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第15讲 函数的概念及其性质
内容导航——预习三步曲
第一步：学
析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习
练习题 讲典例：教材习题学解题、快速掌握解题方法
练考点 强知识：5大核心考点精准练
第二步：记
串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握
第三步：测
过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升
知识点1 函数的概念及其表示
1.函数的定义
设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数y＝f(x)，x∈A
2．函数的有关概念
(1)函数的定义域、值域：在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域.显然，值域是集合B的子集．
(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．
(3)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．
(4)函数的表示法：解析法、图象法、列表法．
3．分段函数
若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．
(1)确定函数的定义域常从解析式本身有意义，或从实际出发．
(2)如果函数y＝f(x)用表格给出，则表格中x的集合即为定义域．
(3)如果函数y＝f(x)用图象给出，则图象在x轴上的投影所覆盖的x的集合即为定义域.
值域是一个数集，由函数的定义域和对应关系共同确定．
(1)分段函数虽由几个部分构成，但它表示同一个函数．
(2)分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．
(3)各段函数的定义域不可以相交.
4．常用结论
(1)若f(x)为整式，则函数的定义域为R；
(2)若f(x)为分式，则要求分母不为0；
(3)若f(x)为对数式，则要求真数大于0；
(4)若f(x)为根指数是偶数的根式，则要求被开方式非负；
(5)若f(x)描述实际问题，则要求使实际问题有意义．
如果f(x)是由几个部分的数学式子构成的，求定义域常常等价于解不等式(组)．
知识点2 函数的基本性质
1.函数的单调性
(1)单调函数的定义
增函数 减函数
定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2
当x1f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数
图象描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的
(2)单调区间的定义
如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．
2．函数的最值
前提 设函数f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足
条件 对于任意x∈I，都有f(x)≤M； 存在x0∈I，使得f(x0)＝M 对于任意x∈I，都有f(x)≥M； 存在x0∈I，使得f(x0)＝M
结论 M为最大值 M为最小值
3.函数的奇偶性
奇偶性 定义 图象特点
偶函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数 关于y轴对称
奇函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数 关于原点对称
4.函数的周期性
(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期.
(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.
注意：
（1）如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0.
（2）如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|).
（3）奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性.
（4）函数周期性常用结论
对f(x)定义域内任一自变量的值x：
①若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0).
②若f(x＋a)＝，则T＝2a(a>0).
③若f(x＋a)＝－，则T＝2a(a>0).
5.对称性的三个常用结论
①若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称.
②若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称.
③若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)的图象关于点(b，0)中心对称.
知识点3 幂函数
1.幂函数的定义
一般地，形如y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数．
2.5个常见幂函数的图象与性质
函数 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x－1
定义域 R R R {x|x≥0} {x|x≠0}
值域 R {y|y≥0} R {y|y≥0} {y|y≠0}
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶 函数 奇函数
单调性 在R上单调递增 在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增 在R上单调递增 　 在(0，＋∞)上单调递增 在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减
图象
过定点 (0,0)，(1,1) (1,1)
教材习题01 判断下列函数是否具有奇偶性： (1)； (2)； (3)； (4) 解题方法 （1）函数的定义域为， 因为， 所以函数为奇函数； （2）函数的定义域为， 因为， 所以函数为偶函数； （3）函数的定义域为， 因为， 所以， 所以函数是非奇非偶函数； （4）因为函数的定义域为，不关于原点对称， 所以函数是非奇非偶函数.
【答案】(1)奇函数 (2)偶函数 (3)非奇非偶函数 (4)非奇非偶函数
教材习题02 周期函数的图象如图． (1)求函数的最小正周期； (2)写出函数的解析式． 解题方法 （1）解：由图可知，函数的最小正周期为. （2）解：当时，设，则，即； 当时，设，则，可得，即. 故当时，， 因为函数是以为最小正周期的周期函数，故对任意的，， 对任意的，当时，， 则. 因此，函数的解析式为，，.
【答案】(1) (2)，，.
教材习题03 下列函数中，哪些满足性质或？为什么？ (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 解题方法 （1）不满足，满足. 函数的定义域为， 显然，所以不满足； 又， 所以满足. （2）不满足，满足. 显然，故不满足； ，故满足. （3）满足，不满足. ，故满足； ，故不满足. （4）不满足，满足. ，故不满足； ，故满足. （5）不满足，满足. ，故不满足； ，故满足.
【答案】(1)不满足，满足，理由见解析 (2)不满足，满足，理由见解析 (3)满足，不满足，理由见解析 (4)不满足，满足，理由见解析 (5)不满足，满足，理由见解析
考点一 函数的概念及其表示
1．已知函数，则（ ）
A．1 B．2 C． D．0
【答案】D
【详解】令，则，
所以.
故选：D.
2．已知函数的定义域和值域均为，则下列说法错误的是（ ）
A．函数的定义域为 B．函数的定义域为
C．函数的值域为 D．函数的值域为
【答案】D
【详解】函数中的x需满足，解得，故函数的定义域为，故A正确；函数中的x需满足，解得，故函数的定义域为，故B正确；函数和的值域都为，故C正确，D错误.
3．若函数，满足，且，则（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】D
【详解】令可得，所以；
令可得；
令可得，
所以，
所以，
令可得，所以，
所以.
故选：D.
4．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】因为函数的定义域为，
所以的定义域需满足：
，解得.
故选：D.
5．若函数，则 ．
【答案】3
【详解】令，则.
故答案为：.
6．若函数的定义域与值域都是，则实数 ．
【答案】5
【详解】函数的对称轴方程为，
所以函数在上为减函数，
又函数在上的值域也为，
则，即，
由①得：，代入②得：，解得：（舍），．
把代入得：．
故答案为：5．
7．已知，且，求
【答案】
【详解】因为，所以，
所以，所以，
所以
；
故答案为：
考点二 函数的基本性质
1．已知函数是定义域为的奇函数，且，若函数在上单调递增，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】是定义域为的奇函数，故，
定义域为，
，
故是偶函数，
又在上单调递增，故在上单调递减，
是定义域为的奇函数，，故，
故，
当时，，
而在上单调递增，故；
其中，
当时，，
而在上单调递减，故；
当时，，满足不等式．
综上，．
故选：D．
2．已知函数为奇函数，，且与图象的交点为，则（ ）
A．9 B．6 C．18 D．12
【答案】C
【详解】与图象的交点两两关于点对称，所以，故．
3．已知函数的图象关于轴对称，且对于，当时，恒成立，若对任意的恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由已知可得，函数为偶函数，
又对于，当时，恒成立，
即，若，都有成立，
则在上单调递减，
又函数为偶函数，则在上单调递增，
又对任意的恒成立 ，则可得．
当时，不等式为显然成立；
当时，原不等式可化为恒成立，只需要式子的最小值满足即可．
因为，
当且仅当，即时，等号成立，
所以，解得，
综上所述，实数的取值范围是.
故选：A．
4．已知函数的定义域为为偶函数，为奇函数，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】因为函数为偶函数，则，可得，
因为函数为奇函数，则，
所以，即得，
即，故函数是以4为周期的周期函数，
对于，令，则，
对于，令，则，B正确；
由题意可知，无法推出，A错误，
又，，而是否为0不确定，故CD错误，
故选：B
5．已知函数是上的偶函数，且．
(1)求实数m，n的值；
(2)判断函数在上的单调性，并用定义法证明；
(3)求不等式的解集．
【答案】(1)，
(2)函数在上单调递减，证明见解析
(3)
【详解】（1）因为函数是上的偶函数，
所以恒成立.
所以对恒成立.
所以.
由.
故，.
（2）在上单调递减.证明如下：
设，
则.
因为，所以，，.
所以，所以，即.
所以在上单调递减.
（3）因为函数为偶函数，所以.
由函数在上单调递减，所以函数在上单调递增，且图象关于轴对称.
所以或，
解得或.
所以不等式的解集为：.
考点三 幂函数
1．已知幂函数在上是增函数，则（ ）
A．或3 B． C．3 D．1
【答案】C
【详解】因为是幂函数，所以，解得或，
当时，在上是增函数，符合题意，
当时，在上是减函数，不符合题意，舍去，
所以，
故选：C.
2．幂函数都有成立，则下列说法正确的是（ ）
A． B．或
C．是偶函数 D．是奇函数
【答案】D
【详解】解：因为是幂函数，所以，解得或，
因为，都有成立，所以该函数在是减函数，
所以，故A，B错误；
，定义域为，定义域关于原点对称，
又，所以是奇函数，故D正确，C错误.
故选：D.
3．已知幂函数，且．
(1)求的解析式；
(2)若函数，且，a，b均为正数，求的最小值．
【答案】(1)
(2)8．
【详解】（1）
因为幂函数，所以，解得或．
当时，，满足，
当时，，不满足，所以．
（2）
由（1）得．由，得．
因为，
所以．
又a，b均为正数，所以，
当且仅当时，等号成立，
所以，即的最小值为8．
4．已知幂函数在定义域上不单调．
(1)求函数的解析式；
(2)函数是否具有奇偶性？请说明理由；
(3)若，求实数的取值范围．
【答案】(1)；
(2)奇函数，理由见解析；
(3).
【详解】（1）由幂函数，得，解得或，
若，则在定义域内单调递增，不合题意；
若，则在定义域内单调递减，
但在定义域内不单调，符合题意；
所以函数的解析式为.
（2）函数为奇函数，理由如下：
函数的定义域关于原点对称，
且，所以函数为奇函数.
（3）由及为奇函数，
得，
即，
而在上递减且恒负，在上递减且恒正，
所以或或，解得或，
所以实数的取值范围.
考点四 函数的应用（一）
1．某工厂某种产品的年固定成本为250万元，每生产x千件该产品需另投入成本为G（x），当年产量不足80千件时，（万元）；当年产量不小于80千件时，（万元）．每件商品售价为0.05万元．通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完，则该厂在这一商品的生产中所获年利润的最大值是（ ）
A．1150万元 B．1000万元 C．950万元 D．900万元
【答案】B
【详解】∵每件商品售价为0.05万元，
∴ x千件商品销售额为0.05×1000x万元，
①当0＜x＜80时，根据年利润＝销售收入成本，
∴，
当0＜x＜80时，，
∴当x＝60时，取得最大值万元；
②当时，．
∴当时，，
当且仅当，即x＝100时，取得最大值万元．
综合①②，由于950＜1000，
∴当产量为100千件时，该厂在这一商品中所获利润最大，最大利润为1000万元．
故选：B．
2．依法纳税是每个公民应尽的义务，个人取得的所得应依照《中华人民共和国个人所得税法》向国家缴纳个人所得税（简称个税）.2019年1月1日起，个税税额根据应纳税所得额，税率和速算扣除数确定，计算公式为：个税税额应纳税所得额税率-速算扣除数.①应纳税所得额的计算公式为：应纳税所得额=综合所得收入额-基本减除费用-专项扣除-专项附加扣除-依法确定的其它扣除.②其中，“基本减除费用”（免征颁）为每年60000元，税率与速算扣除数见下表：
级数 全年应纳税所得额所在区间 税率（%） 速算扣除数
1 3 0
2 10 2520
3 20 16920
已知小华缴纳的专项扣除：基本养老保险，基本医疗保险费，失业保险等社会保险费和住房公积金占综合所得收入额的比例分别是，专项附加扣除是52800元，依法确定的其它扣除是4560元.设小华全年应纳税所得额为（不超过300000元）元，应缴纳个税税额为元，则 ；如果小华全年综合所得收入额为220000元，那么他全年应缴纳个税 元.
【答案】 3344
【详解】当时，，
当时，，
当时，，
故；
小华全年综合所得收入额为220000元时，应纳税所得额
，
，故，
故他全年应缴纳个税3344元.
故答案为：；3344
3．设矩形的周长为，其中，现将沿向折叠至的位置，折过去后交于点．

(1)设，求关于的函数的解析式及其定义域；
(2)求面积的最大值及相应的值．
【答案】(1)定义域为；
(2)的面积有最大值，此时cm.
【详解】（1）因为矩形的周长为，，则，
又，即，又，，
易知≌，所以，
在中，根据勾股定理得，即，
整理得，
故，定义域为.
（2）由题意，
，当且仅当时，等号成立.
所以，当时，的面积有最大值．
4．某公司租地建仓库，每月土地占用费与车库到车站的距离成反比，而每月的库存货物的运费与车库到车站的距离成正比如果在距离车站公里处建立仓库，这两项费用和分别为万元和万元．
(1)分别求出和关于距离的关系式；
(2)求若要使得这两项费用之和最小时，仓库应建在距离车站多远处？此时最少费用为多少万元？
【答案】(1)，．
(2)仓库应建在距离车站公里处，此时最少费用为万元．
【详解】（1）设，，
由题意可得：，，解得，．
所以，.
（2）设这两项费用之和为，
则
，
，
当且仅当，即时取得等号．
答：若要使得这两项费用之和最小时，仓库应建在距离车站公里处，此时最少费用为万元．
5．“绿色出行，低碳环保”已成为新的时尚，近几年，国家相继出台了一系列的环保政策，在汽车行业提出了重点扶持新能源汽车的政策，为新能源汽车行业的发展开辟了广阔的前景．某新能源沉车配件公司为扩大生产，计划改进技术生产某种组件，已知生产该产品的年固定成本为2000万元，每生产万件，需另投入成本万元，且时，；当时，，由市场调研知，该产品每件的售价为2000元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完．
(1)年利润y（万元）与年产量x（万件）的关系式（利润=销售收入-成本）；
(2)当该产品的年产量为多少万件时，公司所获年利润最大？最大年利润是多少？
【答案】(1)
(2)50；2200
【详解】（1）由题意可知，
当时，，
当时，，
所以年利润y（万元）与年产量x（万件）的关系式为.
（2）当时，，开口向下，
所以当时，；
当时，
，
当且仅当即时，等号成立，此时，
因为，
所以，该产品的年产量为50万件时，公司所获年利润最大，利润最大为2200.
6．某科研小组研究发现：一颗梨树的产量（单位：百千克）与肥料费用（单位：百元）满足如下关系：投入的肥料费用不超过6百元时，；投入的肥料费用超过6百元且不超过10百元时，．此外，还需要投入其他成本（如施肥的人工费等）百元．已知这种梨的市场售价为18百元／百千克，且市场需求始终供不应求．记该棵梨树获得的利润为（单位：百元）．
(1)求利润的函数解析式；
(2)当投入的肥料费用为多少时，该梨树获得的利润最大？最大利润是多少？
【答案】(1)
(2)当投入的肥料费用为2百元时，该梨树获得的利润最大，最大利润是52百元
【详解】（1）由题意，，
即；
（2）当时，，
，
当且仅当，即时，等号成立，
所以当时，取得最大值52；
当时，，
所以当时，取得最大值，最大值为，
所以当投入的肥料费用为2百元时，该梨树获得的利润最大，最大利润是52百元．
7．已知某企业生产某种设备的最大产能为70台，每台设备的售价为80万元．记该企业生产台设备需要投入的总成本为（单位：万元），且假设生产的设备全部都能售完．
(1)求利润（单位：万元）关于生产台数的函数解析式，并求该企业生产20台设备时的利润（利润销售额-成本）；
(2)当生产多少台该设备时，该企业所获利润最大？最大利润是多少万元？
【答案】(1)，400万元．
(2)生产60台该设备时，该企业所获利润最大，最大利润为820万元．
【详解】（1）当时，；
当时，；
综上，
当台时，万元，
所以该企业生产20台该设备时，所获利润为400万元．
（2）当时，，
故当台时，取得最大值，最大值为500万元；
当时，
，
当且仅当，即时，等号成立，
故当台时，取得最大值，最大值为820万元；
因为，所以当生产60台该设备时，该企业所获利润最大，最大利润为820万元．
8．某地区上年度电价为0.8元/kW h，年用电量为akW h，本年度计划将电价降到0.55元/kW h至0.75元/kW h之间，而用户期望电价为0.4元/kW h，经测算，下调电价后新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比（比例系数为k）．该地区电力的成本为0.3元/kW h．
(1)写出本年度电价下调后，电力部门的收益y与实际电价x的函数关系式；
(2)设，当电价最低定为多少时仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20%？
（注：收益＝实际用电量×（实际电价﹣成本价））
【答案】(1)
(2)0.6元/kw h
【详解】（1）设下调后的电价为x元/kw h，
依题意知用电量增至，电力部门的收益为
（2）依题意有，
整理得，
解此不等式得，
答：当电价最低定为0.6元/kw h仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20%．
9．经市场调查，某超市的一种商品在过去的一个月内（以30天计），销售价格（元）与时间t（天）的函数关系近似满足，销售量（件）与时间t（天）的函数关系近似满足．
(1)试写出该商品的日销售金额关于时间t（1≤≤30，t∈N）的函数表达式；
(2)求该商品的日销售金额的最大值与最小值．
【答案】(1)；
(2)最小值为12100，最大值为20200．
【详解】（1）由题意，得
（2）①当时，因为，当且仅当，
即时取等号.
所以当t＝10时，有最小值12100；
当t＝1时，有最大值20200；
②当时，∵在[25，30]上递减，
∴当t＝30时，有最小值12400
∵12100＜12400，∴当t＝10时，
该商品的日销售金额取得最小值为12100，最大值为20200．
考点五 函数综合
1．已知函数是定义在上的奇函数，且，若对于任意两个实数，且，不等式恒成立，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】因为对于任意两个实数且时，不等式恒成立，所以在上单调递增，
因为是定义在上的奇函数，所以在上单调递增，
因为，所以，
所以当或时，；当或时，，
所以当或时，，
所以不等式的解集为．
故选：B．
（多选题）2．定义在上的函数，如果对任意，都有，且等号仅在时成立，则称函数为 “凸函数”.下列函数是凸函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AC
【详解】对于A：
对，，恒成立.
左右平方得，化简得，显然恒成立，故A正确.
对B：对，，恒成立.
化简得显然不恒成立，故B不正确；
对于C，对，，恒成立
由在上单调递增，故，
化简可得，显然对恒成立，故C正确；
对D：，
，即，故D错误.
故选：AC.
3．已知函数.
(1)，求在上的值域；
(2)，求在上的值域.
【答案】(1)
(2)答案见解析
【详解】（1）当时，
当时，，则值域为；
当时，，则值域为；
所以的值域为.
（2）当时， ，
当时，，对称轴为，所以值域为；
当时，，对称轴为，所以值域为；
所以当时，的值域为；当时，的值域为.
（多选题）4．已知幂函数的图象经过点，则下列说法正确的是（ ）
A．的定义域为 B．的值域为
C．为偶函数 D．是其定义域上的减函数
【答案】BC
【详解】设，其图象经过点，
则，解得，故，
那么的定义域为，故A错误；
的值域为，故B正确；
因为，则为偶函数，故C正确；
因为在上单调递增，在上单调递减，不能说是在其定义域上的减函数，故D错误.
故选：BC.
知识导图记忆
知识目标复核
1．函数的概念和三要素
2．函数的性质及利用性质解决不等式与最值的问题
3．幂函数
4. 函数的应用
单选题
1．已知定义在R上的严格递增函数满足：任意，有，则下列两个命题的真假情况是（ ）
命题甲：存在非零实数T，使得任意；
命题乙：存在非零实数c，使得任意．
A．甲真乙假 B．甲假乙真 C．甲真乙真 D．甲假乙假
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】判断命题的真假、函数对称性的应用、比较函数值的大小关系
【分析】根据单调性可知甲；当时，根据的对称中心及其在时的值域可判断乙.
【详解】令，则，
即，
所以，
又，
所以；
因为为R上的严格增函数，
所以当时，，则；
当时，，则，
所以不存在非零实数T，使得任意，故甲错误；
当时，，
由，
得关于成中心对称，
则当时，为的对称中心；
当时，
因为为R上的严格增函数，，
所以，
所以；
由图象对称性，此时对任意，故乙正确．
故选：B．
2．已知函数，若，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【难度】0.85
【知识点】由函数奇偶性解不等式、由幂函数的单调性解不等式、函数奇偶性的定义与判断、根据函数的单调性解不等式
【分析】利用函数的奇偶性和单调性即可求解不等式.
【详解】由于，所以是偶函数，
又因为，由当时，在上是减函数，
所以在上是减函数，
则，可得，
平方得：，解得，
故选：D.
3．“”是“为幂函数”的（ ）条件
A．充分不必要 B．必要不充分
C．充要 D．既不充分也不必要
【答案】A
【难度】0.85
【知识点】判断命题的充分不必要条件、根据函数是幂函数求参数值
【分析】求得为幂函数时的值，利用充分条件和必要条件的定义判断即可.
【详解】当时，为幂函数，故充分性满足；
当为幂函数时，，
即，解得或，故必要性不满足，
所以“”是“为幂函数”的充分不必要条件.
故选：A
4．下列图象中，函数的部分图象有可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】函数图像的识别、函数奇偶性的应用
【分析】求出函数的定义域，分析函数的奇偶性及其在上的函数值符号，结合排除法可得出合适的选项.
【详解】对于函数，有，解得，即函数的定义域为，
因为，即函数为奇函数，排除CD选项，
当时，，则，此时，排除B选项.
故选：A.
5．若函数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【难度】0.85
【知识点】已知f（g（x））求解析式
【分析】根据给定函数关系，利用配凑法求出解析式.
【详解】依题意，，而，
所以.
故选：D
6．已知函数是上单调递增的奇函数．若，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【难度】0.85
【知识点】根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式
【分析】由奇函数的性质结合单调性解抽象不等式可得.
【详解】将不等式变形可得，
因为函数是上单调递增的奇函数，所以不等式等价于，
所以，即的取值范围为.
故选：D
7．函数的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【难度】0.94
【知识点】具体函数的定义域
【分析】根据函数的解析式有意义，可得不等式组，解之即得函数定义域.
【详解】由函数有意义，等价于，
解得且，
故函数的定义域为.
故选：A.
8．若函数.为奇函数，则（ ）
A．0 B．1 C． D．无解
【答案】D
【难度】0.85
【知识点】由奇偶性求参数
【分析】由奇函数的性质可得.
【详解】根据题意，函数，则，
若为奇函数，则，
即，a的值不是常数，即无解．
故选：D.
9．定义在上的奇函数，其图象关于对称，且时，，则（ ）
A．0 B．3 C．6 D．
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】求函数值、函数对称性的应用、函数奇偶性的应用
【分析】由函数对称性得到，，赋值得到.
【详解】关于对称，故，
中，令得，
因为为R上的奇函数，所以，
故，
又时，，故，
故.
故选：D
二、多选题
10．设函数，则下列结论正确的是（）
A．为偶函数 B．在区间上为增函数
C．的值域为 D．不等式的解集为
【答案】ABD
【难度】0.4
【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、利用函数单调性求最值或值域、函数奇偶性的定义与判断、根据函数的单调性解不等式
【分析】根据函数奇偶性的定义，判断选项A的正误，根据函数单调的定义，判断函数单调区间，求出值域，再根据函数单调性解函数不等式，逐一判断各选项正误.
【详解】已知，则，所以为偶函数，所以A正确；
当时，，
在区间上和单调递增，所以在上单调递增，所以B正确；
根据分段函数性质可得，
已知在区间上为增函数，同理可得在区间上为减函数，
所以在处函数取得最大值，最大值，所以C错误；
已知在区间上为增函数，在区间上为减函数，
当时，可得，解得，所以D正确.
故选：ABD.
11．（多选题）关于函数的单调性的叙述正确的是（ ）
A．函数在上是递增的
B．函数在上是递增的
C．函数在上是递增的
D．函数的递增区间是和
【答案】AD
【难度】0.94
【知识点】根据解析式直接判断函数的单调性
【分析】根据反比例函数的图象及函数单调性的定义可判断.
【详解】作出函数的图象，定义域为，
函数的单调区间之间不能用并集形式，故BC错误，
结合函数图象可知，函数在和上都是递增的.
故选：AD.
12．已知函数的定义域为，函数为奇函数，的图象关于直线对称，则（ ）
A．的图象关于点中心对称 B．为偶函数
C．是周期为4的函数 D．
【答案】ABC
【难度】0.65
【知识点】函数奇偶性的应用、判断证明抽象函数的周期性、函数对称性的应用、由函数的周期性求函数值
【分析】根据给定条件，利用奇函数的定义、函数对称性逐项分析判断.
【详解】函数的定义域为，由函数为奇函数，得，
由的图象关于直线对称，得，
对于A，由，得的图象关于点中心对称，A正确；
对于C，由，得，又，
则，，是周期为4的函数，C正确；
对于B，由选项C知，，则，又，
因此，为偶函数，B正确；
对于D，，D错误.
故选：ABC
【点睛】结论点睛：函数的定义域为D，，
①存在常数a，b使得，则函数图象关于点对称.
②存在常数a使得，则函数图象关于直线对称.
三、填空题
13．已知偶函数的定义域为，且，则的值域为 .
【答案】
【难度】0.65
【知识点】常见（一次函数、二次函数、反比例函数等）的函数值域、求抽象函数的解析式、函数奇偶性的应用
【分析】令可得出，令结合偶函数的性质可求得函数的解析式，由此可得出函数的值域.
【详解】对，令，则，解得；
对，令，则，
又为偶函数，，故，解得。
又，故其值域为.
故答案为：.
14．已知函数，若满足，则 ．
【答案】12
【难度】0.85
【知识点】求函数值
【分析】由题意得，进一步代入求值即可.
【详解】因为，且满足，
所以，解得，
所以．
故答案为：12．
15．已知集合，将与（其中， ）的乘积放入如图方格中，则方格中全部数之和的最大值为 .
【答案】
【难度】0.65
【知识点】利用函数单调性求最值或值域
【分析】先求方格中全部数之和的表达式，设，换元并利用二次函数性质求其最大值.
【详解】由表格数据可得所有数之和，
所以，
所以，
又，
所以，
设，则，，
，
当或时，取最大值，最大值为，
此时时,故可取到110.
故答案为：.
16．设函数在上有定义，且满足以下性质：①，②．则 ．
【答案】
【难度】0.85
【知识点】求函数值
【分析】应用赋值法及已知等式计算求解函数值.
【详解】令，因为，所以，所以，
令，因为，所以，所以,
令，因为，所以，所以,
令，因为，所以，所以,
令，因为，所以，所以,
令，因为，所以，所以.
故答案为：.
17．已知是定义在上的奇函数，对于任意的，都有，且，则不等式的解集为 ．
【答案】
【难度】0.65
【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、根据函数的单调性解不等式、抽象函数的奇偶性
【分析】由得，构造函数，可判断是增函数.由是定义在上的奇函数，可得为奇函数，得，.由可转化为，进而可得.
【详解】因为，所以，
设，因为，所以，
则是增函数，，
因为为奇函数，所以为奇函数，
所以，．
不等式可转化为，即，
所以，即的解集为，
故答案为：.
四、解答题
18．已知函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，若函数.
(1)求曲线的对称中心；
(2)判断在区间上的单调性，并用定义证明.
【答案】(1)
(2)单调递减，证明见解析
【难度】0.65
【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、判断或证明函数的对称性、函数奇偶性的定义与判断
【分析】（1）首先设函数，判断函数是奇函数，即可判断函数的对称中心；
（2）根据函数单调性的定义，结合作差法，即可证明.
【详解】（1）设，
则函数的定义域为，其定义域关于原点对称，
且，
所以为奇函数，
所以函数的对称中心为.
（2）函数在上单调递减.
证明：，且，
则
，
因为，所以，
又，所以，所以，即，
所以函数在上单调递减.
19．已知函数.
(1)若，求不等式的解集；
(2)对，不等式恒成立，求的最小值.
【答案】(1)答案见解析
(2)
【难度】0.65
【知识点】解含有参数的一元二次不等式、函数不等式恒成立问题
【分析】（1）根据给定条件，利用分解因式解不等式，结合分类讨论可求不等式的解集；
（2）先证明，再说明时满足条件，可求得的最小值.
【详解】（1）因为，
由，得，
整理得，
所以，不等式对应方程的两根为或，
当时，，
所以不等式的解集为，
当时，，
所以不等式的解集为，
当时，，
所以不等式的解集为，
综上所述：当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为；
（2）由，不等式恒成立，可得，
所以，解得，
又当时，对，有，满足条件，
所以的最小值为.
20．已知函数的定义域为，且满足．
(1)判断函数的奇偶性并证明；
(2)若，求的值；
(3)若时，，解不等式．
【答案】(1)偶函数，证明见解析
(2)
(3)
【难度】0.65
【知识点】函数奇偶性的定义与判断、根据函数的单调性解不等式、求函数值、定义法判断或证明函数的单调性
【分析】（1）利用“赋值法”，可求，，再令，可得与的关系，判断函数的奇偶性.
（2）利用，结合，可求的值.
（3）先用定义证明函数在上的单调性，结合函数的奇偶性，把函数不等式转化为代数不等式，再结合函数的定义域可解不等式.
【详解】（1）令，，则；
令，，则
令，得，又，
故（）为偶函数.
（2）因为，
所以
.
（3）任取，，则，则，则，
故（）在上为减函数
由（1）知（）为偶函数，且
所以，等价于，故，
解得
又的定义域为，故，所以
原不等式的解集为.
【点睛】关键点点睛：解函数不等式时，判断并证明函数的单调性，结合函数的奇偶性，把函数不等式化为代数不等式是解决问题的关键.
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第15讲 函数的概念及其性质
内容导航——预习三步曲
第一步：学
析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习
练习题 讲典例：教材习题学解题、快速掌握解题方法
练考点 强知识：5大核心考点精准练
第二步：记
串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握
第三步：测
过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升
知识点1 函数的概念及其表示
1.函数的定义
设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数y＝f(x)，x∈A
2．函数的有关概念
(1)函数的定义域、值域：在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域.显然，值域是集合B的子集．
(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．
(3)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．
(4)函数的表示法：解析法、图象法、列表法．
3．分段函数
若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．
(1)确定函数的定义域常从解析式本身有意义，或从实际出发．
(2)如果函数y＝f(x)用表格给出，则表格中x的集合即为定义域．
(3)如果函数y＝f(x)用图象给出，则图象在x轴上的投影所覆盖的x的集合即为定义域.
值域是一个数集，由函数的定义域和对应关系共同确定．
(1)分段函数虽由几个部分构成，但它表示同一个函数．
(2)分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．
(3)各段函数的定义域不可以相交.
4．常用结论
(1)若f(x)为整式，则函数的定义域为R；
(2)若f(x)为分式，则要求分母不为0；
(3)若f(x)为对数式，则要求真数大于0；
(4)若f(x)为根指数是偶数的根式，则要求被开方式非负；
(5)若f(x)描述实际问题，则要求使实际问题有意义．
如果f(x)是由几个部分的数学式子构成的，求定义域常常等价于解不等式(组)．
知识点2 函数的基本性质
1.函数的单调性
(1)单调函数的定义
增函数 减函数
定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2
当x1f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数
图象描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的
(2)单调区间的定义
如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．
2．函数的最值
前提 设函数f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足
条件 对于任意x∈I，都有f(x)≤M； 存在x0∈I，使得f(x0)＝M 对于任意x∈I，都有f(x)≥M； 存在x0∈I，使得f(x0)＝M
结论 M为最大值 M为最小值
3.函数的奇偶性
奇偶性 定义 图象特点
偶函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数 关于y轴对称
奇函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数 关于原点对称
4.函数的周期性
(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期.
(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.
注意：
（1）如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0.
（2）如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|).
（3）奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性.
（4）函数周期性常用结论
对f(x)定义域内任一自变量的值x：
①若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0).
②若f(x＋a)＝，则T＝2a(a>0).
③若f(x＋a)＝－，则T＝2a(a>0).
5.对称性的三个常用结论
①若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称.
②若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称.
③若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)的图象关于点(b，0)中心对称.
知识点3 幂函数
1.幂函数的定义
一般地，形如y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数．
2.5个常见幂函数的图象与性质
函数 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x－1
定义域 R R R {x|x≥0} {x|x≠0}
值域 R {y|y≥0} R {y|y≥0} {y|y≠0}
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶 函数 奇函数
单调性 在R上单调递增 在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增 在R上单调递增 　 在(0，＋∞)上单调递增 在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减
图象
过定点 (0,0)，(1,1) (1,1)
判断下列函数是否具有奇偶性： (1)； (2)； (3)； (4)
周期函数的图象如图． (1)求函数的最小正周期； (2)写出函数的解析式．
下列函数中，哪些满足性质或？为什么？ (1)； (2)； (3)； (4)； (5)．
1．已知函数，则（ ）
A．1 B．2 C． D．0
2．已知函数的定义域和值域均为，则下列说法错误的是（ ）
A．函数的定义域为 B．函数的定义域为
C．函数的值域为 D．函数的值域为
3．若函数，满足，且，则（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
4．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
5．若函数，则 ．
6．若函数的定义域与值域都是，则实数 ．
7．已知，且，求
1．已知函数是定义域为的奇函数，且，若函数在上单调递增，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
2．已知函数为奇函数，，且与图象的交点为，则（ ）
A．9 B．6 C．18 D．12
3．已知函数的图象关于轴对称，且对于，当时，恒成立，若对任意的恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．已知函数的定义域为为偶函数，为奇函数，则（ ）
A． B．
C． D．
5．已知函数是上的偶函数，且．
(1)求实数m，n的值；
(2)判断函数在上的单调性，并用定义法证明；
(3)求不等式的解集．
1．已知幂函数在上是增函数，则（ ）
A．或3 B． C．3 D．1
2．幂函数都有成立，则下列说法正确的是（ ）
A． B．或
C．是偶函数 D．是奇函数
3．已知幂函数，且．
(1)求的解析式；
(2)若函数，且，a，b均为正数，求的最小值．
4．已知幂函数在定义域上不单调．
(1)求函数的解析式；
(2)函数是否具有奇偶性？请说明理由；
(3)若，求实数的取值范围．
1．某工厂某种产品的年固定成本为250万元，每生产x千件该产品需另投入成本为G（x），当年产量不足80千件时，（万元）；当年产量不小于80千件时，（万元）．每件商品售价为0.05万元．通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完，则该厂在这一商品的生产中所获年利润的最大值是（ ）
A．1150万元 B．1000万元 C．950万元 D．900万元
2．依法纳税是每个公民应尽的义务，个人取得的所得应依照《中华人民共和国个人所得税法》向国家缴纳个人所得税（简称个税）.2019年1月1日起，个税税额根据应纳税所得额，税率和速算扣除数确定，计算公式为：个税税额应纳税所得额税率-速算扣除数.①应纳税所得额的计算公式为：应纳税所得额=综合所得收入额-基本减除费用-专项扣除-专项附加扣除-依法确定的其它扣除.②其中，“基本减除费用”（免征颁）为每年60000元，税率与速算扣除数见下表：
级数 全年应纳税所得额所在区间 税率（%） 速算扣除数
1 3 0
2 10 2520
3 20 16920
已知小华缴纳的专项扣除：基本养老保险，基本医疗保险费，失业保险等社会保险费和住房公积金占综合所得收入额的比例分别是，专项附加扣除是52800元，依法确定的其它扣除是4560元.设小华全年应纳税所得额为（不超过300000元）元，应缴纳个税税额为元，则 ；如果小华全年综合所得收入额为220000元，那么他全年应缴纳个税 元.
3．设矩形的周长为，其中，现将沿向折叠至的位置，折过去后交于点．

(1)设，求关于的函数的解析式及其定义域；
(2)求面积的最大值及相应的值．
4．某公司租地建仓库，每月土地占用费与车库到车站的距离成反比，而每月的库存货物的运费与车库到车站的距离成正比如果在距离车站公里处建立仓库，这两项费用和分别为万元和万元．
(1)分别求出和关于距离的关系式；
(2)求若要使得这两项费用之和最小时，仓库应建在距离车站多远处？此时最少费用为多少万元？
5．“绿色出行，低碳环保”已成为新的时尚，近几年，国家相继出台了一系列的环保政策，在汽车行业提出了重点扶持新能源汽车的政策，为新能源汽车行业的发展开辟了广阔的前景．某新能源沉车配件公司为扩大生产，计划改进技术生产某种组件，已知生产该产品的年固定成本为2000万元，每生产万件，需另投入成本万元，且时，；当时，，由市场调研知，该产品每件的售价为2000元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完．
(1)年利润y（万元）与年产量x（万件）的关系式（利润=销售收入-成本）；
(2)当该产品的年产量为多少万件时，公司所获年利润最大？最大年利润是多少？
6．某科研小组研究发现：一颗梨树的产量（单位：百千克）与肥料费用（单位：百元）满足如下关系：投入的肥料费用不超过6百元时，；投入的肥料费用超过6百元且不超过10百元时，．此外，还需要投入其他成本（如施肥的人工费等）百元．已知这种梨的市场售价为18百元／百千克，且市场需求始终供不应求．记该棵梨树获得的利润为（单位：百元）．
(1)求利润的函数解析式；
(2)当投入的肥料费用为多少时，该梨树获得的利润最大？最大利润是多少？
7．已知某企业生产某种设备的最大产能为70台，每台设备的售价为80万元．记该企业生产台设备需要投入的总成本为（单位：万元），且假设生产的设备全部都能售完．
(1)求利润（单位：万元）关于生产台数的函数解析式，并求该企业生产20台设备时的利润（利润销售额-成本）；
(2)当生产多少台该设备时，该企业所获利润最大？最大利润是多少万元？
8．某地区上年度电价为0.8元/kW h，年用电量为akW h，本年度计划将电价降到0.55元/kW h至0.75元/kW h之间，而用户期望电价为0.4元/kW h，经测算，下调电价后新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比（比例系数为k）．该地区电力的成本为0.3元/kW h．
(1)写出本年度电价下调后，电力部门的收益y与实际电价x的函数关系式；
(2)设，当电价最低定为多少时仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20%？
（注：收益＝实际用电量×（实际电价﹣成本价））
9．经市场调查，某超市的一种商品在过去的一个月内（以30天计），销售价格（元）与时间t（天）的函数关系近似满足，销售量（件）与时间t（天）的函数关系近似满足．
(1)试写出该商品的日销售金额关于时间t（1≤≤30，t∈N）的函数表达式；
(2)求该商品的日销售金额的最大值与最小值．
1．已知函数是定义在上的奇函数，且，若对于任意两个实数，且，不等式恒成立，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
3．已知函数.
(1)，求在上的值域；
(2)，求在上的值域.
1．函数的概念和三要素
2．函数的性质及利用性质解决不等式与最值的问题
3．幂函数
4. 函数的应用
单选题
1．已知定义在R上的严格递增函数满足：任意，有，则下列两个命题的真假情况是（ ）
命题甲：存在非零实数T，使得任意；
命题乙：存在非零实数c，使得任意．
A．甲真乙假 B．甲假乙真 C．甲真乙真 D．甲假乙假
2．已知函数，若，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
3．“”是“为幂函数”的（ ）条件
A．充分不必要 B．必要不充分
C．充要 D．既不充分也不必要
4．下列图象中，函数的部分图象有可能是（ ）
A． B．
C． D．
5．若函数，则（ ）
A． B． C． D．
6．已知函数是上单调递增的奇函数．若，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
7．函数的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
8．若函数.为奇函数，则（ ）
A．0 B．1 C． D．无解
9．定义在上的奇函数，其图象关于对称，且时，，则（ ）
A．0 B．3 C．6 D．
10．设函数，则下列结论正确的是（）
A．为偶函数 B．在区间上为增函数
C．的值域为 D．不等式的解集为
11．（多选题）关于函数的单调性的叙述正确的是（ ）
A．函数在上是递增的
B．函数在上是递增的
C．函数在上是递增的
D．函数的递增区间是和
12．已知函数的定义域为，函数为奇函数，的图象关于直线对称，则（ ）
A．的图象关于点中心对称 B．为偶函数
C．是周期为4的函数 D．
13．已知偶函数的定义域为，且，则的值域为 .
14．已知函数，若满足，则 ．
15．已知集合，将与（其中， ）的乘积放入如图方格中，则方格中全部数之和的最大值为 .
16．设函数在上有定义，且满足以下性质：①，②．则 ．
17．已知是定义在上的奇函数，对于任意的，都有，且，则不等式的解集为 ．
18．已知函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，若函数.
(1)求曲线的对称中心；
(2)判断在区间上的单调性，并用定义证明.
19．已知函数.
(1)若，求不等式的解集；
(2)对，不等式恒成立，求的最小值.
20．已知函数的定义域为，且满足．
(1)判断函数的奇偶性并证明；
(2)若，求的值；
(3)若时，，解不等式．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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