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第12讲 三角函数的性质
【题1】函数的定义域为_____________ ．
【题2】函数的定义域是___________．
【题3】函数的定义域为___________.
【题4】下列函数中，最小正周期为的奇函数是（ ）．
A． B．
C． D．
【题5】函数的最小正周期是（ ）
A． B． C． D．
【题6】函数的最小正周期为（ ）
A． B． C． D．
【题7】下列函数中，以为最小正周期的偶函数为（ ）
A． B． C． D．
【题8】给出下列函数：①；②；③；④．
其中最小正周期为的有（ ）
A．①②③ B．①③④ C．②④ D．①③
【题9】函数的图像关于轴对称的充分必要条件是（ ）
A． B． C． D．
【题10】已知是周期为的奇函数，则可以是（ ）
A． B． C． D．
【题11】下列函数中，最小正周期为的奇函数是（ ）
A． B．
C． D．
【题12】若是奇函数，则常数的一个取值为___________.
【题13】已知函数（，为常实数），且，则______．
【题14】函数的一个对称中心是（ ）
A． B． C． D．
【题15】已知函数图象的一条对称轴为直线，则的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【题16】关于函数，有下述四个结论：
①的一个周期为； ②的图象关于直线对称；
③的一个零点为； ④在上单调递增．
其中所有正确结论的编号是（ ）
A．①③ B．①④ C．②③ D．③④
【题17】（多选）曲线的对称中心可能是（ ）
A． B． C． D．
【题18】同时具有以下性质：“①最小正周期是π：②在区间上是增函数”的一个函数是（ ）
A． B．
C． D．
【题19】已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【题20】函数的单调递增区间是（ ）
A．， B．
C． D．
【题21】（多选）若函数在上单调，则的取值可以为（ ）
A． B． C． D．
【题22】（多选）若函数在区间上单调，则的取值可以是（ ）
A． B． C． D．
【题23】已知函数，.
求函数的单调递增区间.
【题24】已知函数.
(1)求函数的单调递增区间；
(2)求函数的值域.
【题26】已知函数.
(1)求的值及函数的最小正周期；
(2)设，当时，求的值域.
【题27】已知函数．
(1)求函数的单调递增区间；
(2)先将的图象向左平移个单位，再保持纵坐标不变，将每个点的横坐标缩短为原来的一半，再将函数图象向上平移个单位，得到函数的图象．求函数在上的值域．
【题28】已知函数 的最大值为 ．
（1）求常数 的值．
（2）求函数 的单调递减区间．
（3）若 ，求函数 的值域．
【题29】已知函数．
(1)求的单调递增区间；
(2)将的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，求在区间内的值域．
【题30】已知函数，.
(1)求的单调递增区间；
(2)求在区间上的最大值和最小值.
【题31】已知函数.
(1)求的值；
(2)若，求的最大值和最小值.
【题32】函数的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【题33】函数的值域是（ ）
A． B． C． D．
【题34】已知函数，则的最大值为___________.
【题35】函数，在区间上的最大值是_____.
【题36】已知函数．
(1)求；
(2)求函数的最值及相应的x值．
【题37】已知函数．
(1)若方程有解，求实数的取值范围；
(2)若对任意，恒成立，求实数的取值范围．
【题38】函数（）的最大值是（ ）
A． B． C． D．1
【题39】函数的值域为___________.
【题40】函数的最大值为___________.
【题41】函数的值域是_____.
【题42】函数，的值域是______．
【题43】函数的值域为____________
【题44】已知，求的值域．
【题45】函数的值域为______.
【题46】函数的值域为_____________．
【题47】函数的最大值为________．
【题48】函数的定义域为_________，值域为_________.
【练习1】已知ω＞0，函数在上单调（　　）
A． B．
C． D．
【练习2】当x∈[0，2π]时，曲线y＝sinx与（　　）
A．3 B．4 C．6 D．8
【练习3】下列函数中最小正周期为π且是奇函数的为（　　）
A．y＝tan2x B．
C． D．
【练习4】已知函数的最小正周期为2π，直线（x）图象的一条对称轴，则f（x）（　　）
A．
B．
C．
D．
【练习5】设函数，则下列叙述正确的是（　　）
A．f（x）的最小正周期为2π
B．f（x）的图象关于直线对称
C．f（x）在上的最小值为
D．f（x）的图象关于点对称
【练习6】已知函数f（x）＝2|sinx|cosx，现有下列四个结论：
①f（x）是偶函数；
②f（x）是周期为π的周期函数；
③f（x）在上单调递减；
④f（x）的最小值为．
其中所有正确结论的编号是（　　）
A．①③ B．③④ C．①②④ D．①③④
【练习7】已知函数f（x）＝2sinωx（ω＞0）在区间，若函数f（x）在上的图象与直线y＝2有且仅有一个交点（　　）
A．[2，5） B．[1，5） C．[1，2] D．
【练习8】（多选）对于函数，下列说法正确的是（　　）
A．最大值为1
B．最小值为﹣3
C．最小正周期为π
D．图像的对称中心为
【练习9】（多选）已知函数，则下列说法中正确的有（　　）
A．f（x）的图象关于直线对称
B．f（x）的图象关于点对称
C．f（x）在上单调递增
D．若f（x1）﹣f（x2）＝2，则|x1﹣x2|的最小值为
【练习10】（多选）已知函数f（x）＝tan，则下列说法正确的是（　　）
A．f（x）的最小正周期为π
B．f（x）的定义域为
C．f（x）的图象关于点对称
D．f（x）在上单调递增
【练习11】（多选）已知函数，则（　　）
A．f（x）的最小正周期为π
B．f（x）的图象关于直线对称
C．f（x）在上单调递减
D．f（x）在（0，π）上有2个零点
【练习12】（多选）已知函数f（x）＝sin（2x+）+，则以下说法中正确的是（　　）
A．f（x）的最小正周期为π
B．f（x）在[，]上单调递减
C．（，）是f（x）的一个对称中心
D．当x∈[0，]时，f（x）的最大值为
【练习13】（多选）已知函数f（x）＝2sin（2x﹣），则（　　）
A．函数f（x）的图象关于点（，0）对称
B．函数f（x）的图象关于直线x＝对称
C．若x∈[0，]，则函数f（x）的值域为[﹣，]
D．函数f（x）的单调递减区间为[kπ+，kπ+]（k∈Z）
【练习14】（多选）已知函数f（x）＝2sin（2x+），则下列结论正确的有（　　）
A．函数y＝f（x）的最小正周期为π
B．将函数y＝f（x）的图象右移个单位后，得到一个奇函数
C．x＝是函数y＝f（x）的一条对称轴
D．（，0）是函数y＝f（x）的一个对称中心
【练习15】（多选）已知函数，则（　　）
A．f（x）的一个对称中心为
B．f（x）的图象向右平移个单位长度后得到的是奇函数的图象
C．f（x）在区间上单调递增
D．若y＝f（x）在区间（0，m）上与y＝1有且只有6个交点，则
【练习16】（多选）已知ω＞0，函数在上单调递增（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【练习17】函数f（x）＝cos2x tanx的最小正周期是 　 　 ．
【练习18】函数的单调递增区间为 　 　 ．
【练习19】将函数的图象向左平移个单位（x）．图象，若函数g（x），则ω的最小值是 　 　 ．
【练习20】函数（ω＞0）的图象和函数（ω＞0）的图象的连续两个交点为A，B，若　 ．　 ．
【练习21】已知函数．
（1）若ω＝2，求f（x）的最小正周期；
（2）若f（x）在区间上有定义．
（i）求ω的最大值；
（ⅱ）若曲线y＝f（x）至少有两个对称中心在区间（0，π）上，求ω的取值范围．
【练习22】已知函数．
（1）求函数f（x）的单调递增区间；
（2）求f（x）在区间[0，]上的最值．
【练习23】已知f（x）＝sin（2x+）．
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）求函数f（x）在x∈[0，]上的单调区间．
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第12讲 三角函数的性质
【题1】函数的定义域为_____________ ．
【答案】
【详解】由题意得：，故，则
故答案为：
【题2】函数的定义域是___________．
【答案】，
【详解】由得：，
所以，.
故答案为：，
【题3】函数的定义域为___________.
【答案】
【详解】由题意，.
故答案为：.
【题4】下列函数中，最小正周期为的奇函数是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】A选项，为偶函数，故A错误；
B选项，，则，
故为偶函数，故B错误；
C选项，，最小正周期，且为奇函数，故C正确；
D选项，为奇函数，最小正周期，故D错误．
故选：C．
【题5】函数的最小正周期是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】因为



所以，
故选: B.
【题6】函数的最小正周期为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：，
所以的最小正周期．
故选：C．
【题7】下列函数中，以为最小正周期的偶函数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】对于A，，定义域关于原点对称，，为偶函数，
又，所以周期为，故正确；
对于B，，定义域关于原点对称，，为偶函数，
但，不是周期函数，故错误；
对于C，，定义域关于原点对称，，为奇函数，故错误；
对于D，，定义域关于原点对称，，为偶函数，
又周期为，故错误；
故选：A.
【题8】给出下列函数：①；②；③；④．
其中最小正周期为的有（ ）
A．①②③ B．①③④ C．②④ D．①③
【答案】A
【详解】对于①，，其最小正周期为;
对于②，结合图象，知的最小正周期为．
对于③，的最小正周期．
对于④，的最小正周期．
故选：A．
【题9】函数的图像关于轴对称的充分必要条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由三角函数的性质可知若的图象关于轴，
则，即，，
故函数的图象关于轴对称的充分必要条件是，，
故选：C．
【题10】已知是周期为的奇函数，则可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】令，
对于A，，，
为偶函数，A错误；
对于B，，，
为偶函数，B错误；
对于C，，
，
不是的周期，C错误；
对于D，，，
为奇函数；
又的最小正周期，满足题意，D正确.
故选：D.
【题11】下列函数中，最小正周期为的奇函数是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】对于A，函数，最小正周期为，且是偶函数；
不满足题意
对于B，函数，最小正周期为，不满足题意；
对于C，函数，最小正周期为，不满足题意；
对于D，函数，最小正周期为，且是奇函数.
故选：D.
【题12】若是奇函数，则常数的一个取值为___________.
【答案】（答案不唯一）
【详解】依题意，是奇函数，
函数是奇函数，所以是奇函数，
所以. 故答案为：（答案不唯一）
【题13】已知函数（，为常实数），且，则______．
【答案】
【详解】因为，定义域关于原点对称，
设，
， 则是奇函数，
因为，所以，所以．
故答案为：.
【题14】函数的一个对称中心是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】在函数中，由得，，
所以函数的对称中心是，
显然B，D不满足，A不满足，当是，对称中心为，C满足.
故选：C
【题15】已知函数图象的一条对称轴为直线，则的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【详解】因为，所以，解得，又，所以当时，取得最小值3.
故选：B
【题16】关于函数，有下述四个结论：
①的一个周期为； ②的图象关于直线对称；
③的一个零点为； ④在上单调递增．
其中所有正确结论的编号是（ ）
A．①③ B．①④ C．②③ D．③④
【答案】A
【详解】，①正确；，则的图象关于对称，②错误；，，③正确；由可得，单调递减，④错误.
故选：A.
【题17】（多选）曲线的对称中心可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BCD
【详解】由，，
得，，
当时，，故D正确；
当时，，故B正确；
当时，，故C正确；
由得，故A不正确.
故选：BCD
【题18】同时具有以下性质：“①最小正周期是π：②在区间上是增函数”的一个函数是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】解：对于A，函数的最小正周期，故A不符合题意；
对于B，函数的最小正周期，
当，，所以函数在区间上是增函数，故B符合题意；
对于C，函数的最小正周期，
当，，所以函数在区间上是减函数，故C不符题意；
对于D，函数的最小正周期，
当，，所以函数在区间上不具有单调性，故D不符题意.
故选：B.
【题19】已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】由题意有，可得，又由，必有，可得.
故选：A
【题20】函数的单调递增区间是（ ）
A．， B．
C． D．
【答案】B
【详解】因为函数，令，，解得，．
所以函数的单调递增区间是.
故选：B
【题21】（多选）若函数在上单调，则的取值可以为（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABC
【详解】若，则，依题意可得，则．
对照四个选项：ABC符合题意.
故选：ABC
【题22】（多选）若函数在区间上单调，则的取值可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【详解】方法一：当时，，
在区间上单调，
或，
或；
由得：；又，；，
又，，，又，；
由得：；又，，，
又，，，即；
综上所述：.
方法二：，
当时，；
在上单调，，；
由，知：或，解得：或，
.
故选：AC.
【题23】已知函数，.
求函数的单调递增区间.
【答案】
由的单调递增区间为，
且，则，
解得，
函数的单调递增区间为.
【题24】已知函数.
(1)求函数的单调递增区间；
(2)求函数的值域.
【答案】(1)
(2)
(1)
∵
∴，
即所求单调递增区间为：；
(2)
，其中 ，
即.
5已知函数，且函数的最小正周期为.
(1)求的解析式，并求出的单调递增区间；
(2)将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，求函数的最大值及取得最大值时x的取值集合.
【答案】(1)，;
(2)，.
（1）
由函数的最小正周期为,则，故，令，解得，故的单调递增区间为.
（2）， 则的最大值为，此时有，即，故，解得，所以当取得最大值时的取值集合为.
【题26】已知函数.
(1)求的值及函数的最小正周期；
(2)设，当时，求的值域.
【答案】(1)，最小正周期
(2)
（1）
解：函数，
，
最小正周期；
（2）
解：
，
，
，
，
的值域为.
【题27】已知函数．
(1)求函数的单调递增区间；
(2)先将的图象向左平移个单位，再保持纵坐标不变，将每个点的横坐标缩短为原来的一半，再将函数图象向上平移个单位，得到函数的图象．求函数在上的值域．
【答案】(1)
(2)
（1）
化简得：
令，，
解得，，
所以函数的增区间为．
（2）
将的图象向左平移个单位，再保持纵坐标不变，得
，
再将每个点的横坐标缩短为原来的一半，得，
再将函数图象向上平移个单位，得到函数，
令，则的取值范围是，
则的取值范围是，
所以的取值范围是．
【题28】已知函数 的最大值为 ．
（1）求常数 的值．
（2）求函数 的单调递减区间．
（3）若 ，求函数 的值域．
【答案】（1）；（2）单调递减区间为，；（3）
【详解】
.
（1）由，解得.
（2）由，
则，，
解得，，
所以函数的单调递减区间为，，
（3）由，则，
所以，
所以，
所以函数 的值域为.
【题29】已知函数．
(1)求的单调递增区间；
(2)将的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，求在区间内的值域．
【答案】(1)；
(2)．
（1）
因为，
令，解得，
则的单调递增区间是；
（2）
由（1）可得．
因为，所以，
所以，
所以，
即在区间内的值域为．
【题30】已知函数，.
(1)求的单调递增区间；
(2)求在区间上的最大值和最小值.
【答案】(1)
(2)最大值为 ，最小值为
（1）
令，解得,
所以的单调递增区间为
（2）
当时，则，
故当 时，取最大值，为，
当 时，取最小值，为，
【题31】已知函数.
(1)求的值；
(2)若，求的最大值和最小值.
【答案】(1)
(2)最大值为，最小值为
（1）
=
.
（2）
.
因为，所以，
所以，
所以
所以的最大值为，最小值为.
【题32】函数的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】，令，则．因为在上单增，所以当时，．
故选：C．
【题33】函数的值域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】函数，
因为，
所以当时，函数取得最小值，
当时，函数取得最大值，
故函数的值域为，
故选：A．
【题34】已知函数，则的最大值为___________.
【答案】##
【详解】设，则，，
，
∴时，，即．
故答案为：．
【题35】函数，在区间上的最大值是_____.
【答案】##
【详解】
，
由于，
所以当时取得最大值.
故答案为：
【题36】已知函数．
(1)求；
(2)求函数的最值及相应的x值．
【答案】(1)
(2)，时，或，时，
(1)
.
(2)
因为，
所以当，即，时，
当，即或，时，
【题37】已知函数．
(1)若方程有解，求实数的取值范围；
(2)若对任意，恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
（1）
由，得,
又，所以当时，取得最小值；
当时，取得最大值,
所以实数的取值范围为．
（2）
由,恒成立，
得,恒成立．
设，,
所以当时，取得最小值4，所以；
设，,
所以当时，取得最大值3，所以,
综上，实数的取值范围为．
【题38】函数（）的最大值是（ ）
A． B． C． D．1
【答案】A
【详解】．
令，则．而在上单增，
所以当时，．
故选：A．
【题39】函数的值域为___________.
【答案】
【详解】；
令，则
故答案为：．
【题40】函数的最大值为___________.
【答案】
【详解】，
当时，.
故答案为：.
【题41】函数的值域是_____.
【答案】
【详解】，
令，所以原式，
当时，能取到最小值，
当时，能取到最大值，
所以值域为.
故答案为：.
【题42】函数，的值域是______．
【答案】
【详解】，
故答案为：
【题43】函数的值域为____________
【答案】
【详解】解：因为
令，则
所以，所以，故函数的值域为
故答案为：
【题44】已知，求的值域．
【答案】
【详解】令，又，
∴，故函数化为，且对称轴为．
∴当时，．
当时，．
∴的值域为．
【题45】函数的值域为______.
【答案】
【详解】， ，设，
得：，
即，化得：，
即，（其中）.
化得：，解此不等式得：.
故答案为：
【题46】函数的值域为_____________．
【答案】
【详解】令，，
则，即，
所以，
又因为，所以，
即函数的值域为．
故答案为：.
【题47】函数的最大值为________．
【答案】##
【详解】解：∵，∴，由题意得，当且仅当，即时取等号，故的最大值为．
故答案为：
【题48】函数的定义域为_________，值域为_________.
【答案】 ； .
【详解】解：由题意可得，即，
所以且，即.
所以函数的定义域为；
令，则，
当时，=，当，即时，等号成立；
当时，=，当，即时，等号成立；
所以函数的值域为：.
故答案为：；.
名校真题练
【练习1】已知ω＞0，函数在上单调（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据条件，利用y＝sinx的性质，利用整体代入法分别求出的单调递增和单调递减区间，然后分函数在上单调递增和递减两种情况讨论，可得和且0＜ω≤2，即可求出结果．
【解答】解：已知ω＞0，函数在，
由，
得，
所以，
∴，又，∴3＜ω≤2，
取k＝0，得，
由，
得，
所以，∴，
又，∴0＜ω≤8，
取k＝0，得，
所以ω的取值范围是．
故选：C．
【练习2】当x∈[0，2π]时，曲线y＝sinx与（　　）
A．3 B．4 C．6 D．8
【答案】C
【分析】分别画出y＝sinx与在[0，2π]上的函数图象，根据图象判断即可．
【解答】解：因为函数的最小正周期为，
所以函数在[8，
因为函数y＝sinx的最小正周期为2π，所以函数y＝sinx在[0，
在平面直角坐标系中，作出两函数在[4，如图所示：
由图可知，曲线y＝sinx与．
故选：C．
【练习3】下列函数中最小正周期为π且是奇函数的为（　　）
A．y＝tan2x B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据正切函数的周期与奇偶性可判断AB，根据诱导公式化简CD的解析式，再根据正余弦函数的奇偶性可判断．
【解答】解：对于A，y＝tan2x的最小正周期为；
对于B，为非奇非偶函数；
对于C，，易知为奇函数，故C正确；
对于D，为偶函数．
故选：C．
【练习4】已知函数的最小正周期为2π，直线（x）图象的一条对称轴，则f（x）（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由y＝|tanx|的相关性质结合条件即可求得ω，φ，再由y＝|tanx|的单调减区间得到不等式，求解即可．
【解答】解：因为y＝|tanx|的最小正周期为π，对称轴为，单调递减区间为（]．
因为的最小正周期为4π，
所以f（x）＝tan（ωx+φ）的最小正周期为2π，所以，
因为直线是f（x）图象的一条对称轴，
所以，k∈Z，k∈Z，
因为，所以，
所以，
令，k∈Z，
解得，k∈Z．
故选：B．
【练习5】设函数，则下列叙述正确的是（　　）
A．f（x）的最小正周期为2π
B．f（x）的图象关于直线对称
C．f（x）在上的最小值为
D．f（x）的图象关于点对称
【答案】D
【分析】根据正弦型函数的周期性、对称性、值域逐项判断即可得结论．
【解答】解：对于A，f（x）的最小正周期T＝；
对于B，∵，∴直线，故B错误；
对于C，时，，
∴，∴，
∴f（x）在上的最小值为；
对于D，∵sin（5×﹣，2sin（2×﹣＝，
∴f（x）的图象关于点对称．
故选：D．
【练习6】已知函数f（x）＝2|sinx|cosx，现有下列四个结论：
①f（x）是偶函数；
②f（x）是周期为π的周期函数；
③f（x）在上单调递减；
④f（x）的最小值为．
其中所有正确结论的编号是（　　）
A．①③ B．③④ C．①②④ D．①③④
【答案】D
【分析】由f（﹣x）＝f（x），判断f（x）是偶函数，即可判断①；
由f（x+π）≠f（x），即可判断②；
由题意可得当x∈[π，]时，，利用复合函数的单调性即可判断③；
由题意可求f（x）是周期为2π的周期函数，当x∈[0，2π]时，f（x）＝，利用复合函数的性质即可判断④．
【解答】解：因为f（﹣x）＝f（x），所以f（x）是偶函数；
f（x+π）＝2|sin（x+π）|cos（x+π）
＝2﹣|sinxlcosx≠f（x），②错误；
当x∈[π，]时，，
因为，
所以在上单调递减，
又y＝2x单调递增，
所以f（x）在上单调递减；
因为f（x+2 π）＝f（x），
所以f（x）是周期为8π的周期函数，
当x∈[0，2π]时|sinx|cosx＝，
则f（x）的最小值为，④正确．
故选：D．
【练习7】已知函数f（x）＝2sinωx（ω＞0）在区间，若函数f（x）在上的图象与直线y＝2有且仅有一个交点（　　）
A．[2，5） B．[1，5） C．[1，2] D．
【答案】D
【分析】结合函数的对称性，及f（x）在区间上的单调性，可知，又函数f（x）与直线y＝2交点的横坐标为，从而得，进而可求出ω的取值范围．
【解答】解：∵函数f（x）＝2sinωx（ω＞0）的图象关于原点对称，并且在区间，
∴，所以，
又，得，
令f（x）＝5sinωx＝2，得，
∴f（x）在（0，+∞）上的图象与直线y＝2的第一个交点的横坐标为，
∴，解得1≤ω＜5，
综上，ω的取值范围为[4，]．
故选：D．
【练习8】（多选）对于函数，下列说法正确的是（　　）
A．最大值为1
B．最小值为﹣3
C．最小正周期为π
D．图像的对称中心为
【答案】AC
【分析】根据三角恒等变换化简f（x），再结合三角函数的性质对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择．
【解答】解：因为f（x）＝＝
＝＝cos2x﹣8sin2x
＝1﹣7sin2x＝1﹣3×＝2cos2x﹣4+kπ，
对于A，当cos2x＝3时，k∈Z，k∈Z时，选项A正确；
对于B，当cos2x＝﹣1时，k∈Z，即，不在定义域内，选项B错误；
对于C，f（x）的最小正周期为；
对于D，定义域不满足关于点，所以，选项D错误．
故选：AC．
【练习9】（多选）已知函数，则下列说法中正确的有（　　）
A．f（x）的图象关于直线对称
B．f（x）的图象关于点对称
C．f（x）在上单调递增
D．若f（x1）﹣f（x2）＝2，则|x1﹣x2|的最小值为
【答案】BCD
【分析】用代入检验的思想，结合正弦函数的性质判断ABC，根据函数的最值，结合周期性判断D选项．
【解答】解：对于A，时，，因为，故A错误；
对于B，时，，因为（π，故B正确；
对于C，x∈（，，4x+，），因为y＝sinx在（，，故C正确；
对于D，因为f（x）max＝1，f（x）min＝﹣6，
由f（x1）﹣f（x2）＝2得f（x1）＝1，f（x4）＝﹣1，
所以|x1﹣x6|的最小值即为两条相邻对称轴之间的距离，即为，
因为，所以|x1﹣x2|的最小值为．
故选：BCD．
【练习10】（多选）已知函数f（x）＝tan，则下列说法正确的是（　　）
A．f（x）的最小正周期为π
B．f（x）的定义域为
C．f（x）的图象关于点对称
D．f（x）在上单调递增
【答案】BCD
【分析】由已知结合正切函数的性质检验各选项即可判断．
【解答】解：因为f（x）＝tan，
所以f（x）的最小正周期为，选项A错误；
由2x+，k∈Z，
可得，x≠；
令＝，k∈Z+，k∈Z，
故函数f（x）的图象关于（﹣，7）对称；
令﹣，k∈Z．
则，k∈Z，
故函数在（0，）上单调递增．
故选：BCD．
【练习11】（多选）已知函数，则（　　）
A．f（x）的最小正周期为π
B．f（x）的图象关于直线对称
C．f（x）在上单调递减
D．f（x）在（0，π）上有2个零点
【答案】ACD
【分析】由已知结合正弦函数的性质检验各选项即可判断．
【解答】解：函数的最小正周期为 ；
令2x﹣＝，k∈Z，k∈Z，
故函数f（x）的图象关于直线对称；
当时，，此时f（x）单调递减；
令2x﹣＝kπ，则x＝，
则函数f（x）在 （0，π）上的零点为，．
故选：ACD．
【练习12】（多选）已知函数f（x）＝sin（2x+）+，则以下说法中正确的是（　　）
A．f（x）的最小正周期为π
B．f（x）在[，]上单调递减
C．（，）是f（x）的一个对称中心
D．当x∈[0，]时，f（x）的最大值为
【答案】见试题解答内容
【分析】由条件利用正弦函数的周期性、最值、图象的对称性以及它的单调性，判断各个选项是否正确，从而得出结论．
【解答】解：对于函数f（x）＝sin（4x+，它的最小正周期T＝，故A正确；
在区间[，]上∈[，]sin（2x+单调递减；
令x＝，求得sin（2x+，所以（，，故C正确；
当x∈[0，]时∈[，]）∈[，所以）+，5]，
所以f（x）的最大值为1，故D错误．
故选：ABC．
【练习13】（多选）已知函数f（x）＝2sin（2x﹣），则（　　）
A．函数f（x）的图象关于点（，0）对称
B．函数f（x）的图象关于直线x＝对称
C．若x∈[0，]，则函数f（x）的值域为[﹣，]
D．函数f（x）的单调递减区间为[kπ+，kπ+]（k∈Z）
【答案】AD
【分析】直接利用正弦型函数的性质的应用判断A、B、C、D的结论．
【解答】解：已知函数f（x）＝2sin（2x﹣），
对于A：当x＝时，f（，故A正确；
对于B：当x＝时，f（）＝0；
对于C：由于，故，故．
故f（x）的值域为[﹣，故C错误；
对于D：令，整理得x∈[kπ+]（k∈Z），kπ+．
故选：AD．
【练习14】（多选）已知函数f（x）＝2sin（2x+），则下列结论正确的有（　　）
A．函数y＝f（x）的最小正周期为π
B．将函数y＝f（x）的图象右移个单位后，得到一个奇函数
C．x＝是函数y＝f（x）的一条对称轴
D．（，0）是函数y＝f（x）的一个对称中心
【答案】AD
【分析】由正弦函数的性质逐项判断即可．
【解答】解：函数y＝f（x）的最小正周期为＝π；
将函数y＝f（x）的图象右移个单位后）+），为非奇非偶函数；
当x＝时，f（+）＝2sin2π＝0，
故x＝不是函数y＝f（x）的一条对称轴，
（，5）是函数y＝f（x）的一个对称中心，D正确．
故选：AD．
【练习15】（多选）已知函数，则（　　）
A．f（x）的一个对称中心为
B．f（x）的图象向右平移个单位长度后得到的是奇函数的图象
C．f（x）在区间上单调递增
D．若y＝f（x）在区间（0，m）上与y＝1有且只有6个交点，则
【答案】BD
【分析】代入即可验证A，根据平移可得函数图象，即可由正弦型函数的奇偶性求解B，利用整体法即可判断C，由求解所以根，即可求解D．
【解答】解：对于A，由，故A错误；
对于B，f（x）的图象向右平移
，为奇函数；
对于C，当时，则，由余弦函数单调性知上单调递减；
对于D，由f（x）＝1，得或，
y＝f（x）在区间（2，m）上与y＝1有且只有6个交点，
其横坐标从小到大依次为：，
而第7个交点的横坐标为，
∴，故D正确．
故选：BD．
【练习16】（多选）已知ω＞0，函数在上单调递增（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】BC
【分析】先将函数化为，先通过求出ω的大概范围，然后再根据题目所给单调区间列不等式求解即可．
【解答】解：，
∵，∴，
∵函数在上单调递增，
∴，∴0＜ω≤4，
∴，
∴，
∴，解得，
则选项中ω的值可以是2和2．
故选：BC．
【练习17】函数f（x）＝cos2x tanx的最小正周期是 　π　 ．
【答案】π．
【分析】利用弦切互化公式和二倍角角公式将三角函数解析式化简，再利用三角函数的周期公式求解即可．
【解答】解：由题意可得f（x）＝＝sinxcosx＝，
可得f（x）的最小正周期T＝．
故答案为：π．
【练习18】函数的单调递增区间为 　　 ．
【答案】．
【分析】由题意，利用利用正切型函数的单调性可求得函数f（x）的单调递增区间．
【解答】解：对于函数，由，
可得，
所以，函数f（x）的单调递增区间为．
故答案为：．
【练习19】将函数的图象向左平移个单位（x）．图象，若函数g（x），则ω的最小值是 　1　 ．
【答案】1．
【分析】求出平移后的解析式，根据函数的奇偶性得到方程，求出ω＝﹣2+3k，k∈Z，进而得到最小值．
【解答】解：f（x）＝2tan（ωx+）的图象向左平移，
得到函数g（x）＝f（x+）＝2tan（ωx++），
因为g（x）为奇函数，所以，k∈Z，
又ω＞0，所以当k＝6时，最小值为1．
故答案为：1．
【练习20】函数（ω＞0）的图象和函数（ω＞0）的图象的连续两个交点为A，B，若　．　 ．
【答案】．
【分析】作出函数图象，结合三角形的等价条件进行转化，求出三角形的底和高，结合三角函数的相交性质进行求解即可．
【解答】解：作出两个函数的图象如图，
则根据对称性知AB＝BC，即△ABC为等腰三角形．
三角函数的周期，
且AC＝T，取AC的中点M，则BM⊥AC，，
由，
得，
得，
得，
得．
则y＝sin（sin（+sin＝，
即A点纵坐标为2，则BM＝2，
，
解得3＜T≤3，即．
得，
即ω的取值范围为．
故答案为：．
【练习21】已知函数．
（1）若ω＝2，求f（x）的最小正周期；
（2）若f（x）在区间上有定义．
（i）求ω的最大值；
（ⅱ）若曲线y＝f（x）至少有两个对称中心在区间（0，π）上，求ω的取值范围．
【答案】（1）；
（2）（i）1；
（ⅱ）．
【分析】（1）根据正切型函数最小正周期的计算公式直接计算即可；
（2）根据正切型函数的定义域与对称中心直接计算．
【解答】解：（1）当ω＝2时，，
则；
（2）（i）当时，，ω＞6，
若f（x）在上有定义，则，
解得ω≤5，故ω的最大值为1；
（ii）令，k∈Z，
解得，k∈Z，
则在区间（0，
故至少存在两个k值使0＜5k﹣2＜6ω，
故至少有k＝4，2两个取值，
所以，
综上，ω的范围为．
【练习22】已知函数．
（1）求函数f（x）的单调递增区间；
（2）求f（x）在区间[0，]上的最值．
【答案】（1）（k∈Z）；
（2）最大值为1，最小值为﹣．
【分析】（1）根据三角恒等变换公式化简得f（x）＝sin（2x+），结合正弦函数的单调性求出f（x）的单调递增区间；
（2）利用整体思想，根据正弦函数的图象与性质求出答案．
【解答】解：（1）由题意得f（x）＝（5+cos2x）+
＝sin2x++cos6xsin）．
令（k∈Z）（k∈Z），
所以f（x）的单调递增区间为（k∈Z）．
（2）当x∈[0，]时，
当2x+＝，即x＝时，
当2x+＝，即x＝时．
【练习23】已知f（x）＝sin（2x+）．
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）求函数f（x）在x∈[0，]上的单调区间．
【答案】（1）π；
（2）f（x）在x∈[0，]上的单调增区间为[0，]，减区间为[，]．
【分析】（1）利用正弦函数f（x）的周期公式求解即可；
（2）由正弦函数的单调性可求得x∈[0，]上的单调区间．
【解答】解：（1）f（x）＝sin（4x+）＝π；
（2）x∈[0，] 4x+，]，
当x∈[0，]时∈[，]，当x∈[，]时∈[，]，
故函数f（x）在x∈[0，]上的单调增区间为[8，]，]．
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