（1） ；
（2） .
13．已知集合，.
(1)若，求；
(2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围.
14．已知集合．
(1)若，求;
(2)若，求实数的取值范围；
(3)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．
15．已知集合，集合．
(1)若，求；
(2)设命题；命题，若命题是命题的必要不充分条件，求实数的取值范围．
16．已知集合，，全集．
(1)当时，求；
(2)若““是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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