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第7讲 幂函数 及其应用
【题1】下列函数是幂函数的是（ ）
A． B． C． D．
【题2】在函数，中，幂函数的个数为（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
【题3】已知函数为幂函数，则实数的值为（ ）
A．或 B．或1 C． D．1
【题4】已知幂函数的图象过点，则（ ）．
A． B．4 C． D．8
【题5】已知幂函数的图象过点，则该函数的解析式是（ ）
A． B． C． D．
【题6】已知幂函数的图象过点，则的值是（ ）
A．-3 B． C． D．3
【题7】下列函数定义域为的是（　　）
A． B． C． D．
【题8】函数的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
【题9】5个幂函数：①；②；③；④；⑤.其中定义域为的是（ ）
A．只有①② B．只有②③ C．只有②④ D．只有④⑤
【题10】已知幂函数的图象过点，则函数的值域为（）
A． B． C． D．
【题11】在下列函数中，定义域和值域不同的是（ ）
A． B． C． D．
【题12】下列函数中，值域为的是（ ）
A． B．
C． D．
【题13】已知幂函数的图象经过点，则该幂函数的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
【题14】下面给出4个幂函数的图像，则图像与函数大致对应的是（ ）
A．①，②，③，④
B．①，②，③，④
C．①，②，③，④
D．①，②，③，④
【题15】已知幂函数（且互质）的图象关于y轴对称，如图所示，则（ ）
A．p，q均为奇数，且
B．q为偶数，p为奇数，且
C．q为奇数，p为偶数，且
D．q为奇数，p为偶数，且
【题16】若幂函数在区间上单调递增，则（ ）
A． B．3 C．或3 D．1或
【题17】已知幂函数为偶函数，则实数的值为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．1或2
【题18】“”是“幂函数在上是减函数”的一个（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【题19】已知，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【题2】设，则的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
【题21】下列比较大小中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【题22】若，试求的取值范围．
【题23】已知幂函数为奇函数.
(1)求的值；
(2)若，求实数的取值范围.
【题24】已知幂函数(Z)的图象关于轴对称，且在上是单调递减函数．
(1)求的值；
(2)解不等式．
【题25】从装满10升纯酒精的容器中倒出2升酒精，然后用水将容器加满，再倒出2升酒精溶液，再用水将容器加满，照这样的方法继续下去，设倒完第次后，前次共倒出纯酒精升，倒完第次后，前次共倒出纯酒精升，则的解析式是（ ）
A． B． C． D．
【题26】一等腰三角形的周长是20，底边长y是关于腰长x的函数，则它的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
【题27】某公司市场营销部员工的个人月收入与月销售量成一次函数关系，其对应关系如图所示.由图示信息可知，月销售量为3百件时员工的月收入是（ ）
A．2100元 B．2400元 C．2700元 D．3000元
【题28】某学校因为学生活动区域紧张，为了更好的为学生提供活动场地，决定在一块长米，宽米的矩形地块上施工，规划建设占地如图中矩形的学生活动中心，要求顶点在地块的对角线上，、分别在边、上，假设长度为米.

(1)要使矩形活动区域的面积不小于平方米，的长度应在什么范围？
(2)长度和宽度分别为多少米时矩形活动区域的面积最大？最大值是多少平方米？
【题29】小明同学想知道自家煤气灶旋钮放到什么位置时，烧开一壶水最省燃气，于是通过实验统计了旋钮的转角为、、、、时，烧开一壶水所耗燃气情况：
旋钮的转角 （单位：度） 18 36 54 72 90
所耗燃气量 （单位：） 0.130 0.122 0.139 0.149 0.172
请选择合适的函数模拟拟合以上数据，由此计算：旋钮的转角为多少度时，烧开一壶水所耗然气最少？最少燃气为多少立方米？
【题30】某蔬菜种植基地共有蔬菜种植大棚个，用于种植普通蔬菜，平均每个大棚年收入为万元．为适应市场需求，提高收益，决定调整原种植方案，将个大棚改种速生蔬菜，其余大棚继续种植普通蔬菜．经测算，调整种植方案后，种植普通蔬菜的每个大棚年收入比原来提高，种植速生蔬菜的每个大棚年收入为万元．
(1)当时，要使蔬菜种植大棚全年总收入不少于原来的，求的取值范围
(2)当时，求蔬菜种植大棚全年总收入的最大值．
【题31】异速生长规律描述生物的体重与其它生理属性之间的非线性数量关系通常以幂函数形式表示．比如，某类动物的新陈代谢率与其体重满足，其中和为正常数，该类动物某一个体在生长发育过程中，其体重增长到初始状态的16倍时，其新陈代谢率仅提高到初始状态的8倍，则为（ ）
A． B． C． D．
【题32】上海市为抑制房价，2011年准备新建经济适用房800万，解决中低收入家庭的住房问题.设年平均增长率为，设2014年新建经济住房面积为，则关于的函数是（ ）
A． B．
C． D．
【题33】2020年底，国务院扶贫办确定的贫困县全部脱贫摘帽，脱贫攻坚取得重大胜利！为进一步巩固脱贫攻坚成果，持续实施乡村振兴战略，某企业响应政府号召，积极参与帮扶活动．该企业2021年初有资金150万元，资金的年平均增长率固定，每三年政府将补贴10万元．若要实现2024年初的资金达到270万元的目标，资金的年平均增长率应为（参考值：）（ ）
A．10% B．20% C．22% D．32%
【题34】某企业生产一种化学产品的总成本（单位：万元）与生产量（单位：吨）之间的函数关系可近似表示为，要使每吨的平均生产成本最少，则生产量控制为（ ）
A．20吨 B．40吨 C．50吨 D．60吨
【题35】2005年10月27日全国人大通过了关于修改个人所得税的决定，工薪所得减去费用标准从800元提高到1600元也就是说原来月收入超过800元部分就要纳税，2006年1月1日开始超过了1600元才需要纳税，若税法修改前后超过部分的税率相同，如下表：
级数 全月应纳税所得额 税率
1 不超过500元 5
2 500~2000元 10
3 2000~5000元 15
某人2005年9月交纳个人所得税123元，则按照新税法只要交税（ ）元．
A．43 B．2280 C．680 D．不能确定
【题36】在一般情况下，过江大桥上的车流速度（单位：千米/小时）是车流密度（单位：辆/千米）的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为90千米/小时；研究表明，当时，车流速度是车流密度的一次函数．设当车流密度时，车流量（单位时间内通过桥上某观点的车辆数，单位：辆/小时）可以达到最大．则（ ）
A． B． C． D．
【题37】某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为300吨，最多为600吨，月处理成本（元）与月处理量（吨）之间的函数关系可近似地表示为，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为200元.
(1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？
(2)该单位每月能否获利，如果获利，最大利润为多少元？
【题38】党的十九大报告明确要求继续深化国有企业改革，培育具有全球竞争力的世界一流企业.某企业抓住机遇推进生产改革，从单一产品转为生产A、B两种产品，根据市场调查与市场预测，A产品的利润与投资成正比，其关系如图①；B产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图②（注：所示图中的横坐标表示投资金额，单位为万元）.

(1)分别求出A、B两种产品的利润表示为投资的函数关系式；
(2)该企业已筹集到10万元资金，并全部投入A、B两种产品的生产，问：怎样分配这10万元资金，才能使企业获得最大利润，最大利润是多少？
名校真题练
【练习1】幂函数的图象与坐标轴有交点，且a+b＞0（a）+f（b）的值（　　）
A．等于0 B．恒小于0 C．恒大于0 D．无法判断
【练习2】已知幂函数在（0，+∞）上递增，则m＝（　　）
A．2 B．4 C．﹣1 D．2或﹣1
【练习3】已知，若0＜a＜b＜1，则下列各式中正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【练习4】如图是幂函数y＝xn在第一象限内的图象，已知n取，2，﹣2，﹣，则相应于曲线C1，C2，C3，C4的n依次为（　　）
A．2，，﹣，﹣2 B．﹣2，﹣，，2
C．﹣，﹣2，2， D．2，，﹣2，﹣
【练习5】已知函数f（x）＝满足对任意x1≠x2，都有＞0成立，则a的范围是 （　　）
A．[﹣3，0） B．[﹣3，﹣2] C．（﹣∞，﹣2] D．（﹣∞，0]
【练习6】已知函数g（x）是R上的奇函数，且当x＜0时，g（x）2+2x，函数f（x）＝，若f（2﹣x2）＞f（x），则实数x的取值范围是（　　）
A．（﹣∞，1）∪（2，+∞） B．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）
C．（1，2） D．（﹣2，1）
【练习7】（多选）已知幂函数f（x）＝（m﹣1）xa的图象经过点，下列结论正确的有（　　）
A．m＝2
B．f（0）＝0
C．f（x）是偶函数
D．若f（3﹣2x）＞f（x+1），则
【练习8】（多选）已知幂函数f（x）的图象经过点（9，3），则（　　）
A．函数f（x）为增函数
B．函数f（x）为偶函数
C．当x≥4时，f（x）≥2
D．当x2＞x1＞0时，＞f（）
【练习9】已知幂函数f（x）＝（2m2﹣10m+13）xm是R上的奇函数，则实数m的值为 　 　 ．
【练习10】已知幂函数f（x）＝（3m2﹣11）xm在（0，+∞）上单调递增，则f（4）＝　 　 ．
【练习11】已知幂函数f（x）＝x2+m是定义在区间[﹣1，m]上的奇函数，则f（m+1）＝　 　 ．
【练习12】以下五个函数中：①y＝，②y＝2x2，③y＝x2+x，④y＝1，⑤y＝　 　 （填写符合的序号）
【练习13】已知函数则不等式f（x+2）＜2﹣f（x﹣4）　 　 ．
【练习14】已知幂函数f（x）＝（2m2﹣m﹣2）xm﹣1在定义域内单调递增．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求关于x的不等式f（x+1）＜f（x2﹣2x+3）的解集．
【练习15】已知幂函数是偶函数，且在（0，+∞）
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若正实数a，b满足a+b＝4m，求的最小值．
【练习16】已知幂函数f（x）＝x﹣m2+m+2（m∈Z）在（0，+∞）上单调递增．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）设g（x）＝f（x）﹣ax+1，求g（x）在区间[﹣1
【练习17】已知幂函数f（x）＝（m2﹣3m﹣3）xm﹣2在（0，+∞）上为增函数．
（1）求实数m的值；
（2）若g（x）＝log2[f（x）+ax+3]在（﹣∞，1]上为减函数
【练习18】已知幂函数f（x）＝（m2﹣m﹣1） x﹣2m﹣1在（0，+∞）上单调递增，又函数g（x）x．
（1）求实数m的值，并说明函数g（x）的单调性；
（2）若不等式g（1﹣3t）+g（1+t）≥0恒成立
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第7讲 幂函数 及其应用
【题1】下列函数是幂函数的是（ ）
A． B． C． D．
【思路】根据幂函数的定义判断可得出结论.
【解析】由幂函数的定义可知，B选项中的函数为幂函数，ACD选项中的函数都不是幂函数.
故选：B.
【题2】在函数，中，幂函数的个数为（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
【思路】根据幂函数的定义即可求解．
【解析】∵幂函数y＝xa，
∴是幂函数，不是幂函数，不是幂函数，
不是幂函数，比幂函数的图象多一个点，
∴幂函数的个数为1．
故选：B.
【题3】已知函数为幂函数，则实数的值为（ ）
A．或 B．或1 C． D．1
【思路】直接根据幂函数的定义求解即可．
【解析】∵为幂函数，
∴，
∴，或，
又，
∴，
故选：C．
【题4】已知幂函数的图象过点，则（ ）．
A． B．4 C． D．8
【思路】根据幂函数的定义设函数的解析式，再代入已知点求出函数解析式，再求值即可.
【解析】因为函数为幂函数，所以可设f（x）＝xa，
因为图象过，
所以 ，
所以，即，
所以
故选：C.
【题5】已知幂函数的图象过点，则该函数的解析式是（ ）
A． B． C． D．
【思路】根据幂函数定义可设，代入所过点坐标即可求得结果.
【解析】设幂函数，则，，.
故选：B.
【题6】已知幂函数的图象过点，则的值是（ ）
A．-3 B． C． D．3
【思路】将点代入，可得函数解析式，从而得到的值.
【解析】因为幂函数的图象经过点，
所以，解得，则，
所以
故选：D.
【题7】下列函数定义域为的是（　　）
A． B． C． D．
【思路】化分数指数幂为根式，分别求出四个选项中函数的定义域得答案．
【解析】，定义域为，
，定义域为，
，定义域为，
，定义域为．
故选：C．
【题8】函数的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
【思路】化简函数解析式，根据函数解析式有意义可得出关于的不等式组，由此可解得原函数的定义域.
【解析】因为，则，可得，
故函数的定义域为.
故选：D.
【题9】5个幂函数：①；②；③；④；⑤.其中定义域为的是（ ）
A．只有①② B．只有②③ C．只有②④ D．只有④⑤
【思路】分别写出所给函数的定义域，然后作出判断即可.
【解析】①的定义域为，
②的定义域为R，
③的定义域为，
④的定义域为R，
⑤的定义域为，
故选：C.
【题10】已知幂函数的图象过点，则函数的值域为（）
A． B． C． D．
【思路】求出幂函数的解析式，即可得解.
【解析】的图象过点 ，
则函数的值域为，
故选：C.
【题11】在下列函数中，定义域和值域不同的是（ ）
A． B． C． D．
【思路】把幂函数写成根式的形式即可求出定义域及值域，逐项分析即可得解.
【解析】由可知，,，定义域、值域相同；
由可知，，定义域、值域相同；
由可知，,，定义域、值域相同；
由可知，，，定义域、值域不相同.
故选：D.
【题12】下列函数中，值域为的是（ ）
A． B．
C． D．
【思路】根据函数的定义域、幂函数的性质、以及基本不等式可直接求得选项中各函数的值域进行判断即可.
【解析】由已知值域为，故A错误；
时，等号成立，所以的值域是，B错误；
因为定义域为， ，函数值域为，故C正确；
，，，所以，故D错误.
故选：C.
【题13】已知幂函数的图象经过点，则该幂函数的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
【思路】设幂函数为，然后将坐标代入可求出函数解析式，从而可得函数图象.
【解析】设幂函数为，则，，得，得，
所以，定义域为，所以排除AD，
因为，所以函数为偶函数，所以排除B，
故选：C.
【题14】下面给出4个幂函数的图像，则图像与函数大致对应的是（ ）
A．①，②，③，④
B．①，②，③，④
C．①，②，③，④
D．①，②，③，④
【思路】根据幂函数的图像特征，对照四个选项一一验证，即可得到答案.
【解析】函数为奇函数且定义域为R，该函数图像应与①对应；
函数，且该函数是偶函数，其图像关于y轴对称，该函数图像应与②对应；
的定义域、值域都是，该函数图像应与③对应；
，其图像应与④对应．
故选：A．
【题15】已知幂函数（且互质）的图象关于y轴对称，如图所示，则（ ）
A．p，q均为奇数，且
B．q为偶数，p为奇数，且
C．q为奇数，p为偶数，且
D．q为奇数，p为偶数，且
【思路】根据函数的单调性可判断出；根据函数的奇偶性及，互质可判断出为偶数，为奇数.
【解析】因为函数的定义域为，且在上单调递减，
所以0，
因为函数的图象关于y轴对称，
所以函数为偶函数，即p为偶数，
又p、q互质，所以q为奇数，
所以选项D正确，
故选：D.
【题16】若幂函数在区间上单调递增，则（ ）
A． B．3 C．或3 D．1或
【思路】根据幂函数的概念和单调性可求出结果.
【解析】因为函数为幂函数，且在区间上单调递增，
所以且，
由，得或，
当时，，满足题意；
当时，足，不符合题意.
综上.
故选：A.
【题17】已知幂函数为偶函数，则实数的值为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．1或2
【思路】由题意利用幂函数的定义和性质，得出结论．
【解析】幂函数为偶函数，
，且为偶数，
则实数，
故选：C.
【题18】“”是“幂函数在上是减函数”的一个（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【思路】根据幂函数的定义和性质即可求解.
【解析】因为是幂函数，
所以即解得或，
当时，在上是减函数，
当时，在上是增函数，
所以“”是“幂函数在上是减函数”的充要条件，
故选:C.
【题19】已知，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【思路】根据幂函数的单调性进行判断即可.
【解析】，因为函数是实数集上的增函数，
所以由可得：，即，
故选：C.
【题2】设，则的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
【思路】易得，再由，利用幂函数的单调性判断.
【解析】因为，
且， 在上递增，
所以，即，
综上：，
故选：A.
【题21】下列比较大小中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【思路】利用函数的单调性进行判断即可.
【解析】解：对于A选项，因为在上单调递增，所以，故A错误，
对于B选项，因为在上单调递减，所以，故B错误，
对于C选项，为奇函数，且在上单调递增，所以在上单调递增，
因为，又，
所以，故C正确，
对于D选项，在上是递增函数，
又，所以，所以，故D错误.
故选：C.
【题22】若，试求的取值范围．
【思路】根据的性质，由可得相应不等式组，即可求得答案.
【解析】因为函数的定义域为，
且在上都是单调递减函数，且时，；时，；
故得或或，
解得或或，
故的取值范围为.
【题23】已知幂函数为奇函数.
(1)求的值；
(2)若，求实数的取值范围.
【思路】（1）根据幂函数的定义得到或，根据奇偶性即可得到的值，再计算即可；
（2）根据幂函数的单调性结合条件可得或或，进而即得.
【解析】（1）由，得或，
当时，是奇函数，满足题意，
当时，是偶函数，不满足题意，
所以，；
（2）因为的定义域为，单调减区间为，，
由，可得或或，
解得或，
所以实数的取值范围为或.
【题24】已知幂函数(Z)的图象关于轴对称，且在上是单调递减函数．
(1)求的值；
(2)解不等式．
【思路】（1）先利用幂函数在上是单调递减函数，得到，再验证其图象关于轴对称进行求值即可；
（2）利用（1）中函数的奇偶性和单调性进行求解即可．
【解析】（1）因为幂函数(Z)的图象关于轴对称，所以函数是偶函数，
为偶数，为奇数，
因为函数在上是单调递减函数，所以，解得，
因为Z，则，，，
当时，为偶数，舍去；
当时，为奇数，
当时，为偶数，舍去；
故；
（2）由（1）可得，定义域为，且在上是单调递减函数，为偶函数，
又，即，且，解得且，
所以不等式的解集为．
【题25】从装满10升纯酒精的容器中倒出2升酒精，然后用水将容器加满，再倒出2升酒精溶液，再用水将容器加满，照这样的方法继续下去，设倒完第次后，前次共倒出纯酒精升，倒完第次后，前次共倒出纯酒精升，则的解析式是（ ）
A． B． C． D．
【思路】求出第次倒出酒精后容器中含纯酒精的质量，然后可得第次倒出的纯酒精的质量，然后可得倒次共倒出的纯酒精．
【解析】第次时共倒出了纯酒精升，
第次倒出后容器中含纯酒精为升
第次倒出的纯酒精是升
所以倒出第次时，共倒出了纯酒精
故选：C.
【题26】一等腰三角形的周长是20，底边长y是关于腰长x的函数，则它的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
【思路】由等腰三角形的周长为20，得到，结合三角形的性质，求得，即可得到函数的解析式.
【解析】由等腰三角形的周长为20，且底边长y是关于腰长x，
可得，所以，
又由，即，即，
因为，即，可得，所以，
所以解析式为.
故选：D.
【题27】某公司市场营销部员工的个人月收入与月销售量成一次函数关系，其对应关系如图所示.由图示信息可知，月销售量为3百件时员工的月收入是（ ）
A．2100元 B．2400元 C．2700元 D．3000元
【思路】利用公司市场营销部员工的个人月收入与月销售量成一次函数关系，设出函数解析式，代入图象中的坐标，求出函数并将月销售量为3百件代入，可得此时的月收入．
【解析】设一次函数为：，将和代入得：，
解得，
故公司市场营销部员工的个人月收入与月销售量之间的函数关系为，
令，可得元，
故选：C.
【题28】某学校因为学生活动区域紧张，为了更好的为学生提供活动场地，决定在一块长米，宽米的矩形地块上施工，规划建设占地如图中矩形的学生活动中心，要求顶点在地块的对角线上，、分别在边、上，假设长度为米.

(1)要使矩形活动区域的面积不小于平方米，的长度应在什么范围？
(2)长度和宽度分别为多少米时矩形活动区域的面积最大？最大值是多少平方米？
【思路】（1）由已知可得，可求得，可得出，利用矩形的面积公式可得出关于的不等式，即可解得的取值范围；
（2）利用二次函数的基本性质可求得矩形面积的最大值，及其对应的的值，即可得出结论.
【解析】（1）解：因为，由图可知，，即，即，
所以，，所以，，其中，
矩形的面积为，其中，
由，整理可得，解得，
因此，当时，形活动区域的面积不小于平方米.
（2）解：由（1）知，，其中，
故当时，函数取最大值，即，
因此，当米，米时，矩形活动区域的面积最大，且最大值为平方米.
【题29】小明同学想知道自家煤气灶旋钮放到什么位置时，烧开一壶水最省燃气，于是通过实验统计了旋钮的转角为、、、、时，烧开一壶水所耗燃气情况：
旋钮的转角 （单位：度） 18 36 54 72 90
所耗燃气量 （单位：） 0.130 0.122 0.139 0.149 0.172
请选择合适的函数模拟拟合以上数据，由此计算：旋钮的转角为多少度时，烧开一壶水所耗然气最少？最少燃气为多少立方米？
【思路】设旋钮的转角（单位：度）为x，所耗燃气量（单位：）为y，在平面直角坐标系中描点，可选择二次函数进行模拟拟合，设，取代入，求出，根据二次函数的性质求出最小值.
【解析】设旋钮的转角（单位：度）为x，所耗燃气量（单位：）为y，在平面直角坐标系中描出表中的五个点如图，

可以选择二次函数进行模拟拟合，设，
不妨取代入，
得，解得，
故,
当时，
的最小值为（）.
所以当（度）时，烧开一壶水所耗燃气最少，约 ．
【题30】某蔬菜种植基地共有蔬菜种植大棚个，用于种植普通蔬菜，平均每个大棚年收入为万元．为适应市场需求，提高收益，决定调整原种植方案，将个大棚改种速生蔬菜，其余大棚继续种植普通蔬菜．经测算，调整种植方案后，种植普通蔬菜的每个大棚年收入比原来提高，种植速生蔬菜的每个大棚年收入为万元．
(1)当时，要使蔬菜种植大棚全年总收入不少于原来的，求的取值范围
(2)当时，求蔬菜种植大棚全年总收入的最大值．
【思路】（1）当时，设种植速生蔬菜和普通蔬菜的收入分别为，表示出，要使蔬菜种植大棚全年总收入不少于原来的，即，解不等式结合，即可得出答案.
（2）设蔬菜种植大棚全年总收入为万元，可得，由二次函数的性质结合，即可得出答案.
【解析】（1）当时，设种植速生蔬菜和普通蔬菜的收入分别为，
则，，
，
要使蔬菜种植大棚全年总收入不少于原来的，
则，
所以，
化简得：，即，
解得：，又因为，
所以，.
（2）设蔬菜种植大棚全年总收入为万元，
所以
，
，
当时，，
所以当时，函数在单调递增，当时，函数在单调递减，
所以，当时，，
当时，，
当时，，
所以当时，，所以，
，所以，
所以最大，所以当时，蔬菜种植大棚全年总收入最大为：万元.
【题31】异速生长规律描述生物的体重与其它生理属性之间的非线性数量关系通常以幂函数形式表示．比如，某类动物的新陈代谢率与其体重满足，其中和为正常数，该类动物某一个体在生长发育过程中，其体重增长到初始状态的16倍时，其新陈代谢率仅提高到初始状态的8倍，则为（ ）
A． B． C． D．
【思路】初始状态设为，变化后为，根据，的关系代入后可求解．
【解析】设初始状态为，则，，
又，，即 ，
，，，，．
故选：D．
【题32】上海市为抑制房价，2011年准备新建经济适用房800万，解决中低收入家庭的住房问题.设年平均增长率为，设2014年新建经济住房面积为，则关于的函数是（ ）
A． B．
C． D．
【思路】根据平均增长率的定义写出方程即可得到答案．
【解析】由题意知
2012年为
2013年为
2014年为
故选B.
【题33】2020年底，国务院扶贫办确定的贫困县全部脱贫摘帽，脱贫攻坚取得重大胜利！为进一步巩固脱贫攻坚成果，持续实施乡村振兴战略，某企业响应政府号召，积极参与帮扶活动．该企业2021年初有资金150万元，资金的年平均增长率固定，每三年政府将补贴10万元．若要实现2024年初的资金达到270万元的目标，资金的年平均增长率应为（参考值：）（ ）
A．10% B．20% C．22% D．32%
【思路】设年平均增长率为，依题意列方程求即可.
【解析】由题意，设年平均增长率为，则，
所以，故年平均增长率为20%.
故选：B.
【题34】某企业生产一种化学产品的总成本（单位：万元）与生产量（单位：吨）之间的函数关系可近似表示为，要使每吨的平均生产成本最少，则生产量控制为（ ）
A．20吨 B．40吨 C．50吨 D．60吨
【思路】由总成本与生产量之间的关系求出平均生产成本的函数解析式，求函数取最小值时的x的值即为所求.
【解析】因为总成本y与生产量x之间的关系为，
设平均生产成本为，则，
当时，，
则时，最小为100，
当时，，
当且仅当，即时，最小为90，
综上，，即生产量控制在40吨时，每吨的平均生产成本最少.
故选：B.
【题35】2005年10月27日全国人大通过了关于修改个人所得税的决定，工薪所得减去费用标准从800元提高到1600元也就是说原来月收入超过800元部分就要纳税，2006年1月1日开始超过了1600元才需要纳税，若税法修改前后超过部分的税率相同，如下表：
级数 全月应纳税所得额 税率
1 不超过500元 5
2 500~2000元 10
3 2000~5000元 15
某人2005年9月交纳个人所得税123元，则按照新税法只要交税（ ）元．
A．43 B．2280 C．680 D．不能确定
【思路】根据已知写出税法修改前纳税额与工资的分段函数形式，根据个人所得税求出某人工资，再按新税法求税额即可.
【解析】设工资为元，
当，纳税为0元；
当，纳税为元；
当，纳税为元；
当，纳税为元；
所以，纳税为，
而，令，可得元，
由，则按新税法只要交税元.
故选：A.
【题36】在一般情况下，过江大桥上的车流速度（单位：千米/小时）是车流密度（单位：辆/千米）的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为90千米/小时；研究表明，当时，车流速度是车流密度的一次函数．设当车流密度时，车流量（单位时间内通过桥上某观点的车辆数，单位：辆/小时）可以达到最大．则（ ）
A． B． C． D．
【思路】根据条件建立分段函数关系，利用待定系数法求出，的值，利用二次函数的最值性质进行求解即可．
【解析】，
则当时，，
当时，，即，解得，，
故，
当时，的最大值为时，；
当时，，
根据二次函数的对称轴方程为，得的最大值为时，．
故选：A．
【题37】某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为300吨，最多为600吨，月处理成本（元）与月处理量（吨）之间的函数关系可近似地表示为，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为200元.
(1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？
(2)该单位每月能否获利，如果获利，最大利润为多少元？
【思路】（1）依题意写出每吨的平均处理成本与月处理量之间的函数关系，再用基本不等式即可求解；
（2）设该单位每月获利元根，据题意写出的函数关系式，用一元二次函数求最值的方法求解.
【解析】（1）由题意，每吨的平均处理成本为，当且仅当，即时等号成立，
故该单位月处理量为300吨时，才能使每吨的平均处理成本最低.
（2）设该单位每月获利为元，则.因为，所以.
故该单位每月获利，最大利润为35000元.
【题38】党的十九大报告明确要求继续深化国有企业改革，培育具有全球竞争力的世界一流企业.某企业抓住机遇推进生产改革，从单一产品转为生产A、B两种产品，根据市场调查与市场预测，A产品的利润与投资成正比，其关系如图①；B产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图②（注：所示图中的横坐标表示投资金额，单位为万元）.

(1)分别求出A、B两种产品的利润表示为投资的函数关系式；
(2)该企业已筹集到10万元资金，并全部投入A、B两种产品的生产，问：怎样分配这10万元资金，才能使企业获得最大利润，最大利润是多少？
【思路】（1）由题设，，根据图象上数据得解；
（2）列出企业利润的函数解析式换元法求得函数最值得解.
【解析】（1）设投资为万元，A产品的利润为万元，B产品的利润为万元
由题设，，
由图知，故，又，所以．
从而，．
（2）设A产品投入万元，则B产品投入万元，设企业利润为万元
则，
令，则，
当时，，此时.
故A产品投入6万元，B产品投入4万元，才能使企业获得最大利润，最大利润是7万元.
名校真题练
【练习1】幂函数的图象与坐标轴有交点，且a+b＞0（a）+f（b）的值（　　）
A．等于0 B．恒小于0 C．恒大于0 D．无法判断
【答案】C
【分析】由幂函数的定义结合已知条件可求得m的值，得出函数f（x）的解析式，判断函数f（x）的单调性与奇偶性，结合a+b＞0以及函数f（x）的奇偶性与单调性，可得出结论．
【解答】解：由幂函数的定义知，m2﹣m﹣1＝3，解得m＝2或m＝﹣1．
当m＝2时，m2+2m﹣5＝3，所以f（x）＝x3，函数图象与坐标轴有交点，
当m＝﹣7时，m2+2m﹣4＝﹣6，所以f（x）＝x﹣6，函数图象与坐标轴没有交点，
所以f（x）＝x4，且f（x）＝x3为奇函数，在R上为增函数，
又a+b＞0，所以a＞﹣b，即f（a）+f（b）＞8．
故选：C．
【练习2】已知幂函数在（0，+∞）上递增，则m＝（　　）
A．2 B．4 C．﹣1 D．2或﹣1
【答案】C
【分析】由题意，利用幂函数的定义和性质，求得m的值．
【解答】解：∵幂函数 在（5，
∴m2﹣m﹣1＝8①，且m2﹣2m﹣5＞0②．
由①求得m＝﹣1或m＝2；
由②求得m 或m＜5﹣，
综合可得m＝﹣1，
故选：C．
【练习3】已知，若0＜a＜b＜1，则下列各式中正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】函数的单调性，对a、b、、，区分大小，即可找出选项．
【解答】解：因为函数在（7，又，
故选：C．
【练习4】如图是幂函数y＝xn在第一象限内的图象，已知n取，2，﹣2，﹣，则相应于曲线C1，C2，C3，C4的n依次为（　　）
A．2，，﹣，﹣2 B．﹣2，﹣，，2
C．﹣，﹣2，2， D．2，，﹣2，﹣
【答案】A
【分析】根据幂函数的图象与性质：图象越靠近x轴的指数越小，即可判断出．
【解答】解：根据幂函数的图象与性质：图象越靠近x轴的指数越小，
因此相应于曲线C1，C2，C4，C4的n依次为2，，﹣，﹣2．
故选：A．
【练习5】已知函数f（x）＝满足对任意x1≠x2，都有＞0成立，则a的范围是 （　　）
A．[﹣3，0） B．[﹣3，﹣2] C．（﹣∞，﹣2] D．（﹣∞，0]
【答案】B
【分析】根据题意判断函数f（x）是R上的增函数，由此列出关于a的不等式组，求出解即可．
【解答】解：函数f（x）对任意x1≠x2，都有＞0成立，
所以，解得﹣3≤a≤﹣2，
所以a的取值范围是[﹣2，﹣2]．
故选：B．
【练习6】已知函数g（x）是R上的奇函数，且当x＜0时，g（x）2+2x，函数f（x）＝，若f（2﹣x2）＞f（x），则实数x的取值范围是（　　）
A．（﹣∞，1）∪（2，+∞） B．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）
C．（1，2） D．（﹣2，1）
【答案】D
【分析】先由函数g（x）是奇函数，求出函数g（x）的解析式，再利用f（x）与g（x）的关系得到f（x）的单调性，利用函数单调性解不等式f（2﹣x2）＞f（x），求出实数x的取值范围．
【解答】解：∵函数g（x）是R上的奇函数，且当x＜0时2+5x，
∴当x＞0时，g（x）＝﹣g（﹣x）＝﹣[﹣（﹣x）2﹣4x]＝x2+2x
∴函数f（x）＝，
∴当x≤0时，f（x）＝x为单调递增函数，
当x＞0时，f（x）＝x3+2x为单调递增函数，
如图：
∴函数f（x）在区间（﹣∞，+∞）上单调递增．
∵f（2﹣x4）＞f（x），∴2﹣x2＞x，
即x3+x﹣2＜0，∴（x+4）（x﹣1）＜0，
∴﹣4＜x＜1，∴x∈（﹣2．
故选：D．
【练习7】（多选）已知幂函数f（x）＝（m﹣1）xa的图象经过点，下列结论正确的有（　　）
A．m＝2
B．f（0）＝0
C．f（x）是偶函数
D．若f（3﹣2x）＞f（x+1），则
【答案】AC
【分析】由幂函数定义可得A；结合图象经过点可得f（x）解析式及其定义域，即可得B；结合偶函数的定义计算即可得C；结合偶函数性质与幂函数单调性计算即可得D．
【解答】解：A项：幂函数f（x）＝（m﹣1）xa的图象经过点，
则有，解得，即；
B项：由，其定义域为（﹣∞，+∞）；
C项：由，故f（x）是偶函数；
D项：由，故f（x）在（2，又f（x）是偶函数，
故可得，|7﹣2x|＜|x+1|8＜（x+1）2，
整理得（7x﹣2）（x﹣4）＜8，解得，
由3﹣2x≠8、x+1≠0可得，
故，故D错误．
故选：AC．
【练习8】（多选）已知幂函数f（x）的图象经过点（9，3），则（　　）
A．函数f（x）为增函数
B．函数f（x）为偶函数
C．当x≥4时，f（x）≥2
D．当x2＞x1＞0时，＞f（）
【答案】AC
【分析】对于A，结合幂函数的单调性，即可求解；对于B，结合偶函数的定义，即可求解；对于C，结合幂函数的解析式，即可求解；对于D，利用作差法，即可求解．
【解答】解：设幂函数f（x）＝xα，
∵幂函数f（x）的图象经过点（9，3），
∴5α＝3，解得，
∴f（x）＝，
∴f（x）的定义域为[3，+∞），+∞）上单调递增；
f（x）的定义域不关于原点对称，
则函数f（x）不是偶函数，故B错误；
当x≥4时，f（x）≥f（4）＝2；
当x7＞x1＞0时，
＝﹣＝
＝，
又∵f（x）≥0，∴＜f（）．
故选：AC．
【练习9】已知幂函数f（x）＝（2m2﹣10m+13）xm是R上的奇函数，则实数m的值为 　3　 ．
【答案】3．
【分析】利用幂函数的定义及奇偶性求出实数m的值．
【解答】解：∵幂函数f（x）＝（2m2﹣10m+13）xm是R上的奇函数，
∴由幂函数的定义得：
5m2﹣10m+13＝1，解得m＝5或m＝3，
当m＝2时，幂函数f（x）＝（7m2﹣10m+13）＝x2是偶函数，不符合题意；
当m＝6时，函数f（x）＝（2m2﹣10m+13）xm＝x5是奇函数，符合题意，
∴实数m的值为3．
故答案为：3．
【练习10】已知幂函数f（x）＝（3m2﹣11）xm在（0，+∞）上单调递增，则f（4）＝　16　 ．
【答案】16．
【分析】根据幂函数的定义以及单调性得出m，进而得出f（4）．
【解答】解：由题意可知，，解得m＝25，
故f（4）＝16．
故答案为：16．
【练习11】已知幂函数f（x）＝x2+m是定义在区间[﹣1，m]上的奇函数，则f（m+1）＝　8　 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】利用奇函数的定义域关于原点对称可得m，即可得出．
【解答】解：∵幂函数在[﹣1，m]上是奇函数，
∴m＝1，
∴f（x）＝x7，
∴f（m+1）＝f（1+2）＝f（2）＝23＝6．
故答案为：8．
【练习12】以下五个函数中：①y＝，②y＝2x2，③y＝x2+x，④y＝1，⑤y＝　①⑤　 （填写符合的序号）
【答案】见试题解答内容
【分析】根据幂函数的定义，对给出的函数进行判断即可．
【解答】解：根据幂函数的定义，得；
①y＝＝x﹣5是幂函数，
②y＝2x2不是幂函数，
③y＝x7+x不是幂函数，
④y＝1不是幂函数，
⑤y＝＝是幂函数；
综上，是幂函数的为①⑤．
故答案为：①⑤．
【练习13】已知函数则不等式f（x+2）＜2﹣f（x﹣4）　（﹣∞，4）　 ．
【答案】（﹣∞，4）．
【分析】利用导数判断出函数在（﹣∞，1]上单调递增，由幂函数的性质可得函数在（1，+∞）也单调递增，从而可得f（x）在R上单调递增，令g（x）＝f（x+2）+f（x﹣4），则有g（x）＜g（4），利用g（x）的单调性求解即可．
【解答】解：因为当x≤1时，f（x）＝x3+4x﹣1，
f'（x）＝3x4+2＞0，
所以函数在（﹣∞，6]上单调递增；
当x＞1时，f（x）＝，
且当x趋于6时，f（x）趋于2；
所以f（x）在R上单调递增．
设g（x）＝f（x+2）+f（x﹣7），
则g（x）在R上也单调递增．
又g（4）＝f（6）+f（0）＝3﹣1＝7，
所以原不等式可化为g（x）＜g（4），
所以原不等式的解集为（﹣∞，4）．
故答案为：（﹣∞，4）．
【练习14】已知幂函数f（x）＝（2m2﹣m﹣2）xm﹣1在定义域内单调递增．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求关于x的不等式f（x+1）＜f（x2﹣2x+3）的解集．
【答案】（1）f（x）＝．（2）[﹣1，1）∪（2，+∞）．
【分析】（1）根据幂函数的性质，令系数为1，解出m的值并检验单调性，可得函数的解析式；
（2）根据函数的定义域与单调性列不等式组求解即可．
【解答】解：（1）由题意，令2m2﹣m﹣5＝1，解得m＝﹣1或m＝，
当m＝﹣1时，f（x）＝x﹣4，不满足在定义域内单调递增；
当m＝时，f（x）＝；
f（x）的解析式为f（x）＝．
（2）∵f（x）＝在[8，
∴，解得x∈[﹣1，+∞）．
即关于x的不等式f（x+2）＜f（x2﹣2x+4）的解集为[﹣1，1）∪（5．
【练习15】已知幂函数是偶函数，且在（0，+∞）
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若正实数a，b满足a+b＝4m，求的最小值．
【答案】（1）f（x）＝x2；
（2）．
【分析】（1）由f（x）为幂函数求得m，再由f（x）在（0，+∞）上单调递增求得k，然后再验证奇偶性即可．
（2）由（1）得到a+b＝4m＝4，然后利用“1”的代换，结合基本不等式求解．
【解答】解：（1）由f（x）为幂函数得：
m2﹣2m+2＝1 m＝1，
且f（x）在（5，+∞）上单调递增，
所以，
又k∈Z，所以k＝1或k＝5，
当k＝1时，f（x）＝x3为奇函数，不满足题意，
当k＝3时，f（x）＝x2为偶函数，满足题意，
所以f（x）＝x2；
（2）因为a＞5，b＞0且a+b＝4m＝6，
所以，
所以，
＝，
，
当且仅当，
且a+b＝4，即a＝1，
所以的最小值为．
【练习16】已知幂函数f（x）＝x﹣m2+m+2（m∈Z）在（0，+∞）上单调递增．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）设g（x）＝f（x）﹣ax+1，求g（x）在区间[﹣1
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）由条件可得﹣m2+m+2＞0，解得m的范围m．再结合m∈Z，求得m的值，可得f（x）的解析式．
（2）由（1）知g（x）＝x2﹣ax+1，再分①若≤﹣1、②若﹣1＜≤1、③若＞1三种情况，分别利用二次函数的性质，求得g（x）min．．
【解答】解：（1）因为幂函数f（x）＝x﹣m2+m+2在（5，+∞）上单调递增，
所以﹣m2+m+2＞3，故﹣1＜m＜2．
又因为m∈Z，故m＝8，或m＝1f（x）＝x2．
（2）由（1）知g（x）＝x2﹣ax+1，
①若≤﹣4，即a≤﹣2时，g（x）在[﹣1，3]上单调递增，
所以g（x）min＝g（﹣1）＝a+2．
②若﹣2＜≤1a≤6时，
g（x）在[﹣1，]上单调递减，[，
所以g（x）min＝g（）＝1﹣．
③若＞3，即a＞2时，g（x）在[﹣1，4]上单调递减，
所以g（x）min＝g（1）＝2﹣a．
综上：a≤﹣2时，g（x）在区间[﹣2，1]上的最小值为a+2；
﹣6＜a≤2时，g（x）在区间[﹣1，4]上的最小值为1﹣；
a＞2时，g（x）在区间[﹣1，6]上的最小值为2﹣a．
【练习17】已知幂函数f（x）＝（m2﹣3m﹣3）xm﹣2在（0，+∞）上为增函数．
（1）求实数m的值；
（2）若g（x）＝log2[f（x）+ax+3]在（﹣∞，1]上为减函数
【答案】（1）4．（2）（﹣4，﹣2]．
【分析】（1）根据已知条件，结合幂函数的定义列出关于m的方程，再结合函数性质，即可求解．
（2）根据已知条件，结合复数函数的单调性，即可求解．
【解答】解：（1）∵f（x）为幂函数，
∴m2﹣3m﹣3＝1，解得m＝4或﹣3，
∵f（x）在（0，+∞）上为增函数，
∴m﹣2＞6，故m＝4．
（2）由（1）可得，f（x）＝x2，g（x）＝，
∵g（x）在（﹣∞，6]上为减函数，
∴由复合函数的单调性可知，y＝x2+ax+3（﹣∞，8]上为减函数，
又∵y＝x2+ax+3 的递减区间是（﹣∞，﹣]，
∴，解得﹣3＜a≤﹣2，
故实数a的取值范围为（﹣4，﹣7]．
【练习18】已知幂函数f（x）＝（m2﹣m﹣1） x﹣2m﹣1在（0，+∞）上单调递增，又函数g（x）x．
（1）求实数m的值，并说明函数g（x）的单调性；
（2）若不等式g（1﹣3t）+g（1+t）≥0恒成立
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）由f（x）是幂函数，得到m2﹣m﹣1＝1，再由f（x）在（0，+∞）上单调递增，得到﹣2m﹣1＞0，从而求出m＝﹣1，进而g（x）＝，由此能求出函数g（x）在R上单调递增．
（2）由g（﹣x）＝2﹣x﹣＝﹣（）＝﹣g（x），得到g（x）是奇函数，从而不等式g（1﹣3t）+g（1+t）≥0可变为g（1﹣3t）≥﹣g（1+t）＝g（﹣1﹣t），由此能求出实数t的取值范围．
【解答】解：（1）因为f（x）是幂函数，所以m2﹣m﹣1＝7，解得m＝﹣1或m＝2
又因为f（x）在（8，+∞）上单调递增，即m＜﹣，
即m＝﹣4，则g（x）＝
因为y＝2x与y＝﹣均在R上单调递增，
所以函数g（x）在R上单调递增．……………………………………………………………（6分）
（2）因为g（﹣x）＝2﹣x﹣＝﹣（，
所以g（x）是奇函数，…………………………………………………………………………（8分）
所以不等式g（4﹣3t）+g（1+t）≥8可变为g（1﹣3t）≥﹣g（5+t）＝g（﹣1﹣t），…………（9分）
由（1）知g（x）在R上单调递增，所以2﹣3t≥﹣1﹣t，
解得t≤3．故实数t的取值范围是（﹣∞．…………………………………………………（12分）
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