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第21讲 指数函数与对数函数
内容导航——预习三步曲
第一步：学
析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习
练习题 讲典例：教材习题学解题、快速掌握解题方法
练考点 强知识：6大核心考点精准练
第二步：记
串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握
第三步：测
过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升
知识点1指数与指数函数
1.根式
(1)概念：式子叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数.
(2)性质：()n＝a(a使有意义)；当n为奇数时，＝a，当n为偶数时，＝|a|＝
2.分数指数幂
(1)规定：正数的正分数指数幂的意义是＝ (a>0，m，n∈N*，且n>1)；正数的负分数指数幂的意义是＝ (a>0，m，n∈N*，且n>1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义.
(2)有理指数幂的运算性质：aras＝ar+s；(ar)s＝ars；(ab)r＝arbr，其中a>0，b>0，r，s∈Q.
3.指数函数及其性质
(1)概念：函数y＝ax(a>0且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，函数的定义域是R，a是底数.
(2)指数函数的图象与性质
a>1 0图象
定义域 R
值域 (0，＋∞)
性质 过定点(0，1)，即x＝0时，y＝1
当x>0时，y>1； 当x<0时，01； 当x>0时，0在(－∞，＋∞)上是增函数 在(－∞，＋∞)上是减函数
4.常用结论
（1）画指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0，1)，.
（2）在第一象限内，指数函数y＝ax(a>0且a≠1)的图象越高，底数越大.
知识点2 对数与对数函数
1.对数的概念
如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数.
2.对数的性质、换底公式与运算性质
(1)对数的性质：①alogaN＝N；②logaab＝b(a>0，且a≠1).
(2)对数的运算法则
如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么
①loga(MN)＝logaM＋logaN；
②loga＝logaM－logaN；
③logaMn＝nlogaM(n∈R)；
④logamMn＝logaM(m，n∈R，且m≠0).
(3)换底公式：logbN＝(a，b均大于零且不等于1).
3.对数函数及其性质
(1)概念：函数y＝logax(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞).
(2)对数函数的图象与性质
a>1 0图象
性质 定义域：(0，＋∞)
值域：R
当x＝1时，y＝0，即过定点(1，0)
当x>1时，y>0； 当01时，y<0； 当00
在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数
4.反函数
指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称.
5.常用结论
①.换底公式的两个重要结论
(1)logab＝；(2)logambn＝logab.
其中a>0，且a≠1，b>0，且b≠1，m，n∈R.
②.在第一象限内，不同底的对数函数的图象从左到右底数逐渐增大.
③.对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象过定点(1，0)，且过点(a，1)，，函数图象只在第一、四象限.
知识点3 函数的应用
1．函数的零点
(1)函数零点的定义
对于函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．
(2)几个等价关系
方程f(x)＝0有实数根 函数y＝f(x)的图象与x轴有交点 函数y＝f(x)有零点．
(3)函数零点的判定()
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．
2．二次函数图象与零点的关系
Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象
与x轴的交点 (x1,0)，(x2,0) (x1,0) 无
零点个数 2 1 0
3．几类函数模型
函数模型 函数解析式
一次函数模型 f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)
二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
指数函数模型 f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1)
对数函数模型 f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1)
幂函数模型 f(x)＝axn＋b(a，b为常数，a≠0)
“对勾”函数模型 y＝x＋(a>0)
4.三种函数模型的性质
函数 性质 y＝ax(a>1) y＝logax(a>1) y＝xn(n>0)
在(0，＋∞) 上的单调性 单调递增 单调递增 单调递增
增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳
图象的变化 随x的增大，逐渐表现为与y轴平行 随x的增大，逐渐表现为与x轴平行 随n值变化而各有不同
值的比较 存在一个x0，当x>x0时，有logax5.二分法
二分法的定义：对于区间[a,b]上图象连续不断且f（a）·f（b）＜0的函数f（x）。通过不断把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到近似值的方法。
二分法要点辨析：
二分法的求解原理是函数零点存在定理；
函数图象在零点附近连续不断；
用二分法只能求变号零点，即零点在左右两侧的函数值的符号相反，比如 ，该函数有零点0，但不能用二分法求解。
关于精确度
（1）“精确度”与“精确到”不是一回事，
这里的“精确度”是指区间的长度达到某个确定的数值ε，即 ；
“精确到”是指某区间数的数位达到某个规定的数位，
如计算1- ，精确到0.01，即0.33。
（2）精确度ε表示当区间的长度小于ε时停止二分，此时除可用区间的端点代替近似值外，还可选用该区间内的任意一个数值作零点近似值。
比较下列各题中两个值的大小： (1)，； (2)，； (3)，.
求下列各式中x的值： (1)； (2)； (3)； (4)．
一种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年，剩余质量约是原来的75%．经过多少年，该物质的剩余质量是原来的？（，，结果精确到0.001）
1．[多选]下列运算正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．若，则．
2．求值： .
3．计算： ．
4．（1）已知，求的值；
（2）已知，求的值.
5．计算：
(1)；
(2).
1．已知函数.
(1)当时，求在区间上的最小值；
(2)若，总存在，使得，求实数的取值范围.
2．已知函数．
(1)若，求在区间上的最小值；
(2)设函数，若对任意的，总存在，使得，求实数m的取值范围．
3．已知函数的图象过点，其中.
(1)求及的值；
(2)求证：，都有；
(3)记函数在上的最大值为，当最小时，求的值.
4．已知函数．
(1)用定义法证明在上的单调性；
(2)若函数，且在区间上的最小值为，求．
5．已知函数（且）.
(1)若在区间上的最大值与最小值之差为1，求的值；
(2)解关于的不等式.
6．已知函数在上的最大值与最小值之差为2．
(1)求实数的值；
(2)若对任意，都有，求实数的取值范围．
1．当时，下列不等式中正确的是（ ）
A．B． C． D．
2．定义域为的函数满足，当时，，若时，，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
3．已知函数.
(1)求不等式的解集；
(2)若函数的图象经过原点，求在的值域.
4．设函数.
(1)判断函数的奇偶性，并证明；
(2)判断函数的单调性，并利用定义加以证明；
(3)若，求实数的取值范围.
1．方程的解所在的区间是（ ）
A． B． C． D．
2．已知函数在区间内有唯一零点，则实数b的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．已知函数 ，方程 的根的个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
4．已知函数是定义在上的奇函数.
(1)求实数的值；
(2)设函数；求的零点；
(3)求当时，函数的值域.
5．已知函数
(1)求关于的不等式的解集；
(2)若函数在时存在零点，求实数的取值范围．
1．要使函数在上，恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．若不等式在上恒成立，则实数a的取值范围是 .
3．已知函数，
(1)解关于的不等式；
(2)若关于的方程有两个小于的不等实根，求的取值范围：
(3)若对任意的，恒成立，求的取值范围．
4．已知函数为定义在R上的奇函数.
（1）求a的值；
（2）判断函数的单调性，并用单调性定义证明；
（3）若关于x的不等式有解，求t的取值范围.
5．已知函数.
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若对任意，不等式恒成立，求的最大值；
（3）对于函数，若，，，为某一三角形的三边长，则称为“可构造三角形函数”，已知函数是“可构造三角形函数”，求实数的取值范围.
6．已知，．
（1）若函数在为增函数，求实数的值；
（2）若函数为偶函数，对于任意，任意，使得成立，求的取值范围.
7．已知，.
（1）判断并用定义证明函数在上的单调性；
（2）若，在区间上恒成立，求实数的取值范围；
（3）若存在实数，使得函数在上的值域是，求实数的取值范围.
1．某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司2019年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金超过200万元的年份是（ ）
（参考数据：，，）
A．2019年 B．2020年 C．2023年 D．2024年
2．血氧饱和度是呼吸循环的重要生理参数，人体的血氧饱和度正常范围是95%~100%，当血氧饱和度低于90%时，需要吸氧治疗，在环境模拟实验室的某段时间内，可以用指数模型描述血氧饱和度随着给氧时间（单位：小时）的变化而变化的规律，其中为初始血氧饱和度，为参数．已知，给氧1小时后，血氧饱和度为80%．若使得血氧饱和度达到90%，则至少还需要的给氧时间为 小时．（精确到0.1，参考数据：，）
3．甲养殖户去年购入100只羊崽，今年计划增加羊崽的购入数量，有如下两种购买方案可供选择：方案一，每只羊崽的进价均为450元；方案二，前100只羊崽的单价为500元/只，若超过100只羊崽，则每多买1只，超出部分每只羊崽的进价降低1元.设甲今年比去年购入的羊崽多只，甲按照方案一购入羊崽的消费额为元，按照方案二购入羊崽的消费额为元.
(1)分别求函数，的解析式；
(2)判断甲如何选择方案更经济实惠，并说明理由.
4．某乡镇水果资源丰富，积极打造水果生态小镇.经调研发现，种植某种水果，当施肥量单位：千克时，单株产量单位：千克满足，此时全部交于收购商打理，无额外支出，最后以12元/千克全部卖于收购商，已知施肥量为2千克时，单株产量为12千克；后来改进措施，加大施肥量，当施肥量时，单株产量，模式变为自我管理、改善水果品质，单株额外增加了成本15 x元如肥料、人工、机器等，最后以15元/千克全部卖出.
(1)写出单株利润元关于施肥量千克的关系式；
(2)当施肥量x为多少千克时，该水果单株利润最大 最大是多少元
5． 室内空气消毒是为消灭污染室内空气的有害微生物而采取的有效措施.常用方法有自然通风、紫外线灯消毒、臭氧及其他化学消毒剂消毒和静电等空气净化器消毒等.某公司新研发一款室内空气消毒剂，根据实验得出，在一定范围内，每喷洒1个单位的空气消毒剂，空气中释放的浓度y(单位:毫克/立方米)随着时间x(单位:天)变化的关系如下:当时，；当时，.若多次喷洒，则某一时刻空气中的消毒剂浓度为每次喷洒的消毒剂在相应时刻所释放的浓度之和.由实验知，当空气中消毒剂的浓度不低于4(毫克/立方米)时，它才能起到有效消毒空气的作用.
(1)若一次喷洒4个单位的消毒剂，则消毒时间可达几天
(2)若第一次喷洒2个单位的消毒剂，6天后再喷洒个单位的消毒剂，要使接下来的4天中能够持续有效消毒，试求a的最小值.(精确到0.1，参考数据:≈1.4)
1．指对数的运算法则
2．指数函数的图象与性质
3．对数函数的图象与性质
4. 反函数的概念
5. 二分法求方程近似解的过程
一、单选题
1．已知函数，则（ ）
A． B． C．2 D．4
2．小敏在某次投篮中，球的运动路线是抛物线的一部分（如图所示），若命中篮环中心，则他与篮底的距离t是（ ）
A．3.5m B．4m
C．4.5m D．4.6m
3．某新能源汽车公司设计充电桩布局，要求每个充电区的长度为米，宽度为米.根据城市规划要求，米，且充电桩间隔距离需满足.为使充电区有效面积最大，应选择的尺寸是（　　）
A．米，米
B．米，米
C．米，米
D．米，米
4．直角坐标系内两点满足：（1）点都在的图象上；（2）点关于原点对称，则称点对是函数的一个“姊妹对点”， 与可看作一个“姊妹对点”，已知函数，则的“姊妹对点”有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．已知函数的定义域为，，为奇函数，为偶函数.若，则的值为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
6．已知函数，存在实数b，使得方程有三个不同的实数根，则实数a的取值范围为（ ）．
A． B．
C． D．
7．已知函数是定义域为的奇函数；且，当时，，，则下列结论不正确的是（ ）
A． B．函数的图象关于对称
C．的值域为 D．函数有9个零点
8．现有两个函数模型如下，模型一：如果是碳14的初始质量，那么经过年后，碳14的质量为；模型二：马尔萨斯自然状态下人口增长模型，其中表示经过的时间，表示时的人口数，是常数（是自然对数的底）.则下列说法错误的是（ ）
A．经过5730年，碳14的质量变为初始质量的一半
B．碳14的年衰减率与初始质量有关
C．设，碳14的第年，第年，第年的衰减量分别为，，，则
D．以上两个模型都可以归结为模型“”（其中为自变量，，为常数，是自然对数的底）
9．下列函数中，有零点且能用二分法求零点近似值的是（ ）
A． B．
C． D．
10．已知，下列各式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
11．空旷的田野上两根电线杆之间的电线有相似的曲线形态．这些曲线在数学上称为悬链线，悬链线在工程上有广泛的应用．在恰当的坐标系中，这类函数的表达式可以表示为（其中a，b为非零常数），则对于函数以下结论正确的是（ ）
A．若，则为奇函数
B．若，，则函数的最大值为4
C．若，则函数的最小值为2
D．为奇函数，且，使得成立，则a的最小值为
12．下列命题为真命题的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
13．定义在上的函数满足.则（ ）
A．函数的解析式为
B．函数图象的对称轴为直线
C．函数的单调递增区间为
D．函数在上的最大值为
14．对于函数，下列说法一定正确的是（ ）
A． B．，使得在上单调递减
C．当时，的值域为 D．，最多有三个根
15．已知函数，若 ，则的取值范围为 .
16．已知函数若方程有且仅有5个不同实数根，则实数的取值范围为 .
17．函数，若，且互不相等，则的取值范围是 ．
18．已知二次函数．
(1)若，求的解集；
(2)若方程在上有解，求实数a的取值范围．
19．已知函数．
(1)求函数的解析式；
(2)解方程．
20．设函数的定义域为
(1)求集合；
(2)已知函数，不等式的解集为
（i）求实数a，b的值；
（ii）若对，恒成立，求实数k的取值范围.
21．已知定义域为的函数，且存在定义域为的单调函数，使得，（是常数）.
(1)若，，求的解析式；
(2)若，
（i）求实数的取值范围；
（ii）对于给定的实数，求实数的取值的集合.
22．已知函数，利用函数图象解决下列问题．
(1)当时，方程有两个零点，求实数m的取值范围．
(2)若函数在区间D上的值域也为D，则称函数具有较好的保值性，这个区间称为保值区间，保值区间有三种形式：．试问是否具有较好的保值性？若具有，求出保值区间．
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第21讲 指数函数与对数函数
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第一步：学
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练习题 讲典例：教材习题学解题、快速掌握解题方法
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第二步：记
串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握
第三步：测
过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升
知识点1指数与指数函数
1.根式
(1)概念：式子叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数.
(2)性质：()n＝a(a使有意义)；当n为奇数时，＝a，当n为偶数时，＝|a|＝
2.分数指数幂
(1)规定：正数的正分数指数幂的意义是＝ (a>0，m，n∈N*，且n>1)；正数的负分数指数幂的意义是＝ (a>0，m，n∈N*，且n>1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义.
(2)有理指数幂的运算性质：aras＝ar+s；(ar)s＝ars；(ab)r＝arbr，其中a>0，b>0，r，s∈Q.
3.指数函数及其性质
(1)概念：函数y＝ax(a>0且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，函数的定义域是R，a是底数.
(2)指数函数的图象与性质
a>1 0图象
定义域 R
值域 (0，＋∞)
性质 过定点(0，1)，即x＝0时，y＝1
当x>0时，y>1； 当x<0时，01； 当x>0时，0在(－∞，＋∞)上是增函数 在(－∞，＋∞)上是减函数
4.常用结论
（1）画指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0，1)，.
（2）在第一象限内，指数函数y＝ax(a>0且a≠1)的图象越高，底数越大.
知识点2 对数与对数函数
1.对数的概念
如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数.
2.对数的性质、换底公式与运算性质
(1)对数的性质：①alogaN＝N；②logaab＝b(a>0，且a≠1).
(2)对数的运算法则
如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么
①loga(MN)＝logaM＋logaN；
②loga＝logaM－logaN；
③logaMn＝nlogaM(n∈R)；
④logamMn＝logaM(m，n∈R，且m≠0).
(3)换底公式：logbN＝(a，b均大于零且不等于1).
3.对数函数及其性质
(1)概念：函数y＝logax(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞).
(2)对数函数的图象与性质
a>1 0图象
性质 定义域：(0，＋∞)
值域：R
当x＝1时，y＝0，即过定点(1，0)
当x>1时，y>0； 当01时，y<0； 当00
在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数
4.反函数
指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称.
5.常用结论
①.换底公式的两个重要结论
(1)logab＝；(2)logambn＝logab.
其中a>0，且a≠1，b>0，且b≠1，m，n∈R.
②.在第一象限内，不同底的对数函数的图象从左到右底数逐渐增大.
③.对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象过定点(1，0)，且过点(a，1)，，函数图象只在第一、四象限.
知识点3 函数的应用
1．函数的零点
(1)函数零点的定义
对于函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．
(2)几个等价关系
方程f(x)＝0有实数根 函数y＝f(x)的图象与x轴有交点 函数y＝f(x)有零点．
(3)函数零点的判定(零点存在性定理)
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．
2．二次函数图象与零点的关系
Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象
与x轴的交点 (x1,0)，(x2,0) (x1,0) 无
零点个数 2 1 0
3．几类函数模型
函数模型 函数解析式
一次函数模型 f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)
二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
指数函数模型 f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1)
对数函数模型 f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1)
幂函数模型 f(x)＝axn＋b(a，b为常数，a≠0)
“对勾”函数模型 y＝x＋(a>0)
4.三种函数模型的性质
函数 性质 y＝ax(a>1) y＝logax(a>1) y＝xn(n>0)
在(0，＋∞) 上的单调性 单调递增 单调递增 单调递增
增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳
图象的变化 随x的增大，逐渐表现为与y轴平行 随x的增大，逐渐表现为与x轴平行 随n值变化而各有不同
值的比较 存在一个x0，当x>x0时，有logax5.二分法
二分法的定义：对于区间[a,b]上图象连续不断且f（a）·f（b）＜0的函数f（x）。通过不断把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到近似值的方法。
二分法要点辨析：
二分法的求解原理是函数零点存在定理；
函数图象在零点附近连续不断；
用二分法只能求变号零点，即零点在左右两侧的函数值的符号相反，比如 ，该函数有零点0，但不能用二分法求解。
关于精确度
（1）“精确度”与“精确到”不是一回事，
这里的“精确度”是指区间的长度达到某个确定的数值ε，即 ；
“精确到”是指某区间数的数位达到某个规定的数位，
如计算1- ，精确到0.01，即0.33。
（2）精确度ε表示当区间的长度小于ε时停止二分，此时除可用区间的端点代替近似值外，还可选用该区间内的任意一个数值作零点近似值。
教材习题01 比较下列各题中两个值的大小： (1)，； (2)，； (3)，. 解题方法 （1）解：因为函数在上为增函数，且，所以，. （2）解：因为函数在上为减函数，且，所以，. （3）解：当时，函数在上为减函数， 因为，所以，； 当时，函数在上为增函数， 因为，所以，. 综上所述，当时，；当时，.
【答案】(1) (2) (3)答案见解析
教材习题02 求下列各式中x的值： (1)； (2)； (3)； (4)． 解题方法 （1），即，即，. （2），所以. （3），所以. （4），所以.
【答案】(1)10 (2) (3) (4)
教材习题03 一种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年，剩余质量约是原来的75%．经过多少年，该物质的剩余质量是原来的？（，，结果精确到0.001） 解题方法 设这种放射性物质的最初质量为1，经过年后，剩留量为，则有， 由题意得， 即， 所以大约经过年，该物质的剩留量是原来的.
【答案】
考点一 指对运算
1．[多选]下列运算正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．若，则．
【答案】BD
【分析】由指数幂的运算性质对选项一一计算即可得出答案.
【详解】对于A，，A错误；
对于B．
，B正确；
对于C，原式
，C错误；
对于D，当时，，得，
由，得，
所以，D正确．
故选：BD.
2．求值： .
【答案】/
【分析】根据指数幂与对数运算的运算性质，准确计算，即可求解.
【详解】由.
故答案为：.
3．计算： ．
【答案】11
【详解】原式．
4．（1）已知，求的值；
（2）已知，求的值.
【答案】（1）；（2）1
【分析】先利用指对互化，再利用换底公式化简.
【详解】（1）由已知，，
所以.
（2）因为，所以，解得，
，解得，
所以.
5．计算：
(1)；
(2).
【答案】(1)2；
(2).
【分析】利用对数的运算法则结合对数的性质，计算求解.
【详解】（1）原式.
（2）原式.
考点二 最值问题
1．已知函数.
(1)当时，求在区间上的最小值；
(2)若，总存在，使得，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用换元法，结合对勾函数、指数函数的性质即可求得在区间上的最小值.
（2）先求得的最大值和最小值，对进行分类讨论，由此列不等式来求得的取值范围.
【详解】（1）当时，，
令，则由，可知的取值范围为，
故原函数可化为，
由对勾函数性质，可知在上单调递增，
因此在时取到最小值，此时，
所以当时，在上取到最小值.
（2）依题意，
故当时，.
因为，总存在，使得，
设在上取值的集合为集合，则有.
当时，显然有在区间上单调递增，
此时，
由可知，解得
当时，由基本不等式，当且仅当时等号成立，
因此有，即，
因为时，，故时，在上单调递增，
此时，
由此可得无解，
综上，实数的取值范围为.
【点睛】方法点睛：对于二次函数，可以根据二次函数的对称轴、开口方向、给定区间来求得最大值和最小值.对于含参数的最值问题，要对参数进行分类讨论，分类讨论要做到不重不漏，全面分析各种情况.
2．已知函数．
(1)若，求在区间上的最小值；
(2)设函数，若对任意的，总存在，使得，求实数m的取值范围．
【答案】(1)
(2)．
【分析】（1）利用换元，求得，将函数化成二次函数的最小值求解；
（2）由题意得，根据函数的单调性和奇偶性得，从而将问题转化成对任意的恒成立，通过换元后，利用函数的单调性求出的最小值即可.
【详解】（1）当时，，
令，因为，所以，且，
故当时，取最小值，所以在区间上的最小值为．
（2）若对任意的，总存在，使得，
可得：．
因为偶函数，且在上为增函数，故在为减函数，
因，则，于是对任意的，，
则对任意的恒成立，
从而，，设，则，且，
令，．
因为在区间上为增函数，所以
所以实数m的取值范围是．
3．已知函数的图象过点，其中.
(1)求及的值；
(2)求证：，都有；
(3)记函数在上的最大值为，当最小时，求的值.
【答案】(1)，;
(2)证明见解析
(3).
【分析】（1）由，及函数解析式即可求解；
（2）由和两段讨论即可求证；
（3）构造，求得其最值，进而可求解.
【详解】（1）由图象过点，
可得：，解得：，
;
（2）由（1），
当时，，∴，
当时，，∴，
综上，，都有.
（3）设，则，
∵在单调递增，且在处取最大值1，
在单调递增，且在处取最小值1，
∴在单调递增，值域为，故,
∴当时，此时，故，
当时，此时不存在，
∴当最小时，.
4．已知函数．
(1)用定义法证明在上的单调性；
(2)若函数，且在区间上的最小值为，求．
【答案】(1)证明见详解；
(2)或．
【分析】（1）任取且，然后利用作差法比较的大小即可判断函数的单调性；
（2）由已知，对的取值进行分类讨论，结合复合函数的单调性，判断函数的最小值，得到关于的方程，解出即可.
【详解】（1）在上单调递减，证明如下：
任取且，所以，，，
则，
所以，即，
所以在上单调递减.
（2）当时，在上单调递减，
由（1）可知在上单调递减，所以函数在上单调递增，
所以时，函数取得最小值，即，解得；
当时，在上单调递增，
由（1）可知在上单调递减，所以函数在上单调递减，
所以时，函数取得最小值，即，解得；
综上所述，在区间上的最小值为，则的取值为或．
5．已知函数（且）.
(1)若在区间上的最大值与最小值之差为1，求的值；
(2)解关于的不等式.
【答案】(1)或
(2)答案见解析
【分析】（1）已知函数在区间上的最大值与最小值之差为1，根据对数函数的单调性，列出绝对值方程求解即可；
（2）利用对数函数的定义域及单调性，列出不等式组，讨论参数a的范围，即可得到解集.
【详解】（1）因为在上为单调函数，
且函数在区间上的最大值与最小值之差为1，
所以，即或，
解得或.
（2）因为函数是上的减函数，
所以，即，
当时，，原不等式解集为；
当时，，原不等式解集为.
综上可得：当时，不等式解集为；当时，不等式解集为.
6．已知函数在上的最大值与最小值之差为2．
(1)求实数的值；
(2)若对任意，都有，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)．
【分析】（1）利用函数单调性确定最大值与最小值，列式求解即可；
（2）令，将问题转化成对任意的恒成立，通过参变分离，结合基本不等式求解即可.
【详解】（1）时，函数在区间上单调递减，
所以，
解得．
（2）由（1）知．
由，得．
令，当时，，
所以对任意的恒成立，
所以，
因为（当且仅当，即时取等号），
所以，
所以，即的取值范围为．
考点三 不等式问题
1．当时，下列不等式中正确的是（ ）
A．B． C． D．
【答案】D
【分析】根据不等式的性质，结合幂函数以及指数函数的单调性，逐项检验，可得答案
【详解】对于A，由，则，，
易知函数在上单调递减，所以，故A错误；
对于B，由，则，易知，故B错误；
对于C，由，则，，
易知函数在上单调递减，所以，故C错误；
对于D，由，则，
易知函数在上单调递减，函数在上单调递增，
所以，故D正确；
故选：D.
2．定义域为的函数满足，当时，，若时，，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】结合题意求出函数在区间上的最小值，根据题意得出，解该不等式即可得解.
【详解】当时，恒成立，则，
因为定义域为的函数满足，
当时，，
当时，，
则
，
因为，此时；
当时，，
则，
因为，则，则，所以，
所以，函数在上的最小值为，
所以，，即，即，解得或.
因此，实数的取值范围是.
故选：A.
3．已知函数.
(1)求不等式的解集；
(2)若函数的图象经过原点，求在的值域.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求出的解析式，再解对数不等式即可；
（2）根据图象经过原点可求得的值，结合单调性即可求值域.
【详解】（1）由，得，
由，得，即，
所以不等式的解集为.
（2）由题意得，
由，得，
即，
因为在上是增函数，
所以，即在上的值域为.
4．设函数.
(1)判断函数的奇偶性，并证明；
(2)判断函数的单调性，并利用定义加以证明；
(3)若，求实数的取值范围.
【答案】(1)奇函数，证明见解析
(2)增函数，证明见解析
(3)
【分析】（1）先利用对数函数的性质建立不等式求出定义域，再结合奇函数的定义证明即可.
（2）利用定义法证明函数单调性步骤，取值，作差，判号，下结论即可.
（3）利用奇函数的性质得到，结合的单调性和对数函数的性质将目标式合理转化，再求解参数范围即可.
【详解】（1）由，解得，故函数的定义域为，关于原点对称，
而，
则是定义域为的奇函数.
（2）函数在上为增函数.证明如下：
对于，且设，
可得，
由，可得，所以，
由，可得，
即，则，
得到，
即，故在上为增函数.
（3）因为是定义域为的奇函数，所以，
则不等式化为，
因为在上为增函数，
所以，解得，
故实数的取值范围为.
考点四 零点问题
1．方程的解所在的区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据函数零点存在定理，判断函数零点所在的区间即可.
【详解】方程的解，即函数的零点，
因为在定义域上单调递增，所以在单调递增，
因为，因为，即，所以，
因为，因为，即，所以，
因为在单调递增，，所以在有零点，
故选：C.
2．已知函数在区间内有唯一零点，则实数b的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据给定条件，利用零点存在性定理列式求解即得.
【详解】函数在上单调递增，
由函数在内有唯一零点，得，解得，
所以实数b的取值范围是.
故选：D
3．已知函数 ，方程 的根的个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】根据解析式画出和的函数图象，判断图象交点个数即可.
【详解】当时， ，故是的一个周期，
又时，，则，
作出函数和的函数图象，
因， ，
结合图象可知，和的函数图象交点个数为.
故选：B
4．已知函数是定义在上的奇函数.
(1)求实数的值；
(2)设函数；求的零点；
(3)求当时，函数的值域.
【答案】(1)
(2)；
(3)；
【分析】（1）根据奇函数的性质求解；
（2）根据函数零点，对数运算求解；
（3）将函数转化为二次函数求解值域；
【详解】（1）由题意知，代入得；
解得：
经检验，时为奇函数.
（2），
令得：，
综上的零点为.
（3）,
设，，
结合二次函数性质，对称轴，
当，
当时，
综上函数值域为.
5．已知函数
(1)求关于的不等式的解集；
(2)若函数在时存在零点，求实数的取值范围．
【答案】(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）原不等式等价于，分，与三种情况解不等式即可.
（2）原命题等价于有实根，令，令，，，利用对勾函数的性质求得在上的值域即可得到a的取值范围.
【详解】（1）由得，即，
①当时，不等式的解集为；
②当时，不等式的解集为；
③当时，不等式的解集为
（2）因为在时存在零点，
在时存在实根，
即方程有实根，
令，
令，，，
由对对勾函数性质知，在上单调递减，在单调递增.
，，，
所以.
考点五 恒成立问题
1．要使函数在上，恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由参变量分离法得出，令，，则，利用二次函数的基本性质求得函数在区间上的最大值，由此可求得实数的取值范围.
【详解】由，可得，
令，，则，
二次函数在区间上单调递减，则，.
因此，实数的取值范围是.
故选：C.
【点睛】本题考查指数型二次不等式恒成立，利用参变量分离法以及换元法转化为二次不等式恒成立问题是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.
2．若不等式在上恒成立，则实数a的取值范围是 .
【答案】
【详解】从已知不等式中分离出实数a，得.因为函数在R上是减函数，所以当时，，从而得，所以.
3．已知函数，
(1)解关于的不等式；
(2)若关于的方程有两个小于的不等实根，求的取值范围：
(3)若对任意的，恒成立，求的取值范围．
【答案】(1)答案见解析
(2)
(3)
【分析】（1）原式化简得，按的不同取值分类讨论即可；
（2）根据二次函数的图象和性质得到关于的不等式组，解出即可；
（3）分离参数，利用均值不等式求解即可.
【详解】（1）由整理得，
所以，
（i）当时，不等式解集为；
（ii）当时，不等式解集为；
（iii）当时，不等式解集为；
综上所述，（i）当时，不等式解集为；
（ii）当时，不等式解集为；
（iii）当时，不等式解集为．
（2）方程有两个小于的不等实根，
所以，解得，
故的取值范围为．
（3）对任意的，恒成立，
即恒成立，即对任意的，恒成立．
①时，不等式为恒成立，此时；
②当时，，
因为，所以，
所以，
当且仅当时，即，时等号成立，
所以，
综上．
4．已知函数为定义在R上的奇函数.
（1）求a的值；
（2）判断函数的单调性，并用单调性定义证明；
（3）若关于x的不等式有解，求t的取值范围.
【答案】（1）；（2）在R上单调递增，证明见解析；（3）.
【分析】（1）根据奇函数的定义得到，利用指数幂的运算化简可求得的值；
（2）先取，然后将通分化简分解因式，并结合指数函数的单调性判定与的大小关系，可证明出在R上的单调性；
（3）利用的奇偶性和单调性将问题转化为有解.根据指数函数的值域求解出的取值范围，从而可求的取值范围.
【详解】（1）因为为奇函数，所以，所以，
所以且，所以，所以，
所以；
（2）在上单调递增，证明如下：
由条件知，任取，
所以
，
又因为，在R上单调递增，
所以且，
所以，所以，
所以在R上单调递增；
（3）有解即有解，
由的奇偶性可知进一步等价于有解，
由的单调性可知进一步等价于有解，
即关于的不等式有解.
，
因为，所以，，
所以的取值范围是，
所以，所以，
即的取值范围是.
5．已知函数.
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若对任意，不等式恒成立，求的最大值；
（3）对于函数，若，，，为某一三角形的三边长，则称为“可构造三角形函数”，已知函数是“可构造三角形函数”，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）；（3）.
【解析】（1）分解因式后转化为指数不等式，利用指数函数的性质求得解集；
（2）分离参数后，构造函数，利用指数函数的性质和复合函数的性质求最小值，从而根据不等式恒成立的意义得解；
（3）分离常数后，分析可得必有才能保证；其次，必需，然后分，，，讨论得解.
【详解】（1）当时，不等式，即为，
也就是，解得，所以，不等式的解集为；
（2）不等式即为，
化简，即对任意恒成立，
记.
由于当时，，则.
所以，.
（3）由于函数是“可构造三角形函数”，
首先，必有才能保证；其次，必需，
而当时，是上的增函数，则的值域为，
由；
当时，，符合题意；
而当时，是上的减函数，则的值域为，
由；
综上，.
【点睛】本题题关键要熟练灵活运用分离参数和分离常数方法，清楚理解不等式恒成立和能成立的意义，熟练掌握指数函数的单调性和复合函数的单调性，其中第（3）问中的分类讨论思想是常用的方法.
6．已知，．
（1）若函数在为增函数，求实数的值；
（2）若函数为偶函数，对于任意，任意，使得成立，求的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）任取，由，得出，求出的取值范围，即可得出实数的取值范围；
（2）由偶函数的定义可求得，由题意可得出，由此可得出对于任意成立，利用参变量分离法得出，即可求出实数的取值范围.
【详解】（1）任取，则
函数在上为增函数，，则，
且，，
，，则，，
因此，实数的取值范围是；
（2）函数为偶函数，则，
即，即对任意的恒成立，
所以，解得，则，
由（1）知，函数在上为增函数，
当时，，
对于任意，任意，使得成立，
对于任意成立，
即（*）对于任意成立，
由对于任意成立，则，
，则，.
（*）式可化为，
即对于任意，成立，即成立，
即对于任意，成立，
因为，所以对于任意成立,
即任意成立，所以，
由得，所以的取值范围为.
【点睛】本题考查利用函数的单调性求参数的取值范围，同时考查了与指数、对数最值相关的综合问题，涉及参变量分离思想的应用，考查化归与转化思想的应用，属于难题.
7．已知，.
（1）判断并用定义证明函数在上的单调性；
（2）若，在区间上恒成立，求实数的取值范围；
（3）若存在实数，使得函数在上的值域是，求实数的取值范围.
【答案】（1）过程见解析；
（2）；
（3）.
【分析】用定义证明函数在上的单调性，作差
化简即可.
（2）
转化为二次函数在定区间的最值即得解.
（3）利用函数的单调性，转化为在有两个根，即得解.
【详解】（1）任取
因此：函数在上的单调递增.
（2）
令，
（3）若存在实数，使得函数在上的值域是，
由于函数在上的单调递增，
即：在有两个根.
即：在有两个根.
【点睛】本题考查了函数综合，考查了学生综合分析，转化与划归，分类讨论的能力，属于难题.
考点六 函数模型的应用
1．某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司2019年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金超过200万元的年份是（ ）
（参考数据：，，）
A．2019年 B．2020年 C．2023年 D．2024年
【答案】CD
【分析】设经过n年该公司全年投入的研发资金开始超过200万元，由题意得，利用对数的意义解不等式即可求解.
【详解】设经过n年该公司全年投入的研发资金开始超过200万元，
由题意得，所以，
两边取对数，得，
因为，所以n的最小值为4．
故2023年开始该公司全年投入的研发资金开始超过200万元．
故选：CD
2．血氧饱和度是呼吸循环的重要生理参数，人体的血氧饱和度正常范围是95%~100%，当血氧饱和度低于90%时，需要吸氧治疗，在环境模拟实验室的某段时间内，可以用指数模型描述血氧饱和度随着给氧时间（单位：小时）的变化而变化的规律，其中为初始血氧饱和度，为参数．已知，给氧1小时后，血氧饱和度为80%．若使得血氧饱和度达到90%，则至少还需要的给氧时间为 小时．（精确到0.1，参考数据：，）
【答案】0.5
【分析】依据题给条件列出关于时间的方程，解之即可求得给氧时间至少还需要的小时数.
【详解】设使得血氧饱和度达到正常值，给氧时间至少还需要小时，
由题意可得，，所以，
两边同时取自然对数得，
，
则，
则给氧时间至少还需要小时.
故答案为：
3．甲养殖户去年购入100只羊崽，今年计划增加羊崽的购入数量，有如下两种购买方案可供选择：方案一，每只羊崽的进价均为450元；方案二，前100只羊崽的单价为500元/只，若超过100只羊崽，则每多买1只，超出部分每只羊崽的进价降低1元.设甲今年比去年购入的羊崽多只，甲按照方案一购入羊崽的消费额为元，按照方案二购入羊崽的消费额为元.
(1)分别求函数，的解析式；
(2)判断甲如何选择方案更经济实惠，并说明理由.
【答案】(1)，
(2)答案见解析
【分析】（1）由题意易得函数，的解析式；
（2）将两函数作差，分类讨论可求得结论.
【详解】（1）在方案一中，，
在方案二中，超出部分每只羊崽的进价为元，
所以，
（2），
当时，，所以，甲选择方案一更经济实惠；
当时，，所以，甲选择方案一和方案二的消费一致；
当时，，所以，甲选择方案二更经济实惠；
综上所述：当时，甲选择方案一更经济实惠；
当时，甲选择方案一和方案二的消费一致；
当时，甲选择方案二更经济实惠.
4．某乡镇水果资源丰富，积极打造水果生态小镇.经调研发现，种植某种水果，当施肥量单位：千克时，单株产量单位：千克满足，此时全部交于收购商打理，无额外支出，最后以12元/千克全部卖于收购商，已知施肥量为2千克时，单株产量为12千克；后来改进措施，加大施肥量，当施肥量时，单株产量，模式变为自我管理、改善水果品质，单株额外增加了成本15 x元如肥料、人工、机器等，最后以15元/千克全部卖出.
(1)写出单株利润元关于施肥量千克的关系式；
(2)当施肥量x为多少千克时，该水果单株利润最大 最大是多少元
【答案】(1)
(2)当施肥量为4千克时，单株利润最大为240元
【分析】（1）先求得，进而可求出单株利润元关于施肥量千克的关系式；
（2）根据二次函数的单调性和基本不等式求出的最大值.
【详解】（1）因为施肥量为2千克时，单株产量为12千克，
所以，解得，
，
.
（2）当时，令，则，
，时，，
当时，，
，
当且仅当，即取等号，
，当施肥量为4千克时，单株利润最大为240元.
5． 室内空气消毒是为消灭污染室内空气的有害微生物而采取的有效措施.常用方法有自然通风、紫外线灯消毒、臭氧及其他化学消毒剂消毒和静电等空气净化器消毒等.某公司新研发一款室内空气消毒剂，根据实验得出，在一定范围内，每喷洒1个单位的空气消毒剂，空气中释放的浓度y(单位:毫克/立方米)随着时间x(单位:天)变化的关系如下:当时，；当时，.若多次喷洒，则某一时刻空气中的消毒剂浓度为每次喷洒的消毒剂在相应时刻所释放的浓度之和.由实验知，当空气中消毒剂的浓度不低于4(毫克/立方米)时，它才能起到有效消毒空气的作用.
(1)若一次喷洒4个单位的消毒剂，则消毒时间可达几天
(2)若第一次喷洒2个单位的消毒剂，6天后再喷洒个单位的消毒剂，要使接下来的4天中能够持续有效消毒，试求a的最小值.(精确到0.1，参考数据:≈1.4)
【答案】(1)8天
(2)1.6
【分析】（1）分类讨论，进而由可求出结果；
（2）根据题意求出从第一次喷洒起，经天后，其浓度关于的函数解析式，再根据基本不等式求出其最小值，再由最小值不低于4，解不等式可得结果.
【详解】（1）一次喷洒4个单位的消毒剂，当时，浓度，
令，解得；
当时，浓度，由，解得，
综上所述，，故一次喷洒4个单位的消毒剂，消毒时间可达8天.
（2）设从第一次喷洒起，经天，
浓度，
因为，而，，
所以，当且仅当时取等号.
令，得，
解得，则a的最小值为.
知识导图记忆
知识目标复核
1．指对数的运算法则
2．指数函数的图象与性质
3．对数函数的图象与性质
4. 反函数的概念
5. 二分法求方程近似解的过程
一、单选题
1．已知函数，则（ ）
A． B． C．2 D．4
【答案】D
【难度】0.85
【知识点】求分段函数值
【分析】根据分段函数的解析式代入即可求解.
【详解】∴，∴，∴.
故选：D.
2．小敏在某次投篮中，球的运动路线是抛物线的一部分（如图所示），若命中篮环中心，则他与篮底的距离t是（ ）
A．3.5m B．4m
C．4.5m D．4.6m
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】利用二次函数模型解决实际问题
【分析】根据二次函数的性质，代入求解即可.
【详解】篮环的纵坐标为，令，得（舍去）．
．
故选：B.
3．某新能源汽车公司设计充电桩布局，要求每个充电区的长度为米，宽度为米.根据城市规划要求，米，且充电桩间隔距离需满足.为使充电区有效面积最大，应选择的尺寸是（　　）
A．米，米
B．米，米
C．米，米
D．米，米
【答案】A
【难度】0.85
【知识点】利用二次函数模型解决实际问题
【分析】由题可得面积表达式。然后根据题意及二次函数单调性可得答案.
【详解】建立面积函数 ，通过消元法转化为，结合附加条件，得.注意到函数在上单调递减，则当时取最大值.
故选：A.
4．直角坐标系内两点满足：（1）点都在的图象上；（2）点关于原点对称，则称点对是函数的一个“姊妹对点”， 与可看作一个“姊妹对点”，已知函数，则的“姊妹对点”有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】指数函数图像应用、函数新定义
【分析】画出的图象关于原点对称的图象，再判断其与函数 交点个数即可.
【详解】根据题意可知，“姊妹点对”满足两点：都在函数图象上，且关于坐标原点对称．
可作出函数的图象关于原点对称的图象，
判断其与函数图象 交点个数即可，
如图所示：
当时，，当时，，且，
观察图象可得：它们有2个交点，故的“姊妹对点”有2个.
故选：B．
5．已知函数的定义域为，，为奇函数，为偶函数.若，则的值为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】求分段函数解析式或求函数的值、函数奇偶性的应用、对数的运算
【分析】根据为奇函数、为偶函数推出函数的周期，再结合已知条件求出与的值，最后代入的表达式计算.
【详解】因为为奇函数，则，用代替可得，.
因为为偶函数，则，用代替可得，，
所以. 故，
再用代替，则，
所以，即函数的一个周期为.
因为函数的一个周期为，所以.
由，令，可得.
又，令，则，所以，即.
因为函数的一个周期为，所以.
由，令，可得，即，所以，即.
已知，则，.
所以.
故选：D.
6．已知函数，存在实数b，使得方程有三个不同的实数根，则实数a的取值范围为（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】函数与方程的综合应用、根据函数零点的个数求参数范围、根据分段函数的值域（最值）求参数
【分析】根据零点个数得二次函数在不单调且在该范围上的最小值小于上的上确界，从而可取参数的范围.
【详解】由题意知，存在实数，使得有3个不同的实数解，
即二次函数在区间不单调，所以；
且二次函数的最小值要小于一次函数的上确界，
即，解得，综上得．
故选：C.
7．已知函数是定义域为的奇函数；且，当时，，，则下列结论不正确的是（ ）
A． B．函数的图象关于对称
C．的值域为 D．函数有9个零点
【答案】C
【难度】0.4
【知识点】函数奇偶性的应用、函数周期性的应用、函数对称性的应用、求函数零点或方程根的个数
【分析】用计算判断A；求出函数在一个周期长的区间内的解析式，分析函数性质判断BC；作出函数的图象和直线分析逐项求解判断D.
【详解】对于A，由是上的奇函数，，得，
，
因此，A正确；
对于BC，由是上的奇函数，，得，
即，函数是周期为4的奇函数，当时，，
则当时，，，
因此当时，，当时，，
当时，，
于是当时，，
而，则函数的周期为4，
当时，，当时，
当时，，当时，，
在上，函数有最小值，最大值，函数值集合为，
因此函数在有最小值，最大值，值域为，C错误；
当时，，
当时，，，
当时，，，
当时，满足，
因此当时，，即函数在上的图象关于直线对称，
由于周期为4，则是在R上的图象的一条对称轴，
从而函数的图象关于对称，B正确；
对于D，作出直线与函数的图象，
由，得或，则当或时，直线与函数的图象无交点，
观察图象知，直线与函数的图象有9个交点，因此函数有9个零点，D正确.
故选：C
8．现有两个函数模型如下，模型一：如果是碳14的初始质量，那么经过年后，碳14的质量为；模型二：马尔萨斯自然状态下人口增长模型，其中表示经过的时间，表示时的人口数，是常数（是自然对数的底）.则下列说法错误的是（ ）
A．经过5730年，碳14的质量变为初始质量的一半
B．碳14的年衰减率与初始质量有关
C．设，碳14的第年，第年，第年的衰减量分别为，，，则
D．以上两个模型都可以归结为模型“”（其中为自变量，，为常数，是自然对数的底）
【答案】B
【难度】0.4
【知识点】指数式与对数式的互化、指数函数模型的应用（2）、利用给定函数模型解决实际问题
【分析】选项A，计算出；选项B，求出年衰减率为，与初始质量无关；选项C，计算出；选项D，两个模型均可变形得到的形式，D正确.
【详解】对于A，模型一中，当时，，
即碳14的质量变为初始质量的一半，故A正确；
对于B，年衰减率由模型决定，与初始质量无关.
模型一可改写为，1年后，，
年衰减率为，是常数，故B错误；
对于C，第年衰减量，
同理，
，
所以，故C正确；
对于D，模型一可转化为，模型二为，均符合形式，故D正确.
故选：B.
二、多选题
9．下列函数中，有零点且能用二分法求零点近似值的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【难度】0.85
【知识点】求函数的零点、用二分法求近似解的条件
【详解】对于A，由知此函数的判别式，故函数无零点；对于D．由知此函数的判别式，故无法用二分法求零点近似值；对于B，C，函数存在变号零点，能用二分法求解．
10．已知，下列各式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【难度】0.85
【知识点】指数幂的运算、指数幂的化简、求值
【详解】因为，所以A正确；，所以B错误；由可知，，所以，所以C正确；因为，又，所以原式，所以D正确．
11．空旷的田野上两根电线杆之间的电线有相似的曲线形态．这些曲线在数学上称为悬链线，悬链线在工程上有广泛的应用．在恰当的坐标系中，这类函数的表达式可以表示为（其中a，b为非零常数），则对于函数以下结论正确的是（ ）
A．若，则为奇函数
B．若，，则函数的最大值为4
C．若，则函数的最小值为2
D．为奇函数，且，使得成立，则a的最小值为
【答案】AD
【难度】0.65
【知识点】函数奇偶性的定义与判断、指数函数最值与不等式的综合问题、基本不等式求和的最小值、函数不等式能成立（有解）问题
【分析】由奇函数的定义即可判断A；由基本不等式即可判断BC；由奇函数得出，分离参数求解函数最值即可判断D．
【详解】对于A，若，则，，，
为奇函数，故A正确；
对于B，若，，，
当且仅当时等号成立，故B错误；
对于C，若，则，，
当时，，当且仅当，即时等号成立，
所以无最小值，故C错误；
对于D，若为奇函数，则，所以，
若，使得成立，
则，
若，则，
则，即能成立，
因为，
当且仅当，即时等号成立，
所以，即的最小值为，故D正确；
故选：AD．
12．下列命题为真命题的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】BD
【难度】0.65
【知识点】研究对数函数的单调性、作差法比较代数式的大小
【分析】对于AC，举反例即可；对于BD，由作差法即可判断.
【详解】对于A，，此时无意义，
对于B，若，则，即，故B正确；
对于C，若，则，故C错误；
对于D，若，则，故D正确.
故选：BD.
13．定义在上的函数满足.则（ ）
A．函数的解析式为
B．函数图象的对称轴为直线
C．函数的单调递增区间为
D．函数在上的最大值为
【答案】AC
【难度】0.65
【知识点】已知f（g（x））求解析式、判断指数型复合函数的单调性、求已知指数型函数的最值、指数式与对数式的互化
【分析】利用换元法可求出函数的解析式，可判断A选项；利用特殊值法可判断B选项；利用复合函数的单调性可判断C选项；利用指数函数和二次函数的基本性质可求出函数在上的最大值，可判断D选项.
【详解】对于A选项，令，其中，则，
由可得，
故，A对；
对于B选项，因为，，即，
所以，函数的图象不关于直线对称，B错；
对于C选项，因为，
令，，
内层函数为增函数，外层函数的增区间为，减区间为，
由可得，由复合函数法可知，函数的增区间为，C对；
对于D选项，当时，，所以，
由于，故，从而有，
故当时，，即的最大值为，D错.
故选：AC.
14．对于函数，下列说法一定正确的是（ ）
A． B．，使得在上单调递减
C．当时，的值域为 D．，最多有三个根
【答案】BCD
【难度】0.65
【知识点】分段函数的性质及应用、利用函数单调性求最值或值域、求函数零点或方程根的个数
【分析】直接代入即可判断选项A，变换时，左段函数上下平移，结合图像可判断B，C，D.
【详解】作出图像如下图：
对于A：，故选项A错误；
对于B：由图可知，当，即时，在上单调递减，故选项B正确；
对于C：当时，，当，即时，的值域为R，故选项C正确；
对于D：由图可得到选项D正确.
故选：BCD
三、填空题
15．已知函数，若 ，则的取值范围为 .
【答案】
【难度】0.65
【知识点】根据集合的包含关系求参数、指数函数的判定与求值
【分析】由求得，再由，的解的情况得到的取值范围，从而得到的取值范围.
【详解】因为，所以可设，即，
因为，所以，
所以，所以，，
当时，，令得，且，
此时，不符合题意，所以，
当时，，，
要满足 ，则有解，且其解不是和，
所以判别式，解得或，因为，所以或，
所以即的取值范围为，
故答案为：.
16．已知函数若方程有且仅有5个不同实数根，则实数的取值范围为 .
【答案】
【难度】0.4
【知识点】分段函数的性质及应用、函数图象的应用、对数函数图象的应用、根据函数零点的个数求参数范围
【分析】作出函数的图像，令得解得或，利用数形结合即可求解.
【详解】由题意作出函数的图像，
由，令，有，
即，化简得，
解得或，若方程有且仅有5个不同实数根，
所以或，解得或，
即，所以，
故答案为：.
17．函数，若，且互不相等，则的取值范围是 ．
【答案】
【难度】0.4
【知识点】对数函数图象的应用、函数与方程的综合应用、根据指对幂函数零点的分布求参数范围
【分析】首先分析函数在各段的单调性，即可得到函数图象，不妨令，即可得到，，再由基本不等式求出的范围，即可得解.
【详解】因为，
当时，
所以在上单调递减，在上单调递增，且，，
当时，
所以在上单调递增，在上单调递减，又，，
所以函数的图象如下图所示:
若，且互不相等，不妨设，
则，
则，即，
所以．又，，，所以，
又由，变形得，解得，所以．
所以的取值范围是.
故答案为：
四、解答题
18．已知二次函数．
(1)若，求的解集；
(2)若方程在上有解，求实数a的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【难度】0.85
【知识点】函数与方程的综合应用、根据函数零点的个数求参数范围、解不含参数的一元二次不等式
【分析】（1）根据一元二次不等式的解法求解即可；
（2）用换元法令，则在上有解，求出方程的根，根据题意列式即可求解.
【详解】（1）当时，，解得或,
故解集为
（2）令，为增函数，
因为，所以，
即在上有解，
解得，或（舍去），
所以，即.
19．已知函数．
(1)求函数的解析式；
(2)解方程．
【答案】(1)
(2)或
【难度】0.85
【知识点】求对数函数的解析式、简单的对数方程
【分析】（1）在等式中，用替代，可得出，联立这两个等式，即可得出函数的解析式；
（2）求出的值，然后直接解方程即可.
【详解】（1）由题意可知，函数的定义域为，
在等式中，
用替代可得，
所以，解得，
（2）因为，由可得，
整理得，可得或，解得或.
20．设函数的定义域为
(1)求集合；
(2)已知函数，不等式的解集为
（i）求实数a，b的值；
（ii）若对，恒成立，求实数k的取值范围.
【答案】(1)
(2)（i）（ii）
【难度】0.65
【知识点】具体函数的定义域、求对数型复合函数的定义域、由一元二次不等式的解确定参数、一元二次不等式在某区间上的恒成立问题
【分析】（1）根据对数函数及根式有意义计算求出定义域；
（2）（i）由不等式与方程的关系，根据一元二次方程的解与系数关系，可得答案；
（ii）根据不等式恒成立，结合二次函数的单调性求得最值，可得答案.
【详解】（1）要使得函数有意义，只需要
解得，所以集合；
（2）（i）因为的解集为，
所以的两根为和3，
所以解得.
（ii）由（1）得，
，，即，
因为当时，单调递增，
所以，即，解得.
21．已知定义域为的函数，且存在定义域为的单调函数，使得，（是常数）.
(1)若，，求的解析式；
(2)若，
（i）求实数的取值范围；
（ii）对于给定的实数，求实数的取值的集合.
【答案】(1)
(2)（i）（ii）
【难度】0.4
【知识点】求分段函数解析式或求函数的值、根据函数零点的个数求参数范围、函数新定义
【分析】（1）方法一：由单调及，可得为常数，且，结合求出，进而得.
方法二：同样由单调，是常数，设，代入求出，得到.
（2）（i）由推出有唯一解，根据单调性及得初步范围，再结合图像确定范围.
（ii）结合图像，分和两种情况，找出使有唯一解的值.
【详解】（1）方法一：由，且是单调函数，
得：存在唯一的常数，（是常数），且，
又由，得，得，
故：；
方法二：由，且是单调函数，得：是常数
又，故可设，代入得：
于是，解得，故，
（2）（i）由（是常数），
得：存在唯一的常数，满足，且，
又由，得，故：
“存在定义域为的函数，使得，（是常数）”等价于：
存在唯一常数，使得，
即关于的方程有唯一解为，
首先，由，且是单调函数，得：也是单调函数，
于是由，，得，得；
其次，根据的方程有唯一解，
而，的图像如下，
由图像可知：
当时，关于的方程解不唯一，不合题意；
而当时，则时，关于的方程总有唯一解，
所以实数的取值范围是：
（ii）结合的图像知：
①当时，当的取值为，时，关于的方程才有唯一解，得的取值的集合为.
②当时，则当的取值为，0，，，，时，
关于的方程才有唯一解，得的取值的集合为
22．已知函数，利用函数图象解决下列问题．
(1)当时，方程有两个零点，求实数m的取值范围．
(2)若函数在区间D上的值域也为D，则称函数具有较好的保值性，这个区间称为保值区间，保值区间有三种形式：．试问是否具有较好的保值性？若具有，求出保值区间．
【答案】(1)．
(2)具有较好的保值性，．
【难度】0.4
【知识点】常见（一次函数、二次函数、反比例函数等）的函数值域、根据二次函数零点的分布求参数的范围、函数新定义
【详解】解：（1）的图象如图所示．方程零点的个数可以看作函数的图象与函数的图象的交点的个数．由它们的图象可得，当时，两个函数的图象有两个不同的交点．
故当），方程有两个零点时，实数m的取值范围是．
（2）具有较好的保值性．
由的图象知的值域是．
当时，，不符合题意；
当时，要使值域为，则所以m，n是方程的两个根，解得，所以保值区间是；
当时，要使值域为，则解得或，所以保值区间是．
综上，具有较好的保值性，保值区间是．
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