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第06讲 集合与常用逻辑用语 章末复习
内容导航——预习三步曲
第一步：学
析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习
练习题 讲典例：教材习题学解题、快速掌握解题方法
练考点 强知识：5大核心考点精准练
第二步：记
串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握
第三步：测
过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升
知识点1 集合
1．集合的相关概念
(1)集合元素的三个特性：确定性、互异性、无序性．
(2)元素与集合的关系：若a属于集合A，记作a∈A；若b不属于集合A，记作b A.
(3)集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法．
(4)五个特定的集合：
集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集
符号 N*或N＋
2．集合间的基本关系
　　表示 关系　　 文字语言 记法
集合间的基本关系 子集 集合A中任意一个元素都是集合B中的元素 A B或B A
真子集 集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A AB或 BA
相等 集合A中的每一个元素都是集合B中的元素，集合B中的每一个元素也都是集合A中的元素 A B且B A A＝B
空集 空集是任何集合的子集 A
空集是任何非空集合的真子集 B且B≠
3．集合的三种基本运算
文字语言 图形表示 符号语言
集合的并集 所有属于集合A或者属于集合B的元素构成的集合 A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}
集合的交集 所有属于集合A且属于集合B的元素构成的集合 A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}
集合的补集 全集U中不属于集合A的所有元素构成的集合 UA＝{x|x∈U，且x A}
4.集合基本运算的常见性质
(1)并集的性质：A∪ ＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A B A.
(2)交集的性质：A∩ ＝ ；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A A B.
(3)补集的性质：A∪( UA)＝U；A∩( UA)＝ ；
U( UA)＝A； U(A∩B)＝( UA)∪( UB)； U(A∪B)＝( UA)∩( UB)．
知识点2 充分条件与必要条件
1．命题的概念
用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．
2．充分条件与必要条件的相关概念
记p，q对应的集合分别为A，B，则
p是q的充分条件 p q A B
p是q的必要条件 q p A B
p是q的充要条件 p q且q p A＝B
p是q的充分不必要条件 p q且qp AB
p是q的必要不充分条件 pq且q p AB
p是q的既不充分条件也不必要条件 pq且qp AB且A B
3.熟记常用结论
．充分条件与必要条件的两个特征
(1)对称性：若p是q的充分条件，则q是p的必要条件，即“p q” “q p”．
(2)传递性：若p是q的充分(必要)条件，q是r的充分(必要)条件，则p是r的充分(必要)条件，即“p q且q r” “p r”(“p q且q r” “p r”)．
知识点3 全称量词与存在量词
1．全称量词与存在量词
量词名称 常见量词 表示符号
全称量词 命题 所有、一切、任意、全部、每一个等
存在量词命题 存在一个、至少有一个、有一个、某个、有些、某些等
2．全称量词命题与存在量词命题
命题名称 命题结构 命题简记
全称量词 命题 对M中任意一个x，有p(x)成立 x∈M，p(x)
存在量词命题 存在M中的一个x0，使p(x0)成立 x0∈M，p(x0)
3．全称量词命题、存在量词命题及含一个量词的命题的否定
命题 名称 语言表示 符号表示 命题的否定
全称量词 命题 对M中任意一个x，有p(x)成立 x∈M， p(x) x0∈M，p(x0)
存在量词命题 存在M中的一个x0，使p(x0)成立 x0∈M， p(x0) x∈M，p(x)
已知全集，，，那么是（ ） A． B． C． D．
已知集合，． (1)当时，求，； (2)求能使成立的实数的取值范围．
已知：，：．若是的充分而不必要条件，求的取值范围．
1．已知集合，且，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知集合，，记且.则 ， .
4．已知集合．
(1)若，求集合；
(2)若集合中各元素之和等于，求实数的值，并用列举法表示集合．
1．已知集合，若，则所有的取值构成的集合为（ ）
A． B． C． D．
2．已知集合，，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．若 ，则集合M的个数是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
4．.设，，若，则实数的取值范围为 ．
1．已知集合，且，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．已知集合，，，则中的元素个数至少为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
3．已知集合，则 （ ）
A． B． C． D．
4．已知，若，那么符合条件的集合S的个数是（ ）
A．4 B．10 C．11 D．12
5．已知非空集合，，，则实数a的取值范围为 .
1．已知和，且p是q的必要条件，则实数m的值为（ ）
A．0 B．2或 C．或 D．0或或
2．已知，若p是q的充分条件，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．下列命题中，为假命题的是（ ）
A．“”是“”的必要条件 B．“”是“”的充分条件
C．“”的充要条件是“” D．“”是“”的必要条件
4．已知．
（1）若p是q的必要不充分条件，则实数m的取值范围是 ；
（2）若仅有一个整数使得“p不成立，且q成立”，则实数m的取值范围是 ．
1．命题“”为假命题的一个必要不充分条件是（ ）
A． B． C． D．
2．下列命题中全称量词命题的个数是（ ）
①任意一个自然数都是正整数；
②有的平行四边形也是菱形；
③n边形的内角和是．
A．0 B．1 C．2 D．3
3．已知“”为真命题，“”为真命题，那么p，q的取值范围分别是（ ）
A． B． C． D．
4．命题“”的否定是（ ）
A． B．
C． D．
1．集合的概念
2．集合间的基本关系
3．集合的基本关系
4．充分条件与必要条件
5．全称量词与存在量词
1．下列命题为真命题的是（ ）
A．若a，b都是有理数，则是有理数 B．若a，b都是无理数，则是无理数
C．若，则 D．若是小数}，则
2．若集合，，则（ ）
A． B． C． D．
3．定义集合的“对称差集”:且.已知集合， 下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．若，则
4．对于非空数集，用表示中所有元素之和.若非空集合，满足且，则称，为的一个划分.已知且，称为的一个划分，则的最大值为（ ）
A．2 B．3 C．5 D．6
5．已知集合的子集B满足：对任意x，，有，则集合B中元素个数的最大值是（ ）.
A．506 B．507 C．1012 D．1013
6．已知，且，则（ ）
A．0 B． C．0或3 D．或3
7．设集合，A是S的一个子集．若对任意，总有，则A中元素个数的最大值是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
8．命题“存在偶数a，使数据3，4，1，a，5，7的中位数是偶数”的否定为（ ）
A．对任意的偶数a，数据3，4，1，a，5，7的中位数是奇数
B．对任意的偶数a，数据3，4，1，a，5，7的中位数不是偶数
C．存在奇数a，使数据3，4，1，a，5，7的中位数是奇数
D．不存在奇数a，使数据3，4，1，a，5，7的中位数不是偶数
9．若，则以下正确的是（ ）
A． B． C． D．
10．(多选)已知集合，，且，则实数的值可以为（ ）
A． B． C． D．
11．(多选)下列关于集合的描述，正确的是（ ）
A．偶数集用描述法可以表示为
B．方程组的解集可表示为
C．方程的解构成的集合，用列举法可表示为
D．集合与集合交集为空集
12．(多选)已知整数集，或，若存在，使得，，，则称集合具有性质，则（ ）
A．若，则具有性质 B．若，则具有性质
C．若，则一定具有性质 D．若，则一定具有性质
13．(多选)给定，若集合，且存在，满足，则称P为“广义等差集合”．记P的元素个数为，则（ ）
A．是“广义等差集合”
B．是“广义等差集合”
C．若P不是“广义等差集合”，当时，的最大值为4
D．若P不是“广义等差集合”，若的最大值为4，则n可以是13
14．设A是非空实数集，且.若对于任意的，都有，则称集合A具有性质；若对于任意的，都有，则称集合A具有性质.
(1)写出一个恰含有两个元素且具有性质的集合A；
(2)若非空实数集A具有性质，求证：集合A具有性质.
15．(判断题)在集合中，可用符号表示为．( )
16．(判断题)判断下列结论是否正确（请在括号中填“正确”或“错误”）
（1）集合，用列举法表示为．( )
（2）．( )
（3）若，则或．( )
（4）对任意集合，都有．( )
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第06讲 集合与常用逻辑用语 章末复习
内容导航——预习三步曲
第一步：学
析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习
练习题 讲典例：教材习题学解题、快速掌握解题方法
练考点 强知识：5大核心考点精准练
第二步：记
串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握
第三步：测
过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升
知识点1 集合
1．集合的相关概念
(1)集合元素的三个特性：确定性、互异性、无序性．
(2)元素与集合的关系：若a属于集合A，记作a∈A；若b不属于集合A，记作b A.
(3)集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法．
(4)五个特定的集合：
集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集
符号 N*或N＋
2．集合间的基本关系
　　表示 关系　　 文字语言 记法
集合间的基本关系 子集 集合A中任意一个元素都是集合B中的元素 A B或B A
真子集 集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A AB或 BA
相等 集合A中的每一个元素都是集合B中的元素，集合B中的每一个元素也都是集合A中的元素 A B且B A A＝B
空集 空集是任何集合的子集 A
空集是任何非空集合的真子集 B且B≠
3．集合的三种基本运算
文字语言 图形表示 符号语言
集合的并集 所有属于集合A或者属于集合B的元素构成的集合 A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}
集合的交集 所有属于集合A且属于集合B的元素构成的集合 A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}
集合的补集 全集U中不属于集合A的所有元素构成的集合 UA＝{x|x∈U，且x A}
4.集合基本运算的常见性质
(1)并集的性质：A∪ ＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A B A.
(2)交集的性质：A∩ ＝ ；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A A B.
(3)补集的性质：A∪( UA)＝U；A∩( UA)＝ ；
U( UA)＝A； U(A∩B)＝( UA)∪( UB)； U(A∪B)＝( UA)∩( UB)．
知识点2 充分条件与必要条件
1．命题的概念
用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．
2．充分条件与必要条件的相关概念
记p，q对应的集合分别为A，B，则
p是q的充分条件 p q A B
p是q的必要条件 q p A B
p是q的充要条件 p q且q p A＝B
p是q的充分不必要条件 p q且qp AB
p是q的必要不充分条件 pq且q p AB
p是q的既不充分条件也不必要条件 pq且qp AB且A B
3.熟记常用结论
．充分条件与必要条件的两个特征
(1)对称性：若p是q的充分条件，则q是p的必要条件，即“p q” “q p”．
(2)传递性：若p是q的充分(必要)条件，q是r的充分(必要)条件，则p是r的充分(必要)条件，即“p q且q r” “p r”(“p q且q r” “p r”)．
知识点3 全称量词与存在量词
1．全称量词与存在量词
量词名称 常见量词 表示符号
全称量词 命题 所有、一切、任意、全部、每一个等
存在量词命题 存在一个、至少有一个、有一个、某个、有些、某些等
2．全称量词命题与存在量词命题
命题名称 命题结构 命题简记
全称量词 命题 对M中任意一个x，有p(x)成立 x∈M，p(x)
存在量词命题 存在M中的一个x0，使p(x0)成立 x0∈M，p(x0)
3．全称量词命题、存在量词命题及含一个量词的命题的否定
命题 名称 语言表示 符号表示 命题的否定
全称量词 命题 对M中任意一个x，有p(x)成立 x∈M， p(x) x0∈M，p(x0)
存在量词命题 存在M中的一个x0，使p(x0)成立 x0∈M， p(x0) x∈M，p(x)
教材习题01 已知全集，，，那么是（ ） A． B． C． D． 解题方法 由题可得，全集 对于选项A，，不符合题意； 对于选项B，，，不符合题意； 对于选项C，，不符合题意； 对于选项D，，符合题意；
【答案】D
教材习题02 已知集合，． (1)当时，求，； (2)求能使成立的实数的取值范围． 解题方法 （1）当时，集合，， 所以，. （2）由，可知， 则，解得， 故实数的取值范围为．
【答案】(1)， (2)
教材习题03 已知：，：．若是的充分而不必要条件，求的取值范围． 解题方法 由题意，命题，， 因为是的充分而不必要条件，即是的充分而不必要条件， 即命题是命题的真子集， 则满足且等号不能同时成立，解得， 所以实数的取值范围为.
【答案】
考点一 集合的概念
1．已知集合，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】A选项，因为，可设，
，
所以，即，故A错误；
B选项，因为，
所以，故B错误；
C选项，因为，其中，所以，故C正确；
D选项，因为，其中，所以，故D错误．
故选：C
（多选题）2．若，则，就称A是伙伴关系集合．集合的所有非空子集中具有伙伴关系的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BCD
【详解】因为伙伴关系集合满足与，
所以集合的所有非空子集中具有伙伴关系的是，BCD符合题意，
而不是的子集，不符合题意．
故选：BCD.
3．已知集合，，记且.则 ， .
【答案】
【详解】由及可得可能的取值有1，2，3，6，即，4，3，0，故.因为且，所以；又且，则.
4．已知集合．
(1)若，求集合；
(2)若集合中各元素之和等于，求实数的值，并用列举法表示集合．
【答案】(1)
(2)答案见解析
【详解】（1）当时，，
解得或或，故．
（2）因为，
解该方程可得或或．
根据集合中元素的互异性知当方程有重根时，
重根只能算作集合的一个元素，
当时，可得，不符合题意；
当，即时，可得，符合题意；
当且时，，则，
解得，此时，符合题意．
综上，实数的值为或；
当时，；当时，．
考点二 集合间的基本关系
1．已知集合，若，则所有的取值构成的集合为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】，，
故当时，易求；
当时，由得，或,
所以所有的取值构成的集合为，
故选：C.
2．已知集合，，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】因为，所以，解得．所以的取值范围是．
故选：A.
3．若 ，则集合M的个数是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【详解】因为为M的真子集，所以，且M中至少还有一个元素．又，所以或或，故满足条件的集合M有3个．
4．.设，，若，则实数的取值范围为 ．
【答案】
【详解】由在上是增函数，得，
即．
作出的图像，该函数定义域右端点有三种不同情况，如图所示：
①当时，，即，
要使，必须且只需，得，与矛盾．
②当时，，即，
要使，由图可知：必须且只需解得．
③当时，，即，
要使，必须且只需解得．
④当时，，此时，则成立．
综上所述，的取值范围是．
故答案为：
考点三 集合的基本运算
1．已知集合，且，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由得或．又，所以，故．
2．已知集合，，，则中的元素个数至少为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【详解】由中元素的互异性，得，即且，
而，则当且时，与均互异，
因此中至少有元素，取，此时，有4个元素，
∴ 中的元素个数至少为4个.
故选：C
3．已知集合，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】因为，所以，故A正确.
故选：A
4．已知，若，那么符合条件的集合S的个数是（ ）
A．4 B．10 C．11 D．12
【答案】D
【详解】解法1 由题意知S所有可能的集合为，，则符合条件的集合S的个数为12．
解法2 由题意，集合，若，则，此时集合S的个数为，所以当时，可得集合S的个数为．
5．已知非空集合，，，则实数a的取值范围为 .
【答案】
【详解】因为A为非空集合，则，
解得；，
若，则，
则或，
解得或，又，
综上所述，实数a的取值范围为.
故答案为：.
考点四 充分条件与必要条件
1．已知和，且p是q的必要条件，则实数m的值为（ ）
A．0 B．2或 C．或 D．0或或
【答案】D
【详解】解法1 ．因为p是q的必要条件，所以 ．当，即时，符合题意；当时，由 ，得或，解得或．综上所述，m的值为0或或．
解法2（代入法） ，当时，，符合题意；当时，；当时，，均满足题意．
2．已知，若p是q的充分条件，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由，得，若p是q的充分条件，则，故．
3．下列命题中，为假命题的是（ ）
A．“”是“”的必要条件 B．“”是“”的充分条件
C．“”的充要条件是“” D．“”是“”的必要条件
【答案】D
【详解】因为，所以“”是“”的必要条件，A是真命题；因为，所以“”是“”的充分条件，B是真命题；因为，C是真命题；因为，所以“”是“”的充分条件，D是假命题．
4．已知．
（1）若p是q的必要不充分条件，则实数m的取值范围是 ；
（2）若仅有一个整数使得“p不成立，且q成立”，则实数m的取值范围是 ．
【答案】
【详解】设条件p对应集合A，条件q对应集合B，则．（1）由题得集合B是集合A的真子集，当时，有，此时；当时，有此时，所以实数m的取值范围是．（2）或．由题意知，所以．若中只有一个整数，则，得．
考点五 全称量词与存在量词
1．命题“”为假命题的一个必要不充分条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】命题的否定为：“”
若该命题为真命题得，所以，
所以为该命题的一个必要不充分条件，
故选：C.
2．下列命题中全称量词命题的个数是（ ）
①任意一个自然数都是正整数；
②有的平行四边形也是菱形；
③n边形的内角和是．
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【详解】①③是全称量词命题．
3．已知“”为真命题，“”为真命题，那么p，q的取值范围分别是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】“”为真命题，则，“”为真命题，则．
4．命题“”的否定是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】命题“”的否定是“”.
故选：D.
知识导图记忆
知识目标复核
1．集合的概念
2．集合间的基本关系
3．集合的基本关系
4．充分条件与必要条件
5．全称量词与存在量词
1．下列命题为真命题的是（ ）
A．若a，b都是有理数，则是有理数 B．若a，b都是无理数，则是无理数
C．若，则 D．若是小数}，则
【答案】A
【难度】0.85
【知识点】判断命题的真假
【详解】A正确；B中可取互为相反数的两个无理数，易知B错误；C，D显然错误．
2．若集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【难度】0.85
【知识点】判断两个集合的包含关系、补集的概念及运算、并集的概念及运算、解不含参数的一元二次不等式
【分析】先求集合，根据即可的基本关系和运算即可求解.
【详解】依题意得，，所以.
均不成立，,ABC错误
故选：D.
3．定义集合的“对称差集”:且.已知集合， 下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．若，则
【答案】A
【难度】0.85
【知识点】集合新定义
【分析】根据题设新定义的概念以及集合的基本运算法则计算即可得结果.
【详解】对于A，由，则，
所以，故A正确；
对于B，由，所以，故B错误；
对于C,由，则，
由，，则，
所以，，则，
所以，故C错误；
对于D，当时，结合选项B知，，故D错误.
故选：A.
4．对于非空数集，用表示中所有元素之和.若非空集合，满足且，则称，为的一个划分.已知且，称为的一个划分，则的最大值为（ ）
A．2 B．3 C．5 D．6
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】根据并集结果求集合或参数、集合新定义、根据交集结果求集合或参数
【分析】依题意可得，令，则，再分、、三种情况讨论，分别求出的值（范围），即可得解.
【详解】因为，
且，即，
令，则，
所以，
当时，；
当时，；
当时，；
为了使，需将正数尽可能的分配给，负数分配给，
如，，
此时，，此时，
所以的最大值为.
故选：C
5．已知集合的子集B满足：对任意x，，有，则集合B中元素个数的最大值是（ ）.
A．506 B．507 C．1012 D．1013
【答案】C
【难度】0.4
【知识点】集合新定义
【分析】假设中的最大元素为，再将其余元素分组，再结合抽屉原理即可得解.
【详解】假设中的最大元素为，
将其余元素分组：，，，…，，共组，
一定不包含.
若中元素多于个，由抽屉原理可知，必有两个数在同一组，两个数的和为，与条件矛盾.
所以中元素不能多于个.
所以当时，中元素个数最多，为个.
故选：C
【点睛】关键点点睛：解决本题的关键在于对不等关系进行等价转化，找出便于理解的处理方式，当然此题解法不唯一，可以讨论极限情况，可以分类列举观察规律.
6．已知，且，则（ ）
A．0 B． C．0或3 D．或3
【答案】D
【难度】0.94
【知识点】根据集合相等关系进行计算
【分析】分，两种情况解方程，可求的值.
【详解】由题意知n为方程的根，当时，；
当时，一元二次方程有两个相同的根，则，解得，
此时，即．
综上所述：或．
故选：D．
7．设集合，A是S的一个子集．若对任意，总有，则A中元素个数的最大值是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】A
【难度】0.4
【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数、集合新定义
【分析】由奇数一奇数＝偶数，要使A中元素的个数最多，则集合A中应可以取所有的奇数即可．
【详解】因为A是S的一个子集，记，
而奇数一奇数＝偶数，偶数－偶数＝偶数，奇数与偶数的差为奇数，
若对任意总有，
要使A中元素的个数最多，则集合A中应可以取所有的奇数即可，
即，得集合A中元素个数的最大值为：5．
故选：A
8．命题“存在偶数a，使数据3，4，1，a，5，7的中位数是偶数”的否定为（ ）
A．对任意的偶数a，数据3，4，1，a，5，7的中位数是奇数
B．对任意的偶数a，数据3，4，1，a，5，7的中位数不是偶数
C．存在奇数a，使数据3，4，1，a，5，7的中位数是奇数
D．不存在奇数a，使数据3，4，1，a，5，7的中位数不是偶数
【答案】B
【难度】0.94
【知识点】特称命题的否定及其真假判断
【分析】根据特称命题的否定是全称命题判断即可.
【详解】命题“存在偶数a，使数据3，4，1，a，5，7的中位数是偶数”的否定为“对任意的偶数a，数据3，4，1，a，5，7的中位数不是偶数”.
故选：B
9．若，则以下正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【难度】0.94
【知识点】判断元素与集合的关系、判断两个集合的包含关系
【分析】根据元素与集合、集合与集合间的关系判断即可
【详解】对于A，为元素，为集合，所以，故A错误；
对于B，为集合，为集合，且，所以，故B正确；
对于C，为集合，是有序数对，故C错误；
对于D，为集合，为集合，且，故，故D错误.
故选：B
10．(多选)已知集合，，且，则实数的值可以为（ ）
A． B． C． D．
【答案】BCD
【难度】0.94
【知识点】根据集合的包含关系求参数
【分析】分情况讨论当和时，列方程解方程即可.
【详解】当时，满足，此时；
当时，，此时，
因为，所以或，
即；或
综上所述，或或，
故选：BCD.
11．(多选)下列关于集合的描述，正确的是（ ）
A．偶数集用描述法可以表示为
B．方程组的解集可表示为
C．方程的解构成的集合，用列举法可表示为
D．集合与集合交集为空集
【答案】AC
【难度】0.85
【知识点】描述法表示集合、交集的概念及运算、列举法表示集合
【分析】对A根据偶数特点即可判断；对B，代入即可判断；对C，直接解出一元二次方程即可；对D，分别得出他们均表示集合即可判断.
【详解】对A，根据偶数的特点和描述法的特征知偶数用描述法可以表示为，故A正确；
对B，若，则不适合第二个方程，
若，则不适合第一个方程，故B错误；
对C，，解得或，则用列举法可表示为，故C正确；
对D，，，则其交集为，则D错误.
故选：AC.
12．(多选)已知整数集，或，若存在，使得，，，则称集合具有性质，则（ ）
A．若，则具有性质 B．若，则具有性质
C．若，则一定具有性质 D．若，则一定具有性质
【答案】BCD
【难度】0.65
【知识点】集合新定义
【分析】根据已知条件新定义逐个分析即可．
【详解】对A选项，若，则 , 因为，故不可能存在满足题意，A错误；
对B选项，若 ，则， 则当 时， A 具有性质, B正确；
对C选项，将整数分成这五类， 依次记为集合 C、D 、 E 、 F 、 G ,
当 时，肯定是这5类中的一类， 如果四个属于的集合各不相同，
比如 ，那么肯定是5的倍数，且，满足 的定义，
如果四个中有两个或者以上元素属于同一个集合，
比如 ，则也是5的倍数，故C正确；
对 D 选项，
将整数分成这10类，
依次记为集合，当时，分别是这10类中的一类，
分两类情况，如果七个属于的集合各不相同，
比如，
那么肯定是10的倍数，且，满足的定义，
如果七个属于的集合中有两个或者以上元素属于同一个集合，
比如 ，则也是10的倍数，且，满足的定义，
故D正确．
故选：BCD.
13．(多选)给定，若集合，且存在，满足，则称P为“广义等差集合”．记P的元素个数为，则（ ）
A．是“广义等差集合”
B．是“广义等差集合”
C．若P不是“广义等差集合”，当时，的最大值为4
D．若P不是“广义等差集合”，若的最大值为4，则n可以是13
【答案】ABC
【难度】0.65
【知识点】集合新定义
【分析】根据“广义等差集合”的定义即可列举求解AB,举反例即可求解D，根据时，设，利用裂项相消得矛盾求解C.
【详解】对于A, 取，则符合“广义等差集合”的定义，故A正确，
对于B，取故B正确，
对于C，当时，，如时，设，
由题意可知两两不相同，则矛盾，故，当时，取,满足P不是“广义等差集合”，故的最大值为4，故C正确，
对于D,当时，取，这与矛盾，故D错误，
故选：ABC
【点睛】方法点睛：对于以集合为背景的新定义问题的求解策略：
1、紧扣新定义，首先分析新定义的特点，把心定义所叙述的问题的本质弄清楚，应用到具体的解题过程中；
2、用好集合的性质，解题时要善于从试题中发现可以使用的集合的性质的一些因素.
3、涉及有交叉集合的元素个数问题往往可采用维恩图法，基于课标要求的，对于集合问题，要熟练基本的概念，数学阅读技能、推理能力，以及数学抽象和逻辑推理能力.
14．设A是非空实数集，且.若对于任意的，都有，则称集合A具有性质；若对于任意的，都有，则称集合A具有性质.
(1)写出一个恰含有两个元素且具有性质的集合A；
(2)若非空实数集A具有性质，求证：集合A具有性质.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【难度】0.4
【知识点】判断元素与集合的关系、集合综合
【分析】（1）根据题意直接写出即可；
（2）根据性质可知，分别说明集合A中元素为1个、2个、大于2个时，集合中元素满足性质即可．
【详解】（1）由，可得恰含有两个元素且具有性质的集合；
（2）若集合A具有性质，不妨设，
由非空数集A具有性质，有．
①若，易知此时集合A具有性质．
②若实数集A只含有两个元素，不妨设，
由，且，解得：，此时集合A具有性质．
③若实数集A含有两个以上的元素，不妨设不为1的元素，
则有，由于集合A具有性质，
所以有，这说明集合A具有性质；
综合以上可知集合A具有性质.
15．(判断题)在集合中，可用符号表示为．( )
【答案】错误
【难度】0.94
【知识点】判断元素与集合的关系
【分析】根据元素与集合的关系判断即可.
【详解】在集合中，可用符号表示为.
故答案为：错误.
16．(判断题)判断下列结论是否正确（请在括号中填“正确”或“错误”）
（1）集合，用列举法表示为．( )
（2）．( )
（3）若，则或．( )
（4）对任意集合，都有．( )
【答案】 错误 错误 错误 正确
【难度】0.94
【知识点】判断元素与集合的关系、列举法表示集合、交集的概念及运算、并集的概念及运算
【分析】根据数集的特性可判断（1）；根据集合的研究元素以及取值范围可判断（2）；根据集合元素的互异性可判断（3）；根据集合间的运算可得到（4）.
【详解】（1）是自然数集，，该说法错误；
（2）对于集合，；对于集合，；
对于集合研究的元素为点的坐标，该三个集合不相等，所以该说法错误；
（3）时，不满足集合元素的互异性，该说法错误；
（4）对任意集合，都有，该说法正确.
故答案为：错误；错误；错误；正确.
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