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第10讲 指对函数及应用
【题1】函数的零点为（ ）
A．10 B．9 C．（10，0） D．（9，0）
【答案】A
【详解】令，即，所以，因此x＝10，所以函数的零点为10，
故选：A.
【题2】若是函数的一个零点，则的另一个零点为（ ）
A．1 B．2 C．（1，0） D．（2，0）
【答案】A
【详解】因为是函数的一个零点，所以，解得．设另一个零点为，则，解得，所以的另一个零点为1．
故选：A．
【题3】函数的一个零点为1，则其另一个零点为______．
【答案】
【详解】解法一：因为函数的一个零点为1，
将代入得，解得．
所以．
令，解得，，
所以函数的另一个零点为．
解法二：由函数的一个零点为1，可得方程的一个根为1，根据根与系数的关系可得，所以另一个根为．故函数的另一个零点为．
故答案为：.
【题4】函数的零点个数为________．
【答案】1
【详解】令，可得方程．
在同一平面直角坐标系内作出函数与的图象，如图，
由图可知，函数与的图象只有一个交点，
故方程只有一个解，
故函数只有一个零点．
故答案为：1.
【题5】函数 的零点共有（ ）
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
【答案】C
【详解】当 时 无解；
当 时， 有解

综上，函数 有 个零点.
故选：C.
【题6】设在区间上是连续变化的单调函数，且，则方程在内（　　）
A．至少有一实根 B．至多有一实根
C．没有实根 D．必有唯一实根
【答案】D
【详解】解：因为在区间上连续的单调函数，且，
所以函数的图象在内与轴只有一个交点，即方程在内只有一个实根．
故选：D
【题7】函数的零点个数为（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】D
【详解】函数的定义域为，
且，故函数为偶函数，
当时，，考虑函数在内的零点个数，
令，可得，
作出函数、在上的图象如下图所示，
由图可知，函数、在上的交点个数为，
故函数在上的零点个数为，
因此，函数的零点个数为.
故选：D.
【题8】方程的根所在的区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】令，显然单调递增，
又因为，，
由零点存在性定理可知：的零点所在区间为，
所以的根所在区间为.
故选：B
【题9】方程的根位于区间（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】令函数，易得函数单调递减，原方程的根即的零点，，
，，，∵，可得根位于区间(1,2).
故选：C．
【题10】函数的零点所在的区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】因为为上的单调递增函数，所以为上的单调递增函数，
因为，，，
由零点存在定理，上必有唯一零点.
故选：B．
【题11】若函数有且仅有两个零点，则实数的一个取值为______.
【答案】（答案不唯一）
【详解】令，当时，由得，即为函数的一个零点，
故当时，有一解，得
故答案为：（答案不唯一）
【题12】已知函数，若关于的方程有两个不相同的解，则的取值范围是_____．
【答案】
画出和的函数图象，
要使有两个不相同的解，则与有2个不同的交点，
由图可得.
故答案为：.
【题13】已知函数若关于的方程有三个不同的实数根，则实数的取值范围是________．
【答案】
【详解】作出函数的图像和直线，如图所示:
由图可知，当时，函数的图像和直线有三个交点，所以．
故答案为：或.
【题14】已知函数，若函数恰有两个不同的零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由题意，函数，
当时，函数为单调递增函数，其中，
当时，函数为单调递增函数，且，
又由函数恰有两个不同的零点，
即为有两个不等的实数根，即与的图象有两个不同的交点，
如图所示，当恰好过点时，两函数的图象有两个不同的交点，
结合图象，要使得函数恰有两个不同的零点，则满足，
即实数的取值范围是.
故选：D.
【题15】设函数若函数有六个不同的零点，则实数a的取值范围为________．
【答案】．
【详解】函数的零点即为方程的解，也即的解，
令，则原方程的解变为方程组的解，
作出函数和直线的图象如图所示．
由图可知，当时，有两个不同的x与之对应；
当时，有一个x与之对应，当时，没有x与之对应．
由方程组有六个不同的x解知，需要方程②有三个不同的t，且都大于，
作出函数和直线的图象如图所示，
由图可知当时满足要求，
综上，实数a的取值范围为．
故答案为：
【题16】已知函数，且函数恰有三个不同的零点，则实数的取值范围是______．
【答案】
【详解】由得，即函数的零点是直线与函数图象交点横坐标，
当时，是增函数，函数的值域为，
当时，是减函数，当时，，，
当时，是增函数，当时，，
在坐标平面内作出函数的图象，如图，
观察图象知，当时，直线与函数图象有3个交点，即函数有3个零点，
所以实数的取值范围是：.
故答案为：.
【题17】已知函数的零点位于区间内，则整数（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【详解】因为函数与在上均为增函数，
所以函数在上为增函数，
因为，，，
所以函数的零点位于区间内，故.
故选：B.
【题18】已知函数在上存在零点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】因为在上单调递增,
根据零点存在定理可得,
解得.
故选:A
【题19】若函数在区间内有零点，则实数的取值范围为___________.
【答案】
【详解】令，得，
令，
由二次函数性质可知：当时，
当时，，
所以，即.
故答案为：.
【题20】已知函数在区间上有零点，则的取值范围为___________.
【答案】##
【详解】函数在区间上有零点，即在有方程根，
当时，，
若，，在区间上没有零点，
若，，在区间上有零点，故满足题意；
当，即或时，在区间上有零点，
即在有方程根，根据韦达定理可知，两根互为倒数，
应有，即，解得，
故答案为：.
【题21】函数的零点，则a=___________.
【答案】3
【详解】因为均为增函数，
所以是增函数，
又，
所以的零点，
又，
所以，
故答案为：3
【题22】设函数，若互不相等的实数、、满足，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】因为，即，
设，，作出函数的图象如下图所示：
由图象可知，点、关于直线对称，则，
由图可知，，因此，.
故选：B.
【题23】已知函数，若互不相等的实数满足，求的取值范围.
【答案】
【详解】作出函数的图象，如图所示
不妨设，则关于直线对称，故，
且满足；
则的取值范围为；
即．
所以的取值范围为.
【题24】设函数关于的方程有四个实根，，，，则的最小值为___________.
【答案】
【详解】作出函数的大致图象，如图所示：
当时，对称轴为，所以，
若关于的方程有四个实根，，，，
则，
由，
得或，则，
又因为，
所以，
所以，所以，
所以，且，
所以，
当且仅当，
即时，等号成立，
故的最小值为.
故答案为：.
【题25】已知函数，若满足，则的取值范围为_______．
【答案】
【详解】画出的图象，易得，且当时，的最大值为，当时解得，故，故
故答案为：
【题26】已知函数的表达式为，则函数的所有零点之和为______．
【答案】3
【详解】或，
或，
由或，
由或，
为函数的零点，
函数的零点之和为3，
故答案为：3
【题27】用二分法求函数的一个零点的近似值（误差不超过）时，依次计算得到如下数据：，，，，关于下一步的说法正确的是（　　）
A．已经达到对误差的要求，可以取作为近似值
B．已经达到对误差的要求，可以取作为近似值
C．没有达到对误差的要求，应该接着计算
D．没有达到对误差的要求，应该接着计算
【答案】C
【详解】，在内有零点；
，
没有达到对误差的要求，应该继续计算.
故选：C.
【题28】（多选）下列选项中能用二分法求图中函数零点近似值的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【详解】根据二分法的概念可知，函数在区间上的图象连续不断，且，即函数的零点是变号零点才能将区间一分为二，逐步得到零点的近似值.对各选项中图象分析可知，选项ACD 都符合条件，而选项 B不符合二分法的要求.
故选：ACD.
【题29】已知函数在区间上单调，且有一个零点．
(1)求实数的取值范围；
(2)若，用二分法求方程在区间上的根．
【答案】(1)(2)
（1）若a＝0，则，与题意不符，所以．
因为函数在区间上单调且有一个零点
由题意得，
解得
因为函数在区间上单调，
所以或，
因为，所以，
所以或，
综上，
所以实数a的取值范围为．
（2）若，则，
∴，，，
∴函数的零点在上，又，
∴方程在区间上的根为．
【题30】已知函数为上的连续函数．
（1）若函数在区间上存在零点，求实数的取值范围．
（2）若，判断在上是否存在零点？若存在，请在精确度为0.2的条件下，用二分法求出这个零点所在的区间；若不存在，请说明理由．
【答案】(1) (2)存在，区间为
【详解】(1)易知函数在区间 上单调递减，
在区间上存在零点，，
即，，
实数的取值范围是 ．
(2)当时， ，
易求出 ， ．
，在区间 上单调递减，
函数在上存在唯一零点．
， ，
．此时0-(-1)=1>0.2,
，,
．此时,
， ，
．此时,
， ，
．此时，满足精确度,停止二分,
所求区间为 ．
【题31】已知，函数有四个不同的零点，且满足：.则下列结论中不正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】如图，作出图象，若y＝－b与有四个交点，需，则，故A错误；
这四个交点的横坐标依次为，因为抛物线的对称轴为，所以，故D正确；
因为，即，所以，故B正确；
，即，所以，故C正确.
故选：A.
【题32】已知函数，若，且，则的最大值是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】A
【详解】设，则，
由，得，
所以．
设，则，
在上单调递减，故．
故选：A
【题33】函数的图象由拋物线的一部分和一条射线组成，且与直线为常数）相交于三个不同的点设，则的取值范围是__________.
【答案】
【详解】解：设
由二次函数可知：图象开口向上，对称轴为，
当时函数有最小值为2，，
由一次函数可知当时有最大值3，当时
直线为常数）相交于三个不同的点，，，，，，
，，
，
，
．
故答案为：
【题34】已知函数，函数.
(1)若函数有唯一零点，求；
(2)若，不等式在上恒成立，求的取值范围；
(3)已知，若函数在区间内有且只有一个零点，试确定实数的范围.
【答案】(1)或2(2)(3)
（1）解：当时，函数有唯一零点，
当时，由，解得，函数有唯一零点1，
综上：或2
（2）解：依题意得，即在上恒成立，
转化为在上恒成立，
即在上恒成立，
转化为在上恒成立.
令，则问题可转化为在上恒成立，
因为在上单调递减，所以当时，
即，所以，
所以的取值范围为.
（3）
解：，
设，，
则由题意知函数与的图象在区间内有唯一交点.
当时，在上单调递减，在上为增函数，
且，，
所以函数与的图象在区间内有唯一的交点.
当时，的图象开口向下，对称轴为直线，
所以在上单调递减，
又在上为增函数，
由题意知，需，得，得，
所以.
当时，的图象开口向上，对称轴为直线，
所以在上单调递减，又在上为增函数，
由题意知，需，得，得，
所以.
综上，的取值范围为.
名校真题练
【练习1】若函数至少有一个零点，则m的取值范围为（　　）
A．m＜1 B．m≥1 C．0≤m＜1 D．0≤m≤1
【答案】C
【分析】函数至少有一个零点，等价于函数y＝与y＝1﹣m图象至少有一个交点，画出函数y＝的图象，数形结合求解即可．
【解答】解：函数至少有一个零点+m﹣2＝0至少有一个根，
等价于函数y＝与y＝1﹣m图象至少有一个交点，
画出函数y＝的图象
由图象可知，0＜1﹣m≤5，
即m的取值范围为[0，1）．
故选：C．
【练习2】已知函数f（x）＝，方程f（x）﹣1＝0有两解（　　）
A．（，1） B．（0，） C．（0，1） D．（1，+∞）
【答案】B
【分析】分两种情况：当0＜a＜1时，当a＞1时，f（x）的单调性，最值，则方程f（x）﹣1＝0要有两解，只需y＝f（x）与y＝1有两个解，即可得出答案．
【解答】解：因为f（x）＝，
所以a＞0且a≠1，
当8＜a＜1时，f（x）在（﹣∞，
f（x）max＝f（﹣1）＝8，
又f（x）在（﹣1，+∞）上单调递增，
方程f（x）﹣1＝5有两个解，
所以2a＜1，
所以2＜a＜，
当a＞3时，f（x）在（﹣∞，
f（x）min＝f（﹣1）＝1，
又在（﹣3，+∞）上，且f（x）＞f（﹣1）＝2a，
所以方程f（x）﹣7＝0要有两解，
所以2a＜7，此时不成立，
综上所述，0＜a＜，
故选：B．
【练习3】已知函数，则函数g（x）＝|f（1﹣x）（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【分析】先求出g（x）＝|f（1﹣x）|﹣1的解析式，再分段解方程g（x）＝0即可得零点．
【解答】解：当1﹣x≤0，即x≥3时，
g（x）＝|f（1﹣x）|﹣1＝|（3﹣x）2+2（3﹣x）|﹣1＝|x2﹣4x+3|﹣1；
当4﹣x＞0，即x＜1时，
所以，
当x≥1时，令g（x）＝|x8﹣4x+3|﹣4＝0，
即x2﹣3x+3＝1或x2﹣4x+3＝﹣4，
解得：或（舍）或x＝2，
此时有2个零点；
当x＜1时，
令g（x）＝|ln（1﹣x）|﹣5＝0，
可得1﹣x＝e或，
所以x＝1﹣e或，都满足x＜1，
此时有5个零点，
综上所述函数的零点个数为4，
故选：C．
【练习4】设f（x）＝2x+x﹣8，用二分法求方程2x+x﹣8＝0在[1，5]上的近似解时，经过两次二分后（　　）
A．[1，2]或[2，3]都可以 B．[2，3]
C．[1，2] D．不能确定
【答案】B
【分析】利用二分法的定义求解．
【解答】解：因为f（1）＝2+1﹣6＝﹣5＜0，f（5）＝32+2﹣8＝29＞0，
所以f（1） f（3）＜6，
所以函数f（x）的零点落在区间[1，3]内，
又因为f（2）＝2+2﹣8＝﹣6＜0，
所以f（2） f（3）＜0，
所以函数f（x）的零点落在区间[6，3]内，
即经过两次二分后，可确定近似解所在区间为[2．
故选：B．
【练习5】纯电动汽车是以车载电源为动力，用电机驱动车轮行驶，符合道路交通、安全法规各项要求的车辆，逐渐成为当今世界的乘用车的发展方向．研究发现电池的容量随放电电流的大小而改变，1898年Peukert提出铅酸电池的容量C、放电时间t和放电电流I之间关系的经验公式：C＝Iλt，其中λ为与蓄电池结构有关的常数（称为Peukert常数），在电池容量不变的条件下，放电时间为30h；当放电电流为50A时，则该萻电池的Peukert常数λ约为（　　）（参考数据：lg2≈0.301，lg3≈0.477）
A．1.12 B．1.13 C．1.14 D．1.15
【答案】D
【分析】根据题意可得C＝15λ×30＝50λ×7.5，再结合对数式与指数式的互化及换底公式即可求解．
【解答】解：由题意知C＝15λ×30＝50λ×7.5，
所以，两边取以10为底的对数，得，
所以．
故选：D．
【练习6】已知函数f（x）＝，若函数y＝f（x）﹣m+1有四个零点，b，c，d，则a+b+cd的值为（　　）
A．2 B．﹣2 C．﹣3 D．3
【答案】C
【分析】画出函数f（x）＝的图象，函数y＝f（x）﹣m+1有四个零点，即函数y＝f（x）与y＝m﹣1有四个交点．根据图象即可求解，
【解答】解：画出函数f（x）＝的图象，
函数y＝f（x）﹣m+8有四个零点，即函数y＝f（x）与y＝m﹣1有四个交点．
∵f（0）＝1，
∴m﹣7∈（0，1），
﹣log6a＝log2d，∴cd＝1，
故a+b+cd的值为﹣4．
故选：C．
【练习7】某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量P（单位：mg/L）与时间t（单位：h）0e﹣kt，其中P0，k是正的常数．如果在前5h消除了10%的污染物，则15h后还剩污染物的百分数为（　　）
A．27.1% B．70% C．72.9% D．81%
【答案】C
【分析】由题意可知，90%P0＝，可求得k＝，所以，再令t＝15，结合对数函数的运算性质求解即可．
【解答】解：由题意可知，90%P0＝，
解得k＝＝，
∴，
当t＝15时，P＝0，
即15h后还剩污染物的百分数为72.7%．
故选：C．
【练习8】牛顿冷却定律描述物体在常温环境下的温度变化：如果物体的初始温度为T0，则经过一定时间t分钟后的温度T满足，h称为半衰期，其中Ta是环境温度．若Ta＝25℃，现有一杯80℃的热水降至75℃大约用时1分钟，那么水温从75℃降至45℃（　　）（参考数据：lg2≈0.30，lg11≈1.04．）
A．8分钟 B．9分钟 C．10分钟 D．11分钟
【答案】C
【分析】由题意可得，代入45﹣25＝，得，两边取常用对数得t，再利用对数的运算性质即可求出t的值．
【解答】解：由题意可得75﹣25＝，∴，
∴45﹣25＝，∴，
∴，两边取常用对数得t，
∴t＝＝＝≈＝10，
∴水温从75℃降至45℃，大约还需要10分钟，
故选：C．
【练习9】（多选）设函数f（x）＝2x3﹣3ax2+1，则（　　）
A．当a＞1时，f（x）有三个零点
B．当a＜0时，x＝0是f（x）的极大值点
C．存在a，b，使得x＝b为曲线y＝f（x）的对称轴
D．存在a，使得点（1，f（1））为曲线y＝f（x）的对称中心
【答案】AD
【分析】先对f（x）求导，根据a的范围可判断f（x）的单调性，进而确定极值或极值点，可判断A、B；
三次函数不存在对称轴，可判断C；
a＝2时，f（x）＝2（x﹣1）3﹣6（x﹣1）﹣3，关于点（1，﹣3）中心对称，可判断D．
【解答】解：由f（x）＝2x3﹣6ax2+1，得f'（x）＝2x（x﹣a），
对于A，当a＞1时，a）上单调递减，0）和（a；
f（x）的极大值f（0）＝8＞0，f（x）的极小值 f（a）＝1﹣a2＜0，所以f（x）有三个零点；
对于B，当a＜0时，3）上单调递减，a）和（0，x＝0是极小值点；
对于C，任何三次函数不存在对称轴；
对于D，当a＝4时3﹣6x5+1＝2（x﹣4）3﹣6（x﹣2）﹣3，关于点（1，故D正确．
故选：AD．
【练习10】（多选）氚，亦称超重氢，是氢的同位素之一，并带有放射性，会发生β衰变（单位：年）的衰变规律满足，其中N0表示氚原有的质量，则（参考数据：lg2≈0.301）（　　）
A．
B．经过24.86年后，样本中的氚元素会全部消失
C．经过62.15年后，样本中的氚元素变为原来的
D．若x年后，样本中氚元素的含量为0.4N0，则x＞16
【答案】CD
【分析】对于A，由，可得t＝﹣12.43log2，即可判断；
对于B，将t＝24.86代入，求解后即可判断；
对于C，将t＝62.15代入，求解后即可判断；
对于D，由题意可得﹣＝log20.4，根据对数的运算性质，求出x的值后即可判断．
【解答】解：对于A，由，可得＝，
所以﹣＝log2，t＝﹣12.43log2，故错误；
对于B，将t＝24.86代入0 2﹣2＝N0，
所以经过24.86年后，样本中的氚元素是原来的；
对于C，将t＝62.15代入5 2﹣5＝N0，
所以经过62.15年后，样本中的氚元素变为原来的；
对于D，因为x年后4，
所以N0 ＝2.4N0，
即＝0.4，﹣60.4＝log4＝4﹣log25＝2﹣＝7﹣≈﹣6.322，
所以x≈﹣12.43×（﹣1.322）≈16.557＞16，故正确．
故选：CD．
【练习11】已知函数f（x）＝2x+x﹣2，g（x）＝log2x+x﹣2，h（x）＝x3+x﹣2的零点分别为a，b，c，则a+b+c＝　3　 ．
【答案】3．
【分析】先把a，b，c转化为函数y＝2x，y＝log2x，y＝x3与y＝﹣x+2的交点的横坐标，再利用y＝2x与y＝log2x互为反函数，可得a+b＝2，又c＝1，所以a+b+c＝3．
【解答】解：如图，在平面直角坐标系中x，y＝log2x，y＝x3的图象，
它们的图象与函数y＝﹣x+2的交点的横坐标就是a，b，c，
因为y＝2x，y＝log2x互为反函数，其图象关于直线y＝x对称，
所以a+b＝8．
又h（1）＝1+1﹣2＝0，
所以c＝1，
所以a+b+c＝4．
故答案为：3．
【练习12】思考辨析
（1）所有的函数都有零点． 　×　
（2）若方程f（x）＝0有两个不等实根x1，x2，则函数y＝f（x）的零点为（x1，0）（x2，0）． 　×　
（3）若函数y＝f（x）在区间（a，b）上有零点（a） f（b）＜0． 　×　
【答案】（1）×；（2）×；（3）×．
【分析】根据函数零点的定义，函数零点存在定理的应用，即可判断（1）、（2）（3）．
【解答】解：（1）不是所有函数都有零点，例如y＝x2+1就没有零点，故（1）错误；
（2）函数的零点不是点，是数；
（3）函数f（x）＝x8在（﹣1，1）有零点，故（3）错误．
故答案为：（1）×；（2）×．
【练习13】某工厂产生的废气经过过滤后排放，排放时污染物的含量不得超过最初含量P0的1%．已知在过滤过程中废气中的污染物数量P（单位：毫克/升）与过滤时间t（单位：时）之间的函数关系为，P0均为正常数）．如果在前5个小时的过滤过程中污染物被排除了90%，那么排放前至少还需要过滤的时间是 　5　 小时．
【答案】5．
【分析】由前5个小时消除了90%的污染物，得出（1﹣90%）P0＝P0e﹣5k，求出k，再由10%P0＝P0e﹣kt，求出t的值，即可得出结论．
【解答】解：由题意知，前5个小时消除了90%的污染物，
因为P＝P0e﹣kt，所以（2﹣90%）P0＝P0e﹣6k，
所以0.1＝e﹣2k，即﹣5k＝ln0.3，
由1%P0＝P4e﹣kt，即0.01＝e﹣kt，
所以e﹣kt＝0.52＝（e﹣5k）6＝e﹣10k，所以t＝10，
所以排放前至少还需要过滤t﹣5＝5（小时）．
故答案为：6．
【练习14】2022年8月9日，美国总统拜登签署《2022年芯片与科学法案》．对中国的半导体产业来说，短期内可能会受到“芯片法案”负面影响，因为它将激发中国自主创新的更强爆发力和持久动力．某企业原有400名技术人员，年人均投入a万元（a＞0），该企业把原有技术人员分成技术人员和研发人员，其中技术人员x名（x∈N且100≤x≤275）（4x）%，技术人员的年人均投入调整为a（m﹣）万元．
（1）若要使调整后研发人员的年总投入不低于调整前400名技术人员的年总投入，求调整后的研发人员的人数最少为多少人？
（2）为了激励研发人员的工作热情和保持技术人员的工作积极性，企业决定在投入方面要同时满足以下两个条件：①研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入；②技术人员的年人均投入始终不减少．请问是否存在这样的实数m，若存在，求出m的范围，说明理由．
【答案】（1）125；
（2）存在，m∈{23}．
【分析】（1）根据题意，得到（400﹣x）[1+（4x）%]a≥400a，解得0≤x≤375，结合条件100≤x≤275，可求得125≤400﹣x≤300，由此可知调整后的研发人员的人数最少为125人；
（2）由条件①得，由条件②得，假设存在m同时满足以上两个条件，则上述不等式恒成立，进而求得23≤m≤23，即m＝23，故确定存在m，且m∈{23}．
【解答】解：（1）某企业原有400名技术人员，年人均投入a万元（a＞0），该企业把原有技术人员分成技术人员和研发人员，调整后研发人员的年人均投入增加（4x）%）万元，
可得调整后研发人员的年人均投入为[1+（4x）%]a万元，
则（400﹣x）[5+（4x）%]a≥400a，（a＞0）3﹣15x≤0，
解得0≤x≤375，
因为x∈N且100≤x≤275，所以100≤x≤275，
所以要使这（400﹣x）名研发人员的年总投入不低于调整前400名技术人员的年总投入，调整后的研发人员的人数最少为125人；
（2）由条件①研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入，得，
上式两边同除以ax得，整理得；
由条件②由技术人员年人均投入不减少，得，解得；
假设存在这样的实数m，使得技术人员在已知范围内调整后，
即恒成立，
因为，
当且仅当，即x＝100时等号成立，
又因为100≤x≤275，当x＝275时，，所以m≥23，
所以23≤m≤23，即m＝23，
即存在这样的m满足条件，其范围为m∈{23}．
【练习15】某单位决定投资3200元建一仓库（长方体状），高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，每1m长造价40元，两侧墙砌砖
（1）求该仓库面积S的最大值；
（2）若为了使仓库防雨，需要为仓库做屋顶．顶部每1m2造价20元，求仓库面积S的最大值，并求出此时正面铁栅应设计为多长？
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）设铁栅长x，一侧砌墙长y，根据基本不等式求出xy的最大值即可；
（2）根据基本不等式求出xy的范围，得出结论．
【解答】解：（1）设铁栅长为x（x＞0）米，一侧砖墙长为y（y＞0）米，
由题意可得：40x+3×45y＝3200，∴4x+9y＝320，
∵3x+9y≥2＝12，
∴320≥12，
∴xy≤，即仓库的面积S的最大值为．
（2）由题意得：40x+2×45y+20xy＝3200，
由基本不等式得，
当且仅当40x＝90y时取等号，
则，解得：，
所以S的最大值是100．此时4x＝9y且，即x＝15，
即铁栅的长是15米．
【练习16】某机床厂今年年初用100万元购入一台数控机床，并立即投入生产使用．已知该机床在使用过程中所需要的各种支出费用总和t（单位：万元）与使用时间x（x∈N*，x≤20，单位：年）之间满足函数关系式为：t＝2x2+8x．该机床每年的生产总收入为50万元．设使用x年后数控机床的盈利额为y万元．（盈利额等于总收入减去购买成本及所有使用支出费用）．
（1）写出y与x之间的函数关系式；
（2）从第几年开始，该机床开始盈利（盈利额为正值）？
（3）该机床使用过程中，已知年平均折旧率为4%（固定资产使用1年后，价值的损耗与前一年价值的比率）．现对该机床的处理方案有两种：
第一方案：当盈利额达到最大值时，再将该机床卖出；
第二方案：当年平均盈利额达到最大值时，再将该机床卖出．
研究一下哪种处理方案较为合理？请说明理由．
（参考数据：0.967≈0.751，0.968≈0.721，0.969≈0.693，0.9610≈0.665）
【答案】（1）y＝﹣2x2+42x﹣100，（x∈N*，x≤20）；
（2）第3年；
（3）选第一方案较为合理，理由见解析；
【分析】（1）利用盈利额等于总收入减去购买成本及所有使用支出费用，得到y与x之间的函数关系式；
（2）令y＞0，解一元二次不等式即可；
（3）利用二次函数求最值，求出第一方案总获利，由，利用函数单调性求出第二方案总获利，再比较即可．
【解答】解：（1）由题意，可得y与x之间的函数关系式y＝50x﹣（2x2+5x）﹣100＝﹣2x2+42x﹣100，（x∈N*，x≤20）；
（2）由（1）知：y＝﹣5x2+42x﹣100，（x∈N*，x≤20），
令y＞0，可得﹣5x2+42x﹣100＞0，解得，
因为，所以，．
因为x∈N*，所以3≤x≤18且x∈N*，故从第8年开始盈利．
（3）由（1）知y＝﹣2x2+42x﹣100，（x∈N*，x≤20），
因为，
所以当x＝10或x＝11时，营利额达到最大值为120万元，
使用10年后机床剩余价值为：100（7﹣4%）10≈66.5（万元），
所以按第一方案处理，总获利为120+66.4＝186.5（万元）；
又由，
令，（0＜x≤20），
5＜x1＜x2≤20，则，
当时，x2﹣x2＜0，x8x2﹣50＜0，则h（x8）﹣h（x2）＜0，即h（x2）＜h（x2），因此可得h（x）在；
当时，x1﹣x5＜0，x1x3﹣50＞0，则h（x1）﹣h（x5）＞0，即h（x1）＞h（x4），因此可得h（x）在；
又，当x＝4时万元，年平均盈利为，
所以当第5年时，年平均盈利额达到最大值7≈75.1（万元），
所以按第二方案处理，总获利为．
由于186.5＞171.1，则选第一方案较为合理．
【练习17】现有某企业计划用10年的时间进行技术革新，有两种方案：
贷款 利润
A方案 一次性向银行贷款10万元 第1年利润1万元，以后每年比前一年增加25%的利润
B方案 每年初向银行贷款1万元 第1年利润1万元，以后每年比前一年增加利润3000元
两方案使用期都是10年，贷款10年后一次性还本付息（年末结息），若银行贷款利息均按10%的复利计算．
（1）计算10年后，A方案到期一次性需要付银行多少本息？
（2）试比较A、B两方案的优劣．
（结果精确到万元，参考数据：1.110≈2.594，1.2510≈9.313）
【答案】（1）26（万元）；
（2）A方案比B方案更优．
【分析】（1）运用平均增长率公式计算即可；
（2）分别计算出两种方案的获利和贷款本息，得出净利即可比较．
【解答】解：（1）A方案第1年利润1万元，以后每年比前一年增加25%的利润，
则10年后，A方案到期时银行贷款本息为10×（4+10%）10≈26（万元）．
（2）A方案10年共获利：（万元），
到期时银行贷款本息为10×（4+10%）10≈25.9（万元），
所以A方案净收益为：33.3﹣25.7≈7（万元），
B方案10年共获利：（万元），
到期时银行贷款本息为（万元），
所以B方案净收益为：23.5﹣17.5≈4（万元），
又7＞6，
则A方案比B方案更优．
【练习18】2022年2月24日，俄乌爆发战争，至今战火未熄．2023年10月7日巴以又爆发冲突．与以往战争不同的是，攻击敌方目标和反侦察等多种功能，扮演了重要的角色．某无人机企业原有200名科技人员（a＞0），现加大对无人机研发的投入，该企业把原有科技人员分成技术人员和研发人员（x∈N且50≤x≤100），调整后研发人员的年人均工资增加（2x）%，技术人员的年人均工资调整为
（1）若要使调整后研发人员的年总工资不低于调整前200名科技人员的年总工资，求调整后的研发人员的人数最少为多少人？
（2）为了激励研发人员的工作热情和保持技术人员的工作积极性，企业决定在工资方面要同时满足以下两个条件：①研发人员的年总工资始终不低于技术人员的年总工资；②技术人员的年人均工资始终不减少．请问是否存在这样的实数m，若存在，求出m的范围，说明理由．
【答案】（1）100；
（2）存在，m∈{11}．
【分析】（1）由条件“调整后研发人员的年总工资不低于调整前 200 名科技人员的年总工资”建立不等关系可求解；
（2）根据条件①②建立不等关系，假设存在实数m转化为恒成立问题，由基本不等式及一次函数求最值可得结果．
【解答】解：（1）依题意可得调整后研发人员的年人均工资为[1+（2x）%]a 万元，
则（200﹣x）[4+（2x）%]a≥200a，（a＞0），
整理得6.02x2﹣3x≤6，解得0≤x≤150，
因为 x∈N，
所以50≤x≤100，即100≤200﹣x≤150，
所以要使这（200﹣x）名研发人员的年总工资不低于调整前200名科技人员的年总工资，
调整后的研发人员的人数最少为100人．
（2）由条件①研发人员的年总工资始终不低于技术人员的年总工资，
得，
整理得；
由条件②技术人员年人均工资不减少，得，解得；
假设存在这样的实数m，使得技术人员在已知范围内调整后，
即恒成立，
因为，
当且仅当 ，即x＝50时等号成立，
又因为50≤x≤100，当x＝100时，，所以m≥11，
所以11≤m≤11，即m＝11，
即存在这样的m满足条件，其范围为 ．
【练习19】对1个单位质量的含污物体进行清洗，清洗前其清洁度（含污物体的清洁度定义为：）为0.8．要求洗完后的清洁度是0.99．有两种方案可供选择；方案乙：分两次清洗．该物体初次清洗后受残留水等因素影响，其质量变为a（1≤a≤3），用y单位质量的水第二次清洗后的清洁度是，其中c（0.8＜c＜0.99）
（1）分别求出方案甲以及c＝0.95时方案乙的用水量，并比较哪一种方案用水量较少；
（2）若采用方案乙，当a为某固定值时，如何安排初次与第二次清洗的用水量
【答案】（1）两种方案的用水量分别为19和4a+3，方案乙的用水量较少；
（2）第一次与第二次用水量分别为和时，用水量最小．
【分析】（1）设方案甲与方案乙的用水量分别为x与z，由＝0.99求得x，进而可知方案乙初次用水量为3，第二次用水量y满足的方程，进而解得y，进而求得a和z的关系式，进而根据a的范围得出方案乙的用水量较少．
（2）设初次与第二次清洗的用水量分别为x与y，求得x和y的关系式，当a为定值时求得x+y的最小值，根据等号成立的条件求得c，；当a不为定值时，根据是增函数，进而可知，随着a的值的增加，最少用水总量增加．
【解答】解：（1）设方案甲与方案乙的用水量分别为x与z，由题设有，
解得x＝19．
由c＝0.95得方案乙初次用水量为3，第二次用水量y满足方程：，
解得y＝4a，故z＝3a+3．
即两种方案的用水量分别为19与4a+8．
因为当1≤a≤3时，x﹣z＝7（4﹣a）＞0，
即x＞z，
故方案乙的用水量较少．
（2）设初次与第二次清洗的用水量分别为x与y，类比（1）得：
，y＝a（99﹣100c）（*），
于是+a（99﹣100c）＝，
当a为定值时，，
当且仅当时等号成立．
此时，
将代入（*）式得．
故时总用水量最少，
此时第一次与第二次用水量分别为．
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第10讲 指对函数及应用
【题1】函数的零点为（ ）
A．10 B．9 C．（10，0） D．（9，0）
【题2】若是函数的一个零点，则的另一个零点为（ ）
A．1 B．2 C．（1，0） D．（2，0）
【题3】函数的一个零点为1，则其另一个零点为______．
【题4】函数的零点个数为________．
【题5】函数 的零点共有（ ）
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
【题6】设在区间上是连续变化的单调函数，且，则方程在内（　　）
A．至少有一实根 B．至多有一实根
C．没有实根 D．必有唯一实根
【题7】函数的零点个数为（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【题8】方程的根所在的区间是（ ）
A． B． C． D．
【题9】方程的根位于区间（ ）
A． B． C． D．
【题10】函数的零点所在的区间是（ ）
A． B． C． D．
【题11】若函数有且仅有两个零点，则实数的一个取值为______.
【题12】已知函数，若关于的方程有两个不相同的解，则的取值范围是_____．
【题13】已知函数若关于的方程有三个不同的实数根，则实数的取值范围是________．
【题14】已知函数，若函数恰有两个不同的零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【题15】设函数若函数有六个不同的零点，则实数a的取值范围为________．
【题16】已知函数，且函数恰有三个不同的零点，则实数的取值范围是______．
【题17】已知函数的零点位于区间内，则整数（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【题18】已知函数在上存在零点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【题19】若函数在区间内有零点，则实数的取值范围为___________.
【题20】已知函数在区间上有零点，则的取值范围为___________.
【题21】函数的零点，则a=___________.
【题22】设函数，若互不相等的实数、、满足，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【题23】已知函数，若互不相等的实数满足，求的取值范围.
【题24】设函数关于的方程有四个实根，，，，则的最小值为___________.
【题25】已知函数，若满足，则的取值范围为_______．
【题26】已知函数的表达式为，则函数的所有零点之和为______．
【题27】用二分法求函数的一个零点的近似值（误差不超过）时，依次计算得到如下数据：，，，，关于下一步的说法正确的是（　　）
A．已经达到对误差的要求，可以取作为近似值
B．已经达到对误差的要求，可以取作为近似值
C．没有达到对误差的要求，应该接着计算
D．没有达到对误差的要求，应该接着计算
【题28】（多选）下列选项中能用二分法求图中函数零点近似值的是（ ）
A． B．
C． D．
【题29】已知函数在区间上单调，且有一个零点．
(1)求实数的取值范围；
(2)若，用二分法求方程在区间上的根．
【题30】已知函数为上的连续函数．
（1）若函数在区间上存在零点，求实数的取值范围．
（2）若，判断在上是否存在零点？若存在，请在精确度为0.2的条件下，用二分法求出这个零点所在的区间；若不存在，请说明理由．
【题31】已知，函数有四个不同的零点，且满足：.则下列结论中不正确的是（ ）
A． B． C． D．
【题32】已知函数，若，且，则的最大值是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【题33】函数的图象由拋物线的一部分和一条射线组成，且与直线为常数）相交于三个不同的点设，则的取值范围是__________.
【题34】已知函数，函数.
(1)若函数有唯一零点，求；
(2)若，不等式在上恒成立，求的取值范围；
(3)已知，若函数在区间内有且只有一个零点，试确定实数的范围.
【练习1】若函数至少有一个零点，则m的取值范围为（　　）
A．m＜1 B．m≥1 C．0≤m＜1 D．0≤m≤1
【练习2】已知函数f（x）＝，方程f（x）﹣1＝0有两解（　　）
A．（，1） B．（0，） C．（0，1） D．（1，+∞）
【练习3】已知函数，则函数g（x）＝|f（1﹣x）（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【练习4】设f（x）＝2x+x﹣8，用二分法求方程2x+x﹣8＝0在[1，5]上的近似解时，经过两次二分后（　　）
A．[1，2]或[2，3]都可以 B．[2，3]
C．[1，2] D．不能确定
【练习5】纯电动汽车是以车载电源为动力，用电机驱动车轮行驶，符合道路交通、安全法规各项要求的车辆，逐渐成为当今世界的乘用车的发展方向．研究发现电池的容量随放电电流的大小而改变，1898年Peukert提出铅酸电池的容量C、放电时间t和放电电流I之间关系的经验公式：C＝Iλt，其中λ为与蓄电池结构有关的常数（称为Peukert常数），在电池容量不变的条件下，放电时间为30h；当放电电流为50A时，则该萻电池的Peukert常数λ约为（　　）（参考数据：lg2≈0.301，lg3≈0.477）
A．1.12 B．1.13 C．1.14 D．1.15
【练习6】已知函数f（x）＝，若函数y＝f（x）﹣m+1有四个零点，b，c，d，则a+b+cd的值为（　　）
A．2 B．﹣2 C．﹣3 D．3
【练习7】某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量P（单位：mg/L）与时间t（单位：h）0e﹣kt，其中P0，k是正的常数．如果在前5h消除了10%的污染物，则15h后还剩污染物的百分数为（　　）
A．27.1% B．70% C．72.9% D．81%
【练习8】牛顿冷却定律描述物体在常温环境下的温度变化：如果物体的初始温度为T0，则经过一定时间t分钟后的温度T满足，h称为半衰期，其中Ta是环境温度．若Ta＝25℃，现有一杯80℃的热水降至75℃大约用时1分钟，那么水温从75℃降至45℃（　　）（参考数据：lg2≈0.30，lg11≈1.04．）
A．8分钟 B．9分钟 C．10分钟 D．11分钟
【练习9】（多选）设函数f（x）＝2x3﹣3ax2+1，则（　　）
A．当a＞1时，f（x）有三个零点
B．当a＜0时，x＝0是f（x）的极大值点
C．存在a，b，使得x＝b为曲线y＝f（x）的对称轴
D．存在a，使得点（1，f（1））为曲线y＝f（x）的对称中心
【练习10】（多选）氚，亦称超重氢，是氢的同位素之一，并带有放射性，会发生β衰变（单位：年）的衰变规律满足，其中N0表示氚原有的质量，则（参考数据：lg2≈0.301）（　　）
A．
B．经过24.86年后，样本中的氚元素会全部消失
C．经过62.15年后，样本中的氚元素变为原来的
D．若x年后，样本中氚元素的含量为0.4N0，则x＞16
【练习11】已知函数f（x）＝2x+x﹣2，g（x）＝log2x+x﹣2，h（x）＝x3+x﹣2的零点分别为a，b，c，则a+b+c＝　 　 ．
【练习12】思考辨析
（1）所有的函数都有零点． 　 　
（2）若方程f（x）＝0有两个不等实根x1，x2，则函数y＝f（x）的零点为（x1，0）（x2，0）． 　 　
（3）若函数y＝f（x）在区间（a，b）上有零点（a） f（b）＜0． 　 　
【练习13】某工厂产生的废气经过过滤后排放，排放时污染物的含量不得超过最初含量P0的1%．已知在过滤过程中废气中的污染物数量P（单位：毫克/升）与过滤时间t（单位：时）之间的函数关系为，P0均为正常数）．如果在前5个小时的过滤过程中污染物被排除了90%，那么排放前至少还需要过滤的时间是 　5　 小时．
【练习14】2022年8月9日，美国总统拜登签署《2022年芯片与科学法案》．对中国的半导体产业来说，短期内可能会受到“芯片法案”负面影响，因为它将激发中国自主创新的更强爆发力和持久动力．某企业原有400名技术人员，年人均投入a万元（a＞0），该企业把原有技术人员分成技术人员和研发人员，其中技术人员x名（x∈N且100≤x≤275）（4x）%，技术人员的年人均投入调整为a（m﹣）万元．
（1）若要使调整后研发人员的年总投入不低于调整前400名技术人员的年总投入，求调整后的研发人员的人数最少为多少人？
（2）为了激励研发人员的工作热情和保持技术人员的工作积极性，企业决定在投入方面要同时满足以下两个条件：①研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入；②技术人员的年人均投入始终不减少．请问是否存在这样的实数m，若存在，求出m的范围，说明理由．
【练习15】某单位决定投资3200元建一仓库（长方体状），高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，每1m长造价40元，两侧墙砌砖
（1）求该仓库面积S的最大值；
（2）若为了使仓库防雨，需要为仓库做屋顶．顶部每1m2造价20元，求仓库面积S的最大值，并求出此时正面铁栅应设计为多长？
【练习16】某机床厂今年年初用100万元购入一台数控机床，并立即投入生产使用．已知该机床在使用过程中所需要的各种支出费用总和t（单位：万元）与使用时间x（x∈N*，x≤20，单位：年）之间满足函数关系式为：t＝2x2+8x．该机床每年的生产总收入为50万元．设使用x年后数控机床的盈利额为y万元．（盈利额等于总收入减去购买成本及所有使用支出费用）．
（1）写出y与x之间的函数关系式；
（2）从第几年开始，该机床开始盈利（盈利额为正值）？
（3）该机床使用过程中，已知年平均折旧率为4%（固定资产使用1年后，价值的损耗与前一年价值的比率）．现对该机床的处理方案有两种：
第一方案：当盈利额达到最大值时，再将该机床卖出；
第二方案：当年平均盈利额达到最大值时，再将该机床卖出．
研究一下哪种处理方案较为合理？请说明理由．
（参考数据：0.967≈0.751，0.968≈0.721，0.969≈0.693，0.9610≈0.665）
【练习17】现有某企业计划用10年的时间进行技术革新，有两种方案：
贷款 利润
A方案 一次性向银行贷款10万元 第1年利润1万元，以后每年比前一年增加25%的利润
B方案 每年初向银行贷款1万元 第1年利润1万元，以后每年比前一年增加利润3000元
两方案使用期都是10年，贷款10年后一次性还本付息（年末结息），若银行贷款利息均按10%的复利计算．
（1）计算10年后，A方案到期一次性需要付银行多少本息？
（2）试比较A、B两方案的优劣．
（结果精确到万元，参考数据：1.110≈2.594，1.2510≈9.313）
【练习18】2022年2月24日，俄乌爆发战争，至今战火未熄．2023年10月7日巴以又爆发冲突．与以往战争不同的是，攻击敌方目标和反侦察等多种功能，扮演了重要的角色．某无人机企业原有200名科技人员（a＞0），现加大对无人机研发的投入，该企业把原有科技人员分成技术人员和研发人员（x∈N且50≤x≤100），调整后研发人员的年人均工资增加（2x）%，技术人员的年人均工资调整为
（1）若要使调整后研发人员的年总工资不低于调整前200名科技人员的年总工资，求调整后的研发人员的人数最少为多少人？
（2）为了激励研发人员的工作热情和保持技术人员的工作积极性，企业决定在工资方面要同时满足以下两个条件：①研发人员的年总工资始终不低于技术人员的年总工资；②技术人员的年人均工资始终不减少．请问是否存在这样的实数m，若存在，求出m的范围，说明理由．
【练习19】对1个单位质量的含污物体进行清洗，清洗前其清洁度（含污物体的清洁度定义为：）为0.8．要求洗完后的清洁度是0.99．有两种方案可供选择；方案乙：分两次清洗．该物体初次清洗后受残留水等因素影响，其质量变为a（1≤a≤3），用y单位质量的水第二次清洗后的清洁度是，其中c（0.8＜c＜0.99）
（1）分别求出方案甲以及c＝0.95时方案乙的用水量，并比较哪一种方案用水量较少；
（2）若采用方案乙，当a为某固定值时，如何安排初次与第二次清洗的用水量
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