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第07讲 等式性质与不等式性质
内容导航——预习三步曲
第一步：学
析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习
练习题 讲典例：教材习题学解题、快速掌握解题方法
练考点 强知识：3大核心考点精准练
第二步：记
串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握
第三步：测
过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升
知识点1 实数的大小顺序与运算性质的关系
(1)a>b a－b>0；
(2)a＝b a－b＝0；
(3)a知识点2 不等式的性质
(1)对称性：a＞b b＜a；
(2)传递性：a＞b，b＞c a＞c；
(3)可加性：a＞b a＋c＞b＋c；a＞b，c＞d a＋c＞b＋d；
(4)可乘性：a＞b，c＞0 ac＞bc；a>b，c<0 ac(5)可乘方：a＞b＞0 an＞bn(n∈N，n≥1)；
(6)可开方：a＞b＞0 ＞ (n∈N，n≥2).
知识点3 比较大小
1.作差：作差比较，根据a－b>0a>b，欲证a>b只需证a－b>0；2.作商：作商比较，当b>0时，a>b>1。
3.找中介 “1”或“0”
教材习题01 甲、乙两人同时从A地出发沿同一路线走到B地，所用时间分别为，．甲有一半的时间以m m/s的速度行走，另一半的时间以n m/s的速度行走；乙有一半的路程以m m/s的速度行走，另一半的路程以n m/s的速度行走，且． (1)请用含m，n的代数式表示甲、乙两人所用的时间和； (2)比较与的大小，并判断甲、乙两人谁先到达B地． 解题方法 （1）设A地到B地的路程为， 因为甲有一半的时间以m m/s的速度行走，另一半的时间以n m/s的速度行走， 所以，所以， 因为乙有一半的路程以m m/s的速度行走，另一半的路程以n m/s的速度行走， 所以, （2） 因为，所以，因为 所以 所以，所以甲先到达B地．
【答案】(1)；. (2)，甲先到达B地．
教材习题02 判断下列命题的真假，并说明理由： (1)若，则； (2)若，则； (3)若，，则； (4)若，则． 解题方法 （1）若，当时，则；故为假命题， （2）由于，故，则，进而可得；故为真命题， （3）若，，则， 此时满足，，但是无法得到，故为假命题 （4）若，不妨取，则无意义，故无法得到，故为假命题
【答案】(1)假命题 (2)真命题 (3)假命题 (4)假命题
教材习题03 试比较与的大小． 解题方法 , 所以.
【答案】
考点一 用不等式表示不等关系
1．某公司准备对一项目进行投资，提出两个投资方案：方案A为一次性投资300万；方案B为第一年投资80万，以后每年投资20万．下列不等式表示“经过年之后，方案B的投入不少于方案A的投入”的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
方法总结 用不等式（组）表示不等关系的步骤
1．审清题意，明确表示不等关系的关键词语；
2．适当地设未知数表示变量；
3. 用不等号表示关键词语，并连接变量得不等式（组）．
2．下列不等式中可以用来表示“的2倍比的平方的相反数小”的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】因的2倍为的平方的相反数为，
则不等式为：.
故选：D.
3．如图，直角中，，，，在斜边上，在（包括边界）内，在线段上，，在线段上.四边形和四边形是矩形，，.

(1)试找出与之间的不等量关系式；
(2)求矩形和矩形面积之和的最大值.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）的延长线交于，交于，如图，

此时，所以，
因为，，
所以，
而由题意，所以，
可得，
因为，所以，解得，即，
所以与之间的不等量关系式为，其中.
（2）矩形和矩形面积之和，
因为，故，故，故，
故，而，故，故，
而，故当时，
4．用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18m，要求菜园的面积不小于，设靠墙的一边长为．试用不等式表示其中的不等关系．
【答案】
【详解】由于矩形菜园靠墙的一边长为，而墙长为18m，
则，菜园的另一条边长为．
可得菜园面积，
依题意有，即，
故该题中的不等关系可用不等式组表示为.
考点二 作商法、作差法比较大小
（多选题）1．已知，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【详解】因为，则，A错误；
选项B： 因为，所以，，则，所以，故B正确.
因为，所以，故C正确.
因为，所以幂函数在单调递减，
所以，D错误，
故选：BC
（多选题）2．设，则P，Q，R的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AB
【详解】因为，所以．
因为，
又，所以，所以．
（多选题）3．若，那么下列不等式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ACD
【详解】对于A，因为，所以，故A正确；
对于B，，故B错误；
对于C，，，所以，因为，所以，所以，故C正确；
对于D，，故D正确.
故选：ACD.
4．已知a>b>0，则aabb与abba的大小关系为 .
【答案】aabb>abba
【详解】
∵＝＝（）a－b，又a>b>0，∴ >1，a－b>0，∴ （）a－b>1，即>1.又abba>0，∴ aabb>abba.
5．设，，则 （填入“＞”或“＜”）．
【答案】
【详解】∵，即.
又，
.
故答案为：>.
考点三 利用不等式性质比较大小
1．若，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】因为，，所以，，所以，，故A正确，B错误；当时，，，故C错误，D错误．
2．已知x，y是实数，则“”是“”是的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【详解】若，满足，此时，所以不是的充分条件，
反过来，若，满足，此时，所以也不是的必要条件，所以”是“”的既不充分也不必要条件.
故选：D
（多选题）3．下列说法正确的是（ ）
A．若，，且，则 B．若，，则
C．若，，且，则 D．若，，且，则
【答案】AD
【详解】对于选项A，因为，所以，即，故A正确；对于选项B，取，，，，满足，，但，故B错误；对于选项C，取，，满足，，且，但，故C错误；对于选项D，因为，所以，，则，故D正确．
4．设，则M与N的大小关系是 ．
【答案】
【详解】因为，所以．
5．已知，且．
(1)求证：；
(2)求证：．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【详解】（1）解法1 因为且，所以，且，两边取倒数得，又，则，从而得证．
解法2 因为且，所以，且，所以，即．
（2）因为且，所以，，则，，由，可得，即，所以，即．综上，．
考点四 由等式性质证明不等式
1．已知：，；：，，则是的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．就不充分又不必要条件
【答案】A
【详解】当时，，，但，
则由不能得到；当，时，，，则由可得到,
故是的充分不必要条件.
故选：A
（多选题）2．若，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】AB
【详解】根据，则，A正确；
由，又，则，B正确；
当时，，C错误；
当时，，D错误.
故选：AB
3．已知实数，满足，．
(1)求和的取值范围；
(2)证明：．
【答案】(1)，
(2)证明见解析
【详解】（1）因为，，所以，
当，时，则，，此时，
当，时，则，此时，得到，
当，时，则，此时，得到，
当，时，，
又当或时，，
综上，.
（2）因为，
又，，则，，
所以，得到.
4．（1）已知，求的取值范围；
（2）若，求证：.
【答案】（1）；（2）证明见解析
【详解】（1）设，
所以，解得，
，
即
的取值范围是.
（2）证明：
，
，
.
5．已知，．
(1)求证：；
(2)求证：．
【答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析.
【详解】（1）由，则，故，
由，则，故，
所以，得证.
（2）由，而，
所以，即，得证.
知识导图记忆
知识目标复核
1．实数的大小顺序与运算性质的关系
2．不等式的性质
3．比较大小
1．设a，b为实数，则“”的一个充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】判断命题的充分不必要条件、由不等式的性质比较数（式）大小
【详解】由，知可得，可推出，反向推不出，故A满足题意；由，得，推不出，反向可推出，故B不满足题意；由，得或或，推不出，反向可推出，故C不满足题意；由，得，推不出，反向可推出，故D不满足题意.
2．已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】由不等式的性质比较数（式）大小
【详解】因为，所以．由于，故在不等式上同时乘以a得，即，因此，．
3．已知，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【难度】0.85
【知识点】判断命题的充分不必要条件、作差法比较代数式的大小、由已知条件判断所给不等式是否正确
【详解】．当时，结合，可得．反之，如，亦成立，却推不出．故“”是“”的充分不必要条件．
4．有下列四个命题：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则．其中正确命题的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】由不等式的性质比较数（式）大小
【详解】对于①，由，得，，要证，则需证，即，这显然成立，故①正确；对于②，由，得，由①知，②正确；对于③，当，时，显然不成立，所以③错误；对于④，当，时，有，④错误．
5．给出下列命题，其中正确的命题是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】由不等式的性质比较数（式）大小、作差法比较代数式的大小
【分析】通过举反例可判断A、C、D是假命题；利用作差法比较大小可判断B正确.
【详解】对于A，当时，，故A是假命题；
对于B，若，则，
由于不同时为0，所以，故B是真命题；
对于C，当时，，故C是假命题；
对于D，当时，不成立，故D是假命题；
故选：B
6．设，若，则下列不等式中不正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【难度】0.85
【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确、由不等式的性质比较数（式）大小、作差法比较代数式的大小
【分析】应用不等式的性质及作差法判断A，B，C，再应用特殊值法判断D.
【详解】因为，则，则，A选项正确；
因为，则，则，B选项正确；
因为，则，则，C选项正确；
取，所以，D选项错误；
故选：D.
（多选题）7．十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若，则下列命题正确的是（ ）
A．若且，则 B．若，则
C．若，则 D．若且，则
【答案】BC
【难度】0.85
【知识点】由不等式的性质比较数（式）大小、作差法比较代数式的大小
【详解】对于A，取，则不成立，故A错误；对于B，若，则，所以，故B正确；对于C，若，则，所以，所以，故C正确；对于D，若且，则，而b可能为0，故D错误．
（多选题）8．已知，，则下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】CD
【难度】0.85
【知识点】由不等式的性质比较数（式）大小、作差法比较代数式的大小
【分析】应用作差法计算比较判断A，应用不等式性质计算判断C，D，应用特殊值法计算判断B.
【详解】因为，，
对于A，因为，而，，故无法确定与的大小，A错；
对于B，因为，所以，B错；
对于C，由不等式的性质可得，从而，C对；
对于D，由不等式的性质可得，D对.
故选：CD.
（多选题）9．下列不等式，其中恒成立的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【难度】0.85
【知识点】作差法比较代数式的大小
【详解】由，知A正确；由，知B错误；由，知C错误；由，知D正确．
10．若实数x，y满足，则的取值范围是 ；若实数x，y满足，则的取值范围是 ．
【答案】
【难度】0.85
【知识点】利用不等式求值或取值范围
【详解】若x，y满足，则，从而．若，设，所以解得，则有，所以．
11．已知，若，则的取值范围是 ；若，且，则的取值范围是 ．
【答案】
【难度】0.85
【知识点】利用不等式求值或取值范围
【详解】若，则，而，所以有．设，则解得若，，则有，所以，即．
易错警示 题中的第二空易错误的利用如下解法：先由条件得出a，b的范围，再由此得出的范围，即得出的错误结果（其取值范围扩大了）.
12．已知实数a，b满足，则的取值范围为 .
【答案】
【难度】0.85
【知识点】利用不等式求值或取值范围
【分析】根据不等式性质直接求解即可.
【详解】，
.
故答案为：.
13．如果，，则的取值范围是 .
【答案】
【难度】0.94
【知识点】利用不等式求值或取值范围
【分析】根据同向不等式的运算规则，计算不等式的范围.
【详解】,
,
又,
,
两式相加得,
故答案为:.
14．比较大小： （填“<”或“>”）.
【答案】
【难度】0.94
【知识点】由不等式的性质比较数（式）大小
【分析】平方计算判断大小.
【详解】因为，，所以，所以.
故答案为：<.
15．（1）已知，，，求证：；
（2）证明：．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析
【难度】0.65
【知识点】由不等式的性质证明不等式、分析法证明
【详解】（1）因为，所以．又，所以，则，所以，即．又，所以．
（2）要证，只需证，即证，即证，即证，即证，显然成立，所以．
16．若，试比较与的大小．
【答案】
【难度】0.65
【知识点】作差法比较代数式的大小
【分析】分组因式分解，得到，结合条件即得.
【详解】
，
因为，所以，
故.
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第07讲 等式性质与不等式性质
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第一步：学
析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习
练习题 讲典例：教材习题学解题、快速掌握解题方法
练考点 强知识：3大核心考点精准练
第二步：记
串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握
第三步：测
过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升
知识点1 实数的大小顺序与运算性质的关系
(1)a>b a－b>0；
(2)a＝b a－b＝0；
(3)a知识点2 不等式的性质
(1)对称性：a＞b b＜a；
(2)传递性：a＞b，b＞c a＞c；
(3)可加性：a＞b a＋c＞b＋c；a＞b，c＞d a＋c＞b＋d；
(4)可乘性：a＞b，c＞0 ac＞bc；a>b，c<0 ac(5)可乘方：a＞b＞0 an＞bn(n∈N，n≥1)；
(6)可开方：a＞b＞0 ＞ (n∈N，n≥2).
知识点3 比较大小
1.作差：作差比较，根据a－b>0a>b，欲证a>b只需证a－b>0；2.作商：作商比较，当b>0时，a>b>1。
3.找中介 “1”或“0”
甲、乙两人同时从A地出发沿同一路线走到B地，所用时间分别为，．甲有一半的时间以m m/s的速度行走，另一半的时间以n m/s的速度行走；乙有一半的路程以m m/s的速度行走，另一半的路程以n m/s的速度行走，且． (1)请用含m，n的代数式表示甲、乙两人所用的时间和； (2)比较与的大小，并判断甲、乙两人谁先到达B地．
判断下列命题的真假，并说明理由： (1)若，则； (2)若，则； (3)若，，则； (4)若，则．
试比较与的大小．
1．某公司准备对一项目进行投资，提出两个投资方案：方案A为一次性投资300万；方案B为第一年投资80万，以后每年投资20万．下列不等式表示“经过年之后，方案B的投入不少于方案A的投入”的是（ ）
A． B．
C． D．
1．审清题意，明确表示不等关系的关键词语；
2．适当地设未知数表示变量；
3. 用不等号表示关键词语，并连接变量得不等式（组）．
2．下列不等式中可以用来表示“的2倍比的平方的相反数小”的是（ ）
A． B．
C． D．
3．如图，直角中，，，，在斜边上，在（包括边界）内，在线段上，，在线段上.四边形和四边形是矩形，，.

(1)试找出与之间的不等量关系式；
(2)求矩形和矩形面积之和的最大值.
4．用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18m，要求菜园的面积不小于，设靠墙的一边长为．试用不等式表示其中的不等关系．
4．已知a>b>0，则aabb与abba的大小关系为 .
5．设，，则 （填入“＞”或“＜”）．
1．若，，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知x，y是实数，则“”是“”是的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．设，则M与N的大小关系是 ．
5．已知，且．
(1)求证：；
(2)求证：．
1．已知：，；：，，则是的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．就不充分又不必要条件
3．已知实数，满足，．
(1)求和的取值范围；
(2)证明：．
4．（1）已知，求的取值范围；
（2）若，求证：.
5．已知，．
(1)求证：；
(2)求证：．
1．实数的大小顺序与运算性质的关系
2．不等式的性质
3．比较大小
1．设a，b为实数，则“”的一个充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
2．已知，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．有下列四个命题：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则．其中正确命题的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．给出下列命题，其中正确的命题是（ ）
A． B． C． D．
6．设，若，则下列不等式中不正确的是（ ）
A． B． C． D．
10．若实数x，y满足，则的取值范围是 ；若实数x，y满足，则的取值范围是 ．
11．已知，若，则的取值范围是 ；若，且，则的取值范围是 ．
12．已知实数a，b满足，则的取值范围为 .
13．如果，，则的取值范围是 .
14．比较大小： （填“<”或“>”）.
15．（1）已知，，，求证：；
（2）证明：．
16．若，试比较与的大小．
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