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破译“新情境”的解题密码
分析近六年高考数学试题（如下图），你会发现高频出现的几个词：创新、情境、能力.这传递了高考命题的趋势信息：以数学文化为情境、突出考查应用能力和解决问题的能力.
根据近六年高考中出现的文化情境题，发现此类问题可以分为基于教材、联系生活、学科整合、融合信息技术4个趋势（角度），下面进行具体例析和预测.
追根溯源，基于教材实现渗透
【例1】（人教A版选择性必修二P26T12）如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球……设各层球数构成一个数列．
（1）写出数列的一个递推公式；
（2）根据（1）中的递推公式，写出数列的一个通项公式．
【解】（1）由题意可知，，，
，，；
所以数列的一个递推公式为；
（2）由题意，，
故，
所以数列的一个通项公式为.
【命题分析】强调追根溯源，紧密围绕教材内容实现深度渗透是最明显的趋势.高考命题愈发注重考查考生对教材知识点的综合运用能力，这种趋势不仅要求考生熟练掌握教材基础知识，更要求考生具备灵活应变能力和批判性思维能力.应深入挖掘教材内涵，理解知识间的内在联系，提升在情境中分析和解决问题的能力.
【命题预测】（2026·重庆万州·三模）重庆市南山文峰塔坐落于黄桷垭之巅，是重庆市的一座名塔，据《巴县志》记载：文峰塔峭立山巅，凡七级，高逾十丈，万松围护，攒天一碧.某中学社会实践小组为测量重庆市南山文峰塔的高度，开展了一次实地测量活动，他们在塔底所在的水平地面上选取两点，测得米，，在点处测得塔顶的仰角为，则文峰塔的高度约为（ ）(参考数据：取）
A．26米
B．28米
C．30米
D．32米
【答案】B
【解析】在中，因为，所以，
又因为，根据正弦定理：，即，
所以，
在中，，
所以米.
二．联系生活，感受数学文化价值
【例2】．（2026·山东聊城·三模）上海某会议中心是一个外形为圆锥体的建筑，其造型被赋予了“精益求精、追求卓越”的象征意义．已知一个该建筑物模型的底面半径为，侧面积为，则该圆锥形模型的内切球的半径为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据圆锥内切球半径即为圆锥轴截面三角形的内切圆半径求解即可.
【详解】设圆锥的母线长为，则，则,所以圆锥的高,
由于圆锥的轴截面为等腰三角形，其面积，周长,
所以轴截面等腰三角形内切圆的半径,
故该圆锥形模型的内切球的半径为
【命题分析】设计贴近考生生活、具有实际背景的题目，引导考生运用数学知识解决实问题，强调让考生在解题过程中感受数学文化的价值，这种趋势旨在培养考生的数学应用意和实践能力.应关注数学与生活的联系，通过解决实际问题来巩固知识，提升素养.
【命题预测】（2026·湖北·三模）卫星接收天线的曲面与轴截面的交线为抛物线的一部分，信号处理中心位于抛物线的焦点处．已知该卫星接收天线的口径（直径）为，深度为，则信号处理中心与抛物线顶点的距离为（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【解析】以抛物线顶点为原点，对称轴为轴，
设抛物线方程为，焦点，焦点到顶点距离为．
天线口径（直径），深度，故抛物线过点（或），
将代入：，
焦点到顶点距离为．
三．学科整合，构建数学文化共同体
【例3】六氟化硫，化学式为，在常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途.六氟化硫结构为正八面体结构，如图所示，硫原子位于正八面体的中心，6个氟原子分别位于正八面体的6个顶点，若相邻两个氟原子之间的距离为，则下列错误的是（ ）
A.该正八面体结构的外接球表面积为 B.该正八面体结构的内切球表面积为
C.该正八面体结构的表面积为 D.该正八面体结构的体积为
【答案】D
【解析】对A：为外接球球心，外接球半径，
故该正八面体结构的外接球表面积，故A正确；
对B：该内切球半径，故内切球的表面积，故B正确；
对C：由题知，各侧面均为边长为的正三角形，故该正八面体结构的表面积，故C正确；
对D：连接，，则，底面，
故该正八面体结构的体积，故D错误；故选：D.
【命题分析】融合多学科知识，如将数学与物理、化学乃至人文科学相结合，这种趋势要求考生跨学科思考和解决问题，考查考生的数学基础知识和解题技巧，以及综合运用多学科知识的能力，对考生的综合素养要求较高
【命题预测】（2026·山西忻州·模拟）某无人机在水平面内飞行，地速向量等于空速向量与风速向量之和．图中以同一比例尺给出空速向量和地速向量，其中每格代表．已知风速大小与风力等级对应如下，则此时风速对应的名称为（ ）
风速大小（） 名称
1.6~3.3 轻风
3.4~5.4 微风
5.5~7.9 和风
8.0~10.7 劲风

A．轻风 B．微风 C．和风 D．劲风
【答案】A
【解析】由题设，，
此时风速向量为，
所以风速大小为，
故此时风速对应的名称为轻风.
四．融合信息技术，绽放数学文化光彩
【例4】随着时代与科技的发展，信号处理以各种方式被广泛应用于医学、声学、密码学、计算机科学、量子力学等领域，而信号处理背后的“功臣”就是正弦型函数.已知某种信号的波形可以利用函数的图象近似模拟，则（ ）
A．是非奇非偶函数
B．的值域为
C．当时，关于x的方程在区间上所有不等实根的和为
D．的图象与的图象恰有个交点
【答案】BD
【解析】对于A，由于，所以是偶函数，故A错误；
对于B，当时，，
故当时，是一个周期函数，其中一个周期为，
故只需考察这个函数在内的情况.
当时，.
此时，故，
当时，，此时，
故，
综上可得时，的值域为，故B正确；
对于C，作出在上的图象，故当，时，由图可知直线与的图象有个交点，设这个交点的横坐标分别为，，，，由图可知，，和，分别关于直线，对称，
故，故C错误；
对于D，当时，，
由图可知的图象与的图象在区间内恰有个交点，
又为偶函数，故的图象与的图象恰有个交点，故D正确.
故选：BD.

【命题分析】设计结合现代科技背景的数学问题，或将数学原理应用于信息技术领域，这种趋势旨在考查考生运用数学知识解决实际问题的能力，同时加深对数学文化在现代科技中重要性的理解，有助于提升考生的数学素养.
【命题预测】（2026·河南·模拟）某科技公司使用AI质检系统对生产的芯片进行初筛（分为合格芯片和瑕疵芯片）．已知芯片被标记为合格的概率为，被标记为瑕疵的概率为．被标记为合格的芯片中有实际为瑕疵芯片，被标记为瑕疵的芯片中有实际为合格芯片．在被AI质检过的芯片中随机抽取1个，该芯片为瑕疵芯片的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】记“芯片为瑕疵芯片”为事件，“芯片被标记为合格”为事件，“芯片被标记为瑕疵”为事件.则，，，.
所以.
即在被AI质检过的芯片中随机抽取1个，该芯片为瑕疵芯片的概率为.
自主检测
1.（2026·甘肃嘉峪关·三模）为评估某款“端侧AI芯片”在不同模型架构下的推理延迟表现，研发团队在固定输入长度（）的条件下，对200个公开的深度学习模型进行了单次推理延迟测试（单位：）．测试结果经异常值剔除后，得到如图所示的频率分布直方图，其中分组区间为，，，，，则下列结论正确的是（ ）

A．样本中延迟在内的模型个数为60
B．估计样本的中位数落在区间内
C．估计样本的平均数约为
D．该分布呈现出右边“拖尾”形态，说明大部分模型的延迟时间较短
【答案】AD
【解析】由频率分布直方图知，数据落在各分组区间的频率依次为：，
对于A，样本中延迟在内的模型个数为，A正确；
对于B，由，，得估计样本的中位数落在区间内，B错误；
对于C，样本的平均数约为，C错误；
对于D，该分布峰值在左侧低延迟区间，仅少数模型延迟较高，频率随延迟增大逐渐降低，
因此呈现右拖尾形态，说明大部分模型的延迟较低，D正确.
2.（2026·云南·模拟预测）太空舱储液罐从早期的金属贮箱逐渐发展成不锈钢复用贮箱，从铝合金到碳纤维复合材料，实现减重30%～50%．太空舱储液罐由一个圆柱和两个半球构成（如图所示），已知圆柱的高是底面外圈半径的8倍，若球外圈半径为4m，内部容积为，则它使用材料的体积（近似为3）为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】根据题意，，
所以.
3.（2026·上海普陀·二模）某科技公司每位员工皆佩戴红色或蓝色中仅一种颜色的工牌，该公司为促进跨部门协作，采用智能轮岗系统进行员工交换部门，初始时，甲部门有2名红色工牌员工、1名蓝色工牌员工，乙部门有2名红色工牌员工、2名蓝色工牌员工，系统执行一次随机交换指令：从甲、乙2个部门中随机各选取1名员工进行交换，设交换后甲部门中红色工牌员工的人数为，则的期望为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】初始时，甲部门有2名红色工牌员工、1名蓝色工牌员工，乙部门有2名红色工牌员工、2名蓝色工牌员工，
由已知的可能取值为，，.
，，，
所以.
4．（2026·河南·模拟预测）风电是我国新能源战略的核心支柱，某型号海上风电机组的安全运行标准中，风力等级与轮毂高度风速的关系满足方程：（其中为轮毂高度风速，单位：，为风力等级）．我国某海上风电场遭遇极端天气，监测到轮毂高度瞬时风速达到，则该瞬时风速对应的风力等级约为（ ）（注：，）
A．9级 B．11级 C．13级 D．15级
【答案】B
【解析】将轮毂高度瞬时风速代入，得，
由知，，则，
所以，
又，所以，
所以．
5.（2026·北京东城·二模）某学校操场的每条跑道由两段直道和两段半圆形弯道组成（如图1）.运动员比赛时，从某条跑道弯道处的起跑线上选取一点P作为起跑点，沿直线加速后从点Q切入弯道内侧分道线，即与内侧分道线相切.以半圆的圆心O为原点，建立平面直角坐标系（如图2）.若，，则直线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】因为是圆的切线，所以，且，
由勾股定理可得，因此点的坐标为，
因为，
所以圆的切线的斜率为，
所以圆的切线的方程为，化简，得.
6.如图，弹簧下端悬挂着的小球做上下运动（忽略小球的大小），它在时刻相对于平衡位置的高度可以田确定，则下列说法正确的是（ ）
A. 小球运动的最高点与最低点的距离为 B. 小球经过往复运动一次
C. 时小球是自下往上运动 D. 当时，小球到达最低点
【答案】BD
【解析】小球运动的最高点与最低点的距离为，所以选项A错误；
因为，所以小球经过往复运动一次，因此选项B正确；
当时，，所以是自下往上到最高点，再往下运动，因此选项C错误；
当时，，所以选项D正确，
故选：BD
7.（2026·山西临汾·一模）2026年马年春晚，魔法原子、银河通用、宇树科技及松延动力等机器人厂商的机器人参与了武术、小品、歌曲、微电影等四大类节目演出，我们国家已经成为人形机器人领域的强劲竞争者.现有一人形机器人根据指令在平面上能完成下列动作：如图，先从原点O沿东偏北方向行走一段时间后，再向正北方向行走一段时间，但何时改变方向不定.假定机器人行走速度为，则机器人行走2min时距原点的最远距离是________m，最近距离是________m.
【答案】 30
【解析】设改变方向的地点为M，终点为P，
由于，所以，，
，，
由余弦定理得
当时，，当时，，
结合二次函数的性质可知当时，
取得最小值；
由，则，，
结合二次函数的性质可知当或时，
取得最大值；
综上所述，，最远距离是，最近距离是.
8.（2026·云南·三模）某社区有甲 乙两个垃圾投放点.据观察，该社区居民选择垃圾投放点有以下规律：居民每天都会去投放垃圾，前一天选择投放点甲的居民，第二天选择甲的概率为，选择乙的概率为；前一天选择投放点乙的居民，第二天选择甲的概率为，选择乙的概率为.从观察日起，居民第一天选择甲的概率为，选择乙的概率为，且不同居民的选择相互独立.
(1)若有5位居民连续两天去投放垃圾，记第二天选择投放点甲的人数为，求的数学期望和方差；
(2)记第天选择投放点甲的概率为.
（i）请写出与的递推关系；
（ii）求数列的通项公式.
【解】（1）任意1位居民第二天选择投放点甲的概率为，
由题意可得，，
所以.
（2）（i）第天选择投放点甲的概率为，
整理得.
（ii）因为，
所以，
又因为，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以，解得.
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三角的工具性作用（统一结构形态，简化变量运算）
三角函数既是数学知识，更是有力的解题工具，在许多知识点考查中都有应用.在解答高考数学题时，注意发挥三角函数的工具性作用，常能将非三角题化难为易，得到独特而简捷的优美解.
一．三角换元的应用
【命题分析】三角换元命题核心是借三角函数有界性与恒等式，转化代数约束。高频模型有三类：①根式型（）；②圆或椭圆约束型（）；③多元对称型延伸至空间，区分度高。新高考趋势侧重与导数、向量、解析几何融合，弱化机械计算，强化结构识别能力。
【例1】（1）（2026上海卷T7）已知，则=
【答案】
【解析】【三角换元】设
则
【一题多解】由，可得，
即
（2）已知椭圆的左、右焦点分别为，，椭圆上点满足．若点是椭圆上的动点，则的最大值为______．
【解析】设椭圆的参数方程为，设，，
显然，时有最大值，此时，故选B.
二．三角函数性质的应用
【命题分析】常见的命题角度有：1.平面向量将模长、数量积转化为夹角的三角函数最值；2.解三角形结合正余弦定理，在动态几何中求范围；3.复数中考查旋转与几何意义；4.数列与函数则以周期函数为载体，考查迭代与复合。
【例2】（2026·上海杨浦·二模）已知、、是单位圆上的三个点，若，则的最大值为（ ）.
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为、、是单位圆上的三个点，如图建立平面直角坐标系，
因为，即，所以，
所以，即，不妨设，，设，
所以，，
所以，
所以当，即时取得最大值，
且，故选D

三．解三角形的应用
【命题分析】常与平面几何结合，在四边形、圆内接图形中求最值或面积；融入解析几何，用余弦定理处理焦点三角形、焦半径长度；结合三角函数，考查复合最值及图像性质.
【例3】（2024·新课标Ⅱ卷T17节选）如图，平面四边形ABCD中，，，，，，点E，F满足，，将沿EF翻折至．
证明：；
【解】由，
得，又，在中，
由余弦定理得,
所以，则，即，
所以，又平面，
所以平面，又平面，故
四．三角恒等变换的应用
【命题分析】命题常伪装成代数最值或不等式证明，常用于解析几何（如椭圆参数方程中斜率乘积化简）、导数与积分（将无理函数化为可运算形式）。
【例2】（2026全国一卷T19第（3）问）已知椭圆，设为坐标原点，过且斜率大于的动直线与交于，两点，其中在第三象限，直线与的另一个交点为，求的最小值．
【解】由题意，即为直线与直线的夹角，
直线即直线，方程为，
设点，点，点，直线的斜率，
直线的斜率，
由于在直线上，有，
则，代入，
则，
设直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，则，
因此，
即，
由基本不等式得，
当且仅当，即时取等号，所以的最小值为.
自主检测
1.（2025·湖北荆州模拟）已知双曲线的左、右焦点分别为，，为右支上一点，与的左支交于点.若，则的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意易得：，所以
设，，由余弦定理可得，
则
设点，则，
即
所以，
故.故选：C
2.在中，，则这个三角形一定是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形
【答案】D
【解析】，由正弦定理得，
故，
又，
，
所以，
所以，
即，所以或，
由得或（舍去），
由得，
故这个三角形一定是等腰或直角三角形
3.（2026·湖北·模拟预测）正方形ABCD的边长为2，E是BC中点，如图，点P是以AB为直径的半圆上任意点，，则（ ）
A．最大值为 B．最大值为1
C．最大值是2 D．最大值是
【答案】BCD
【解析】以AB中点O为原点建立平面直角坐标系，，，，设，
则，，，
由，得且，
，故A错；
时，故B正确；
，故C正确；
，故D正确．
故选：BCD.
4.求函数的值域
【答案】
【解析】，
令，
则，易得
5.线段AB的长度为2，点A、B分别在x非负半轴和y非负半轴上滑动，以线段AB为一边，在第一象限内作矩形ABCD（顺时针排序），BC=1，设O为坐标原点，则的取值范围是 .
【答案】
【解析】设，由图可得
6.如图，在五棱锥中，平面平面，．
(1)证明：平面；
(2)若四边形为矩形，且，．当直线与平面所成的角最小时，求三棱锥体积．
【解】（1）因为平面平面平面，
平面平面，所以平面，
又平面，所以，
又因为，且平面，所以平面；
（2）以为坐标原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，
设，则，
可得与轴夹角为，所以，，
，
，平面的法向量记为，
由，得，令，得，
，即，
当时，等号成立，此时，直线与平面的所成的角取得最小值，
此时.
7.（2026·辽宁·模拟预测）设椭圆方程为为其左右焦点，过椭圆上点的椭圆切线方程为
(1)求出椭圆方程；
(2)设点，点为椭圆右顶点，过作椭圆的不与轴垂直的切线，切点为点，求证：三点共线．
【解】（1）把代入，解得切点坐标为，
代入椭圆方程得，解得，
则椭圆标准方程为.
（2）因为，可得，设，
可知椭圆参数方程为，
则椭圆切线方程为，代入得，
联立方程组，可知，因为，
所以，解得（舍），
代入得，求得交点坐标，
则，，
可知，则三点共线．
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殊途同归：多路径论证与最优解博弈
结合新高考数学反套路、重素养的命题趋势，鼓励多路径切入，"一题多解"训练便是应对良方。它倒逼回归通性通法，培养信息提取、建模迁移及发散论证能力，打破思维定势。二轮复习应精选典型题深度剖析几何、代数、向量等多视角解法，体会知识网络的交汇，从"会做"升格为"懂为什么这样做"，以思维灵活性从容应对创新题型。
一．三角函数中多角度求参
【命题分析】三角函数中有关ω的求解是近几年新高考的一个热点内容，如2026全国一卷T13，2025全国一卷T4，2024新课标Ⅱ卷T6等都是利用三角函数性质求参，解决此类问题的关键是运用整体代换的思想，建立关于参数的方程（不等式组），进而求出参数的值或取值范围.
【例1】（2026全国一卷T13）已知（，）是偶函数，在区间单调递增．则__________，__________．
【答案】
【解】（赋值法）设函数的最小正周期为，由题意可知，
因为函数在内单调递增，则，即，
可得，解得，
且，，则，
解法一：因为函数为偶函数，
则，，且，
则，，
若，则，
即或，不符合题意，
若，则，
即或，符合题意；
且或；
综上所述：，.
（导数与单调性关系法）因为，
若函数为偶函数，则，即，
且，则，
若，则，，
即或在内恒成立，
可知函数在内单调递减，不符合题意，
若，则，，
即或在内恒成立，
可知函数在内单调递增，符合题意，
且或；
综上所述：，.
（利用极值法）因为函数为偶函数，且函数在内单调递增，
可知在处取到极小值，则，，且，
则，，则，
即或，符合题意；
且或.
二．比较指对大小多维度求解
【命题分析】比大小问题在高考中常以选择题压轴题的形式存在，如2025全国一卷单选压轴题第8题，就是以含对数的连等式为载体的比大小问题,而2022新课标1卷T7，2021新课标2卷T7等都是指对大小比较，此类问题的解题思路主要有作差构造、数形结合、取特值等，
【例1】（2025全国一卷T8）已知，则x，y，z的大小关系不可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】（赋值法）设，所以
令，则，此时，A有可能；
令，则，此时，C有可能；
令，则，此时，D有可能；
故选：B．
（数形结合法）设，
所以，易知各方程只有唯一的根，
作出函数的图象，以上方程的根分别是函数的图象与直线的交点纵坐标，如图所示：
易知，随着的变化可能出现：，，，，故选B．
（逻辑推理法）
三．解析几何中求值问题多视角探究
【命题分析】解析几何中的求值问题是高考的热点题型，如2026全国一卷第18题以椭圆为载体考查椭圆方程，直线与椭圆的位置关系，及求的最小值，2025全国二卷第16题求弦长，2024新课标Ⅰ卷第16题求直线方程，解决此类问题可以与向量结合，充分运用向量的工具作用求解。
【例2】（2025武汉九调T18节选）设抛物线E：的焦点为，过点的动直线交抛物线E于两点，点，若直线平分，求直线的斜率.，Ⅱ
【解】（向量夹角公式法）设直线，与抛物线方程联立得，
设，则，
由题意：
即，即
即
去分母整理得，得，
故直线，其斜率为.
（角平分线定理法）设直线，与抛物线方程联立得，
设，则，
延长交于点，设
由题意得，即，即
整理得，解得
又联立直线交的方程，即解得
故，解得，
故直线，其斜率为.
（角平分线的向量表达法）设直线，与抛物线方程联立得，
设，则，
由题意得：，而
又，所以
而，代入化简得
即
而，故，即，得.
故直线，其斜率为.
（向量夹角公式+多变量联动变换法）设，
则
由题意：，即，
即，变形为，
得，上式表明点与点三点共线，
故.
（到角公式法）设直线，与抛物线方程联立得，
设，则，
由题意可得：
而，
代入上式化简得
去分母整理得
即
整理得，解得或
故直线方程为或（依题意应舍去后者）
故直线斜率为.
四．零点问题的多层次挖掘
零点问题是高考的热门问题，这类问题有三问：有没有？是谁？有几个？如2025全国二卷T18就是函数存在唯一零点的证明。零点问题的常用解决方法有三种:一是落脚到函数，研究函数的性质，判断其零点情况;二是落脚到方程，将零点问题转化为方程的根的问题;三是落脚到图象，将零点问题转化为两个函数和图象的交点问题.
【例3】（2026·浙江温州·一模）已知（）.
（1）求导函数的最值；
（2）试讨论关于的方程（）的根的个数，并说明理由.
【解】（1）∵，记
∴，解得：
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以的最大值等于.
（2）【分离参数法】由，即，即.
令，∴，由解得：
∴在上单调递增，在上单调递减，∴，且
所以：当时，方程无解；当时，方程有1个解；当时，方程有2个解.
【分类讨论法】由，即，即.
令，，∴，由解得：
∴在上单调递增，在上单调递减，∴，且
所以：当时，方程无解；当时，方程有1个解；当时，方程有2个解.
【构造函数法】由，即，两边取对数得：，即.
令，所以由，解得
当时，，单调递增，当时，，单调递减
所以
当，即时，方程无解；
当，即时，方程有1个解；
当，即时，方程有2个解.
五．含参不等问题的多路径论证
含参不等式问题是高考导数解答题的超热门考点，这类问题设问形式多变，如2026全国二卷T19第（2））根据不等式恒成立求参数取值范围，2025全国一卷T19根据不等式恒成立与能成立融合的双变量问题求参数的最小值，2024新课标I卷T18由不等式恒成立求参，2023新课标I卷T19证明含参不等式成立等，能在有效考查考生知识掌握情况的同时，渗透转化与化归、数形结合、分类讨论、函数与方程、极限等多种数学思想，具有极好的区分度和极高的选拔价值，解决含参不等式问题的五种路径:参变分离、带参讨论、必要性探路(包括端点效应)、变换主元、数形结合.
【例4】（2026·福建泉州·一模节选）设函数．当时，，求的取值范围．
【解】（参变分离法）因为，所以题意等价于当时，，
即，整理得，
因为，所以，故题意等价于，
设，可得，
化简得，
令函数，可得，
当时，，单调递减；当时，，单调递增，
故在时，取到最小值，即，即，
所以，即，所以当单调递减，
当单调递增，所以的最小值为，
故，即实数的取值范围为.
（必要性探路法）由题意知当时，是的最小值，
则，即得到必要条件为，
下证的充分性，即证：当时，，
证明：由（2）可知当时，在上单调递增，
故的最小值为，符合题意；
故只需要证明时，．
由（2）分析知时，
+ 0 - 0 +
极大值 极小值
其中．
因为，据此可得更精确的范围是，
等价于证明，
又因为，即，可得，
只需证明，可得，等价于证明，
注意到，即，
故若①当，此时显然成立；
若②当，只要证明，此时，且，
所以，故得证，
综上必要性，充分性的分析，本题所求的取值范围为．
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锚定课标 深研真题 备战新高考
2022 版普通高中数学新课标实施以来，高考数学完成从“知识立意”向“核心素养立意”的系统性转型，2026 年高考数学试卷是新课标全面落地后的标志性试题，完整呈现 “依标命题、去套路、重思维、强应用”四大变革方向。
一．2026全国一、二卷试题双向细目表
1 5 单选 统计 中位数 复数 复数的运算
2 5 单选 平面向量 平面向量基本定理 集合 集合的运算
3 5 单选 集合 诱导公式，复数的运算 平面向量 平面向量的数量积
4 5 单选 导数 导数的几何意义 圆锥曲线 双曲线的渐近线方程
5 5 单选 圆锥曲线 抛物线的性质,两点间距离公式 立体几何 棱台的体积
6 5 单选 导数 利用导数求函数的最值问题 计数原理 排列组合
7 5 单选 数列 等差数列的应用 三角函数 同角三角的基本关系，三角恒等变换
8 5 单选 概率统计 离散型随机变量的数学期望 函数 函数的奇偶性、周期性等
9 6 多选 复数 共轭复数,复数的模 直线和圆 直线与圆，圆与圆的位置关系
10 6 多选 立体几何 空间线面位置关系的判定 数列 等比数列的通项与求和
11 6 多选 直线和圆 直线与圆，圆与圆的位置关系 圆锥曲线 抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系
12 5 填空 圆锥曲线 双曲线的离心率 数列 等差数列前n项和
13 5 填空 三角函数 三角函数的性质 函数 函数的零点
14 5 填空 数列 等比数列性质及应用 立体几何 空间几何体的外接球
15 13 解答 立体几何 线面平行，线面角，线面距离 概率统计 百分位数，二项分布的均值与方差
16 15 解答 解三角形 正弦定理、余弦定理，解三角形 立体几何 线线位置关系，线面角
17 15 解答 概率统计 随机变量的分布列,条件概率 解三角形 正弦定理、余弦定理，解三角形
18 17 解答 圆锥曲线 椭圆方程及性质，直线与椭圆的位置关系 圆锥曲线 椭圆的离心率，轨迹方差，直线与椭圆的位置关系，圆锥曲线中探索问题
19 17 解答 函数 集合与函数的新定义，抽象函数 导数 导数的几何意义，利用导数研究恒成立，利用导数求最值
新高考命题的根本
新高考命题始终遵循新高考评价体系理念，围绕核四层四翼”进行，以核心价值为统领，以学科素养为导向，体现了基础性、综合性、应用性、创新性的考查要求，意在检测数学学科核心价值和学科素养发展水平。对高中数学必备知识和关键能力进行全面考查的同时体现了重视思维、关注应用、鼓励创新的指导思想。
新高考命题的特点
新高考命题的趋势
基础巩固：构建"无死角"知识网络
①教材深挖：全国一卷、二卷对应教材所有例题、习题，吃透概念本质、定理推导、公式由来，重点夯实统计中位数、百分位数、平面向量基本定理、立体几何的体积、导数几何意义、概率基本概念等基础内容，杜绝概念模糊导致的基础失分，适配今年试卷重基础、重本质的命题趋势。
②公式强化：系统梳理教材核心公式、常用基础结论，摒弃偏门二级结论、秒杀技巧，通过常态化默写、套用、变式训练，实现公式熟练运用、精准变形，适配两卷基础稳、变式活的命题特点。
能力提升：聚焦"思维+计算"双突破
①定性分析训练：针对全国一卷单选压轴、多选灵活题、填空创新题，专项培养"先分析、后计算"的解题思维。训练依托函数、几何、概率性质定性判断、排除选项、简化运算，摆脱硬算解题的低效模式，适配今年反套路的命题风格；全国二卷试题逻辑直白，计算步骤简短，定性分析要求更低，侧重基础运算规范书写，训练重心放在计算准确度上。
②跨模块综合训练：全国一卷强化传统文化+数列（第7题）、立体几何+空间向量（第10、15题）、解析几何+三角函数（第18题）、函数+集合新定义（第19题）等跨模块专题训练。总结融合题型的拆解逻辑、转化方法，形成标准化解题思路，突破中档综合题、创新题型解题难点；全国二卷多为单一模块小幅结合，极少出现多知识点深度嵌套，如立体几何仅简单搭配向量基础运算，统计仅结合基础函数，拆解难度更低.
创新应对：关注"新情境+新考法"
①创新题型拓展：聚焦2026全国一卷、二卷全新题型，针对性刷取近年各省市新高考创新模拟题，重点积累新定义问题、数列构造、圆与直线综合、逻辑证明等题型经验，熟练掌握条件拆分、模型转化、反证法等核心技巧，彻底告别模板化刷题。
②情境化专项训练：针对两卷长题干、真实情境题型，固化解题三步法：划取核心关键词、剥离无效情境信息、抽象对应数学模型。常态化开展情境题限时训练，提升信息提取、建模求解能力，适配两卷生活化、实用化的命题趋势。
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