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第5讲 函数单调性最值
【题1】已知函数，
（1）判断函数的单调性，并证明；
（2）求函数的最大值和最小值.
【题2】判断 在 的单调性.
【题3】如图是函数的图象，则函数的减区间是（ ）
A． B． C． D．
【题4】函数的单调递减区间是（ ）
A．[2，4] B．[2，3] C．[2，＋∞） D．[3，＋∞）
【题5】下列四个函数图象中，当时，函数值随自变量的增大而减小的是（ ）
A．B．C．D．
【题6】函数的单调递减区间为（ ）
A． B． C． D．
【题7】函数的单调增区间为（　　）
A． B． C． D．
【题8】函数的单调递增区间是（ ）
A． B． C． D．
【题9】已知函数在区间上是增函数，则的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
【题10】函数在是增函数，若，则有（ ）
A． B．
C． D．
【题11】设函数是上的减函数，则 （ ）
A． B．
C． D．
【题12】已知在定义域上是减函数，且，则的取值范围为（ ）
A．（0，1） B．（-2，1） C．（0，） D．（0，2）
【题13】已知函数，若则实数的取值范围是____．
【题14】已知函数，则不等式的x的解集是________．
【题15】函数在上是增函数，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【题16】已知函数的增区间是，则实数的值为___________.
【题17】若函数，在上单调递增，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【题18】若是上的单调减函数，则实数的取值范围为____.
【题19】函数在区间上的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【题20】已知函数．
(1)试判断函数在区间上的单调性，并证明；
(2)求函数在区间上的值域.
【题21】已知函数
（1）判断在区间上的单调性，并证明你的结论；
（2）求在区间上的最值．
【题22】函数在区间上的最大值、最小值分别是（ ）
A． B． C． D．最小值是，无最大值
【题23】函数的值域为 （ ）
A． B． C． D．
【题24】函数在区间上的最小值为（ ）
A． B．
C． D．
【题25】设，则函数的最大值为______.
【题26】已知函数.
(1)若，求不等式的解集；
(2)已知在上单调递增，求的取值范围；
(3)求在上的最小值.
【题27】已知函数．
(1)若函数为偶函数，求实数的值；
(2)若函数在区间上具有单调性，求实数的取值范围；
(3)求函数在区间上的最小值．
【题28】已知二次函数，且满足，.
(1)求函数的解析式；
(2)当（）时，求函数的最小值（用表示）．
【题29】若函数的定义城为， 则实数的取值范围是（ ）
A．[0，1] B．[0，1） C．[0，] D．[0，）
【题30】已知函数，，对，，使成立，则实数的取值范围是___________.
【题31】已知函数，若对任意的恒成立，则实数的取值范围是___________.
【题32】设函数.
(1)若对于一切实数，恒成立，求实数的取值范围；
(2)若对于，恒成立，求实数的取值范围.
【题33】若不等式对满足的所有都成立，求的取值范围．
名校真题练
【练习1】设函数f（x）的定义域为R，则“ x∈R，f（x+1）（x）”是“函数f（x）为增函数”的（　　）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【练习2】下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+∞）上单调递增的函数是（　　）
A．y＝x B．y＝|x| C．y＝﹣x2+1 D．
【练习3】若函数f（x）＝4|x﹣a|+3在区间[1，+∞）上不单调（　　）
A．[1，+∞） B．（1，+∞） C．（﹣∞，1） D．（﹣∞，1]
【练习4】函数满足对 x1，x2∈R且x1≠x2，都有[f（x1）﹣f（x2）]（x1﹣x2）＜0，则实数a的取值范围是（　　）
A． B． C．（0，1） D．[0，1]
【练习5】若函数f（x）＝在R上为增函数，则实数b的取值范围是（　　）
A． B．[1，2] C． D．
【练习6】已知f（x）＝在（﹣∞，+∞）上单调递减，则实数a的取值范围为（　　）
A．（0，3） B．[，3） C．[，3） D．[，]
【练习7】已知函数是R上的增函数，则实数a的取值范围是（　　）
A．（﹣∞，﹣1] B．[﹣2，﹣1] C．[﹣2，0] D．（﹣∞，0]
【练习8】函数f（x）＝在区间（﹣2，+∞）上单调递增（　　）
A．（0，） B．（，+∞）
C．（﹣2，+∞） D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）
【练习9】定义在R上的函数f（x）对任意两个不相等实数a，b，总有，则必有（　　）
A．函数f（x）是先增加后减少
B．函数f（x）是先减少后增加
C．f（x）在R上是增函数
D．f（x）在R上是减函数
【练习10】函数的最大值为（　　）
A． B． C．10 D．
【练习11】（多选）对于函数，下列说法正确的是（　　）
A．若b＝1，则函数f（x）的最小值为2
B．若b＝1，则函数f（x）在（1，+∞）上单调递增
C．若b＝﹣1，则函数f（x）的值域为R
D．若b＝﹣1，则函数f（x）是奇函数
【练习12】（多选）对于函数，下列判断正确的是（　　）
A．f（﹣x）+f（x）＝0
B．当m∈（0，1）时，方程f（x）＝m总有实数解
C．函数f（x）的值域为
D．函数f（x）的单调递增区间为（﹣∞，0）
【练习13】已知y＝f（x）在定义域（﹣1，1）上是减函数（1﹣a）＜f（2a﹣1），则a的取值范围是　　 ．
【练习14】对a，b∈R，记，函数f（x）2，2x+3}（x∈R）的最小值是　 　 ；单调递减区间为　 　 ．
【练习15】已知函数的图象经过点A（1，0），．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）判断函数f（x）在（0，+∞）上的单调性并用定义证明；
（3）求f（x）在区间上的值域．
【练习16】已知函数f（x）＝的图像过点（1，1）．
（1）求实数m的值；
（2）判断f（x）在区间（﹣∞，﹣1）上的单调性
【练习17】已知函数．
（1）若g（x）＝（x+1）f（x）为奇函数，求实数a的值；
（2）在（1）的条件下，试判断g（x），3]上的单调性并用定义法给与证明，写出此时g（x）
【练习18】已知函数．
（1）求证：f（x）在（0，+∞）上是单调递增函数；
（2）若f（x）在上的值域是，求a的值．
【练习19】已知函数．
（1）若a＝9，求f（2）的值；
（2）若a＝9，判断函数f（x）的奇偶性；
（3）若a＞0，判断f（x）在区间（0，+∞），并用定义证明．
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第5讲 函数单调性最值
【题1】已知函数，
（1）判断函数的单调性，并证明；
（2）求函数的最大值和最小值.
【答案】（1）增函数.证明见解析；（2），.
【详解】（1）设，且，
所以，
∵，∴，，
∴，即，在上为增函数；
（2）在上为增函数，则，
.
【题2】判断 在 的单调性.
【答案】函数在 内单调递减，在 内单调递增．
【详解】设，
则
（1）假如，则
又，所以故函数单调递减；
（2）假如，则
又所以故函数单调递增；
所以函数在内单调递减，在内单调递增．
【题3】如图是函数的图象，则函数的减区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：若函数在区间上单调递减，则对应的函数图象为从左到右下降的．由图象知，函数的图象在，上分别是从左到右下降的，则对应的减区间为，，
故选：D．
【题4】函数的单调递减区间是（ ）
A．[2，4] B．[2，3] C．[2，＋∞） D．[3，＋∞）
【答案】B
【详解】解：函数，
画出函数的图象，如图所示：
函数的单调递减区间是，，
故选：B
【题5】下列四个函数图象中，当时，函数值随自变量的增大而减小的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】因为，所以只用观察轴左边的图像，函数值随自变量的增大而减小，说明图像从左到右看，图像一直在下降，观察选项，只有D符合，
故选D
【题6】函数的单调递减区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由得或，即函数的定义域为，
又二次函数的图象的对称轴方程为，
所以函数（）在区间上单调递减，
在区间上单调递增，又函数为增函数，
所以的单调递减区间为．
故选：D
【题7】函数的单调增区间为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】因为显然恒成立，
所以函数的定义域为；
令，则是开口向上的二次函数，且对称轴为，
所以在上单调递减，在上单调递增；
根据复合函数单调性的判定方法可得，
的单调增区间为.
故选：C.
【题8】函数的单调递增区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由，得，解得，
令，则，
因为在上递增，在上递减，而在上递增，
所以在上递增，在上递减，
所以的单调递增区间是，
故选：D
【题9】已知函数在区间上是增函数，则的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】因为在区间上是增函数，并且，所以，
所以D选项的正确的．
故选：D
【题10】函数在是增函数，若，则有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】，
又函数在上是增函数，故
故选：C.
【题11】设函数是上的减函数，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】当时，选项A、B、C都不正确；
因为，所以，
因为在上为减函数，所以，故D正确.
故选：D
【题12】已知在定义域上是减函数，且，则的取值范围为（ ）
A．（0，1） B．（-2，1） C．（0，） D．（0，2）
【答案】A
【详解】因为在定义域上是减函数，
所以由，
故选：A
【题13】已知函数，若则实数的取值范围是____．
【答案】
【详解】由题意可知，函数在上单调递增，
则，
即且，即且，
解得且或，即
故答案为：.
【题14】已知函数，则不等式的x的解集是________．
【答案】
【详解】画出函数的图象如图所示：
所以函数在上为增函数，
由得，即，解得.
故答案为：.
【题15】函数在上是增函数，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】函数的对称轴为，开口向下，
若在上是增函数，
则，可得，
所以的取值范围是，
故选：A.
【题16】已知函数的增区间是，则实数的值为___________.
【答案】
【详解】因为函数，
故当时，单调递减，当时，单调递增.
因为函数的增区间是，
所以，所以.
故答案为：.
【题17】若函数，在上单调递增，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由题意得，解得．
故选：B
【题18】若是上的单调减函数，则实数的取值范围为____.
【答案】
【详解】若f（x）＝ 是R上的单调减函数，得则 ，解得，
故答案为：.
【题19】函数在区间上的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】设，则问题转化为求函数在区间上的最大值．根据对勾函数的性质，得函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以．
故选：B
【题20】已知函数．
(1)试判断函数在区间上的单调性，并证明；
(2)求函数在区间上的值域.
【答案】(1)单调递增，证明见解析
(2)
（1）解：函数在上的为增函数，理由如下：
任取，且，有
∵，∴
∴即
∴函数在区间上单调递增
（2）由（1）可知函数在区间上单调递增，
∴，又∵时，，∴
∴
∴函数的值域为.
【题21】已知函数
（1）判断在区间上的单调性，并证明你的结论；
（2）求在区间上的最值．
【答案】（1）在区间上单调递增，证明见解析；（2），.
【详解】（1）在区间上单调递增
证明：任取，且
因为，，，所以，即
所以在区间上单调递增
（2）由（1）可得，在区间上单调递增
所以，
【题22】函数在区间上的最大值、最小值分别是（ ）
A． B． C． D．最小值是，无最大值
【答案】C
【详解】，抛物线的开口向上，对称轴为，
在区间上，当时，有最小值；时，有最大值，
函数在区间上的最大值、最小值分别是：，．
故选：C．
【题23】函数的值域为 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】已知函数的对称轴为，开口向上，作出函数图像如图所示，由图可知，，，所以值域为.
故选：D.
【题24】函数在区间上的最小值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】，对称轴，开口向上，
所以函数在上单调递减，在单调递增，
所以.
故选：C
【题25】设，则函数的最大值为______.
【答案】##0.5
【详解】二次函数是开口向下的，对称轴为 ，
∴当 时， ；
故答案为： .
【题26】已知函数.
(1)若，求不等式的解集；
(2)已知在上单调递增，求的取值范围；
(3)求在上的最小值.
【答案】(1)
(2)
(3)
(1)解：当时，函数，
不等式，即，解得或，
即不等式的解集为.
(2)解：由函数，可得的图象开口向上，且对称轴为，
要使得在上单调递增，则满足，
所以的取值范围为.
(3)解：由函数，可得的图象开口向上，且对称轴为，
当时，函数在上单调递增，所以最小值为；
当时，函数在递减，在上递增，
所以最小值为；
当时，函数在上单调递减，所以最小值为，
综上可得，在上的最小值为.
【题27】已知函数．
(1)若函数为偶函数，求实数的值；
(2)若函数在区间上具有单调性，求实数的取值范围；
(3)求函数在区间上的最小值．
【答案】(1)－1
(2)
(3)
（1）因为定义在上的函数为偶函数，
所以，都有成立，即，都有成立，解得．
（2）因为函数图象的对称轴为，
所以要使函数在上具有单调性，
则，或，即或，
则的取值范围为．
（3）①若函数在上单调递减，则，即，此时函数在区间上的最小值为．
②若函数在上单调递增，则，即，此时函数在区间上的最小值为．
③若函数在上不单调，则，即，此时函数在区间上的最小值为．
综上所述，函数在区间上的最小值为.
【题28】已知二次函数，且满足，.
(1)求函数的解析式；
(2)当（）时，求函数的最小值（用表示）．
【答案】(1)
(2)
（1）因为二次函数，且满足，，
所以，且，
由，得，
所以，得，
所以.
（2）因为是图象的对称轴为直线，且开口向上的二次函数，
当时，在上单调递增，
则；
当，即时，
在上单调递减，
则；
当，即时，，
综上
【题29】若函数的定义城为， 则实数的取值范围是（ ）
A．[0，1] B．[0，1） C．[0，] D．[0，）
【答案】D
【详解】要满足题意，只需在上恒成立即可.
当时，显然满足题意.
当时，只需，
解得.
综上所述，
故选：D.
【题30】已知函数，，对，，使成立，则实数的取值范围是___________.
【答案】
【详解】函数图象的对称轴为直线x=2，
所以在上单调递减，
则在上的值域为.
因为在上单调递增，
所以在上的值域为.
由题意，可得，
即，解得.
故答案为：
【题31】已知函数，若对任意的恒成立，则实数的取值范围是___________.
【答案】
【详解】对任意，恒成立，
等价于在上恒成立，
令，
则其在上的最小值为，所以，得.
故答案为：
【题32】设函数.
(1)若对于一切实数，恒成立，求实数的取值范围；
(2)若对于，恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
(1)若不等式对于一切实数恒成立，
①当时，，恒成立，符合题意，
②当时，只需，
解得，
综上所述，的取值范围是；
(2)若不等式对恒成立，
即对恒成立，
令，
则只需，即，
解得，或，
所以的取值范围是.
【题33】若不等式对满足的所有都成立，求的取值范围．
【答案】
【详解】由得
令，这是关于m的一次函数，
由于一次函数为单调函数，
所以当时，函数值恒为负，即
解该不等式组得
名校真题练
【练习1】设函数f（x）的定义域为R，则“ x∈R，f（x+1）（x）”是“函数f（x）为增函数”的（　　）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】举例说明充分性不成立，再由函数单调性定义判断必要性，即可求解．
【解答】解：充分性：因为 x∈R，f（x+1）＞f（x）成立，
所以f（x）不一定为增函数，如，
故充分性不成立；
必要性：当f（x）为增函数时，因为x+2＞x，
故必要性成立．
所以“ x∈R，f（x+1）＞f（x）”是“函数f（x）为增函数”的必要不充分条件．
故选：B．
【练习2】下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+∞）上单调递增的函数是（　　）
A．y＝x B．y＝|x| C．y＝﹣x2+1 D．
【答案】B
【分析】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性和单调性，即可得答案．
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，y＝x是正比例函数，不符合题意，
对于B，y＝|x|＝，且在（7，符合题意，
对于C，y＝﹣x2+1，是二次函数，且在（4，不符合题意，
对于D，y＝﹣，是奇函数；
故选：B．
【练习3】若函数f（x）＝4|x﹣a|+3在区间[1，+∞）上不单调（　　）
A．[1，+∞） B．（1，+∞） C．（﹣∞，1） D．（﹣∞，1]
【答案】B
【分析】先分析f（x）的单调性，再列不等式即可求解
【解答】解：因为函数f（x）＝4|x﹣a|+3在（﹣∞，a）上单调递减，+∞）上单调递增．
又函数f（x）在区间[5，+∞）上不单调．
故选：B．
【练习4】函数满足对 x1，x2∈R且x1≠x2，都有[f（x1）﹣f（x2）]（x1﹣x2）＜0，则实数a的取值范围是（　　）
A． B． C．（0，1） D．[0，1]
【答案】D
【分析】根据题意，得到f（x）在定义域R上为单调递减函数，结合分段函数的单调性的判定方法，列出不等式组，即可求解．
【解答】解：因为函数y＝f（x）满足对任意 x1，x2∈R且x8≠x2，
都有[f（x1）﹣f（x3）]（x1﹣x2）＜3，
所以函数f（x）在定义域R上为单调递减函数，
由函数，
则满足，
即，解得0≤a≤1，
所以实数a的取值范围是[7，1]．
故选：D．
【练习5】若函数f（x）＝在R上为增函数，则实数b的取值范围是（　　）
A． B．[1，2] C． D．
【答案】B
【分析】根据增函数定义及一次函数、二次函数的单调性即可由条件得到，解该不等式组便可得出实数b的取值范围．
【解答】解：f（x）在R上为增函数；
∴；
解得7≤b≤2；
∴实数b的取值范围是[1，4]．
故选：B．
【练习6】已知f（x）＝在（﹣∞，+∞）上单调递减，则实数a的取值范围为（　　）
A．（0，3） B．[，3） C．[，3） D．[，]
【答案】C
【分析】根据函数在各个区间的性质，结合函数的单调性，求出a的范围即可．
【解答】解：x＜1时，f（x）＝（a﹣3）x+a+8在（﹣∞，
则a﹣3＜0，解得：a＜4①，
x≥1时，f（x）＝﹣ax2+x在[8，+∞）递减，
则，解得：a≥②，
当x＝1时，2a﹣4≥﹣a+1③，
综合①②③，a的取值范围是[，
故选：C．
【练习7】已知函数是R上的增函数，则实数a的取值范围是（　　）
A．（﹣∞，﹣1] B．[﹣2，﹣1] C．[﹣2，0] D．（﹣∞，0]
【答案】B
【分析】据分段函数单调性的性质，结合二次函数、反比例函数的单调性进行求解即可．
【解答】解：二次函数y＝﹣x2﹣2ax﹣6的对称轴为x＝﹣a，且开口向下，
因为f（x）是R上的增函数，
所以，解得﹣8≤a≤﹣1．
故选：B．
【练习8】函数f（x）＝在区间（﹣2，+∞）上单调递增（　　）
A．（0，） B．（，+∞）
C．（﹣2，+∞） D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）
【答案】B
【分析】把原函数用分离常数法分开，在利用复合函数的单调性即可．
【解答】解：∵当a＝0时，f（x）＝，+∞）上单调递减，
∴a≠0，此时f（x）＝＝，
又因为y＝在区间（﹣2，
而函数f（x）＝在区间（﹣2，
∴须有1﹣5a＜0，即a＞，
故选：B．
【练习9】定义在R上的函数f（x）对任意两个不相等实数a，b，总有，则必有（　　）
A．函数f（x）是先增加后减少
B．函数f（x）是先减少后增加
C．f（x）在R上是增函数
D．f（x）在R上是减函数
【答案】C
【分析】比值大于零，说明分子分母同号，即自变量与函数值变化方向一致，由增函数的定义可得结论．
【解答】解：任意两个不相等实数a，b，总有，即有a＞b时，a＜b时，由增函数的定义知：函数f（x）在R上是增函数．
故选：C．
【练习10】函数的最大值为（　　）
A． B． C．10 D．
【答案】D
【分析】利用柯西不等式求解即可．
【解答】解：由柯西不等式可得，y2＝（5+）2＝（8+）2≤（57+2）（x﹣1+5﹣x）＝108，
当且仅当5×＝，即x＝时，
所以y≤＝6，
即函数的最大值为6．
故选：D．
【练习11】（多选）对于函数，下列说法正确的是（　　）
A．若b＝1，则函数f（x）的最小值为2
B．若b＝1，则函数f（x）在（1，+∞）上单调递增
C．若b＝﹣1，则函数f（x）的值域为R
D．若b＝﹣1，则函数f（x）是奇函数
【答案】BCD
【分析】当b＝1时，根据对勾函数的单调性及性质判断AB；当b＝﹣1时，结合函数奇偶性的定义可判断D，结合函数f（x）的单调性及图象可判断C．
【解答】解：当b＝1时，，
根据对勾函数单调性可知，函数f（x）在（﹣3，1）上单调递减，﹣1）和（2，
所以函数f（x）没有最小值，故A错误；
当b＝﹣1时，，x≠4，
则f（﹣x）＝﹣x+＝﹣f（x），
所以函数f（x）是奇函数，故D正确，
又因为函数在（﹣∞，+∞）上单调递增，
所以函数f（x）在（﹣∞，6）和（0，如图，
所以函数f（x）的值域为R，故C正确．
故选：BCD．
【练习12】（多选）对于函数，下列判断正确的是（　　）
A．f（﹣x）+f（x）＝0
B．当m∈（0，1）时，方程f（x）＝m总有实数解
C．函数f（x）的值域为
D．函数f（x）的单调递增区间为（﹣∞，0）
【答案】AC
【分析】A选项，求出，从而得到f（﹣x）+f（x）＝0；
B选项，举出反例即可；
C选项，，利用基本不等式求出x＞0时，结合函数奇偶性得到函数值域；
D选项，举出反例．
【解答】解：对于A，因为，故，
所以，所以A正确；
对于B，当时，，6x2﹣2x+6＝0，Δ＝（﹣2）4﹣8＝﹣4＜6，无解；
当x＞0时，，由基本不等式得，时，等号成立，
又由A选项可知为奇函数，
故当x＜4时，，所以函数f（x）的值域为；
因为，
所以f（x）在（﹣∞，5）上不可能单调递增．
故选：AC．
【练习13】已知y＝f（x）在定义域（﹣1，1）上是减函数（1﹣a）＜f（2a﹣1），则a的取值范围是　　 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据f（1﹣a）＜f（2a﹣1），严格应用函数的单调性．要注意定义域．
【解答】解：∵f（x）在定义域（﹣1，1）上是减函数
∴，∴
故答案为：
【练习14】对a，b∈R，记，函数f（x）2，2x+3}（x∈R）的最小值是　1　 ；单调递减区间为　（﹣∞，﹣1]　 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】由新定义可得函数的解析式，分别分析其单调性可得答案．
【解答】解：由题意可得f（x）＝max{x2，2x+3}＝，
解不等式x2≥2x+6可得x≤﹣1，或x≥38＜2x+3可得﹣2＜x＜3，
故上面的函数可化为：f（x）＝，
故函数在区间（﹣∞，﹣6]单调递减，+∞）单调递增，
故函数的单调递减区间为二次函数的减区间（﹣∞，﹣1]，
函数f（x）的最小值为f（﹣1）＝（﹣3）2＝1
故答案为：2；  （﹣∞
【练习15】已知函数的图象经过点A（1，0），．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）判断函数f（x）在（0，+∞）上的单调性并用定义证明；
（3）求f（x）在区间上的值域．
【答案】（1）；
（2）函数在（0，+∞）上为减函数，证明过程见解答；
（3）．
【分析】（1）将A，B两点坐标代入解析式可得关于a，b的方程组，解之即可；
（2）函数在（0，+∞）上为减函数，利用单调性的定义证明即可；
（3）由函数的单调性求得函数的最值，即可求得值域．
【解答】解：（1）∵f（x）的图象过A（1，0），，
∴，解得，
∴
（2）函数在（3，证明如下：
设任意x1，x2∈（6，+∞）1＜x2，
则
＝
由x6，x2∈（0，+∞）得，x7x2＞0，x3x2+1＞2．
由x1＜x2得，x7﹣x1＞0，
∴f（x8）﹣f（x2）＞0，即f（x2）＞f（x2），
∴函数在（8．
（3）由（2）知，函数在，
∴f（x）min＝f（1）＝0，，
∴f（x）的值域是．
【练习16】已知函数f（x）＝的图像过点（1，1）．
（1）求实数m的值；
（2）判断f（x）在区间（﹣∞，﹣1）上的单调性
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）将点（1，1）代入函数解析式，求解m的值即可；
（2）判断函数f（x）在区间（﹣∞，﹣1）上单调递增，利用定义证明即可．
【解答】解：（1）将点（1，1）代入函数中，解得m＝﹣1．
（2）函数f（x）在区间（﹣∞，﹣1）上单调递增．
由（1）可得，
任取x1＜x4∈（﹣∞，﹣1），则
＝，因为x1＜x4∈（﹣∞，﹣1），
则x1﹣x4＜0，x1+5＜0，x2+2＜0，即（x1+4）（x2+1）＞8，
所以，即f（x1）＜f（x5），
所以f（x）在区间（﹣∞，﹣1）上单调递增．
【练习17】已知函数．
（1）若g（x）＝（x+1）f（x）为奇函数，求实数a的值；
（2）在（1）的条件下，试判断g（x），3]上的单调性并用定义法给与证明，写出此时g（x）
【答案】（1）1；
（2）单调递增，证明见解析，．
【分析】（1）利用函数为奇函数的性质g（﹣x）+g（x）＝0求解即可；
（2）根据函数单调性的定义证明并利用单调性求值域．
【解答】解：（1）因为g（x）＝（x+1）f（x）＝（x+1）（a﹣），定义域为（﹣∞，+∞），
所以g（﹣x）+g（x）＝（﹣x+1）（a+）+（x+2）（a﹣，
所以，
即2a﹣2＝6，解得a＝1．
（2）由（1）知，，g（x） 在[1，
证明如下：设 x1，x4∈[1，3]3＜x2，
则，
因为1≤x1＜x5≤3，所以x1x8＞0，x2﹣x5＞0 x1x6+1＞0，
所以g（x5）﹣g（x1）＞0，即g（x7）＞g（x1），
所以g（x）在[1，6]上单调递增．
由g（x）的单调性可知，g（1）≤g（x）≤g（3），即，
所以g（x）的值域为．
【练习18】已知函数．
（1）求证：f（x）在（0，+∞）上是单调递增函数；
（2）若f（x）在上的值域是，求a的值．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）利用函数单调性的定义，设x2＞x1＞0，再将f（x1）﹣f（x2）作差后化积，证明即可；
（2）由（1）知f（x）在（0，+∞）上是单调递增的，从而在[，2]上单调递增，由f（2）＝2可求得a的值．
【解答】证明：（1）证明：设x2＞x1＞2，则x2﹣x1＞5，x1x2＞7，
∵＝，
∴f（x3）＞f（x1），
∴f（x）在（0，+∞）上是单调递增的．
（2）∵f（x）在（5，+∞）上是单调递增的，
∴f（x）在上单调递增，
∴，
∴．
【练习19】已知函数．
（1）若a＝9，求f（2）的值；
（2）若a＝9，判断函数f（x）的奇偶性；
（3）若a＞0，判断f（x）在区间（0，+∞），并用定义证明．
【答案】（1）；
（2）f（x）为奇函数，理由见解析；
（3）f（x）在区间上单调递减，在上单调递增，理由见解析．
【分析】（1）直接代入求解即可；
（2）f（x）定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），且f（﹣x）＝﹣f（x），故函数为奇函数；
（3）判断出f（x）在区间上单调递减，在上单调递增，定义法证明函数单调性步骤：取点，作差，变形判号，下结论．
【解答】解：函数．
（1）a＝9时，，；
（2）f（x）为奇函数，理由如下：
定义域为（﹣∞，0）∪（4，
，故f（x）为奇函数；
（3）f（x）在区间上单调递减，在，理由如下：
任取且x1＜x2，
，
因为且x6＜x2，
所以x1﹣x8＜0，0＜x5x2＜a，x1x5﹣a＜0，
故，f（x1）＞f（x3），
f（x）在区间上单调递减；
同理可得：f（x）在上单调递增．
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