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第3讲 一元二次不等式
【题1】不等式的解集为（ ）
A．或 B．
C．或 D．
【答案】B
【详解】法一：原不等式即为，即，解得，故原不等式的解集为．
法二：当时，不等式不成立，排除A，C；当时，不等式不成立，排除D．
故选：B．
【题2】不等式的解集是________．
【答案】
【详解】解：因为，即，
解得，所以原不等式的解集为；
故答案为：
【题3】不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．，或
【答案】C
【详解】解：由，解得，即不等式的解集为；
故选：C
【题4】不等式的解集为___________.
【答案】
【详解】不等式可化为，
解得：.
所以原不等式的解集为.
故答案为：
【题5】解不等式.
【答案】
解：不等式化为，
即
当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为
【题6】求不等式（）的解集．
【答案】当a>0时，不等式的解集为
当a＝0时，不等式的解集为{x|x∈R且x≠0}；
当a<0时，不等式的解集为
【详解】试题分析：解含参数的二次不等式，通常要比较其对应方程的两根大小才能写出不等式的解集．本题对应方程两根为，比较这两个根的大小，只需讨论与零的大小关系就可以了．
试题解析：原不等式可化为（3x－a）（4x＋a）>0．
当a>0时，不等式的解集为
当a＝0时，不等式的解集为{x|x∈R且x≠0}；
当a<0时，不等式的解集为
【题7】设函数．
当时，求关于的不等式的解集．
【答案】(1)当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为.
，即，当时，原不等式可化为，其解得情况应由与的大小关系确定，
当时，解得；
当时，解得；
当时，解得.
综上所述：当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为.
【题8】当时，求关于的不等式的解集．
【答案】
，
因为，所以不等式可化为
当时，即，原不等式的解集
当时，即，原不等式的解集为
当时即原不等式的解集.
综上所述，
当时，原不等式的解；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集.
【题9】设函数，.
解关于x的不等式；
【答案】(1)答案见解析.
当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为.
【题10】解关于的不等式.
【答案】
由题意可得，当时，不等式可化为，所以不等式的解集为，当时，，当时，，①当，解集，②当，解集为或，③当，解集为或.综上所述，当，不等式的解集为或，当，不等式的解集为，当，不等式的解集为或，当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为.
【题11】已知函数.
若，解关于的不等式.
【答案】时，解集为；
时，解集为； 时，解集为或
不等式， 可化为：.
当时，原不等式即为，．
当时，原不等式化为，或.
当时，原不等式为，可化为
因，．
综上，
时，原不等式的解集为；
时，原不等式的解集为；
时，原不等式的解集为或
【题12】若，解关于的不等式．
【答案】答案见解析.
【详解】当时，，当时，，
当时，，解得，
当时，，
若，则，若，则或，若，则或，
所以当时，原不等式的解集是；当时，原不等式的解集是；
当时，原不等式的解集是或；当时，原不等式的解集是或．
【题13】已知函数.
若，解关于的不等式.
【答案】依题意，因，则，
当时，，解得，
当时，，解得或，
当时，，解得或，
所以，当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为或；
当时，原不等式的解集为或.
【题14】解关于的不等式：．
【答案】答案见解析.
【详解】关于的不等式：中，
，
当或时，，
对应的一元二次方程有两个实数根和，
且，
故不等式的解集为或；
当时，，
对应的一元二次方程有两个相等的实数根，
不等式的解集为；
当时，，
不等式的解集为；
综上，或时，不等式的解集为或；
时，不等式的解集为；
时，不等式的解集为．
【题15】已知一元二次函数，满足．
(1)求的解析式；
(2)解关于x的不等式．
【答案】(1)(2)解集见解析
(1)解：函数，由，得
因为，所以解得；
所以.
(2)关于x的不等式可化为
因为
所以当即时，原不等式对应的方程无实数根，
又二次函数的图像开口向上，所以原不等式的解集为；
当，即时，原不等式对应的方程有两个相等的实数根，
时，原不等式的解集为；
时，原不等式的解集为；
当即或时，原不等式对应的有两个相等的实数根，
分别为且
所以原不等式解集为.
综上所知，当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当或时，原不等式解集为.
【题16】已知二次函数的图象如图所示，则不等式的解集是（ ）
A． B．或 C． D．或
【答案】A
【详解】由二次函数图象知：有.
故选：A
【题17】已知的解集为（），则的值为（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】B
【详解】解：因为的解集为（），
所以为的根，所以.
故选：B
【题18】若不等式的解集是，则的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】不等式的解集是
则根据对应方程的韦达定理得到：，
解得，
则的解集为
故选：A
【题19】若方程有唯一的实数根3，则不等式的解集为______．
【答案】
【详解】由已知得抛物线的开口向下，与x轴交于点，
故不等式的解集为．
故答案为：
【题20】若关于x的不等式的解集为，则实数m的值为______.
【答案】3
【详解】由题可知，－7和－1是二次方程的两个根，
故.经检验满足题意
故答案为：3.
【题21】若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C．D．
【答案】B
【详解】当时，不等式成立；当时，不等式恒成立，
等价于．
综上，实数的取值范围为．
故选：B．
【题22】已知命题“，”是假命题，则实数a的取值范围是________.
【答案】
【详解】由题意得，“，”是真命题，
则对恒成立，
在区间上，的最小值为，
所以，
即a的取值范围是.
故答案为：
【题23】已知关于的不等式．
(1)若对任意实数，不等式恒成立，求实数的取值范围；
(2)若对于，不等式恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
（1）若对任意实数，不等式恒成立，即恒成立
则关于的方程的判别式，
即，解得，所以实数的取值范围为．
（2）不等式，
可看成关于的一次不等式，又，
所以，解得且，所以实数的取值范围是．
【题24】（多选）不等式对任意的R恒成立，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】ACD
【详解】可整理为，
则，故A正确．
当，时，满足，即原不等式成立．B错误；
由，得，所以．C正确；
．D正确．
故选：ACD．
【题25】，则的取值范围为__________．
【答案】
【详解】由题设，可得.
故答案为：
【题26】已知不等式的解集是．
(1)求常数a的值；
(2)若关于x的不等式的解集为R，求m的取值范围．
【答案】(1)(2)
(1)因为不等式的解集是．
所以－1和3是方程的解，
把代入方程解得．经验证满足题意
(2)若关于x的不等式的解集为R，即的解集为R，
所以，
解得，所以m的取值范围是．
【题27】已知函数．
(1)当时，求函数在区间上的值域；
(2)当时，求函数在区间上的最大值；
(3)求在上的最大值与最小值．
【答案】(1)
(2)
(3)答案见解析
（1）当时，，
函数在上单调递减，在上单调递增，
，
函数在区间上的值域是；
（2）当时，，
，函数在区间上的最大值；
，函数在区间上的最大值；
函数在区间上的最大值；
（3）函数 的对称轴为，
①当，即时，函数在上是增函数，
当时，函数y取得最小值为；当时，函数取得最大值为．
②当，即时，
当时，函数取得最小值为；当时，函数取得最大值为．
③当，即时，
a时，函数取得最小值为；当时，函数取得最大值为．
④当，即时，函数在上是减函数，
故当时，函数取得最大值为；当时，函数取得最小值为．
综上，当时，函数的最大值为，最小值为，当时，函数的最大值为，最小值为，当时，函数的最大值为，最小值为，当时，函数的最大值为，最小值为
【题28】已知二次函数，且满足，.
(1)求函数的解析式；
(2)当（）时，求函数的最小值（用表示）．
【答案】(1)
(2)
（1）因为二次函数，且满足，，
所以，且，
由，得，
所以，得，
所以.
（2）因为是图象的对称轴为直线，且开口向上的二次函数，
当时，在上单调递增，
则；
当，即时，
在上单调递减，
则；
当，即时，，
综上
【题29】已知函数的图象过点，且满足．
(1)求函数的解析式；
(2)求函数在上的最小值；
【答案】(1)
(2)
(1)解：因为函数的图象过点，
所以
又，
所以，
解得，
所以；
(2)，，
当时，即时，函数在上单调递减，
所以，
当时，即时，函数在上单调递减，
在单调递增，所以；
当时，函数在上单调递增，
所以．
综上：
【题30】已知函数，若不等式的解集是
(1)求的解析式；
(2)若函数在区间上的最小值为20，求实数的值.
【答案】(1)
(2)－9或5
(1)是对应方程ax2＋2x＋c＝0的两根.
由韦达定理得，
；
(2)，对称轴为，
当，即时，，
由已知得：，
解得：m＝3或－9，又，
，
当时，，
由已知得：，
解得：m＝5或－7，又，
，
当时，，（舍去），
综上所述，m＝－9或5.
【题31】已知函数，，.
(1)若恒成立，求的取值范围；
(2)若最小值为，求的值.
【答案】(1)；
(2).
(1)因为开口向上，
由时，恒成立，可得，
所以，即，解得：，
所以的取值范围为.
(2)对称轴为，开口向上，
当时，，解得：（舍）；
当时，，（舍）；
当时，，；
所以的值为.
【题32】已知函数．
(1)当时，解关于x的不等式；
(2)函数在上的最大值为0，最小值是，求实数a和t的值．
【答案】(1)
(2)或
(1)当时，不等式，
即为，
即，所以，
所以或，
所以原不等式的解集为．
(2)，
由题意或，这时解得，
若，则，所以；
若，即，
所以，则，
综上，或．
【题33】已知函数f(x)＝－x2＋2ax＋1－a在x∈[0，1]时有最大值2，求a的值．
【答案】a＝－1或a＝2．
【详解】函数f(x)＝－x2＋2ax＋1－a＝－(x－a)2＋a2－a＋1，对称轴方程为x＝a．
（1）当a<0时，f(x)max＝f(0)＝1－a，∴1－a＝2，∴a＝－1．
（2）当0≤a≤1时，f(x)max＝f(a)＝a2－a＋1，∴a2－a＋1＝2，即a2－a－1＝0，∴a＝ (舍去)．
（3）当a>1时，f(x)max＝f(1)＝a，∴a＝2．
综上可知，a＝－1或a＝2．
名校真题练
【练习1】已知不等式x2+ax+4＜0的解集为空集，则a的取值范围是（　　）
A．﹣4≤a≤4 B．﹣4＜a＜4 C．a≤﹣4或a≥4 D．a＜﹣4或a＞4
【答案】A
【分析】根据题意，利用判别式Δ≤0，求解即可．
【解答】解：不等式x2+ax+4＜8的解集为空集，则Δ＝a2﹣16≤0，
解得﹣2≤a≤4，所以a的取值范围是{a|﹣4≤a≤6}．
故选：A．
【练习2】命题“对任意的m∈[﹣1，1]，总存在唯一的x∈[0，使得x2﹣2x﹣am﹣1＝0”成立的充分必要条件是（　　）
A．﹣2≤a≤2 B．﹣1≤a≤1 C．0＜a＜1 D．﹣1＜a＜1
【答案】D
【分析】方程变形为x2﹣2x＝am+1，转化为函数y＝x2﹣2x与y＝am+1有且仅有一个交点，依据a＝0，a＞0，a＜0分类讨论，数形结合，求解a的范围即可．
【解答】解：由x2﹣2x﹣am﹣2＝0得：x2﹣4x＝am+1；
当a＝0时，am+7＝12﹣7x＝1，解得：，满足题意；
当a＞3时，am+1∈[1﹣a；若存在唯一的x∈[8，使得x2﹣2x＝am+4成立，则y＝x2﹣2x与y＝am+6有且仅有一个交点，在平面直角坐标系中作出y＝x2﹣2x在[5，3]上的图象如下图所示，
由图象可知：当0＜am+8≤3时，y＝x2﹣3x与y＝am+1有且仅有一个交点，∴，解得：a＜5；
当a＜0时，am+1∈[3+a，结合图象可得：，则﹣1＜a＜4；
综上所述：原命题成立的充要条件为﹣1＜a＜1．
故选：D．
【练习3】若x的不等式x2+（m+1）x+m＜0的解集中恰有两个整数，则实数m的取值范围是（　　）
A．﹣2≤m＜﹣1 B．﹣2＜m≤﹣1
C．﹣2≤m＜﹣1或3＜m≤4 D．﹣2＜m≤﹣1或3≤m＜4
【答案】C
【分析】不等式化为（x+1）（x+m）＜0，只需讨论m＞1，m＜1时，求出不等式的解集，再根据不等式的解集中恰有两个整数，求出a的取值范围．
【解答】解：关于x的不等式x2+（m+1）x+m＜2可化为
（x+1）（x+m）＜0，
当m＞8时，﹣m＜﹣1；
当m＜1时，﹣m＞﹣6；
由不等式的解集中恰有两个整数，
则﹣4≤﹣m＜﹣3或7＜﹣m≤2，即3＜m≤3或﹣2≤m＜﹣1．
所以m的取值范围是[﹣3，﹣1）∪（3．
故选：C．
【练习4】若不等式ax2+bx+2＞0的解集为，则不等式2x2+bx+a＜0的解集是（　　）
A．{x|﹣2＜x＜3} B．{x|﹣3＜x＜2} C． D．
【答案】A
【分析】根据给定条件，求出a，b，代入再解不等式即得．
【解答】解：由不等式ax2+bx+2＞3的解集为，
得是方程ax8+bx+2＝0的二根，且a＜5，
于是，且，解得a＝﹣12，
不等式2x2+bx+a＜6为2x2﹣4x﹣12＜0，即x2﹣x﹣5＜0，解得﹣2＜x＜6，
所以不等式2x2+bx+a＜8的解集是{x|﹣2＜x＜3}．
故选：A．
【练习5】关于x的不等式x2+ax﹣2＜0在区间[1，4]上有解，则实数a的取值范围为（　　）
A．（﹣∞，1） B．（﹣∞，1] C．（1，+∞） D．[1，+∞）
【答案】A
【分析】关于x的不等式x2+ax﹣2＜0在区间[1，4]上有解，等价于a＜，x∈[1，4]，求出f（x）＝﹣x在x∈[1，4]的最大值即可．
【解答】解：关于x的不等式x2+ax﹣2＜4在区间[1，4]上有解，
等价于a＜，x∈[1；
设f（x）＝﹣x，4]，
则函数f（x）在x∈[1，4]单调递减，
且当x＝3时，函数f（x）取得最大值f（1）＝1；
所以实数a的取值范围是（﹣∞，1）．
故选：A．
【练习6】已知当x＜0时，关于x的不等式x2+|x﹣a|＜2有解，则实数a的取值范围是 　{a|﹣≤a＜2}　 ．
【答案】{a|﹣≤a＜2}．
【分析】根据题意，将不等式有解转化为2﹣x2＞|x﹣a|至少有一个负数解，画出图像，结合图像代入计算，即可求解．
【解答】
解：当x＜0时，不等式x2+|x﹣a|＜8有解转化为|x﹣a|＜2﹣x2至少有一个负数解，
构造y＝4﹣x2，y＝|x﹣a|，画出图形
当a＝2时，y＝|x﹣8|与y＝2﹣x2的图像相交于（2，2）点，
要使其相交于y轴左侧，则需满足a＜2，
在y＝|x﹣a|的图像不断左移的过程中，若与y＝8﹣x2左侧曲线相切，
则有2﹣x4＝x﹣a，对应的判别式Δ＝1+4（a+5）＝0，所以，
综上，a的取值范围是{a|﹣．
故答案为：{a|﹣≤a＜2}．
【练习7】已知实数a，b满足0＜b＜1+a，若关于x的不等式（a2﹣1）x2+2bx﹣b2＜0的解集中有且仅有3个整数，则实数a的取值范围是 　（1，2）　 ．
【答案】（1，2）．
【分析】把不等式化为[（a+1）x﹣b] [（a﹣1）x+b]＜0，根据不等式的解集中有且仅有3个整数，由0＜b＜1+a 可得a＞1，写出不等式的解集，考查解集端点的范围，即可求出a的取值范围．
【解答】解：关于x 的不等式 （a2﹣1）x4+2bx﹣b2＜3，
因为0＜b＜1+a，所以不等式化为[（a+3）x﹣b] [（a﹣1）x+b]＜0，
因为不等式的解集中有且仅有3个整数，所以a﹣1＞0；
所以不等式的解集为﹣＜x＜，
所以解集里的整数是﹣2，﹣6，
所以﹣3≤﹣＜﹣8，
又因为b＜1+a，所以3a﹣7＜1+a，
综上知，实数a的取值范围是（1．
故答案为：（2，2）．
【练习8】已知函数y＝ax2+（1﹣a）x+a（a∈R）．
（1）若ax2+（1﹣a）x+a≥0对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围；
（2）解关于x的不等式ax2+（1﹣a）x+a＜3a+2．
【答案】（1）；
（2）当a＝0时，解集为{x|x＜2}；
当a＞0时，解集为；
当时，解集为{x|x＜2或；
当时，解集为{x|x≠2}；
当时，解集为或x＞2}．
【分析】（1）根据一元二次不等式恒成立，讨论a＝0、a≠0，结合二次函数的性质列不等式求参数范围；
（2）由题设有[ax+（a+1）]（x﹣2）＜0，应用分类讨论求对应解集．
【解答】解：（1）由题意，ax2+（1﹣a）x+a≥2对一切实数x恒成立，
当a＝0时，不等式可化为x≥0；
当a≠6时，则有；
故实数a的取值范围是．
（2）不等式ax2+（6﹣a）x+a＜3a+2等价于ax7+（1﹣a）x﹣2（a+6）＜0，即[ax+（a+1）]（x﹣5）＜0，
当a＝0时，不等式可化为x﹣4＜0；
当a≠0时，ax2+（1﹣a）x﹣2（a+5）＝0的两根为x1＝﹣8﹣，x2＝8，
当a＞0时，不等式解集为；
当时，不等式解集为{x|x＜2或；
当时，不等式解集为{x|x≠2}；
当时，不等式解集为．
综上所述，
当a＝3时，解集为{x|x＜2}；
当a＞0时，解集为；
当时，解集为{x|x＜2或；
当时，解集为{x|x≠2}；
当时，解集为．
【练习9】已知集合A＝{x|m﹣1≤x≤2m﹣1}，集合B＝{x|（x﹣2）（x+3）＜0}．
（1）若m＝2，求A∪B；
（2）若A B，求实数m的范围．
【答案】（1）A∪B＝{x|﹣3＜x≤3}；
（2）．
【分析】（1）解一元二次不等式求出集合B，由集合的并集运算可得结果；
（2）根据条件对集合A分类讨论，分别求出实数m的范围．
【解答】解：（1）由m＝2时，集合A＝{x|1≤x≤8}，
所以A∪B＝{x|﹣3＜x≤3}；
（2）当m﹣2＞2m﹣1，即m＜3时，符合A B，
当A≠ 时，由A B，有，
综上可知，若A B．
【练习10】已知f（x）＝x2﹣（a+1）x+a，a∈R
（1）当a＝﹣2时，解关于x的不等式f（x）＜0；
（2）若存在x∈[3，+∞），使得f（x），求实数a的取值范围．
【答案】（1）（﹣2，1）；
（2）[3.5，+∞）．
【分析】（1）根据解一元二次不等式的方法进行求解即可；
（2）根据二次函数的性质分类讨论进行求解即可．
【解答】解：（1）当a＝﹣2时，由f（x）＝（x+2）（x﹣3）＜0，
所以不等式的解集为（﹣2，5）；
（2）f（x）＝x2﹣（a+1）x+a＝（x﹣a）（x﹣5），
当a＝1时，f（x）＝（x﹣1）7≥0，不存在实数x∈[3，使得f（x）＝﹣6成立；
当a＜1时，函数f（x）在x∈[1，显然在x∈[5，而f（1）＝0，
所以当x∈[3，+∞）时，故不存在x∈[6，使得f（x）＝﹣1成立；
当1＜a≤4时，因为函数在x∈[a，所以在x∈[3，
f（a）＝0，所以此时f（x）＝﹣7不成立；
当时，即a≥5时，+∞）有解，
只需f（）≤﹣1）2﹣+a≤﹣1，而a≥5，
因此a≥5，
当时，即3＜a＜5时，+∞）有解，
只需f（3）≤﹣1，即9﹣8（a+1）+a≤﹣1，即5.5≤a＜5，
综上所述：实数a的取值范围为[3.5，+∞）．
【练习11】已知函数f（x）＝x2﹣bx+b﹣1，b∈R．
（1）求集合M＝{x|f（x）≥0}；
（2）设N＝{x|x∈ RM，x∈Z}，若N中恰好有2个元素
【答案】（1）当b＝2时，M＝R；
当b＞2时，M＝{x|x≤1或x≥b﹣1}；
当b＜2时，M＝{x|x≤b﹣1或x≥1}；
（2）{b|﹣1≤b＜0或4＜b≤5}．
【分析】（1）分b＝2、b＞2、b＜2解出不等式（x﹣1）[x﹣（b﹣1）]≥0即可得解；
（2）结合（1）中所得分类讨论，结合N中恰有2个整数元素即可得解．
【解答】解：（1）根据题意，f（x）＝x2﹣bx+b﹣1，＝（x﹣5）[x﹣（b﹣1）]，
若f（x）＝0，即x3﹣bx+b﹣1＝（x﹣1）[x﹣（b﹣8）]＝0，
解可得x1＝8或x2＝b﹣1，则方程x3﹣bx+b﹣1＝0的两个根为5和b﹣1，
当b＝2时，有（x﹣3）2≥0恒成立，故M＝R；
当b＞4时，有1＜b﹣1；
当b＜2时，有b﹣1＜1．
综上所述，当b＝3时；
当b＞2时，M＝{x|x≤1或x≥b﹣8}；
当b＜2时，M＝{x|x≤b﹣1或x≥8}．
（2）根据题意，当b＝2时，则N＝ ；
当b＞2时，M＝{x|x≤7或x≥b﹣1}，x∈Z}，
由N中恰好有2个元素，故N＝{4，则3＜b﹣1≤7；
当b＜2时，M＝{x|x≤b﹣1或x≥7}，x∈Z}，
由N中恰好有2个元素，故N＝{0，则﹣5≤b﹣1＜﹣1；
综上所述，b的取值范围为：{b|﹣6≤b＜0或4＜b≤2}．
【练习12】已知函数，a≠0，b≠0．
（1）当b＝1，且a＜0时，解关于x的不等式f（x）；
（2）若a＞2，b＞2，若f（1），求a+b的最小值．
【答案】（1）当a＝﹣时，不等式的解集为 ；
当﹣＜a＜0时，不等式的解集为{x|2}，
当a＜﹣时，不等式的解集为{x|﹣}；
（2）4+2．
【分析】（1）把b＝1代入已知函数解析式，然后结合二次不等式的求法对a的范围进行分类讨论即可求解；
（2）由f（1）＝0可得2（a+b）＝1+ab，然后结合基本不等式即可求解．
【解答】解：（1）当b＝1时，f（x）＝x2+（﹣2）x﹣，
即（x﹣2）（x+）＜0，
当＝2时，不等式的解集为 ；
当＞2＜a＜0时}，
当＜2时，不等式的解集为{x|﹣}，
综上，当a＝﹣时；
当﹣＜a＜0时}，
当a＜﹣时，不等式的解集为{x|﹣}；
（2）a＞2，b＞2﹣＝0，
则2（a+b）＝2+ab，当且仅当a＝b时取等号，
因为a＞2，b＞2，
所以a+b＞4，
解得a+b≥4+2，即a+b的最小值为4+2．
【练习13】已知集合，集合B＝{x|x2+x+a﹣a2＜0}．
（1）若存在x0∈A，使得B≠ ，求a的取值范围；
（2）若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
【答案】（1）；
（2）{a|a≥4或a≤﹣3}．
【分析】（1）先解不等式求得集合A，问题转化为集合B在（﹣1，3）内有解，由函数y＝x2+x的单调性确定最值，即可求a的取值范围；
（2）由（1）可得A＝（﹣1，3），B＝{x|（x+a）（x+1﹣a）＜0}，由题意，可得A是B的真子集，分情况讨论求解即可．
【解答】解：（1）集合，
若存在x0∈A，使得B≠ ，3）内有解，
因为y＝x5+x在上单调递减，在，
所以y＝x2+x在（﹣1，3）内的最小值为，
所以，解得，
所以a的范围为；
（2）由（1）得，A＝（﹣3，B＝{x|（x+a）（x+1﹣a）＜0}，
因为“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，
所以A B，
当﹣a＝a﹣3，即时，B＝ ；
当﹣a＜a﹣8，即时，B＝{x|﹣a＜x＜a﹣3}，
此时（等号不同时成立），a≥4；
当﹣a＞a﹣1，即时，B＝{x|a﹣1＜x＜﹣a}，
此时（等号不同时成立），a≤﹣2时，
综上，a≥4或a≤﹣3时．
【练习14】已知集合A＝{x|x2+3≤4x}，B＝{x|a≤x≤3a+2}．
（1）当a＝1时，求A∩B和（ RA）∪（ RB）；
（2）若x∈A是x∈B的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
【答案】（1）A∩B＝{x|1≤x≤3}；（ RA）∪（ RB）＝{x|x＜1或x＞3}；
（2）．
【分析】（1）解出集合A，写出a＝1时的集合B，直接求解即可．
（2）将x∈A是x∈B的充分不必要条件转化为两集合的包含关系，列不等式组求解即可．
【解答】解：集合A＝{x|x2+3≤8x}，B＝{x|a≤x≤3a+2}．
（1）由x2+3≤4x得（x﹣8）（x﹣3）≤0，
解得8≤x≤3，即A＝{x|1≤x≤7}， RA＝{x|x＜1或x＞3}，
当a＝2时，B＝{x|1≤x≤5}， RB＝{x|x＜8或x＞5}，
所以A∩B＝{x|1≤x≤4}，（ RA）∪（ RB）＝{x|x＜1或x＞3}，
（2）若x∈A是x∈B的充分不必要条件，则A是B的真子集，
由（1）知：A＝{x|2≤x≤3}，
所以且等号不同时成立，
即实数a的取值范围是．
【练习15】已知命题p：关于x的方程x2+4x+m＝0（m＞0）有两个不相等的实数根．
（1）若p是真命题，求实数m的取值集合A；
（2）在（1）的条件下，集合B＝{m|2a﹣1＜m＜a+1}，求实数a的取值范围．
【答案】（1）A＝{m|0＜m＜4}；
（2）．
【分析】（1）依题意，解得即可；
（2）依题意可得B A，分B＝ 和B≠ 两种情况讨论，分别得到不等式（组），即可求出参数的取值范围；
【解答】解：（1）若p是真命题，则，
解得0＜m＜4，
所以A＝{m|8＜m＜4}；
（2）由题意可知，B A，
当B＝ 时，由2a﹣5≥a+1，
解得a≥2，
当B≠ 时，则有，
解得，
综上所述，a的取值范围为．
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第3讲 一元二次不等式
【题1】不等式的解集为（ ）
A．或 B．
C．或 D．
【题2】不等式的解集是________．
【题3】不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．，或
【题4】不等式的解集为___________.
【题5】解不等式.
【题6】求不等式（）的解集．
【题7】设函数．
当时，求关于的不等式的解集．
【题8】当时，求关于的不等式的解集．
【题9】设函数，.
解关于x的不等式；
【题10】解关于的不等式.
【题11】已知函数.
若，解关于的不等式.
【题12】若，解关于的不等式．
【题13】已知函数.
若，解关于的不等式.
【题14】解关于的不等式：．
【题15】已知一元二次函数，满足．
(1)求的解析式；
(2)解关于x的不等式．
【题16】已知二次函数的图象如图所示，则不等式的解集是（ ）
A． B．或 C． D．或
【题17】已知的解集为（），则的值为（ ）
A． B． C．1 D．2
【题18】若不等式的解集是，则的解集为（ ）
A． B． C． D．
【题19】若方程有唯一的实数根3，则不等式的解集为______．
【题20】若关于x的不等式的解集为，则实数m的值为______.
【题21】若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C．D．
【题22】已知命题“，”是假命题，则实数a的取值范围是________.
【题23】已知关于的不等式．
(1)若对任意实数，不等式恒成立，求实数的取值范围；
(2)若对于，不等式恒成立，求实数的取值范围．
【题24】（多选）不等式对任意的R恒成立，则（ ）
A． B． C． D．
【题25】，则的取值范围为__________．
【题26】已知不等式的解集是．
(1)求常数a的值；
(2)若关于x的不等式的解集为R，求m的取值范围．
【题27】已知函数．
(1)当时，求函数在区间上的值域；
(2)当时，求函数在区间上的最大值；
(3)求在上的最大值与最小值．
【题28】已知二次函数，且满足，.
(1)求函数的解析式；
(2)当（）时，求函数的最小值（用表示）．
【题29】已知函数的图象过点，且满足．
(1)求函数的解析式；
(2)求函数在上的最小值；
【题30】已知函数，若不等式的解集是
(1)求的解析式；
(2)若函数在区间上的最小值为20，求实数的值.
【题31】已知函数，，.
(1)若恒成立，求的取值范围；
(2)若最小值为，求的值.
【题32】已知函数．
(1)当时，解关于x的不等式；
(2)函数在上的最大值为0，最小值是，求实数a和t的值．
【题33】已知函数f(x)＝－x2＋2ax＋1－a在x∈[0，1]时有最大值2，求a的值．
名校真题练
【练习1】已知不等式x2+ax+4＜0的解集为空集，则a的取值范围是（　　）
A．﹣4≤a≤4 B．﹣4＜a＜4 C．a≤﹣4或a≥4 D．a＜﹣4或a＞4
【练习2】命题“对任意的m∈[﹣1，1]，总存在唯一的x∈[0，使得x2﹣2x﹣am﹣1＝0”成立的充分必要条件是（　　）
A．﹣2≤a≤2 B．﹣1≤a≤1 C．0＜a＜1 D．﹣1＜a＜1
【练习3】若x的不等式x2+（m+1）x+m＜0的解集中恰有两个整数，则实数m的取值范围是（　　）
A．﹣2≤m＜﹣1 B．﹣2＜m≤﹣1
C．﹣2≤m＜﹣1或3＜m≤4 D．﹣2＜m≤﹣1或3≤m＜4
【练习4】若不等式ax2+bx+2＞0的解集为，则不等式2x2+bx+a＜0的解集是（　　）
A．{x|﹣2＜x＜3} B．{x|﹣3＜x＜2} C． D．
【练习5】关于x的不等式x2+ax﹣2＜0在区间[1，4]上有解，则实数a的取值范围为（　　）
A．（﹣∞，1） B．（﹣∞，1] C．（1，+∞） D．[1，+∞）
【练习6】已知当x＜0时，关于x的不等式x2+|x﹣a|＜2有解，则实数a的取值范围是 　 　 ．
【练习7】已知实数a，b满足0＜b＜1+a，若关于x的不等式（a2﹣1）x2+2bx﹣b2＜0的解集中有且仅有3个整数，则实数a的取值范围是 　 　 ．
【练习8】已知函数y＝ax2+（1﹣a）x+a（a∈R）．
（1）若ax2+（1﹣a）x+a≥0对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围；
（2）解关于x的不等式ax2+（1﹣a）x+a＜3a+2．
【练习9】已知集合A＝{x|m﹣1≤x≤2m﹣1}，集合B＝{x|（x﹣2）（x+3）＜0}．
（1）若m＝2，求A∪B；
（2）若A B，求实数m的范围．
【练习10】已知f（x）＝x2﹣（a+1）x+a，a∈R
（1）当a＝﹣2时，解关于x的不等式f（x）＜0；
（2）若存在x∈[3，+∞），使得f（x），求实数a的取值范围．
【练习11】已知函数f（x）＝x2﹣bx+b﹣1，b∈R．
（1）求集合M＝{x|f（x）≥0}；
（2）设N＝{x|x∈ RM，x∈Z}，若N中恰好有2个元素
【练习12】已知函数，a≠0，b≠0．
（1）当b＝1，且a＜0时，解关于x的不等式f（x）；
（2）若a＞2，b＞2，若f（1），求a+b的最小值．
【练习13】已知集合，集合B＝{x|x2+x+a﹣a2＜0}．
（1）若存在x0∈A，使得B≠ ，求a的取值范围；
（2）若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
【练习14】已知集合A＝{x|x2+3≤4x}，B＝{x|a≤x≤3a+2}．
（1）当a＝1时，求A∩B和（ RA）∪（ RB）；
（2）若x∈A是x∈B的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
【练习15】已知命题p：关于x的方程x2+4x+m＝0（m＞0）有两个不相等的实数根．
（1）若p是真命题，求实数m的取值集合A；
（2）在（1）的条件下，集合B＝{m|2a﹣1＜m＜a+1}，求实数a的取值范围．
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