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第10讲 一元二次函数、方程和不等式
内容导航——预习三步曲
第一步：学
析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习
练习题 讲典例：教材习题学解题、快速掌握解题方法
练考点 强知识：5大核心考点精准练
第二步：记
串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握
第三步：测
过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升
知识点1 等式性质与不等式性质
1.实数的大小顺序与运算性质的关系
(1)a>b a－b>0；
(2)a＝b a－b＝0；
(3)a2.不等式的性质
(1)对称性：a＞b b＜a；
(2)传递性：a＞b，b＞c a＞c；
(3)可加性：a＞b a＋c＞b＋c；a＞b，c＞d a＋c＞b＋d；
(4)可乘性：a＞b，c＞0 ac＞bc；a>b，c<0 ac(5)可乘方：a＞b＞0 an＞bn(n∈N，n≥1)；
(6)可开方：a＞b＞0 ＞ (n∈N，n≥2).
知识点2 基本不等式
1.基本不等式：≤
(1)基本不等式成立的条件：a≥0，b≥0.
(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号.
(3)其中称为正数a，b的算术平均数，称为正数a，b的几何平均数.
2.两个重要的不等式
(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号.
(2)ab≤ (a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号.
3.利用基本不等式求最值
已知x≥0，y≥0，则
(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2 (简记：积定和最小).
(2)如果和x＋y是定值s，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是(简记：和定积最大).
注意：
1.≥2(a，b同号)，当且仅当a＝b时取等号.
2.ab≤≤.
3. (a>0，b>0).
知识点3 二次函数与一元二次方程、不等式
1.二次函数解析式的三种形式
一般式 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，图象的对称轴是x＝－，顶点坐标是
顶点式 f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，图象的对称轴是x＝m，顶点坐标是(m，n)
零点式 f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，其中x1，x2是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，图象的对称轴是x＝
2.二次函数的图象与性质
函数 y＝ax2＋bx＋c(a>0) y＝ax2＋bx＋c(a<0)
图象 (抛物线)
定义域 R
值域
对称轴 x＝－
顶点坐标
奇偶性 当b＝0时是偶函数，当b≠0时是非奇非偶函数
单调性 在上是减函数； 在上是增函数 在上是增函数； 在上是减函数
常用结论：
①.二次函数的单调性、最值与抛物线的开口方向和对称轴及给定区间的范围有关.
②.若f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则当时恒有f(x)>0，当时，恒有f(x)<0.
3.三个“二次”间的关系
判别式Δ＝b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0
二次函数y＝ax2＋bx＋c (a＞0)的图象
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 (a＞0)的根 有两相异实根 x1，x2(x1＜x2) 有两相等实根 x1＝x2＝－ 没有实数根
ax2＋bx＋c＞0 (a＞0)的解集 R
ax2＋bx＋c＜0 (a＞0)的解集 {x|x1＜x＜x2}
注意：
1.有关分数的性质
(1)若a>b>0，m>0，则；(b－m>0).
(2)若ab>0，且a>b .
2.对于不等式ax2＋bx＋c>0，求解时不要忘记a＝0时的情形.
3.当Δ<0时，不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)的解集为R还是，要注意区别.
设，，比较m，n的大小关系．
糖水中含有糖，若再添加糖（其中），生活常识告诉我们：添加的糖完全溶解后，糖水会更甜.根据这个生活常识，你能提炼出一个不等式吗？试给出证明.
解不等式．
（多选题）1．若实数a，b，c满足，则下列不等式成立的有（ ）
A． B． C． D．
3．已知，，设，，则与的大小关系为 ．
4．（1）已知，，求，及的取值范围．
（2）设、均为正实数，试比较和的大小．
5．（1）试比较与的大小
（2）已知，，求，的取值范围.
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知命题为真命题，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．若不等式有解，则实数的取值集合是 .
4．1881年英国数学家约翰 维恩发明了Venn图，用来直观表示集合之间的关系．全集，集合，的关系如图所示，其中区域Ⅰ，Ⅱ构成M，区域Ⅱ，Ⅲ构成N．若区域Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ表示的集合均不是空集，则实数a的取值范围是 ．
5．设实数满足，：实数满足.
(1)若，且都为真命题，求的取值范围；
(2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.
1．若“”是“”的充分不必要条件，则实数k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．已知不等式的解集为或，则不等式的解集为（ ）
A． B． C．或 D．或
3．不等式的解集为 .
4．不等式的解集为 ．
5．解下列关于x的不等式
(1)
(2)
(3)
1．已知，，且，则的最大值为（ ）
A． B． C．1 D．
2．函数在上的最小值是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
4．函数的最小值为 ，此时x的值为 ．
5．已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是 .
6．已知，则的最小值为 ．
1．对于下列结论：
①方程的两根之和为，两根之积为；
②方程的两根之和为，两根之积为；
③方程的两根之和为，两根之积为；
④方程的两根之和为，两根之积为．
其中正确的个数是（ ）
A． B． C． D．
2．若关于的方程的两个实数根的平方和等于11，则等于（ ）
A．或 B． C． D．
3．设常数，已知关于的一元二次方程的两个实根分别为、，若，则 ．
4．已知二次不等式的解集为，，则的取值范围是 .
5．已知是关于方程的两个根，且都大于1．若，求实数的值．
1．等式性质与不等式性质
2．基本不等式
3．二次函数与一元二次方程、不等式
1．不等式的解集为（ ）
A．，或 B．
C．，或 D．
2．已知，则“”是“”的（ ）
A．充要条件 B．既不充分也不必要条件
C．充分不必要条件 D．必要不充分条件
3．一元二次不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
4．已知，，，则的最小值为（ ）
A．9 B． C．4 D．6
5．不等式的解集是，则的解集是（ ）
A． B．
C．或 D．或
6．，不等式恒成立，则的最小值为（ ）
A．6 B． C． D．
7．已知，则的最大值为（ ）
A． B．0 C．4 D．
8．已知命题；，则是的（ ）
A．充分而非必要条件 B．必要而非充分条件
C．充要条件 D．既非充分又非必要条件
11．已知，则的范围是 ．
12．不等式的解集为 ．
13．不等式的解集为 ．
14．已知集合.
(1)若，求；
(2)若，求的取值范围.
15．（1）证明：，
（2）解关于的不等式：
16．（1）已知实数、满足，.求的取值范围.
（2）已知，求的最小值.
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第10讲 一元二次函数、方程和不等式
内容导航——预习三步曲
第一步：学
析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习
练习题 讲典例：教材习题学解题、快速掌握解题方法
练考点 强知识：5大核心考点精准练
第二步：记
串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握
第三步：测
过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升
知识点1 等式性质与不等式性质
1.实数的大小顺序与运算性质的关系
(1)a>b a－b>0；
(2)a＝b a－b＝0；
(3)a2.不等式的性质
(1)对称性：a＞b b＜a；
(2)传递性：a＞b，b＞c a＞c；
(3)可加性：a＞b a＋c＞b＋c；a＞b，c＞d a＋c＞b＋d；
(4)可乘性：a＞b，c＞0 ac＞bc；a>b，c<0 ac(5)可乘方：a＞b＞0 an＞bn(n∈N，n≥1)；
(6)可开方：a＞b＞0 ＞ (n∈N，n≥2).
知识点2 基本不等式
1.基本不等式：≤
(1)基本不等式成立的条件：a≥0，b≥0.
(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号.
(3)其中称为正数a，b的算术平均数，称为正数a，b的几何平均数.
2.两个重要的不等式
(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号.
(2)ab≤ (a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号.
3.利用基本不等式求最值
已知x≥0，y≥0，则
(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2 (简记：积定和最小).
(2)如果和x＋y是定值s，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是(简记：和定积最大).
注意：
1.≥2(a，b同号)，当且仅当a＝b时取等号.
2.ab≤≤.
3. (a>0，b>0).
知识点3 二次函数与一元二次方程、不等式
1.二次函数解析式的三种形式
一般式 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，图象的对称轴是x＝－，顶点坐标是
顶点式 f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，图象的对称轴是x＝m，顶点坐标是(m，n)
零点式 f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，其中x1，x2是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，图象的对称轴是x＝
2.二次函数的图象与性质
函数 y＝ax2＋bx＋c(a>0) y＝ax2＋bx＋c(a<0)
图象 (抛物线)
定义域 R
值域
对称轴 x＝－
顶点坐标
奇偶性 当b＝0时是偶函数，当b≠0时是非奇非偶函数
单调性 在上是减函数； 在上是增函数 在上是增函数； 在上是减函数
常用结论：
①.二次函数的单调性、最值与抛物线的开口方向和对称轴及给定区间的范围有关.
②.若f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则当时恒有f(x)>0，当时，恒有f(x)<0.
3.三个“二次”间的关系
判别式Δ＝b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0
二次函数y＝ax2＋bx＋c (a＞0)的图象
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 (a＞0)的根 有两相异实根 x1，x2(x1＜x2) 有两相等实根 x1＝x2＝－ 没有实数根
ax2＋bx＋c＞0 (a＞0)的解集 R
ax2＋bx＋c＜0 (a＞0)的解集 {x|x1＜x＜x2}
注意：
1.有关分数的性质
(1)若a>b>0，m>0，则；(b－m>0).
(2)若ab>0，且a>b .
2.对于不等式ax2＋bx＋c>0，求解时不要忘记a＝0时的情形.
3.当Δ<0时，不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)的解集为R还是，要注意区别.
教材习题01 设，，比较m，n的大小关系． 解题方法 由，所以.
【答案】
教材习题02 糖水中含有糖，若再添加糖（其中），生活常识告诉我们：添加的糖完全溶解后，糖水会更甜.根据这个生活常识，你能提炼出一个不等式吗？试给出证明. 解题方法 因为加糖后糖水更甜，即糖水的浓度变大， 所以提炼出的不等式为：，其中， 下面用作差比较法给出证明： . 因为，，都是正数，且， 则，.可得， 所以.
【答案】，其中，，证明见解析
教材习题03 解不等式． 解题方法 原不等式等价于，即， 所以． 故原不等式的解集为．
【答案】
考点一 不等式的性质
（多选题）1．若实数a，b，c满足，则下列不等式成立的有（ ）
A． B． C． D．
【答案】BCD
【详解】因为实数满足，
对于A，因为，所以，所以A错误；
对于B，由不等式的性质，可得，所以B正确；
对于C，由，可得，所以，
当且仅当时，即时，等号成立，所以C正确；
对于D，由，所以，所以D正确.
故选：BCD.
（多选题）2．设，则下列选项中正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】ACD
【详解】对于A，由，得，A正确；
对于B，取满足，而不成立，B错误；
对于C，由，得，则，C正确；
对于D，由，得，则，D正确.
故选：ACD
3．已知，，设，，则与的大小关系为 ．
【答案】
【详解】．因为，，所以，，，所以，所以．
4．（1）已知，，求，及的取值范围．
（2）设、均为正实数，试比较和的大小．
【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析.
【详解】（1）因为， 所以，
又，两个不等式相加可得，即．
因为，所以，
又，两个不等式相加可得，即．
因为，所以，
当时，两个不等式相加乘可得：，即；
当时，两个不等式相加乘可得：，即，
所以．
的取值范围为；
的取值范围为；
的取值范围为.
（2）．
因为，均为正实数，所以．
当，即时，，此时；
当，即时，，此时；
当，即时，，此时．
综上可得：当时，；
当时，；
当时，．
5．（1）试比较与的大小
（2）已知，，求，的取值范围.
【答案】（1）；（2）；
【详解】（1）因为
所以.
（2）因为，所以，
所以；
因为，所以，
所以.
考点二 一元二次不等式
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】不等式，可化为，
所以，又，
所以，
故选：B.
2．已知命题为真命题，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】当时，恒成立，符合题意
当时，需满足
解得：，
综上，
故选：D
3．若不等式有解，则实数的取值集合是 .
【答案】
【详解】由题意，可得，即，
则实数的取值集合是.
故答案为：.
4．1881年英国数学家约翰 维恩发明了Venn图，用来直观表示集合之间的关系．全集，集合，的关系如图所示，其中区域Ⅰ，Ⅱ构成M，区域Ⅱ，Ⅲ构成N．若区域Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ表示的集合均不是空集，则实数a的取值范围是 ．
【答案】
【详解】因为区域，Ⅱ，Ⅲ表示的集合均不是空集，所以或，解得．
5．设实数满足，：实数满足.
(1)若，且都为真命题，求的取值范围；
(2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）时，，，
即，
由得，解得 又，
而，都为真命题，所以；
（2），，
由是的充分不必要条件，则等号不同时成立，又因为，
所以.
考点三 其他不等式
1．若“”是“”的充分不必要条件，则实数k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】，当时，，即，解得，故此时符合题意．当时，，所以，故符合题意．由得，由题可知是的子集，所以．
2．已知不等式的解集为或，则不等式的解集为（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】A
【详解】由题意知，1为方程的两根，所以解得则不等式可化为，即，解得．
3．不等式的解集为 .
【答案】
【详解】依题意得，
解得或，
故答案为：
4．不等式的解集为 ．
【答案】或
【详解】由可得，即，
如下图所示：
由“穿针引线”法可知，原不等式的解集为或.
故答案为：或.
5．解下列关于x的不等式
(1)
(2)
(3)
【答案】(1)或或
(2)或
(3)
【详解】（1）原不等式可化为，可得，
所以或，
即或，
解不等式组得或或
所以不等式的解集为或或.
（2）原不等式等价于不等式组：
，所以，
解不等式得或，
解不等式得，
所以原不等式的解集为或；
（3）原不等式等价于不等式组：
或，
分别解两个不等式组得或，
所以原不等式的解集为.
考点四 基本不等式
1．已知，，且，则的最大值为（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】A
【详解】因为，，
根据基本不等式可得，所以.
当时，取最大值.
故选：A.
2．函数在上的最小值是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【详解】因为，可得，
所以，
当且仅当时，即时，等号成立，
此时函数在上的最小值是2.
故选：C
（多选题）3．已知且，则下列选项正确的是（ ）
A．的最大值是 B．的最大值是
C．的最小值是 D．的最小值是
【答案】ABD
【详解】对于A项，因为且，所以，当且仅当时等号成立，即的最大值是，故A项正确；
对于B项，因为且，所以，即，当且仅当时等号成立，故B项正确；
对于C项，因为，当且仅当时等号成立，所以的最小值是，故C项错误；
对于D项，令所以
所以，
因为，所以，
因为，所以，
当且仅当，即时等号成立，故D项正确．
故选：ABD．
4．函数的最小值为 ，此时x的值为 ．
【答案】
【详解】由知，所以，当且仅当，即时取等号．
方法总结 对不满足使用基本不等式条件的可通过“变形”来转换，常见的变形技巧：拆项，并项，也可乘上一个数或加上一个数，“1”的代换等．
5．已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是 .
【答案】
【详解】设 ，，则 ，且 ，，
，
当且仅当时，即时取等；
，
.
故答案为：.
6．已知，则的最小值为 ．
【答案】
【详解】由，则
，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为.
故答案为：
考点五 一元二次方程的解集及其根与系数的关系
1．对于下列结论：
①方程的两根之和为，两根之积为；
②方程的两根之和为，两根之积为；
③方程的两根之和为，两根之积为；
④方程的两根之和为，两根之积为．
其中正确的个数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】对于①，方程的判别式，
由一元二次方程根与系数的关系可知，这个方程的两根之和为，
两根之积为，①对；
对于②，方程的判别式为，这个方程无实解，②错；
对于③，方程的判别式为，
这方程的两根之和为，两根之积为，③对；
对于④，方程的判别式为，
这个方程的两根之和为，两根之积为，④错.
故选：B.
2．若关于的方程的两个实数根的平方和等于11，则等于（ ）
A．或 B． C． D．
【答案】C
【详解】设方程的两个实数根为，
则，即，
且，
由题意，得，
则，解得（舍去）或.
故选：C.
3．设常数，已知关于的一元二次方程的两个实根分别为、，若，则 ．
【答案】
【详解】因为关于的一元二次方程的两个实根分别为、，
则，解得，
所以，，
又，即，解得或（舍去）；
故答案为：
4．已知二次不等式的解集为，，则的取值范围是 .
【答案】
【详解】因为二次不等式的解集为，
则的两根为，则，
所以，解得，
故答案为：.
5．已知是关于方程的两个根，且都大于1．若，求实数的值．
【答案】
【详解】根据题意得,
∵
∴，
∴
∴
整理得 ,解得
当时,原方程为,解得 (不符合条件舍去)，
当时,原方程为,解得 符合题意；
∴k的值为7.
知识导图记忆
知识目标复核
1．等式性质与不等式性质
2．基本不等式
3．二次函数与一元二次方程、不等式
1．不等式的解集为（ ）
A．，或 B．
C．，或 D．
【答案】A
【难度】0.85
【知识点】解不含参数的一元二次不等式
【分析】应用一元二次不等式的解法求解集.
【详解】由，可得或，故解集为，或.
故选：A
2．已知，则“”是“”的（ ）
A．充要条件 B．既不充分也不必要条件
C．充分不必要条件 D．必要不充分条件
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】判断命题的必要不充分条件、由不等式的性质比较数（式）大小
【分析】利用充分条件、必要条件的定义，结合不等式的性质判断得解.
【详解】若，，则，则，
反之，若，则，
又，所以，即，此时不一定成立，
比如，此时，
所以“”是“”的必要不充分条件.
故选：D
3．一元二次不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【难度】0.94
【知识点】解不含参数的一元二次不等式
【详解】因为，
所以方程无实数根，
所以二次函数的图象全都在轴的上方，
所以一元二次不等式的解集为.
故选：C
4．已知，，，则的最小值为（ ）
A．9 B． C．4 D．6
【答案】B
【难度】0.94
【知识点】条件等式求最值、基本不等式“1”的妙用求最值
【分析】利用“1”的妙用，结合基本不等式即可求解.
【详解】因为，
所以，
当且仅当，且，即时等号成立，
故的最小值为，
故选：B
5．不等式的解集是，则的解集是（ ）
A． B．
C．或 D．或
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】解不含参数的一元二次不等式、由一元二次不等式的解确定参数
【分析】首先根据不等式的解集求出的值，可求出的解集.
【详解】因为不等式的解集是，
所以是方程的两个根.
所以，解得.
所以不等式化简得.
所以.
故选：B.
6．，不等式恒成立，则的最小值为（ ）
A．6 B． C． D．
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】一元二次不等式在实数集上恒成立问题、基本不等式求和的最小值
【分析】先根据一元二次不等式恒成立得出，再应用基本不等式计算求解.
【详解】因为，不等式恒成立，
当时，不恒成立，不合题意；
当时，满足且，
即，所以，所以，
所以，，
当且仅当即，取的最小值为.
故选：B.
7．已知，则的最大值为（ ）
A． B．0 C．4 D．
【答案】D
【难度】0.85
【知识点】基本不等式求和的最小值
【分析】将原式变形，再结合基本不等式代入计算，即可得到结果.
【详解】因为，则，所以，
，
当且仅当时，即时，等号成立，
所以的最大值为.
故选：D
8．已知命题；，则是的（ ）
A．充分而非必要条件 B．必要而非充分条件
C．充要条件 D．既非充分又非必要条件
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】判断命题的必要不充分条件、解不含参数的一元二次不等式
【分析】解不等式，求得不等式的解，利用充分条件，必要条件的定义可得结论.
【详解】由，得，解得，
由，得，解得，
所以，反之不成立，
所以是的必要而非充分条件.
故选：B.
（多选题）9．设正实数m、n满足，则（ ）
A．的最大值为1 B．的最小值为2
C．的最小值为2 D．的最小值为
【答案】ABD
【难度】0.65
【知识点】基本不等式求积的最大值、基本不等式“1”的妙用求最值、基本不等式求和的最小值
【分析】利用基本不等式求最值可判断ABC，利用代换1法求最小值可判断D.
【详解】因为正实数m、n满足，所以由基本不等式可得，当且仅当时取到等号，故A正确；
又由基本不等式可得，当且仅当时取到等号，故B正确；
又由基本不等式可得，当且仅当时取到等号，故C错误；
由，当且仅当时取到等号，故D正确；
故选：ABD.
（多选题）10．若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【难度】0.65
【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确、由不等式的性质比较数（式）大小、基本不等式求和的最小值
【分析】举反例证明选项A，利用不等式的性质证明选项B，利用基本不等式证明选项C，利用不等式的性质证明选项D.
【详解】因为，所以，所以，即，故A错误；
因为，所以，故B正确；
由，得，，所以，
当且仅当，即时等号成立，
因为，所以等号不成立，故，故C正确；
因为，所以，
所以，所以，
所以，即，故D错误.
故选：BC.
11．已知，则的范围是 ．
【答案】
【难度】0.85
【知识点】基本不等式求积的最大值
【分析】利用重要不等式即可求解.
【详解】由，可得，所以，
当且仅当时，等号成立，所以，
所以的范围是.
故答案为：.
12．不等式的解集为 ．
【答案】或.
【难度】0.85
【知识点】解不含参数的一元二次不等式、分式不等式
【分析】将分式不等式化成一元二次不等式，求解即得.
【详解】等价于，即，
解得或，即原不等式的解集为：或.
故答案为：或.
13．不等式的解集为 ．
【答案】
【难度】0.65
【知识点】解不含参数的一元二次不等式、分式不等式
【分析】应用分式不等式的解法得，解一元二次不等式求解集.
【详解】由题设，而，
所以，则，即解集为.
故答案为：
14．已知集合.
(1)若，求；
(2)若，求的取值范围.
【答案】(1)；
(2).
【难度】0.65
【知识点】根据交集结果求集合或参数、解含有参数的一元二次不等式、并集的概念及运算、解不含参数的一元二次不等式
【分析】（1）分别求解集合中的不等式，然后求它们的并集.
（2）首先判断集合的关系，然后分为空集和非空集两种情况讨论的范围.
【详解】（1）由，
若， 则，
，
故；
（2），
即，
①当时，，即， 此时成立， 符合题意；
②当时，需满足：，解得．
综上，．
15．（1）证明：，
（2）解关于的不等式：
【答案】（1）证明见解析；（2）答案见解析.
【难度】0.65
【知识点】解含有参数的一元二次不等式、由基本不等式证明不等关系
【分析】（1）作差法比较左右两边式子的大小，结合基本不等式证明.
（2）先分、讨论，时又分、考虑，结合两个根的大小关系进行讨论.
【详解】（1）
，，
又，，
即，得证.
（2）原不等式可化为，
①若，则不等式化为，即，
此时原不等式解集为；
②若，则，且，
所以原不等式解集为；
③若，则，
i），即，原不等式解集为；
ii），即，原不等式解集为；
iii），即，原不等式解集为；
综上所述：当时，不等式解集为，
当时，不等式解集为，
当时，不等式解集为，
当时，不等式解集为，
当时，不等式解集为.
16．（1）已知实数、满足，.求的取值范围.
（2）已知，求的最小值.
【答案】（1）；（2）.
【难度】0.85
【知识点】利用不等式求值或取值范围、基本不等式求和的最小值
【分析】（1）利用待定系数法得出，再利用不等式的基本性质可求得的取值范围；
（2）由已知条件得出，结合基本不等式可求得的最小值.
【详解】（1）设，其中、，
所以，解得，，即，
因为，，所以，，
由不等式的基本性质可得，即，
因此，的取值范围是；
（2）因为，即，即，
由基本不等式可得，
所以，
当且仅当时，即当时，等号成立，
故的最小值为.
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