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第1讲 集合及逻辑用语
【题1】已知集合，则集合的真子集个数为（ ）
A．32 B．4 C．5 D．31
【答案】D
【详解】∵
∴为12的正约数，又，
∴ ，4，3，2，0
∴集合，
∴ 集合A的真子集个数为31，
故选：D.
【题2】集合，用列举法可以表示为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】解：因为，可得；
所以.
故选：C
点评：通过例题1，例题2对比，在例题1中集合的一般元素代表是“”，只是一般元素“”满足的共同特征，转化为列举法表示集合； 例题2中，集合的一般元素代表为“”这个分式化简后的数才是集合的元素，转化为列举法表示； 通过例题1,2对比，注意描述法表示集合时一般元素代表和元素共同特征的区别.
【题3】集合中含有的元素个数为
A．4 B．6 C．8 D．12
【答案】B
【详解】解：因为集合中的元素表示的是被12整除的正整数，那么可得为1，2,3,4，6，,12故选B
类型二：根据元素与集合的关系求参数
【题4】已知集合 ，且 ，则实数的值为（ ）
A．3 B．2 C．0或3 D．0或2或3
【答案】A
【详解】解：因为，且，所以或，解得或或，当时，即集合不满足集合元素的互异性，故，当时集合不满足集合元素的互异性，故，当时满足条件；
故选：A
点评：本例考查①分类讨论思想；②回代检验 ①由于，所以在集合中，分类或者； ②求出后，切记回代检验，由于集合元素的互异性，注意检验求出的是否满足集合元素互异性这一特点.
【题5】设集合，，若，则实数______.
【答案】
【详解】解：因为，
所以，即是方程一个实数根，
所以，解得或，
当时，，此时不满足，舍；
当时，，满足条件.
故答案为：
点评：本例考查回代检验 ①由于,所以，所以是方程一个实数根，解出或； ②求出后，切记回代检验，检验的标准就是注意，只有一个公共元素“1”，多了不行，少了也不行.
【题6】已知集合，若，则实数的取值集合为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】当时，，此时，满足题意；
当时，或；
若，，满足题意；若，，不满足互异性，不合题意；
实数的取值集合为.
故选：.
类型三：根据集合中元素的个数求参数
【题7】若集合只有一个元素，则实数的取值集合是_________
【答案】
【详解】只有一个元素；
方程只有一个解；
时，，，满足题意；
时，；
；
∴实数的取值集合是.
故答案为：.
点评：本例考查：分类讨论思想，对于方程，当时，原方程为一次方程；当时，原方程为二次方程 时，，，满足题意； 时，；； 特别提醒，对于最高项系数含参数如本题，特别注意讨论，往往很多学生忽略该种情况而造成错解.
【题8】若集合不含有任何元素，则实数的取值范围是________．
【答案】##
【详解】解：因为集合不含有任何元素，
所以方程无实根，
当时，方程为，可得符合题意；
当时，方程无实根，则，解得，
综上所述，.
故答案为：.
【题9】若集合则实数的取值集合为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】当时，不等式等价于，此时不等式无解；
当时，要使原不等式无解，应满足，解得；
综上，的取值范围是．
故选：B．
类型四：,的等价应用
【题10】已知集合，.
若，求实数的取值范围.
【答案】.
因为，所以，
所以，解得.
所以实数a的取值范围为.
点评：本题考查包含关系：，由于本例中集合的范围明确，不含参数，否则，要分类讨论①;②;本例不需要分类讨论； 在解包含关系的不等式问题，往往借助数轴解题，遵循，先确定大方向，后验证个别点 ①先确定大方向：由于，所以（注意此时确定大方向，不要着急把等号等上去） ②验证个别点：采用假设相等法验证，假设，代入右端点检验，代入后检验满足，则将等号补上，此时不等式组变为： ③检验右端点，假设，代入左端点检验是否满足，检验后满足条件，补上等号，此时不等式组为：
【题11】已知集合，集合.
(1)求.
(2)求，求的取值范围.
【答案】(1)(2)
(1)解：由，即，可得，可得集合.
(2)解：因为，且集合，
又因为，即，
当时，即，可得，此时满足；
当时，则满足，解得，
综上可得，，即实数的取值范围.
点评：本题考查包含关系：，由于本例中集合的范围含参数，要分类讨论①;②;本例需要分类讨论； ①当时，即，可得，此时满足； ②当时,需要满足：，另外由于，采用先确定大方向，后验证个别点的方法； 先确定大方向： 验证左端点：假设，代入右端点检验，不符合题意，左端点不能取等； 验证右端点：假设，代入左端点检验符合，所以不等式变为： 综上可得，，即实数的取值范围.
【题12】已知集合，.
(1)若，求；
(2)若，求的取值集合.
【答案】(1)
(2)或.
(1)当时，.
因为，
所以.
(2)因为，所以.
当时，解得，，符合题意；
当，即时，，符合题意；
当，即时，，
则解得.
综上，a的取值集合是或.
点评：本例第（2）问：，由于，故本例需分类讨论： ①；②是单元素集，即或；③ ①，即； ②是单元素集，即或，即，注意求出，回代检验或； ③，即，且（韦达定理）
类型五：利用图解决集合问题
【题13】某网店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出19种商品，第二天售出13种商品，第三天售出18种商品；前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有4种．则该网店这三天售出的商品最少有（ ）．
A．25种 B．27种 C．29种 D．31种
【答案】C
【详解】解：因为前两天都售出的商品有3种，因此第一天售出且第二天没有售出的商品有（种；
同理第三天售出的商品中有14种第二天未售出，有1种商品第一天未售出；
所以三天商品种数最少时，是第三天中14种第二天未售出的商品都是第一天售出过的，
此时商品总数是（种；
分别用集合、、表示第一、第二和第三天售出的商品，则商品数最少时，
如图所示．
故选：C．
【题14】某疫情防控志愿者小组有20名志愿者，由党员和大学生组成，其中有15人是党员，有9人是大学生，则既是党员又是大学生的志愿者人数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【详解】因为志愿者小组有20名志愿者，由党员和大学生组成，其中有15人是党员，有9人是大学生，
所以由Venn可得既是党员又是大学生的志愿者人数为．
故选：C
【题15】向某50名学生调查对A，B两事件的态度，其中有30人赞成A，其余20人不赞成A；有33人赞成B，其余17人不赞成B；且对A，B都不赞成的学生人数比对A，B都赞成的学生人数的三分之一多1人，则对A，B都赞成的学生人数为（ ）
A．18 B．19 C．20 D．21
【答案】D
【详解】记赞成A的学生组成集合A，赞成B的学生组成集合B，50名学生组成全集U，则集合A有30个元素，集合B有33个元素.
设对A，B都赞成的学生人数为x，则集合的元素个数为，如图，
由Venn图可知，，即，解得，
所以对A，B都赞成的学生有21人.
故选：D
【题16】已知，则是的（ ）条件.
A．充分不必要 B．必要不充分
C．充要 D．既不充分也不必要
【答案】A
【详解】记集合，.
因为AB，所以是的充分不必要条件.
故选：A
点评：本例考查（1）分式不等式的解法；（2）充分必要性的推理 （1）分式不等式的解法： ①移项化零：将分式不等式右边化为0（注意不等式右边只能化为0）： ② ③ ④ ⑤ (2)“是”标志词（正序） ①充分必要性问题，在表示范围时，遵循：“小范围”推出“大范围”；但“大范围”推不出“小范围” ②从集合的角度看，：，若,则，但（说明:集合表示的是小范围，集合表示的是大范围，遵循：“小范围”推出“大范围”；但“大范围”推不出“小范围”的原则） ③本例表示的范围：，表示的范围：，借助数轴判断发现表示的范围比小.
【题17】设，则“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】由，得，解得，
由，得，得，
因为当时，一定成立，
而当时，不一定成立，
所以“”是“”的充分不必要条件，
故选：A
点评：本例考查（1）绝对值不等式的解法；（2）充分必要性的推理 （1）绝对值不等式的解法： ① ② (2)“是”标志词（正序） ①设表示：解得；表示：得 ②借助数轴，观察表示的是小范围，表示的是大范围； ③遵循：“小范围”推出“大范围”；但“大范围”推不出“小范围”解题
【题18】“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】由，可得，则，由，可得，则，故“”是“”的充分不必要条件.
故选：A
【题19】（多选）若：，则成立的一个充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】CD
【详解】由p：得且，解得或，故选项C，D是命题p的充分不必要条件，
故选：CD．
点评：本例考查（1）分式不等式的解法；（2）“的”标志词倒序结构 （1）分式不等式的解法： ①：（注意此时不等号右边是1，要先化为0），再通分： ②根据分式不等式解法解得或； （2）“的”标志词（倒叙） ①假设要选择的答案为 ②将倒叙结构调整为正序结构：是的充分不必要条件 ③根据“小范围”推出“大范围”；但“大范围”推不出“小范围”解题，分析得到表示的范围比表示的范围更小，而表示：或；观察答案，找在或范围内的小范围，即为答案.
【题20】若不等式成立的一个充分条件为，则实数的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】成立时，，由解得，
设集合，，
由依题意得，所以，解得.
故选:D．
点评：本例考查“的”标志词（倒叙） ①假设表示记为：；表示：记为： ②将倒叙结构调整为正序结构：是的充分条件 ③根据“小范围”推出“大范围”；分析得到表示的范围比表示的范围更小，得到，所以，解得.
【题21】已知，若不等式的一个必要条件为，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】因为，所以，因为不等式的一个必要条件为，所以得.
故选：C．
【题22】命题“，”为真命题的一个充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】，
因为命题“，”为真命题，
所以有，显然选项A是充要条件， 由不一定能推出，
由不一定能推出，由一定能推出，
故选：D
【题23】若命题“，使得”是真命题，则实数的取值集合是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】当时，等价于不满足对于恒成立，不符合题意；
当时，若对于恒成立，
则即可得：，
综上所述：实数的取值集合是，
故选：B.
点评：本例考查的是恒成立的简单问题，主要考查不等式，恒成立，注意到最高项系数含参数需分类讨论：（1）（2）； （1）不等式化简为：，不满足恒成立；所以（舍去） （2），则原不等式为二次不等式，通过分析题意判断为：二次函数在区间上的恒成立问题：可以采用法，即：得：
【题24】若命题“，”是真命题，则实数的取值范围是(　)
A． B．
C．或 D．或
【答案】C
【详解】由题意，，
则，解得或，
所以实数的取值范围是，故选C.
点评：本例考查的是能成立的简单问题，主要考查不等式，上有解，注意到最高项系数不含参数，所以不需分类讨论； 通过分析题意判断为：二次函数在区间上的能成立问题：可以采用法，即：得或.
【题25】命题“”为真命题，则实数的取值范围是（　　）
A． B．
C．或 D．或
【答案】A
【详解】因为，所以，
所以，故选：A.
【题26】已知命题“”是假命题，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：因为命题“”是假命题，
所以该命题的否定为,是 真命题，
当时，函数有解，故成立，
当时，对应函数开口向下，显然成立，
当时，，解得
综上，实数a的取值范围是
故选：C
【题27】已知 使是真命题， 则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】因为 使是真命题，所以在上能成立，即在上能成立， 设，开口向上，且对称轴为，所以在上的最小值为当时，，故，
故选：C.
点评：本例考查的是能成立的简单问题，主要考查不等式，上有解，注意到最高项系数不含参数，所以不需分类讨论；但是本题区间不是区间，故不能直接使用法；此时考虑更通用的方法：变量分离法：即将参数分离到不等号的一边，如本例分离后为：；在进行等价转化为：，从而构造，求上的最小值.
【题28】若命题“”是假命题，则实数的范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】若命题“”是假命题，
则命题“”是真命题，
当时，，所以.
故选：A.
点评：本例考查的是恒成立的简单问题，由题意：”是假命题等价转化为：”是真命题， 主要考查不等式恒成立问题，注意到最高项系数不含参数，所以不需分类讨论；但是本题区间不是区间，故不能直接使用法；此时考虑更通用的方法：变量分离法：即将参数分离到不等号的一边，等价转化为：，从而构造，求上的最大值.
同类题型演练
【题29】命题“，”为假命题，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】若命题“，”为假命题，
则，为真命题，
则对恒成立，
令，，则
开口向上的抛物线，对称轴为，
所以在随的增大而增大，
所以当时，
所以，
故选：A
【题30】命题“，”为真命题的充要条件是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】原命题可写为“，”，
当时，随x增大而增大，所以取 最大值为3，
所以．
故选：D
名校真题练
【练习1】设集合A＝{x|2a＜x＜a+2}，B＝{x|x＜﹣3或x＞5}，若A∩B＝ （　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由A∩B＝ ，则2a≥a+2或，然后求解．
【解答】解：已知集合A＝{x|2a＜x＜a+2}，B＝{x|x＜﹣5或x＞5}，
又A∩B＝ ，
则2a≥a+2或，
即a≥2或，
则实数a的取值范围为．
故选：A．
【练习2】已知x，y∈R，则使x＞y成立的充分条件为（　　）
A． B． C．x2＞（y+1）2 D．（x﹣1）3＞y3
【答案】D
【分析】举出反例检验选项A，B，C，结合不等式性质判断D．
【解答】解：当x＝﹣2，y＝﹣2时，，但是不满足x＞y；
当y＝1，x＝0时，，即B不符合题意；
当x＝﹣7，y＝﹣1时，x2＞（y+7）2，但是不满足x＞y，不符合题意；
当（x﹣1）2＞y3时，可得x﹣1＞y，可以得出x＞y．
故选：D．
【练习3】以下五个式子中，错误的个数为（　　）
①{1}∈{0，1，2}
②{1，﹣3}＝{﹣3，1}
③{0，1，2} {1，0，2}
④ ∈{0，1，2}
⑤ ∈{0}．
A．5 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】据“∈”于元素与集合；“∩”用于集合与集合间；判断出①③⑤错， 是不含任何元素的集合且是任意集合的子集判断出④的对错；据集合元素的三要素判断出②对错．
【解答】解：①应是{1} {0，7，2}，
对于②，集合中元素的三要素有互异性，
③任何集合都是本身的子集，故{0，3，0，2}正确．
④应是 {8，1，2}．
故错误的有①④⑤．
故选：C．
【练习4】已知命题p： x∈R，ax2+2x+3＞0为真命题，则实数a的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】问题转化为不等式ax2+2x+3＞0的解集为R，根据一元二次不等式解集的形式求参数的值．
【解答】解：因为命题p： x∈R，ax2+2x+5＞0为真命题，所以不等式ax2+3x+3＞0的解集为R．
所以：若a＝4，则不等式ax2+2x+5＞0可化为2x+4＞0 ，不等式解集不是R；
若a≠0，则根据一元二次不等式解集的形式可知：，
综上可知：．
故选：D．
【练习5】命题，则 p是（　　）
A． B．
C．或x﹣1＝0 D．或x﹣1＝0
【答案】D
【分析】根据全称命题的否定：任意改存在并否定原结论，即可得答案．
【解答】解：由全称命题的否定是特称命题知：原命题的否定为或x﹣5＝0．
故选：D．
【练习6】设集合M＝{x|x＝2k+1，k∈Z}，N＝{x|x＝3k﹣1，则M∩N＝（　　）
A．{x|x＝2k+1，k∈Z} B．{x|x＝3k﹣1，k∈Z}
C．{x|x＝6k+1，k∈Z} D．{x|x＝6k﹣1，k∈Z}
【答案】D
【分析】利用最小公倍数排除A，B，利用奇数和偶数排除C，求解即可．
【解答】解：集合M＝{x|x＝2k+1，k∈Z}，k∈Z}，
则M∩N中k前面的系数应为5，3的最小公倍数，B，
对于C，当k＝1时，k∈Z}为{x|x＝5}，
而令3k﹣1＝3，可得k不为整数，k∈Z}不含有7，
可得M∩N中不含有7，故C错误．
故选：D．
【练习7】集合S＝{x|x＝m+，m∈Z}，P＝{x|x＝+，Q＝{x|x＝，k∈Z}（　　）
A．S P Q B．S P＝Q C．S＝P Q D．P Q S
【答案】B
【分析】先化简三个集合，再根据集合的关系即可求解．
【解答】解：∵S＝{x|x＝m+，m∈Z}＝{x|x＝，
P＝{x|x＝+，n∈Z}＝{x|x＝，
Q＝{x|x＝，k∈Z}＝{x|x＝，n∈Z}，
∴S P＝Q，
故选：B．
【练习8】设m∈R，命题“存在m≥0，使mx2﹣mx﹣1＝0有实根”的否定是（　　）
A．任意m≥0，使mx2﹣mx﹣1＝0无实根
B．任意m＜0，使mx2﹣mx﹣1＝0有实根
C．存在m≥0，使mx2﹣mx﹣1＝0无实根
D．存在m＜0，使mx2﹣mx﹣1＝0有实根
【答案】A
【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．
【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，
所以命题“存在m≥0，使mx2﹣mx﹣5＝0有实根”的否定是：“任意m≥0，使mx3﹣mx﹣1＝0无实根”．
故选：A．
【练习9】若集合M满足：M≠ ，若a∈M，则﹣a∈M，B＝{x|x≤1}，那么下列集合中为“偶集合”的是（　　）
A．A∩B B．A∪B C．A∩（ RB） D．（ RA）∩B
【答案】D
【分析】分别求出A∩B，A∪B，A∩（ RB），（ RA）∩B，利用“偶集合”的定义逐一判断即可．
【解答】解：因为 A＝{x|x＜﹣1}，所以 ，
因为﹣2∈A∩B，但 8 A∩B，
A∪B＝{x≤1}，因为﹣3∈A∪B，但 ，故B错误，
RB＝{x|x＞8}，所以 RB）＝ ，不合题意，
RA＝{x|x ﹣1}，所以 RA）∩B＝{x|﹣1 x 8}，
满足对 α∈[（ RA）∩B]，﹣a∈[（ RA）∩B]，
∴（ RA）∩B 是一个“偶集合”，
故选：D．
【练习10】某班有学生56人，同时参加了数学小组和英语小组的学生有32人，同时参加了英语小组和语文小组的学生有22人，则该班学生中只参加了数学小组、英语小组和语文小组中的一个小组的人数最多是（　　）
A．20 B．21 C．23 D．25
【答案】B
【分析】设该班学生中同时参加了数学小组、英语小组和语文小组的人数为x，只参加其中一个小组的人数为y，作出韦恩图，列方程能求出结果．
【解答】解：某班有学生56人，同时参加了数学小组和英语小组的学生有32人，
同时参加了英语小组和语文小组的学生有22人，
同时参加了数学小组和语文小组的学生有25人，已知该班学生每人至少参加了1个小组，
如图，设该班学生中同时参加了数学小组，
只参加其中一个小组的人数为y，
则（32﹣x）+（25﹣x）+（22﹣x）+x+y＝56，即y＝2x﹣23，
因为x≤22，所以y≤21．
故选：B．
【练习11】（多选）已知命题p：x2﹣5x+4≤0，则命题p成立的一个充分不必要条件是（　　）
A．1≤x＜2 B．2＜x≤4 C．1≤x D．x≤4
【答案】AB
【分析】先求出p的范围，然后结合充分及必要性检验各选项即可判断．
【解答】解：由x2﹣5x+8＝（x﹣1）（x﹣4）≤6，解得1≤x≤4，
7≤x＜2和2＜x≤7都是命题p成立的充分不必要条件．
故选：AB．
【练习12】下列说法正确的是（　　）
A．“”是“a＜b”的充分不必要条件
B．A∩B＝ 是A＝ 的必要不充分条件
C．若a，b，c∈R，则“ac2＞bc2”的充要条件是“a＞b”
D．若a，b∈R，则“a2+b2≠0”是“|a|+|b|≠0”的充要条件
【答案】BD
【分析】结合不等式性质检验选项A，C，D，结合集合交集运算检验选项B．
【解答】解：当a＝2，b＝﹣2时，有，
反之当a＝﹣2，b＝5时，但，所以两者既不充分也不必要；
当A＝{7}，B＝{2}时，但A≠ ，
当A＝ 时，A∩B＝ ；
当ac2＞bc6时，可得a＞b，
反之，a＞b时，则ac2＝bc2，
所以两者不是充要条件，故C错误；
若a5+b2≠0 a，b不同时为5 |a|+|b|≠0．
故选：BD．
【练习13】若“ x∈[，2]，使得2x2﹣λx+1＜0成立”是假命题，则实数λ的取值范围为　（﹣∞，2]　 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据“ x∈[，2]，不等式2x2﹣λx+1＜0成立”是假命题，求出“ x∈[，2]，使得λ＞2x+成立”是假命题时λ的最小值，即可求出实数λ的取值范围．
【解答】解：若“ x∈[，6]2﹣λx+1＜4成立”是假命题，
即“ x∈[，2]成立”是假命题，
由x∈[，2]时，函数y＝2x+＝2，即x＝，
所以y的最小值为2；
所以实数λ的取值范围为（﹣∞，3]．
故答案为：（﹣∞，2]．
【练习14】设集合，B＝{x||x2﹣ax|≤2}，若A∪B＝B，则实数a的取值范围是 　　 ．
【答案】．
【分析】由题意，可得当时，不等式|x2﹣ax|≤2恒成立，设y＝|x2﹣ax|，分a＞0，a＝0，a＜0三种情况进行分类讨论，即可求得结论．
【解答】解：由A∪B＝B，可得A B，
即当时，不等式|x8﹣ax|≤2恒成立，
设y＝|x2﹣ax|，
（1）当a＜3时，如图，
因为，所以，矛盾；
（2）当a＝0时，恒成立；
（3）当a＞6时，如图，
当，即时，因为，
所以，得；
当，即时，因为，
所以，得，矛盾；
当时，由图有，则，
综上，a的取值范围是．
故答案为：．
【练习15】已知全集U＝R，集合A＝{x|x2+2x＜3}，B＝{x|﹣3＜3x﹣a＜6}．
（1）若a＝3，求A∪（ UB）；
（2）若“x∈B”是“x∈A”的充分不必要条件，求a的取值范围．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）解二次与一次不等式化简集合A，B，代入a＝3再次化简集合B，进而利用集合的交并补运算即可得解；
（2）根据题意得到B是A的真子集，从而利用集合的包含关系得到关于a的不等式组，解之即可得解．
【解答】解：（1）由题意知A＝{x|x2+2x＜3}＝（﹣3，1），
若a＝3，B＝{x|﹣3＜3x﹣8＜6}＝{x|0＜x＜3}，
所以 UB＝（﹣∞，0]∪[3，
所以A∪（ UB）＝（﹣∞，5）∪[3．
（2）因为“x∈B”是“x∈A”的充分不必要条件，所以B A，
因为，所以，
所以且等号不同时成立，
则a的取值范围是[﹣2，﹣3]．
【练习16】已知集合A＝{x|x2﹣2x﹣8≤0}，B＝{x|m﹣3≤x≤3m+3}．
（1）若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，求实数m的取值范围；
（2）若A∩B＝ ，求实数m的取值范围．
【答案】（1）；
（2）．
【分析】（1）根据充分不必要条件可以得出A B，再列出不等式组计算即可；
（2）分B＝ 和B≠ 两种情况分类讨论集合间关系列不等式求解即可．
【解答】解：（1）由题意，x2﹣2x﹣3≤0，解得﹣2≤x≤8，
∴A＝{x|﹣2≤x≤4}．
由“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，得A B，
则且等号不能同时取到，
故实数m的取值范围为．
（2）当B＝ 时，得m﹣3＞3m+3，符合题意；
当B≠ 时，得m﹣3≤3m+3，
由A∩B＝ ，得m﹣3＞2或3m+3＜﹣4，
∴或m＞4；
综上所述，实数m的取值范围为．
【练习17】已知集合A＝{x∈R|ax2﹣3x+2＝0，a∈R}．
（1）若A是空集，求a的取值范围；
（2）若A中只有一个元素，求a的值，并把这个元素写出来；
（3）若A中至少有一个元素，求a的取值范围．
【答案】（1）；
（2）a的值为0或，当a＝0时，元素为，当时，元素为；
（3）．
【分析】（1）A是空集，则方程为二次方程，且方程无实根；
（2）讨论a＝0、a≠0，分别求出a值和集合中的元素；
（3）讨论a＝0、a≠0，结合集合元素个数及一元二次方程判别式求集合或参数范围．
【解答】解：（1）A是空集，∴a≠0且Δ＜0，解得，
∴a的取值范围为：；
（2）当a＝0时，集合，
当a≠0时，Δ＝0，解得，
综上所求，a的值为0或，元素为，当时；
（3）当a＝0时，，符合题意；
当a≠0时，要使关于x的方程ax2﹣7x+2＝0有实数根，则Δ＝7﹣8a≥0，得．
综上，若集合A中至少有一个元素．
【练习18】已知集合A＝{1，2}和非空集合B＝{x|x2﹣2ax+a＝0}，C＝{x|x2﹣mx+3≥0}．
（1）若命题P：“ x∈B，都有x∈A”为真命题，求实数a的取值；
（2）若“x∈C”是“x∈A”的必要条件，求实数m的取值范围．
【答案】（1）a；
（2）．
【分析】（1）由已知结合元素与集合关系分析B的可能情况，即可求解；
（2）结合充分必要性与集合包含关系的转化即可求解．
【解答】解：（1）由题意知B A，
因为集合B≠ ，所以B＝{1}或{2}或{8．
当B＝{1}时，解得a＝4；
当B＝{2}时，无解；
当B＝{2，2}时，，
综上，a＝3．
（2）由题意可得，A C，
所以
解得．
故实数m的取值范围是．
【练习19】已知函数y＝ax2﹣（a+1）x+1，a∈R．
（1）若a＝2，当x＞1时，求的最小值；
（2）求关于x的不等式ax2﹣（a+1）x+1＞0（a＞0）的解集；
（3）当a＜0时，已知A＝{x|﹣2≤x≤﹣1}，B＝{x|y+a＞0}，求a的取值范围．
【答案】（1）7；
（2）当a＞1时，原不等式解集为；
当0＜a＜1时，原不等式解集为；
当a＝1时，原不等式解集为{x|x≠1}；
（3）．
【分析】（1）利用基本不等式求解；
（2）对a分情况讨论，结合二次函数的性质求解；
（3）由题意可知，不等式ax2﹣（a+1）x+1+a＞0在﹣2≤x≤﹣1时恒成立，再结合二次函数的性质求解．
【解答】解：（1）当a＝2时，
，
当且仅当，即x＝2时取等号，
即的最小值为5；
（2）y＝ax2﹣（a+1）x+2＝（ax﹣1）（x﹣1），
当，即0＜a＜6时或x＜1，
当，即a＞1时或x＞1，
当，即a＝1时．
综上，当a＞1时；
当0＜a＜7时，原不等式解集为；
当a＝2时，原不等式解集为{x|x≠1}；
（3）不等式y+a＞0可化为ax5﹣（a+1）x+1+a＞5，
因为A B，
所以不等式ax2﹣（a+1）x+8+a＞0在﹣2≤x≤﹣6时恒成立，
结合二次函数图象知，，
即，
解得，
故a的取值范围是．
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第1讲 集合及逻辑用语
【题1】已知集合，则集合的真子集个数为（ ）
A．32 B．4 C．5 D．31
【题2】集合，用列举法可以表示为（ ）
A． B．
C． D．
【题3】集合中含有的元素个数为
A．4 B．6 C．8 D．12
类型二：根据元素与集合的关系求参数
【题4】已知集合 ，且 ，则实数的值为（ ）
A．3 B．2 C．0或3 D．0或2或3
【题5】设集合，，若，则实数______.
【题6】已知集合，若，则实数的取值集合为（ ）
A． B． C． D．
类型三：根据集合中元素的个数求参数
【题7】若集合只有一个元素，则实数的取值集合是_________
【题8】若集合不含有任何元素，则实数的取值范围是________．
【题9】若集合则实数的取值集合为（ ）
A． B． C． D．
类型四：,的等价应用
【题10】已知集合，.
若，求实数的取值范围.
【题11】已知集合，集合.
(1)求.
(2)求，求的取值范围.
【题12】已知集合，.
(1)若，求；
(2)若，求的取值集合.
类型五：利用图解决集合问题
【题13】某网店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出19种商品，第二天售出13种商品，第三天售出18种商品；前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有4种．则该网店这三天售出的商品最少有（ ）．
A．25种 B．27种 C．29种 D．31种
【题14】某疫情防控志愿者小组有20名志愿者，由党员和大学生组成，其中有15人是党员，有9人是大学生，则既是党员又是大学生的志愿者人数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【题15】向某50名学生调查对A，B两事件的态度，其中有30人赞成A，其余20人不赞成A；有33人赞成B，其余17人不赞成B；且对A，B都不赞成的学生人数比对A，B都赞成的学生人数的三分之一多1人，则对A，B都赞成的学生人数为（ ）
A．18 B．19 C．20 D．21
【题16】已知，则是的（ ）条件.
A．充分不必要 B．必要不充分
C．充要 D．既不充分也不必要
【题17】设，则“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【题18】“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【题19】（多选）若：，则成立的一个充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
【题20】若不等式成立的一个充分条件为，则实数的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
【题21】已知，若不等式的一个必要条件为，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【题22】命题“，”为真命题的一个充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
【题23】若命题“，使得”是真命题，则实数的取值集合是（ ）
A． B． C． D．
【题24】若命题“，”是真命题，则实数的取值范围是(　)
A． B．
C．或 D．或
【题25】命题“”为真命题，则实数的取值范围是（　　）
A． B．
C．或 D．或
【题26】已知命题“”是假命题，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【题27】已知 使是真命题， 则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【题28】若命题“”是假命题，则实数的范围是（ ）
A． B． C． D．
【题29】命题“，”为假命题，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【题30】命题“，”为真命题的充要条件是（ ）
A． B．
C． D．
名校真题练
【练习1】设集合A＝{x|2a＜x＜a+2}，B＝{x|x＜﹣3或x＞5}，若A∩B＝ （　　）
A． B． C． D．
【练习2】已知x，y∈R，则使x＞y成立的充分条件为（　　）
A． B． C．x2＞（y+1）2 D．（x﹣1）3＞y3
【练习3】以下五个式子中，错误的个数为（　　）
①{1}∈{0，1，2}
②{1，﹣3}＝{﹣3，1}
③{0，1，2} {1，0，2}
④ ∈{0，1，2}
⑤ ∈{0}．
A．5 B．2 C．3 D．4
【练习4】已知命题p： x∈R，ax2+2x+3＞0为真命题，则实数a的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【练习5】命题，则 p是（　　）
A． B．
C．或x﹣1＝0 D．或x﹣1＝0
【练习6】设集合M＝{x|x＝2k+1，k∈Z}，N＝{x|x＝3k﹣1，则M∩N＝（　　）
A．{x|x＝2k+1，k∈Z} B．{x|x＝3k﹣1，k∈Z}
C．{x|x＝6k+1，k∈Z} D．{x|x＝6k﹣1，k∈Z}
【练习7】集合S＝{x|x＝m+，m∈Z}，P＝{x|x＝+，Q＝{x|x＝，k∈Z}（　　）
A．S P Q B．S P＝Q C．S＝P Q D．P Q S
【练习8】设m∈R，命题“存在m≥0，使mx2﹣mx﹣1＝0有实根”的否定是（　　）
A．任意m≥0，使mx2﹣mx﹣1＝0无实根
B．任意m＜0，使mx2﹣mx﹣1＝0有实根
C．存在m≥0，使mx2﹣mx﹣1＝0无实根
D．存在m＜0，使mx2﹣mx﹣1＝0有实根
【练习9】若集合M满足：M≠ ，若a∈M，则﹣a∈M，B＝{x|x≤1}，那么下列集合中为“偶集合”的是（　　）
A．A∩B B．A∪B C．A∩（ RB） D．（ RA）∩B
【练习10】某班有学生56人，同时参加了数学小组和英语小组的学生有32人，同时参加了英语小组和语文小组的学生有22人，则该班学生中只参加了数学小组、英语小组和语文小组中的一个小组的人数最多是（　　）
A．20 B．21 C．23 D．25
【练习11】（多选）已知命题p：x2﹣5x+4≤0，则命题p成立的一个充分不必要条件是（　　）
A．1≤x＜2 B．2＜x≤4 C．1≤x D．x≤4
【练习12】下列说法正确的是（　　）
A．“”是“a＜b”的充分不必要条件
B．A∩B＝ 是A＝ 的必要不充分条件
C．若a，b，c∈R，则“ac2＞bc2”的充要条件是“a＞b”
D．若a，b∈R，则“a2+b2≠0”是“|a|+|b|≠0”的充要条件
【练习13】若“ x∈[，2]，使得2x2﹣λx+1＜0成立”是假命题，则实数λ的取值范围为　 　 ．
【练习14】设集合，B＝{x||x2﹣ax|≤2}，若A∪B＝B，则实数a的取值范围是 　 　 ．
【练习15】已知全集U＝R，集合A＝{x|x2+2x＜3}，B＝{x|﹣3＜3x﹣a＜6}．
（1）若a＝3，求A∪（ UB）；
（2）若“x∈B”是“x∈A”的充分不必要条件，求a的取值范围．
【练习16】已知集合A＝{x|x2﹣2x﹣8≤0}，B＝{x|m﹣3≤x≤3m+3}．
（1）若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，求实数m的取值范围；
（2）若A∩B＝ ，求实数m的取值范围．
【练习17】已知集合A＝{x∈R|ax2﹣3x+2＝0，a∈R}．
（1）若A是空集，求a的取值范围；
（2）若A中只有一个元素，求a的值，并把这个元素写出来；
（3）若A中至少有一个元素，求a的取值范围．
【练习18】已知集合A＝{1，2}和非空集合B＝{x|x2﹣2ax+a＝0}，C＝{x|x2﹣mx+3≥0}．
（1）若命题P：“ x∈B，都有x∈A”为真命题，求实数a的取值；
（2）若“x∈C”是“x∈A”的必要条件，求实数m的取值范围．
【练习19】已知函数y＝ax2﹣（a+1）x+1，a∈R．
（1）若a＝2，当x＞1时，求的最小值；
（2）求关于x的不等式ax2﹣（a+1）x+1＞0（a＞0）的解集；
（3）当a＜0时，已知A＝{x|﹣2≤x≤﹣1}，B＝{x|y+a＞0}，求a的取值范围．
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