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第6讲 函数奇偶性专项
【题1】判断下列函数的奇偶性：
(1)； (2)；
(3)； (4)．
【题2】判断下列函数的奇偶性．
(1)；
(2)；
(3)
【题3】判断下列函数的奇偶性．
【题4】判断下列函数的奇偶性：
.
【题5】已知函数的定义域为，对于任意的，都有，且．
(1)求． (2)证明：．
【题6】已知定义在上的函数，满足：
①；
②任意的，，.
（1）求的值；
（2）判断并证明函数的奇偶性.
【题7】已知函数满足．
(1)求的值；
(2)求证：；
【题8】已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则( )
A．－12 B．12 C．9 D．－9
【题9】已知函数为上的奇函数，当时，，则等于（ ）
A． B． C．1 D．3
【题10】已知，且，那么___________
【题11】已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则___________.
【题12】已知函数为奇函数，当时，，求．
【题13】已知是定义在上的奇函数，且当时，，则当时，（ ）
A． B． C． D．
【题14】已知是定义在上的偶函数，当时，，则当时，（ ）
A． B．
C． D．
【题15】已知是定义在上的奇函数，当时，，则当时，______．
【题16】若函数是奇函数，则实数的值为___________.
【题17】函数是偶函数，且它的值域为，则__________．
【题18】设函数在区间上为偶函数，则的值为___________.
【题19】已知函数是定义在上的奇函数，则______.
【题20】已知是定义在上的奇函数，且时，，则在上的最大值为( )
A．1 B．8 C． D．
【题21】若函数的图像关于直线对称，则的最大值是（ ）
A． B． C．或 D．不存在
【题22】已知是定义在R上的奇函数，且时，，则在上的最大值为_____.
【题23】定义在上的奇函数在上单调递增，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【题24】已知定义在上的函数在上单调递增，且为偶函数，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【题25】定义在上的偶函数在区间上单调递减，若，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【题26】已知函数．
(1)若，判断的奇偶性并加以证明．
(2)当时，先用定义法证明函数在[1，）上单调递增，再求函数在[1，）上的最小值．
(3)若对任意恒成立，求实数的取值范围．
【题27】已知函数是定义在上的奇函数，且.
(1)求函数的解析式；
(2)判断函数在上的单调性，并用定义证明；
(3)解不等式：.
名校真题练
【练习1】已知函数f（x）的定义域为R，f（x+2）为偶函数，f（2x+1），则（　　）
A． B．f（﹣1）＝0 C．f（2）＝0 D．f（4）＝0
【练习2】已知函数f（x）是定义域为R的奇函数，且f（x），+∞）上单调递增．若f（3+m）+f（3m﹣7），则m的取值范围为（　　）
A．（﹣∞，0） B．（0，+∞） C．（﹣∞，1） D．（1，+∞）
【练习3】已知定义在R上的奇函数f（x）在（﹣∞，0）上单调递减，且f（2），则满足xf（x）＜0的x的取值范围是（　　）
A．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） B．（0，2）∪（2，+∞）
C．（﹣2，0）∪（2，+∞） D．（﹣∞，﹣2）∪（0，2）
【练习4】在R上定义的函数f（x）是偶函数，且f（x）（2﹣x），若f（x）在区间[1，则f（x）（　　）
A．在区间[0，1]上是增函数，在区间[3，4]上是增函数
B．在区间[0，1]上是增函数，在区间[3，4]上是减函数
C．在区间[0，1]上是减函数，在区间[3，4]上是增函数
D．在区间[0，1]上是减函数，在区间[3，4]上是减函数
【练习5】已知函数f（x）为偶函数，且在（﹣∞，f（﹣1）＝2，则不等式f（2x+1）（　　）
A．（﹣∞，﹣1）∪（0，+∞） B．（0，+∞）
C．（﹣1，0） D．（﹣∞，﹣1）
【练习6】（多选）已知f（x）是定义在R上不恒为0的函数，f（x﹣1）的图象关于直线x＝1对称的图象的对称中心也是f（x）图象的一个对称中心，则（　　）
A．点（﹣2，0）是f（x）的图象的一个对称中心
B．f（x）为周期函数，且4是f（x）的一个周期
C．f（4﹣x）为偶函数
D．f（31）+f（35）＝2
【练习7】（多选）已知函数，则下述结论正确的是（　　）
A．f（x）为奇函数
B．f（x）的图象关于（0，1）对称
C．f（x）在R内是单调增函数
D．关于x的不等式f（x）+f（x﹣2）＞2的解集为（1，+∞）
【练习8】（多选）已知定义在R上的函数f（x）满足f（x）是奇函数，f（x+1）（　　）
A．f（2）＝0
B．f（x）周期为2
C．f（x）的图象关于直线x＝1对称
D．f（x﹣2）是奇函数
【练习9】（多选）定义在R上的函数f（x）满足f（x+y）＝f（x）（y），当x＜0时，f（x）＞0（x）满足（　　）
A．f（0）＝0
B．y＝f（x）是奇函数
C．f（x）在[m，n]上有最大值f（n）
D．f（x﹣1）＞0的解集为{x|x＜1}
【练习10】若函数是奇函数，则f（f（3））　 　 ．
【练习11】已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x∈（0，+∞）时，f（x）2﹣x﹣1，则当x∈（﹣∞，0）时，f（x）＝　 　 ．
【练习12】已知，且f（﹣3）＝﹣5, 求 f（3）＝ 　 　 ．
【练习13】已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，若x＞0时，f（x）2﹣2x，则x＜0时，f（x）＝　 ．
【练习14】已知定义在R上的函数f（x）对任意实数x，y，恒有f（x）（y）＝f（x+y），且当x＜0时，f（x）
（1）求证f（x）为奇函数；
（2）试判断f（x）在R上的单调性并证明；
（3）解关于x的不等式f（ax﹣1）＜0．
【练习15】函数f（x）＝是定义在（﹣2，2）上的奇函数，且．
（1）确定f（x）的解析式；
（2）判断f（x）在（﹣2，2）上的单调性，并用定义证明；
（3）解关于t的不等式f（t﹣1）+f（t）＜0．
【练习16】已知函数是定义在（﹣3，3）上的奇函数，且．
（1）求a，b的值；
（2）判断函数f（x）在（﹣3，3）上的单调性并加以证明；
（3）解不等式．
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第6讲 函数奇偶性专项
【题1】判断下列函数的奇偶性：
(1)； (2)；
(3)； (4)．
【答案】(1)偶函数
(2)奇函数
(3)奇函数
(4)非奇非偶函数
（1）的定义域为，它关于原点对称.
，故为偶函数.
（2）的定义域为，它关于原点对称.
，故为奇函数.
（3）的定义域为，它关于原点对称.
，故为奇函数.
（4），
故，故为非奇非偶函数.
【题2】判断下列函数的奇偶性．
(1)；
(2)；
(3)
【答案】(1)非奇非偶函数
(2)奇函数
(3)偶函数
(1)函数f(x)的定义域为，不关于原点对称，所以是非奇非偶函数．
(2)f(x)的定义域为，关于原点对称．
，
所以为奇函数．
(3)的定义域为，且关于原点对称，
当时，，则；
当时，，则，
故是偶函数．
【题3】判断下列函数的奇偶性．
【答案】奇函数．
【详解】的定义域为，
,
，所以是奇函数.
【题4】判断下列函数的奇偶性：
.
【答案】奇函数
【详解】函数的定义域为，定义域关于原点对称.
①当时，，
所以，，所以；
②当时，，所以；
③当时，，所以.
综上，可知函数为奇函数.
【题5】已知函数的定义域为，对于任意的，都有，且．
(1)求． (2)证明：．
【答案】(1)；
(2)证明见解析.
(1)在中，
令，可得，
因为，
所以．
(2)在中，
令，得，
因为，
所以，即，
由于y的任意性，
则．
【题6】已知定义在上的函数，满足：
①；
②任意的，，.
（1）求的值；
（2）判断并证明函数的奇偶性.
【答案】（1）1；（2）偶函数，证明见解析.
【详解】（1）依题意，.
（2）由（1）知，
∴，即，
∴，
又因为的定义域为，
所以函数为偶函数.
【题7】已知函数满足．
(1)求的值；
(2)求证：；
【答案】(1)(2)证明见解析(3)
(1)解：因为，令，则，所以；
(2)解：因为，令，则，又，所以，即；
【题8】已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则( )
A．－12 B．12 C．9 D．－9
【答案】B
【详解】，因为函数是定义在上的奇函数，
所以，
故选：B.
【题9】已知函数为上的奇函数，当时，，则等于（ ）
A． B． C．1 D．3
【答案】C
【详解】因为函数为R上的奇函数，当时，，
所以．
而，∴．
故选：C．
【题10】已知，且，那么___________
【答案】
【详解】设，则，
易得定义域为R，又，
所以函数为奇函数，
又因为，即，可得，所以，
则.
故答案为：.
【题11】已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则___________.
【答案】2
【详解】由题意得：，因为函数是定义在R上的偶函数，所以
故答案为：2
【题12】已知函数为奇函数，当时，，求．
【答案】
【详解】因为为奇函数，故.
【题13】已知是定义在上的奇函数，且当时，，则当时，（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】时，，，∴，
故选：C.
【题14】已知是定义在上的偶函数，当时，，则当时，（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】因为函数是定义在上的偶函数，且当时，
设，则，,
故选：B．
【题15】已知是定义在上的奇函数，当时，，则当时，______．
【答案】
【详解】时，，是奇函数，
此时
故答案为：
【题16】若函数是奇函数，则实数的值为___________.
【答案】1
【详解】若是奇函数，则有.
当时，，则，
又当时，，所以，
由，得，解得a=1.
故答案为：1.
【题17】函数是偶函数，且它的值域为，则__________．
【答案】
【详解】解：为偶函数，
所以，即或，
当时，值域不符合，所以不成立；
当时，，若值域为，则，所以
.
故答案为：.
【题18】设函数在区间上为偶函数，则的值为___________.
【答案】1
【详解】解：因为函数在区间上为偶函数，
所以，解得.
又为偶函数，
所以，即，解得：.
此时，，满足题意．
所以.
故答案为：
【题19】已知函数是定义在上的奇函数，则______.
【答案】
【详解】依题意函数是定义在上的奇函数，
所以，
，
，
恒成立，所以，
所以.
故答案为：
【题20】已知是定义在上的奇函数，且时，，则在上的最大值为( )
A．1 B．8 C． D．
【答案】C
【详解】∵是定义在R上的奇函数，∴f(0)＝0，
又∵，，∴，
∴时，，
设，则，则，
则，
即当x＞0时，，∴f(x)在上单调递减，∴f(x)在上的最大值为.
故选：C.
【题21】若函数的图像关于直线对称，则的最大值是（ ）
A． B． C．或 D．不存在
【答案】B
【详解】 由函数的图像关于直线对称，知是偶函数，
，即，
整理得总成立，得，
，
令，则，
当时，有最大值，即的最大值是．
故选：B．
【题22】已知是定义在R上的奇函数，且时，，则在上的最大值为_____.
【答案】
【详解】∵是定义在R上的奇函数，∴，
又∵，，∴，∴时，，
设，则，则，则，
即当x＞0时，，∴f（x）在上单调递减，
∴在上的最大值为．
故答案为：
【题23】定义在上的奇函数在上单调递增，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：因为奇函数在上单调递增，所以在上单调递增，
因为，所以，
所以，解得．
故选：C.
【题24】已知定义在上的函数在上单调递增，且为偶函数，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】∵为偶函数，
∴，即函数关于对称，
又函数在上单调递增，
∴函数在上单调递减，
由，可得，
整理得，，
解得或.
故选：B.
【题25】定义在上的偶函数在区间上单调递减，若，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】∵是偶函数，
，
故可变形为，
∵在区间上单调递减，
故.
故选：C.
【题26】已知函数．
(1)若，判断的奇偶性并加以证明．
(2)当时，先用定义法证明函数在[1，）上单调递增，再求函数在[1，）上的最小值．
(3)若对任意恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)奇函数；证明见解析(2)证明见解析；最小值为(3)
（1）因为，
定义域为关于原点对称，
且，
所以为奇函数.
（2）当时，，
且，有．
所以，函数在上单调递增，
函数在上的最小值为．
（3）若对任意恒成立，
则，
所以，问题转化为大于函数在上的最大值．
且函数在上单调递减，
所以最大值为，
故实数的取值范围是
【题27】已知函数是定义在上的奇函数，且.
(1)求函数的解析式；
(2)判断函数在上的单调性，并用定义证明；
(3)解不等式：.
【答案】(1)；(2)函数在上单调递增，证明见解析；(3).
（1）解：因为函数是定义在上的奇函数，则，
即，可得，则，
所以，，则，因此，.
（2）证明：函数在上是增函数，证明如下：
任取、且，则
，
因为，则，，故，即.
因此，函数在上是增函数.
（3）解：因为函数是上的奇函数且为增函数，
由得，
由已知可得，解得.
因此，不等式的解集为.
名校真题练
【练习1】已知函数f（x）的定义域为R，f（x+2）为偶函数，f（2x+1），则（　　）
A． B．f（﹣1）＝0 C．f（2）＝0 D．f（4）＝0
【答案】B
【分析】推导出函数f（x）是以4为周期的周期函数，由已知条件得出f（1）＝0，结合已知条件可得出结论．
【解答】解：因为函数f（x+2）为偶函数，则f（2+x）＝f（6﹣x），
可得f（x+3）＝f（1﹣x），
因为函数f（7x+1）为奇函数，则f（1﹣8x）＝﹣f（2x+1），
所以，f（5﹣x）＝﹣f（x+1），
即f（x+3）＝﹣f（x+7）＝f（x﹣1），
∴f（x）＝f（x+4），
故函数f（x）是以2为周期的周期函数，
因为函数F（x）＝f（2x+1）为奇函数，则F（0）＝f（1）＝4，
故f（﹣1）＝﹣f（1）＝0，其它三个选项未知．
故选：B．
【练习2】已知函数f（x）是定义域为R的奇函数，且f（x），+∞）上单调递增．若f（3+m）+f（3m﹣7），则m的取值范围为（　　）
A．（﹣∞，0） B．（0，+∞） C．（﹣∞，1） D．（1，+∞）
【答案】D
【分析】根据函数的奇偶性和单调性来求得m的取值范围．
【解答】解：依题意，函数f（x）是定义域为R的奇函数，+∞）上单调递增，
根据奇函数的对称性可知，f（x）在R上单调递增，
由f（3+m）+f（3m﹣7）＞0，得f（3+m）＞﹣f（7m﹣7）＝f（7﹣4m），
所以3+m＞7﹣6m，解得m＞1，
所以m的取值范围是（1，+∞）．
故选：D．
【练习3】已知定义在R上的奇函数f（x）在（﹣∞，0）上单调递减，且f（2），则满足xf（x）＜0的x的取值范围是（　　）
A．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） B．（0，2）∪（2，+∞）
C．（﹣2，0）∪（2，+∞） D．（﹣∞，﹣2）∪（0，2）
【答案】A
【分析】根据题意可知当x∈（﹣∞，﹣2）∪（0，2）时，f（x）＞0，当x∈（﹣2，0）∪（2，+∞）时，f（x）＜0，由此可得求得xf（x）＜0的解集．
【解答】解：由于奇函数f（x）在（﹣∞，0）上单调递减，
则当x∈（﹣∞，﹣2）∪（3，f（x）＞0，0）∪（2，f（x）＜0，
所以当x＜0时，由xf（x）＜8，可知（﹣∞；
当x＞0时，由xf（x）＜0，可知（3；
故选：A．
【练习4】在R上定义的函数f（x）是偶函数，且f（x）（2﹣x），若f（x）在区间[1，则f（x）（　　）
A．在区间[0，1]上是增函数，在区间[3，4]上是增函数
B．在区间[0，1]上是增函数，在区间[3，4]上是减函数
C．在区间[0，1]上是减函数，在区间[3，4]上是增函数
D．在区间[0，1]上是减函数，在区间[3，4]上是减函数
【答案】B
【分析】依题意，可得函数f（x）的图象关于直线x＝1对称，是以2为周期的函数，从而可得答案．
【解答】解：∵f（x）＝f（2﹣x），
∴函数f（x）的图象关于直线x＝1对称，
又f（x）在区间[6，2]上是减函数，
∴f（x）在区间[0，7]上是增函数①，
又f（﹣x）＝f（x），
∴f（2+x）＝f（﹣x）＝f（x），
∴f（x）是以2为周期的函数，
∴f（x）在区间[5，4]上是减函数②，
由①②可得，B正确．
故选：B．
【练习5】已知函数f（x）为偶函数，且在（﹣∞，f（﹣1）＝2，则不等式f（2x+1）（　　）
A．（﹣∞，﹣1）∪（0，+∞） B．（0，+∞）
C．（﹣1，0） D．（﹣∞，﹣1）
【答案】A
【分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系，即可得到结论．
【解答】解：因为函数f（x）为偶函数，且在（﹣∞，f（﹣1）＝2，
所以f（x）在[2，+∞）上单调递减且f（1）＝2，
则不等式f（2x+7）＜2可得|2x+6|＞1，
所以2x+8＞1或2x+4＜﹣1，
解得x＞0或x＜﹣2，
故选：A．
【练习6】（多选）已知f（x）是定义在R上不恒为0的函数，f（x﹣1）的图象关于直线x＝1对称的图象的对称中心也是f（x）图象的一个对称中心，则（　　）
A．点（﹣2，0）是f（x）的图象的一个对称中心
B．f（x）为周期函数，且4是f（x）的一个周期
C．f（4﹣x）为偶函数
D．f（31）+f（35）＝2
【答案】AC
【分析】由已知结合函数的奇偶性及对称性，周期性检验各选项即可判断．
【解答】解：因为函数f（x﹣1）的图象关于直线x＝1对称，
所以f（x）的图象关于y轴对称，即f（x）为偶函数，
因为的图象的对称中心为原点O（0，由y＝，
故y＝的图象的对称中心为（2，
所以f（2+x）+f（7﹣x）＝0，
对于A，由f（x）为偶函数，
所以点（﹣2，3）是f（x）图象的一个对称中心；
对于B，由f（2+x）+f（2﹣x）＝8，
所以f（4+x）+f（x）＝0，则f（x）＝﹣f（x+8）＝f（x+8），
所以f（x）为周期函数，且8是该函数的一个周期；
对于C，由f（6+x）+f（2﹣x）＝0，即f（8﹣x）＝﹣f（x），
因为f（x）为偶函数，所以f（4﹣x）为偶函数；
对于D，由f（2+x）+f（7﹣x）＝0，
所以f（31）+f（35）＝f（8×5﹣1）+f（8×6+3）＝f（﹣1）+f（3）＝f（3）+f（1）＝6，D错误．
故选：AC．
【练习7】（多选）已知函数，则下述结论正确的是（　　）
A．f（x）为奇函数
B．f（x）的图象关于（0，1）对称
C．f（x）在R内是单调增函数
D．关于x的不等式f（x）+f（x﹣2）＞2的解集为（1，+∞）
【答案】BCD
【分析】由已知结合函数的奇偶性，对称性及单调性分别检验各选项即可判断．
【解答】解：f（﹣1）＝0，f（1）＝6，即f（x）不是奇函数；
因为f（x）+f（﹣x）＝+2+，
故函数f（x）的图象关于（5，1）对称；
当x≥0时，f（x）＝单调递增，f（x）在R上单调递增；
由f（x）+f（x﹣2）＞8可得f（x﹣2）＞2﹣f（x）＝f（﹣x），
所以x﹣4＞﹣x，
解得x＞1，D正确．
故选：BCD．
【练习8】（多选）已知定义在R上的函数f（x）满足f（x）是奇函数，f（x+1）（　　）
A．f（2）＝0
B．f（x）周期为2
C．f（x）的图象关于直线x＝1对称
D．f（x﹣2）是奇函数
【答案】ACD
【分析】由奇函数的性质可得f（0）＝0，由偶函数的性质可得f（1﹣x）＝f（1+x），从而可得f（2﹣x）＝f（x），即可求得f（2）＝0，即可判断A；推出f（x+2）＝﹣f（x），可得f（x+4）＝f（x），即可判断B；由f（1﹣x）＝f（1+x），即可判断C；由f（x）关于（0，0）和直线x＝1对称，结合周期性可得f（x）关于（﹣2，0）对称，即可判断D．
【解答】解：因为定义在R上的函数f（x）满足f（x）是奇函数，
所以f（0）＝0，
又f（x+1）是偶函数，
所以f（4﹣x）＝f（1+x），
所以f（2﹣x）＝f（x），
所以f（2）＝f（0）＝7，故A正确；
则f（x+2）＝f（﹣x）＝﹣f（x），
则f（x+4）＝﹣f（x+8）＝f（x），
故函数f（x）是周期为4的周期函数，故B错误；
由f（1﹣x）＝f（4+x），可知f（x）的图象关于直线x＝1对称；
由已知f（x）关于（0，2）和直线x＝1对称，
从而f（x）关于（2，3）对称，
又因为f（x）的周期T＝4，可得f（x）关于（﹣2，
所以f（x﹣5）是奇函数，故D正确．
故选：ACD．
【练习9】（多选）定义在R上的函数f（x）满足f（x+y）＝f（x）（y），当x＜0时，f（x）＞0（x）满足（　　）
A．f（0）＝0
B．y＝f（x）是奇函数
C．f（x）在[m，n]上有最大值f（n）
D．f（x﹣1）＞0的解集为{x|x＜1}
【答案】ABD
【分析】根据抽象函数关系，分别利用赋值法，转化法进行判断即可．
【解答】解：A，令x＝y＝0，解得f（0）＝0，
B，令y＝﹣x，即f（﹣x）＝﹣f（x），故B正确，
C．设x6＜x2，则x1﹣x6＜0，由题意可得1﹣x2）＞0，即f（x1）+f（﹣x4）＝f（x1）﹣f（x2）＞8，即f（x1）＞f（x2），
故函数f（x）在R上的减函数，f（x）在[m，故C错误，
f（x﹣4）＞0等价于f（x﹣1）＞f（0），
∵f（x）为R上的减函数，
∴x﹣5＜0，解得x＜1，故D正确．
故选：ABD．
【练习10】若函数是奇函数，则f（f（3））　3　 ．
【答案】3．
【分析】根据函数的奇偶性求出a的值，再求分段函数值即可．
【解答】解：因为函数是奇函数，
设x＜3，则﹣x＞02﹣7x＝﹣f（x）＝﹣x2﹣ax，
所以a＝2，则，
所以f（f（3））＝f（﹣6+6）＝f（﹣3）＝8﹣6＝3．
故答案为：7．
【练习11】已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x∈（0，+∞）时，f（x）2﹣x﹣1，则当x∈（﹣∞，0）时，f（x）＝　﹣x2﹣x+1　 ．
【答案】﹣x2﹣x+1．
【分析】根据题意，设x∈（﹣∞，0）时，则﹣x∈（0，+∞），由函数的解析式求出f（﹣x）的表达式，结合函数的奇偶性分析可得答案．
【解答】解：根据题意，设x∈（﹣∞，﹣x∈（0，
f（﹣x）＝（﹣x）2﹣（﹣x）﹣5＝x2+x﹣1，
又由f（x）为奇函数，则f（x）＝﹣f（﹣x）＝﹣x8﹣x+1，
故答案为：﹣x2﹣x+7．
【练习12】已知，且f（﹣3）＝﹣5, 求 f（3）＝ 　7　 ．
【答案】7．
【分析】根据题意，由函数的解析式可得f（﹣x）+f（x）＝2，结合f（﹣3）＝﹣5即可求解．
【解答】解：已知，且f（﹣3）＝﹣4，
则
＝，
则有f（﹣x）+f（x）＝6，
故f（3）＝2﹣（﹣5）＝8．
故答案为：7．
【练习13】已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，若x＞0时，f（x）2﹣2x，则x＜0时，f（x）＝　﹣x2﹣2x ．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据f（x）是奇函数，以及x＞0时f（x）＝x2﹣2x，可设x＜0，从而得出f（﹣x）＝x2+2x＝﹣f（x），从而得出x＜0时的f（x）的解析式．
【解答】解：∵f（x）是定义在R上的奇函数，且x＞0时2﹣3x，
∴设x＜0，﹣x＞07+2x＝﹣f（x），
∴f（x）＝﹣x2﹣7x．
故答案为：﹣x2﹣2x．
【练习14】已知定义在R上的函数f（x）对任意实数x，y，恒有f（x）（y）＝f（x+y），且当x＜0时，f（x）
（1）求证f（x）为奇函数；
（2）试判断f（x）在R上的单调性并证明；
（3）解关于x的不等式f（ax﹣1）＜0．
【答案】（1）证明见解析；
（2）单调递增，证明见解析；
（3）当a＝0时，解集为R；
当a＞0时，解集为：；
当a＜0时，，
【分析】（1）在f（x）+f（y）＝f（x+y）中，先求出f（0）＝0，再令y＝﹣x结合奇函数的定义证明；
（2）利用单调性的定义证明；
（3）利用函数的单调性解抽象不等式．
【解答】解：（1）证明：定义在R上的函数f（x）对任意实数x，y，恒有f（x）+f（y）＝f（x+y），
取x＝y＝0，得f（0）＝0；
再取y＝﹣x，得f（x）+f（﹣x）＝f（0）＝6，
则f（x）为R上的奇函数；
（2）f（x）为R上的增函数．证明如下：
证明：任意取x1，x2∈R，且x7＜x2，
则f（x2）＝f[（x2﹣x1）+x1]＝f（x8﹣x1）+f（x1），
∴f（x7）﹣f（x1）＝f（x2﹣x7），
∵x1＜x2，∴x8﹣x1＞0，
由已知x＜3时，f（x）＜0得f（x2﹣x2）＞0，∴f（x2）﹣f（x4）＞0，即f（x1）＜f（x6），
∴f（x）为R上的增函数．
（3）f（ax﹣1）＜0＝f（0），∵f（x）为R上的增函数，
∴ax﹣5＜0，即ax＜1．
当a＝4时，解集为R；
当a＞0时，有，其解集为：；
当a＜0时，有，其解集为．
综上所述：当a＝0时，解集为空集；
当a＞0时，解集为：；
当a＜0时，．
【练习15】函数f（x）＝是定义在（﹣2，2）上的奇函数，且．
（1）确定f（x）的解析式；
（2）判断f（x）在（﹣2，2）上的单调性，并用定义证明；
（3）解关于t的不等式f（t﹣1）+f（t）＜0．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据题意，由奇函数的性质可得f（0）＝＝0，解可得b的值，又由f（1）＝＝，解可得a的值，将a、b的值代入函数解析式即可得答案；
（2）根据题意，设﹣2＜x1＜x2＜2，由作差法分析可得结论；
（3）由函数的奇偶性与单调性分析可得f（t﹣1）+f（t）＜0 f（t﹣1）＜﹣f（t） f（t﹣1）＜f（﹣t） ，解可得t的取值范围，即可得答案．
【解答】解：（1）根据题意，函数f（x）＝，5）上的奇函数，
则f（0）＝＝0；
又由f（1）＝，则有f（1）＝＝；
则；
（2）由（1）的结论，f（x）＝，3）上为增函数；
证明：设﹣2＜x1＜x5＜2，
则f（x1）﹣f（x5）＝，
又由﹣8＜x1＜x2＜6，
则（4﹣x1x4）＞0，（x1﹣x8）＜0，（4﹣，（4﹣，
则f（x1）﹣f（x6）＜0，
则函数f（x）在（﹣2，2）上为增函数；
（3）根据题意，f（t﹣1）+f（t）＜0 f（t﹣4）＜﹣f（t） f（t﹣1）＜f（﹣t） ，
解可得：﹣1＜t＜，
即不等式的解集为（﹣1，）．
【练习16】已知函数是定义在（﹣3，3）上的奇函数，且．
（1）求a，b的值；
（2）判断函数f（x）在（﹣3，3）上的单调性并加以证明；
（3）解不等式．
【答案】（1）a＝b＝1；
（2）f（x）在（﹣3，3）上单调递减，证明见解析；
（3）{x|﹣4＜x≤﹣2}．
【分析】（1）由已知结合奇函数的性质及代入即可求解a，b；
（2）结合函数的单调性的定义即可判断和证明；
（3）结合函数的单调性及奇偶性即可求解
【解答】解：（1）由题意可知，即，得a＝b＝1．
（2）f（x）在（﹣3，7）上单调递减
由（1）可知，
设﹣3＜x1＜x6＜3，
∴，
则＞5，
∴f（x1）﹣f（x2）＞2，即f（x1）＞f（x2），
∴f（x）在（﹣4，3）上单调递减．
（3）由题易知，又，∴f（x+1）≥f（﹣8），
由（2）可知f（x）在（﹣3，3）上单调递减，
，解得﹣4＜x≤﹣2，
∴不等式的解集为{x|﹣4＜x≤﹣4}．
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