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第16讲 指数及其指数运算
内容导航——预习三步曲
第一步：学
析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习
练习题 讲典例：教材习题学解题、快速掌握解题方法
练考点 强知识：5大核心考点精准练
第二步：记
串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握
第三步：测
过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升
知识点1根式
(1)概念：式子叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数.
(2)性质：()n＝a (a＞0使有意义)；
当n为奇数时，＝a，
当n为偶数时，＝|a|＝
知识点2 分数指数幂
规定：正数的正分数指数幂的意义是＝ (a>0，m，n∈N*，且n>1)；
正数的负分数指数幂的意义是＝ (a>0，m，n∈N*，且n>1)；
0的正分数指数幂等于0；
0的负分数指数幂没有意义.
有理指数幂的运算性质：
aras＝ar+s；
(ar)s＝ars；
(ab)r＝arbr，其中a>0，b>0，r，s∈Q.
知识点3 指数的运算和逆运算
指数幂的运算中常用的乘法公式
完全平方公式：
平方差公式：；
立方差公式：；
立方和公式：；
完全立方公式：
指数的运算和逆运算，遇到多重根号问题，需要先写成指数形式：
例： .
指数的逆运算过程：
.
教材习题01 已知，，求的值． 解题方法 因为， 所以， 故可得.
【答案】
教材习题02 计算： (1)； (2)． 解题方法 （1） . （2） .
【答案】(1) (2)
教材习题03 把下列各式中的写成负分数指数幂的形式： (1)； (2)； (3)． 解题方法 （1），； （2），； （3），．
【答案】(1) (2) (3)
考点一 指数与指数幂的运算
1．填空：
（1）27的3次方根表示为 ；
（2）的3次方根表示为 ；
（3）16的4次方根表示为 ．
【答案】
【分析】根据次方根的定义求解即可.
【详解】（1）27的3次方根表示为；
（2）的3次方根表示为；
（3）16的4次方根表示为.
故答案为：，，
2．计算：
(1)；
(2).
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）（2）根据分数指数幂的运算法则化简求值即可；
【详解】（1）.
（2）.
3．已知，求下列各式的值：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)或
【分析】根据有理指数幂的运算性质，结合完全平方式和立方和（差）的公式，准确运算，即可求解.
【详解】（1）因为，
由，所以.
（2）因为，
由，所以.
（3）因为，且，
由.
（4）因为，且，由，
当时，可得；
当时，可得.
4．化简（式中的字母均为正实数）：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】结合有理指数幂的运算法则和运算性质，准确化简，即可求解.
【详解】（1）根据指数幂的运算法则，可得：
.
（2）根据指数幂的运算法则，可得.
5．用分数指数幂表示下列各式（式中的字母均为正实数）：
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）（2）根据分数指数幂和根式的关系进行求解；（3）根据分数指数幂和根式的关系和分数指数幂的运算法则计算出答案.
【详解】（1）
（2）
（3）
考点二 根式的化简求职
1．化简： .
【答案】
【分析】根据根式与分数指数幂的互化即可得出答案.
【详解】解：.
故答案为：
2．计算： .
【答案】
【分析】找到一个数，它的5次方等于32，显然结果为
【详解】因为，所以.
故答案为：.
3．计算：．
【答案】.
【分析】根据给定条件利用根式及指数运算法则计算作答.
【详解】原式=.
4．化简：
（1）（）；
（2）；
（3）（）；
（4）（）.
【答案】（1），（2），（3），（4）1
【分析】利用根式的性质逐个化简计算即可
【详解】（1）因为，所以，
所以，
（2），
（3）因为，所以，
所以，
（4）因为，所以，
所以
5．求下列各式的值：
（1）；（2）；（3）；（4）.
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）.
【解析】利用根式的性质逐一对（1）（2）（3）（4）中各式化简即可.
【详解】（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
【点睛】本题考查利用根式的性质化简计算，考查计算能力，属于基础题.
考点三 无理数指数幂的运算
1．用分数指数幂的形式表示下列各式（）：
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】利用分数指数幂与根式的互化公式，结合指数幂的运算法则对（1）（2）（3）进行求解即可.
【详解】（1）；
（2）
（3）．
2．求下列各式的值（式中字母都是正数）：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)．
【答案】(1)；
(2)；
(3)；
(4)
(5)
【分析】（1）（2）（5）利用幂的运算性质直接求解；（3）先把根式化为幂的结构，再利用幂的运算性质求解；（4）先把负指数幂化为分式，通分约分即可.
【详解】（1）.
（2）.
（3）.
（4）
（5）
3．已知，，对任意的实数，求证：．
【答案】证明过程见解析.
【分析】运用作差法，结合因式分解法、指数的运算性质的性质进行证明即可.
【详解】
因为，，所以，
因此，所以，
因此.
4．设，，求证：函数（）是奇函数.
【答案】证明见解析.
【分析】根据函数的奇偶性的定义可证明.
【详解】证明：对于任意，都有，
又因为，所以函数是奇函数.
5．设a，b是正数，下列各题中的两个代数式是否恒等？为什么？
（1）与；（2）与；
（3）与；（4）与.
【答案】（1）不恒等；（2）不恒等；（3）不恒等；（4）不恒等.
【分析】（1）根据指数幂的运算可得答案；
（2）根据指数幂的运算可得答案；
（3）根据指数幂的运算可得答案；
（4）当时验证可得答案.
【详解】（1）因为，，所以与不恒等；
（2）因为，所以与不恒等；
（3）因为，所以与不恒等；
（4）当时，，，所以与不恒等.
考点四 分数指数幂与根式的互化
1．设，m，n是正整数，且，则下列各式；；；正确的个数是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
【答案】A
【分析】利用指数幂的运算性质即可得出．
【详解】解：∵a＞0，m，n是正整数，且n＞1，
∴，正确，
显然a0＝1，正确，
而，∴正确，
故选：A．
2．利用分数指数幂计算：.
【答案】
【分析】先将根式形式化为分数指数幂形式，再直接利用立方差公式计算即可.
【详解】.
3．用分数指数幂表示下列各式：
（1）（）；（2）；
（3）；（4）（）；
（5）（）；（6）（）；
（7）；（8）（）.
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）.
【分析】直接将根式形式化为分数指数幂的形式.
【详解】（1）（）；
（2）；
（3）；
（4）（）；
（5）（）；
（6）（）；
（7）；
（8）（）
.
4．用根式的形式表示下列各式（）：
（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）.
【答案】答案见详解．
【分析】根据根式与分数指数幂互化公式一一求解即可．
【详解】（1）；（2）；（3）；
（4）；（5）；（6）．
5．用分数指数幂的形式表示下列各式（）：
（1）；
（2）；
（3）.
【答案】（1）；（2）；（3）.
【分析】（1）根据分数指数幂的定义和指数幂的运算可得答案；
（2）根据分数指数幂的定义和指数幂的运算可得答案；
（3）根据分数指数幂的定义和指数幂的运算可得答案.
【详解】（1）.
（2）.
（3）.
考点五 指数幂的化简求值
1．求下列各式的值：
(1)；
(2)；
(3)；
(4).
【答案】(1)10
(2)4
(3)
(4)27
【分析】（1）根据指数幂的运算公式求解即可；
（2）根据指数幂的运算公式求解即可；
（3）根据指数幂的运算公式求解即可；
（4）根据指数幂的运算公式求解即可；
【详解】（1）
（2）
（3）
（4）
2．已知，求的值．
【答案】
【分析】利用平方差公式先化简目标式，再代值计算即可.
【详解】因为，
故.
3．化简下列各式：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】利用指数幂运算性质，计算即可
【详解】（1）原式=
（2）原式=
4．若，求的值．
【答案】23.
【分析】根据给定条件利用指数运算变形计算作答.
【详解】因为，则有，
所以的值23.
5．已知，求下列各式的值：
（1）；
（2）；
（3）.
【答案】（1）7；（2）47；（3） 或.
【分析】根据式子的特点，联系完全平方式进行转化，即可求出答案.
【详解】，即 .
（1）;
（2）；
（3），故
或，
或.
知识导图记忆
知识目标复核
1．根式的定义
2．分数指数幂的运算
3．实数指数幂的运算性质
4. 无理数指数幂
一、单选题
1．已知函数，则（ ）
A． B． C．3 D．
【答案】C
【难度】0.94
【知识点】求分段函数解析式或求函数的值、指数幂的运算
【分析】根据分段函数的性质，根据定义域代入求分段函数值即可.
【详解】由题意知，
则.
故选：C.
2．下列各式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【难度】0.94
【知识点】指数幂的运算、指数幂的化简、求值
【分析】借助指数幂的运算法则计算即可得.
【详解】对A：，，故A正确；
对B：，故B错误；
对C：，故C错误；
对D：，故D错误.
故选：A．
3．若，，则下列式子值为的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【难度】0.94
【知识点】指数幂的运算
【分析】利用指数幂的运算性质化简可得结果.
【详解】因为，，所以，，
所以，
故选：C．
4．的分数指数幂表示为（ ）
A． B． C． D．都不对
【答案】A
【难度】0.85
【知识点】分数指数幂与根式的互化、指数幂的化简、求值
【详解】原式．
5．设，那么（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【难度】0.94
【知识点】指数幂的运算
【详解】由得①；由得②．得，得．
6．计算：（ ）
A．0 B．1 C．100 D．5
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】指数幂的运算、指数幂的化简、求值
【详解】原式．
7．满足，的有序实数组可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】指数幂的化简、求值
【分析】根据指数运算化简得，逐个选项分析即可判断.
【详解】记，则，
因为，所以，所以，
对于A，，故A错误；
对于B，，故B错误；
对于C，，故C错误；
对于D，，故D正确.
故选：D.
二、多选题
8．已知，下列各式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【难度】0.65
【知识点】指数幂的化简、求值
【分析】根据题目条件，结合完全平方公式、立方和公式逐项判断可得答案.
【详解】A.，故A正确；
B.，故B错误；
C.由可知，故，
因为，所以，故C正确；
D.因为，
又，所以原式，故D正确．
故选：ACD.
9．下列说法正确的是（ ）
A．的运算结果是
B．16的4次方根是2
C．当n为大于1的偶数时，只有当时才有意义
D．当n为大于1的奇数时，对任意都有意义
【答案】CD
【难度】0.85
【知识点】根式的化简求值
【详解】对于A，偶次根式的结果只能是正数，故A错误；对于B，正数的偶次方根的结果有正有负，故B错误；对于C，D，根据指数幂的运算法则可知C，D正确．
10．已知，则下列函数值计算正确的有（ ）
A． B． C． D．
【答案】CD
【难度】0.85
【知识点】求函数值、指数幂的运算
【详解】令，所以，无解，所以无意义，A错误；令，所以，所以，所以，B错误；令，所以，所以，所以，C正确；令，所以，所以，所以，D正确．
三、填空题
11．设函数，则 ．
【答案】/
【难度】0.94
【知识点】指数幂的运算、求分段函数值
【分析】代入计算即可.
【详解】.
故答案为：
12．若，则 ．
【答案】
【难度】0.85
【知识点】指数幂的运算、指数幂的化简、求值
【详解】，则．又，所以，所以．
13．从盛满1升纯酒精的容器中倒出升，然后用水填满，再倒出升，又用水填满，这样进行5次，则第5次倒出的纯酒精的升数为 ．
【答案】
【难度】0.85
【知识点】指数幂的运算
【详解】第一次倒出的酒精浓度为1，每次用水填满后的酒精浓度依次为，故每次倒出的纯酒精为，所以第5次倒出的纯酒精为．
14．某企业计划对生产线进行技术升级，第一年投入研发资金50万元，之后每年投入资金是上一年的1.2倍，则该企业连续8年投入研发的总资金是 万元.（结果保留整数）
【答案】825
【难度】0.85
【知识点】指数幂的运算
【分析】计算每一年投入的研发资金，加起来即可
【详解】第一年投入研发资金50万元，
第二年投入研发资金万元，
第三年投入研发资金万元，
第四年投入研发资金万元
第五年投入研发资金万元
第六年投入研发资金万元
第七年投入研发资金万元
第八年投入研发资金万元
所以该企业连续8年投入研发的总资金是万元
故答案为：825
四、解答题
15．完成下列式子的化简：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【难度】0.94
【知识点】指数幂的运算、指数幂的化简、求值
【详解】（1）原式；
（2）原式：．
16．计算下列各题：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【难度】0.85
【知识点】根式的化简求值
【分析】（1）利用根式的运算化简即可；
（2）利用根式的运算化简即可.
【详解】（1）．
（2）．
17．计算下列各式：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【难度】0.85
【知识点】指数幂的运算、指数幂的化简、求值
【分析】（1）利用指数运算性质即可得出；
（2）利用指数运算性质即可得出.
【详解】（1）原式．
（2）原式
．
18．用分数指数幂表示下列各式：
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)
(2)
(3)
【难度】0.65
【知识点】指数幂的运算、指数幂的化简、求值、分数指数幂与根式的互化
【分析】应用指数幂运算律计算求解；
【详解】（1）
（2）因为，，
所以
．
（3）因为，，
所以
．
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第16讲 指数及其指数运算
内容导航——预习三步曲
第一步：学
析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习
练习题 讲典例：教材习题学解题、快速掌握解题方法
练考点 强知识：5大核心考点精准练
第二步：记
串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握
第三步：测
过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升
知识点1根式
(1)概念：式子叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数.
(2)性质：()n＝a (a＞0使有意义)；
当n为奇数时，＝a，
当n为偶数时，＝|a|＝
知识点2 分数指数幂
规定：正数的正分数指数幂的意义是＝ (a>0，m，n∈N*，且n>1)；
正数的负分数指数幂的意义是＝ (a>0，m，n∈N*，且n>1)；
0的正分数指数幂等于0；
0的负分数指数幂没有意义.
有理指数幂的运算性质：
aras＝ar+s；
(ar)s＝ars；
(ab)r＝arbr，其中a>0，b>0，r，s∈Q.
知识点3 指数的运算和逆运算
指数幂的运算中常用的乘法公式
完全平方公式：
平方差公式：；
立方差公式：；
立方和公式：；
完全立方公式：
指数的运算和逆运算，遇到多重根号问题，需要先写成指数形式：
例： .
指数的逆运算过程：
.
已知，，求的值．
计算： (1)； (2)．
把下列各式中的写成负分数指数幂的形式： (1)； (2)； (3)．
1．填空：
（1）27的3次方根表示为 ；
（2）的3次方根表示为 ；
（3）16的4次方根表示为 ．
2．计算：
(1)；
(2).
3．已知，求下列各式的值：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)
4．化简（式中的字母均为正实数）：
(1)；
(2)．
5．用分数指数幂表示下列各式（式中的字母均为正实数）：
(1)；
(2)；
(3)．
1．化简： .
2．计算： .
3．计算：．
4．化简：
（1）（）；
（2）；
（3）（）；
（4）（）.
5．求下列各式的值：
（1）；（2）；（3）；（4）.
1．用分数指数幂的形式表示下列各式（）：
(1)；
(2)；
(3)．
2．求下列各式的值（式中字母都是正数）：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)．
3．已知，，对任意的实数，求证：．
4．设，，求证：函数（）是奇函数.
5．设a，b是正数，下列各题中的两个代数式是否恒等？为什么？
（1）与；（2）与；
（3）与；（4）与.
1．设，m，n是正整数，且，则下列各式；；；正确的个数是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
2．利用分数指数幂计算：.
3．用分数指数幂表示下列各式：
（1）（）；（2）；
（3）；（4）（）；
（5）（）；（6）（）；
（7）；（8）（）.
4．用根式的形式表示下列各式（）：
（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）.
5．用分数指数幂的形式表示下列各式（）：
（1）；
（2）；
（3）.
1．求下列各式的值：
(1)；
(2)；
(3)；
(4).
2．已知，求的值．
3．化简下列各式：
(1)；
(2)．
4．若，求的值．
5．已知，求下列各式的值：
（1）；
（2）；
（3）.
1．根式的定义
2．分数指数幂的运算
3．实数指数幂的运算性质
4. 无理数指数幂
一、单选题
1．已知函数，则（ ）
A． B． C．3 D．
2．下列各式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．若，，则下列式子值为的是（ ）
A． B． C． D．
4．的分数指数幂表示为（ ）
A． B． C． D．都不对
5．设，那么（ ）
A． B． C． D．
6．计算：（ ）
A．0 B．1 C．100 D．5
7．满足，的有序实数组可以是（ ）
A． B． C． D．
8．已知，下列各式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
9．下列说法正确的是（ ）
A．的运算结果是
B．16的4次方根是2
C．当n为大于1的偶数时，只有当时才有意义
D．当n为大于1的奇数时，对任意都有意义
10．已知，则下列函数值计算正确的有（ ）
A． B． C． D．
11．设函数，则 ．
12．若，则 ．
13．从盛满1升纯酒精的容器中倒出升，然后用水填满，再倒出升，又用水填满，这样进行5次，则第5次倒出的纯酒精的升数为 ．
14．某企业计划对生产线进行技术升级，第一年投入研发资金50万元，之后每年投入资金是上一年的1.2倍，则该企业连续8年投入研发的总资金是 万元.（结果保留整数）
15．完成下列式子的化简：
(1)；
(2)．
16．计算下列各题：
(1)；
(2)．
17．计算下列各式：
(1)；
(2)．
18．用分数指数幂表示下列各式：
(1)；
(2)；
(3)．
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