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第2讲 基本不等式性质
【题1】的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【题2】若，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【题3】若，则有（ ）
A．最小值 B．最小值
C．最大值 D．最大值
【题4】函数的最小值是________.
【题5】若 ，则的最小值为________________．
【题6】（多选）已知，则的取值可以是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【题7】已知，则的最小值为__________.
【题8】若，则的最小值为___________.
【题9】已知，则的最小值是______．
【题10】若，则的最小值为______．
【题11】函数的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【题12】已知，，，则的最小值为（ ）
A．2 B．4 C． D．
【题13】已知，求的最小值______________.
【题14】若，则函数的最小值为（ ）
A．4 B．5 C．7 D．9
【题15】已知，比较两数的大小：______9．
【题16】已知，则函数的最小值为___________.
【题17】若实数，满足，且，则的最大值为______.
【题18】函数 的最小值为______．
【题19】函数的最小值为___．
【题20】设，则函数的最小值为（ ）
A．10 B．9 C．8 D．7
【题21】已知，，，则的最小值为（ ）
A．13 B．19 C．21 D．27
【题22】若正实数，满足，则的最小值是（ ）
A．4 B． C．5 D．9
【题23】已知都是正数，且，则的最小值为（ ）
A． B．2 C． D．3
【题24】已知实数满足，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【题25】已知，，，则的最小值为（ ）
A．2 B．3 C． D．
【题26】设，为正数，且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【题27】已知，且，则的最小值是（ ）
A．2 B．6 C．3 D．9
【题28】已知正实数x，y满足，则最小值为______．
【题29】已知，，，则的最小值为__________．
【题30】负实数，满足，则的最小值为（ ）
A．0 B． C． D．
【题31】已知，则的最小值是（ ）
A．14 B． C．8 D．
【题32】已知正实数a，b满足，则的最小值是（　　）
A．2 B． C． D．6
【题33】若正数满足，则的最小值是___________.
【题34】函数的最小值为（ ）
A． B．2 C．3 D．4
【题35】求函数的最值.
【题36】若，则的最小值是（ ）
A．6 B．5 C． D．3
【题37】已知，求的最小值___________．
名校真题练
【练习1】已知1≤a≤2，﹣1≤b≤4，则a﹣2b的取值范围是（　　）
A．[﹣7，4] B．[﹣6，9] C．[6，9] D．[﹣2，8]
【练习2】下列不等式中成立的是（　　）
A．若a＞b＞0，则ac2＞bc2
B．已知a＞b＞0，c＜d＜0，e＜0，则
C．若a＜b＜0，则a2＜ab＜b2
D．若a＜b＜0，则
【练习3】若1＜a＜3，﹣4＜b＜2，那么a﹣|b|的范围是（　　）
A．﹣3＜a﹣|b|≤3 B．﹣3＜a﹣|b|＜5 C．﹣3＜a﹣|b|＜3 D．1＜a﹣|b|＜4
【练习4】若正实数x，y满足x+y+xy＝8，则下列结论不正确的是（　　）
A．x+y的最小值为4
B．xy的最大值为4
C．x+2y的最小值为
D．x2+y2的最大值为8
【练习5】若a＞0，b＞0且a+b＝3，则的最小值为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【练习6】以下说法正确的是（　　）
A．的最小值为2
B．的最小值为2
C．的最小值为2
D．若正实数a，b满足a+b＝1，则的最小值为4
【练习7】（多选）设a，b为正实数，现有下列命题中的真命题有（　　）
A．若a2﹣b2＝1，则a﹣b＜1 B．若，则a﹣b＜1
C．若，则|a﹣b|＜1 D．若|a3﹣b3|＝1，则|a﹣b|＜1
【练习8】（多选）以下正确的选项是（　　）
A．若a＞b，c＜d，则a﹣c＞b﹣d
B．若a＞b，c＜d，则
C．若ac2＞bc2，则a3＞b3
D．若a＞b，m＞0，则
【练习9】（多选）已知a＞0，b＞0，且a+2b＝2（　　）
A． B．
C．a2+b2的最小值为 D．
【练习10】（多选）下列说法正确的是（　　）
A．函数的最小值为2
B．若正数x，y满足4x2+9y2+3xy＝30，则xy的最大值是2
C．已知实数x，y满足﹣1＜x+y＜4且2＜x﹣y＜3，则2x﹣3y∈（﹣2，13）
D．若对任意x∈[1，+∞），恒成立，则a＞﹣3
【练习11】（多选）若a＞0，b＞0，且a+4b＝1（　　）
A．ab有最大值 B．有最大值2
C．有最小值5 D．a2+16b2有最小值
【练习12】（多选）设正整数a，b满足a+b＝1，则（　　）
A． B．
C． D．
【练习13】若实数x，y满足﹣1≤2x+3y≤2且﹣3≤x﹣y≤1，则M＝3x+4y的取值范围是 　[﹣2，3]　 ．
【练习14】若2＜x＜8，4＜y＜6，则的取值范围是 　　 ．
【练习15】已知实数a＞b＞0，当取得最小值时，则的值为 　4　 ．
【练习16】已知0＜a＜2，则的最小值为 　　 ．
【练习17】某地政府为进一步推进地区创业基地建设，助推创业带动就业工作，拟对创业者提供x（0≤x≤20），将产量增加到m＝（x+2）万件万元，并以每件（注：收益＝销售金额+创业补助﹣成本）
（1）求该企业获得创业补助后的收益y万元与创业补助x万元的函数关系式；
（2）当创业补助为多少万元时，该企业所获收益最大？
【练习18】（1）已知x＞﹣1，求的最小值．
（2）已知x＞0，y＞0，且，求x+y的最小值．
【练习29】（1）已知x＞0，y＞0且xy﹣4x﹣y＝0，求使不等式x+y≥m恒成立的实数m的取值范围．
（2）已知x，y∈（1，+∞），且xy﹣4x﹣y+2＝0
【练习20】
（1）若正实数x，y满足2x+y＝2，求的最小值；
（2）若正实数x，y满足，求x+y的最小值．
【练习21】求下列式子的最值．
（1）已知，求的最小值；
（2）已知x＞0，y＞0，且，求x+y的最小值．
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第2讲 基本不等式性质
【题1】的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【详解】因为，所以，当且仅当即时等号成立.
所以当时，函数有最小值4.
故选：C.
【题2】若，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】当时，，
（当且仅当，即时取等号），的最大值为.
故选：A.
【题3】若，则有（ ）
A．最小值 B．最小值
C．最大值 D．最大值
【答案】B
【详解】因为，由基本不等式可得，
当且仅当时，等号成立，所以，当时，则有最小值.
故选：B.
【题4】函数的最小值是________.
【答案】2
【详解】解：因为，
所以，
当且仅当，即时，取等号，
所以函数的最小值为2.
故答案为：2.
【题5】若 ，则的最小值为________________．
【答案】
【详解】，
当且仅当时等号成立.
故答案为：
【题6】（多选）已知，则的取值可以是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】BCD
【详解】，当且仅当,
即时等号成立，则的最小值为.
故选：.
【题7】已知，则的最小值为__________.
【答案】3
【详解】解：，当且仅当，即时，等号成立.
故答案为：3.
【题8】若，则的最小值为___________.
【答案】0
【详解】由，得，
所以，
当且仅当即时等号成立.
故答案为：0
【题9】已知，则的最小值是______．
【答案】6
【详解】，则，当且仅当，即时取“=”，
所以的最小值是6.
故答案为：6
【题10】若，则的最小值为______．
【答案】2
【详解】因为， 所以，
因为，
当且仅当时，即等号成立，
所以的最小值为2.
故答案为：2.
【题11】函数的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】当时，，
当且仅当时，等号成立，故的最小值为.
故选：B.
【题12】已知，，，则的最小值为（ ）
A．2 B．4 C． D．
【答案】B
【详解】因为，，．所以，当且仅当时，等号成立．
故选：B.
【题13】已知，求的最小值______________.
【答案】
【详解】，
，
当且仅当时等号成立.
故答案为：
【题14】若，则函数的最小值为（ ）
A．4 B．5 C．7 D．9
【答案】C
【详解】解：因为，所以，
所以
，
当且仅当，即时取等号，
所以函数的最小值为；
故选：C
【题15】已知，比较两数的大小：______9．
【答案】
【详解】因为，
所以，
当且仅当时取等号，即时取等号，
故答案为：
【题16】已知，则函数的最小值为___________.
【答案】
【详解】因为，所以，
所以
，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为9，
故答案为：9
【题17】若实数，满足，且，则的最大值为______.
【答案】##0.125
【详解】令，则，
，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最大值为
故答案为：
【题18】函数 的最小值为______．
【答案】7
【详解】令，；则
(当且仅当，即时，等号成立)，
故函数 ，的最小值为
故答案为：7
【题19】函数的最小值为___．
【答案】
【详解】因为，令，则，
又因为，可得，
因为，当且仅当时，即，即时，等号成立，
所以，即的最小值为.
故答案为：.
【题20】设，则函数的最小值为（ ）
A．10 B．9 C．8 D．7
【答案】B
【详解】令，则，因为，所以.
所以，当且仅当时，有最小值9.
故选：B.
【题21】已知，，，则的最小值为（ ）
A．13 B．19 C．21 D．27
【答案】D
【详解】，当且仅当，即，b＝6时，等号成立，故的最小值为27
故选：D
【题22】若正实数，满足，则的最小值是（ ）
A．4 B． C．5 D．9
【答案】B
【详解】解：因为，是正实数，所以
故有，
当且仅当
【题23】已知都是正数，且，则的最小值为（ ）
A． B．2 C． D．3
【答案】C
【详解】由题意知，，，
则
，
当且仅当时，取最小值.
故选：C．
【题24】已知实数满足，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由题设，，
所以，
当且仅当时等号成立，
所以的最小值为.
故选：B
【题25】已知，，，则的最小值为（ ）
A．2 B．3 C． D．
【答案】D
【详解】根据题意，，
∴，当且仅当且时等号成立，
∴的最小值为，
故选：D．
【题26】设，为正数，且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】∵，
∴，即，
∴
，当且仅当，且时，即
，时等号成立.
故选：.
，即，时取到等号.
故选：B.
【题27】已知，且，则的最小值是（ ）
A．2 B．6 C．3 D．9
【答案】D
【详解】，
当且仅当，时取等号，
故选：D
【题28】已知正实数x，y满足，则最小值为______．
【答案】9
【详解】正数，满足：，
，
当且仅当，即，时 “”成立，
故答案为：.
【题29】已知，，，则的最小值为__________．
【答案】
【详解】解：由，得，
所以
，当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为，
故答案为：
【题30】负实数，满足，则的最小值为（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】A
【详解】根据题意有，故，当且仅当，时取等号.
故选：A
【题31】已知，则的最小值是（ ）
A．14 B． C．8 D．
【答案】A
因为，则，
于是得，
当且仅当，即时取“=”，
所以当时，取最小值14.
故选：A
【题32】已知正实数a，b满足，则的最小值是（　　）
A．2 B． C． D．6
【答案】B
由，得，
所以，
当且仅当，即取等号.
故选：B.
【题33】若正数满足，则的最小值是___________.
【答案】
【详解】由，可得.
又，所以(当且仅当时等号成立).
故答案为：
【题34】函数的最小值为（ ）
A． B．2 C．3 D．4
【错解】D
故选：D（错解在于利用基本不等式求最值问题，要满足一正，二定，三相等，显然本例中，等号成立当且仅当，即取不到.）
【正解】A
，由对钩函数图象，当时，随的增大而增大，所以当时，故选：A
【题35】求函数的最值.
【答案】最小值为，无最大值
【详解】解：，令，则，
因为对勾函数在上单调递增，当时，取得最小值.
故的最小值为，无最大值.
【题36】若，则的最小值是（ ）
A．6 B．5 C． D．3
【答案】C
【详解】，令，所以，由对钩函数，当时，随着的增大而增大，所以当时，
故选：C.
【题37】已知，求的最小值___________．
【答案】
【详解】∵
令，则，
由对钩函数知当时，随着的增大而增大，当时，
故答案为：
名校真题练
【练习1】已知1≤a≤2，﹣1≤b≤4，则a﹣2b的取值范围是（　　）
A．[﹣7，4] B．[﹣6，9] C．[6，9] D．[﹣2，8]
【答案】A
【分析】利用不等式的基本性质即可求得答案．
【解答】解：因为﹣1≤b≤4，所以﹣8≤﹣2b≤2，
由2≤a≤2，得﹣7≤a﹣7b≤4．
故选：A．
【练习2】下列不等式中成立的是（　　）
A．若a＞b＞0，则ac2＞bc2
B．已知a＞b＞0，c＜d＜0，e＜0，则
C．若a＜b＜0，则a2＜ab＜b2
D．若a＜b＜0，则
【答案】B
【分析】举出反例检验选项A，D，结合不等式性质检验选项B，C即可判断．
【解答】解：当c＝0时，A显然错误；
因为a＞b＞0，c＜d＜5，
所以a﹣c＞b﹣d＞0，
所以，，B正确；
若a＜b＜0，则a2＞ab＞b4，C错误；
当a＝﹣2，b＝﹣1时．
故选：B．
【练习3】若1＜a＜3，﹣4＜b＜2，那么a﹣|b|的范围是（　　）
A．﹣3＜a﹣|b|≤3 B．﹣3＜a﹣|b|＜5 C．﹣3＜a﹣|b|＜3 D．1＜a﹣|b|＜4
【答案】C
【分析】由不等式的性质及绝对值的定义求a﹣|b|的范围即可．
【解答】解：∵﹣4＜b＜2，
∴3≤|b|＜4，
∴﹣4＜﹣|b|≤8，
又∵1＜a＜3，
∴﹣3＜a﹣|b|＜3．
故选：C．
【练习4】若正实数x，y满足x+y+xy＝8，则下列结论不正确的是（　　）
A．x+y的最小值为4
B．xy的最大值为4
C．x+2y的最小值为
D．x2+y2的最大值为8
【答案】D
【分析】根据基本不等式及其变形逐项判断即可．
【解答】解：对于A项，由基本不等式得，，
整理得（x+y）2+6（x+y）﹣32≥0，
解得x+y≥4，当且仅当x＝y＝8时，故A正确；
对于B项，由A项可知x+y≥4，当且仅当x＝y＝2时，故B正确；
对于C项，由题可知（x+7）（y+1）＝9，
故，
当且仅当时，等号成立；
对于D项，x3+y2＝（x+y）2﹣6xy＝（8﹣xy）2﹣2xy＝（xy﹣9）2﹣17，又2＜xy≤42+y8的最小值为8，当且仅当x＝y＝2时取得最小值．
故选：D．
【练习5】若a＞0，b＞0且a+b＝3，则的最小值为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】＝＝＝，利用基本不等式即可．
【解答】解：∵a＞0，b＞0，
∴＝＝
＝，
当且仅当且a+b＝4，b＝1时．
∴的最小值为2．
故选：B．
【练习6】以下说法正确的是（　　）
A．的最小值为2
B．的最小值为2
C．的最小值为2
D．若正实数a，b满足a+b＝1，则的最小值为4
【答案】B
【分析】选项A，举反例，令x＝﹣1，即可排除；
选项B，利用基本不等式，求解即可；
选项C，由x2+2≥2，知x2+2+≥；
选项D，利用a+b＝1与完全平方和公式，化简变形可得＝ab+﹣2，再结合对勾函数及其单调性，求解即可．
【解答】解：选项A，当x＝﹣1时＝﹣7＜2；
选项B，+＝|x|+＝5，即x＝±1时，即B正确；
选项C，因为x4≥0，所以x2+4≥2，所以x2+5+≥，当且仅当x＝2时，即C错误；
选项D，＝ab++++＝ab++﹣2，
令t＝ab≤＝，则f（t）＝t+，]上单调递减，
所以f（t）≥f（）＝+，
所以的最小值是．
故选：B．
【练习7】（多选）设a，b为正实数，现有下列命题中的真命题有（　　）
A．若a2﹣b2＝1，则a﹣b＜1 B．若，则a﹣b＜1
C．若，则|a﹣b|＜1 D．若|a3﹣b3|＝1，则|a﹣b|＜1
【答案】AD
【分析】A将a2﹣b2＝1，分解变形为（a+1）（a﹣1）＝b2，即可证明a﹣1＜b，即a﹣b＜1；BC可通过举反例的方法证明其错误性；D若a＞b，去掉绝对值，将a3﹣b3＝1分解变形为（a﹣1）（a2+1+a）＝b3，即可证明a﹣b＜1，同理当a＜b时也可证明b﹣a＜1，从而命题D正确．
【解答】解：若a2﹣b2＝3，则a2﹣1＝b5，即（a+1）（a﹣1）＝b2，∵a+1＞a﹣1，∴a﹣3＜b＜a+1，A正确；
若，可取a＝7，则a﹣b＞1；
若，则可取a＝9，而|a﹣b|＝5＞2；
由|a3﹣b3|＝7，
若a＞b＞0，则a3﹣b4＝1，即（a﹣1）（a2+a+1）＝b3，∵a2+1+a＞b2，∴a﹣6＜b，即a﹣b＜1
若0＜a＜b，则b4﹣a3＝1，即（b﹣7）（b2+1+b）＝a5，∵b2+1+b＞a6，∴b﹣1＜a，即b﹣a＜1
∴|a﹣b|＜4，∴D正确．
故选：AD．
【练习8】（多选）以下正确的选项是（　　）
A．若a＞b，c＜d，则a﹣c＞b﹣d
B．若a＞b，c＜d，则
C．若ac2＞bc2，则a3＞b3
D．若a＞b，m＞0，则
【答案】AC
【分析】选项A，利用不等式的性质，即可判断选项A的正误；选项B和D，通过取特殊值，即可判断出选项D和D的正误；选项C，由ac2＞bc2，得到a＞b，即可判断选项C的正误．
【解答】解：对于选项A，由c＜d，又a＞b，故选项A正确，
对于选项B，取a＝3，c＝﹣3，B显然错误；
对于选项C，由ac3＞bc2，得到（a﹣b）c2＞8，又c2＞0，所以a﹣b＞4，
所以a3＞b3，故选项C正确，
对于选项D，取a＝﹣2，m＝5，m＞0，但．
故选：AC．
【练习9】（多选）已知a＞0，b＞0，且a+2b＝2（　　）
A． B．
C．a2+b2的最小值为 D．
【答案】BD
【分析】由已知结合基本不等式检验各选项即可判断．
【解答】解：对于A，，即，当且仅当a＝1，，故A错误；
对于B，因为）＝2，
当且仅当a＝6，时等号成立；
对于C，因为a+6b＝2，因为a＞0，
则2＜b＜1，所以a2+b5＝（2﹣2b）7+b2＝5b3﹣8b+4，当时，a2+b7取最小值，故C错误；
对于D，，当且仅当，时等号成立．
故选：BD．
【练习10】（多选）下列说法正确的是（　　）
A．函数的最小值为2
B．若正数x，y满足4x2+9y2+3xy＝30，则xy的最大值是2
C．已知实数x，y满足﹣1＜x+y＜4且2＜x﹣y＜3，则2x﹣3y∈（﹣2，13）
D．若对任意x∈[1，+∞），恒成立，则a＞﹣3
【答案】BD
【分析】对于A，当x取负值时显然不成立；
对于B，通过配方得30+9xy＝（2x+3y）2，利用基本不等式即可得出结果；
对于C，将2x﹣3y用x+y和x﹣y线性表示，结合不等式的性质即可得结果；
对于D，通过分离参数得a＞﹣（x2+2x），结合二次函数的性质即可得解得．
【解答】解：由对勾函数的图象与性质可知：
当x＞0时，函数；当x＜0时有最大值﹣6．
由于未指明x的取值范围，故A错误；
因为正数x，y满足4x2+5y2+3xy＝30，
所以30+4xy＝（2x+3y）3≥24xy，所以15xy≤30，
当且仅当，即，时取等号，
故xy的最大值是2，故B正确；
设2x﹣3y＝λ（x+y）+μ（x﹣y），
则，解得，即，
因为﹣6＜x+y＜4且2＜x﹣y＜3，
所以，，
所以，
即3x﹣3y∈（3，8）；
对任意x∈[1，+∞），，
分离参数得a＞﹣（x2+7x）对任意x∈[1，+∞）恒成立，
令y＝﹣（x2+6x）＝﹣（x+1）2+2在[1，+∞）最大值为﹣3，
即a＞﹣6，故D正确，
故选：BD．
【练习11】（多选）若a＞0，b＞0，且a+4b＝1（　　）
A．ab有最大值 B．有最大值2
C．有最小值5 D．a2+16b2有最小值
【答案】AC
【分析】由已知结合基本不等式及相关结论分别检验各选项即可判断．
【解答】解：对于A，，
当且仅当a＝4b且a+4b＝8，即b＝时取等号，故A正确，
对于B，因为，
所以，
当且仅当时取等号，
所以有最大值；
对于C，，
当且仅当且a+8b＝1，即a＝时取等号，
所以有最小值5；
对于D，因为a2+16b7≥2×4ab，所以7（a2+16b2）≥a3+16b2+2×8ab＝（a+4b）2，
所以，当且仅当a＝4b且a+4b＝8，a＝，
所以a2+16b2有最小值，故D错误．
故选：AC．
【练习12】（多选）设正整数a，b满足a+b＝1，则（　　）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【分析】由已知结合基本不等式及相关结论检验各选项即可判断．
【解答】解：对于A选项，，当且仅当，故A错误；
对于B选项，，故+，当且仅当，故B正确；
对于C选项，，则，当且仅当，故C正确；
对于D选项，＝[（a+8）+（b+1）]（（2+（5+2，
当且仅当a+1＝b+7，即时取得等号成立．
故选：BCD．
【练习13】若实数x，y满足﹣1≤2x+3y≤2且﹣3≤x﹣y≤1，则M＝3x+4y的取值范围是 　[﹣2，3]　 ．
【答案】[﹣2，3]．
【分析】先计算出，从而得到﹣2≤M≤3．
【解答】解：设M＝3x+4y＝a（3x+3y）+b（x﹣y），
即3x+7y＝（2a+b）x+（3a﹣b）y，
故，解得，
所以，
故，，
故，即﹣2≤M≤3．
故答案为：[﹣5，3]．
【练习14】若2＜x＜8，4＜y＜6，则的取值范围是 　　 ．
【答案】．
【分析】根据条件得到，得到取值范围．
【解答】解：4＜y＜6，故，
则，
又2＜x＜8，故．
故答案为：．
【练习15】已知实数a＞b＞0，当取得最小值时，则的值为 　4　 ．
【答案】4．
【分析】先利用基本不等式求最值，根据取等条件得，即即得．
【解答】解：根据题意可得，
，
因a＞b＞0，所以a﹣b＞0，
所以，
即，
当且仅当时等号成立，
此时，解得．
故答案为：4．
【练习16】已知0＜a＜2，则的最小值为 　　 ．
【答案】．
【分析】利用均值定理即可求得的最小值．
【解答】解：，
因为0＜a＜2，故，
（当且仅当，即时取等号．）
则的最小值为．
故答案为：．
【练习17】某地政府为进一步推进地区创业基地建设，助推创业带动就业工作，拟对创业者提供x（0≤x≤20），将产量增加到m＝（x+2）万件万元，并以每件（注：收益＝销售金额+创业补助﹣成本）
（1）求该企业获得创业补助后的收益y万元与创业补助x万元的函数关系式；
（2）当创业补助为多少万元时，该企业所获收益最大？
【答案】（1），0≤x≤20；
（2）7万元．
【分析】（1）由题意计算销售金额、成本，从而可得该企业获得创业补助后的收益y万元与创业补助x万元的函数关系式；
（2）由（1）得，x∈[10，20]，利用基本不等式和对勾函数的性质，即可得出答案．
【解答】解：（1）依据题意可知，销售金额，创业补助x万元万元，
所以收益，0≤x≤20．
（2）由（1）可知，0≤x≤20，
由基本不等式可得，，当且仅当，取等号．
此时函数取得最大值74，
所以当x＝7时，该企业所获收益最大．
【练习18】（1）已知x＞﹣1，求的最小值．
（2）已知x＞0，y＞0，且，求x+y的最小值．
【答案】（1）最小值为1，（2）最小值为9．
【分析】（1）根据基本不等式即可求解，
（2）由乘“1”法，结合基本不等式即可求解．
【解答】解：（1）由于x＞﹣1，所以x+1＞4，故，
当且仅当，即x＝2时等号成立，
故最小值为6，
（2）由于x＞0，y＞0，
当且仅当且，故当x＝6，故最小值为9．
【练习29】（1）已知x＞0，y＞0且xy﹣4x﹣y＝0，求使不等式x+y≥m恒成立的实数m的取值范围．
（2）已知x，y∈（1，+∞），且xy﹣4x﹣y+2＝0
【答案】（1）{m|m≤9}；（2）10．
【分析】（1）利用基本不等式结合“乘1法”求出x+y的最小值即可得m的取值范围；
（2）将xy﹣4x﹣y+2＝0化为（x﹣1）（y﹣4）＝2的形式，由于2x+y＝2（x﹣1）+（y﹣4）+6，结合基本不等式即可求得最小值．
【解答】解：（1）由xy﹣4x﹣y＝0得，
则．
当且仅当，即x＝3．
所以若x+y≥m恒成立，则{m|m≤9}．
（2）由xy﹣5x﹣y+2＝0，得（x﹣3）（y﹣4）＝2，+∞），
所以x﹣2＞0，y﹣4＞4，
所以，
当且仅当2（x﹣3）＝y﹣4，结合（x﹣1）（y﹣5）＝2，y＝6时．
故8x+y的最小值为10．
【练习20】
（1）若正实数x，y满足2x+y＝2，求的最小值；
（2）若正实数x，y满足，求x+y的最小值．
【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）3．
【分析】（1）利用作差法证明不等式即可，注意不等式中等号成立的条件；
（2）利用（1）中的结论证明不等式，注意不等式中等号成立的条件；
（3）利用（1）中的结论证明不等式，注意不等式中等号成立的条件．
【解答】解：
（1）有：，
当且仅当，又2x+y＝6，即，时；
则的最小值为．
（2）有：，
当且仅当且，即x＝1，等号成立．
【练习21】求下列式子的最值．
（1）已知，求的最小值；
（2）已知x＞0，y＞0，且，求x+y的最小值．
【答案】（1）；
（2）9．
【分析】（1）利用基本不等式求解；
（2）利用基本不等式“1”的妙用求解．
【解答】解：（1）因为，所以2x﹣3＞0，
，
当且仅当，即时取得等号，
所以函数的最小值为．
（2），
当且仅当，即y＝2x，y＝6时取得等号，所以x+y的最小值为8．
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