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第15讲名校真题练
【练习1】已知非零向量，则下列命题错误的是（　　）
A．
B．
C．与向量共线的单位向量为
D．记，则向量在向量上的投影向量为
【练习2】下列说法正确的是（　　）
A．若，则与的方向相同或者相反
B．若，为非零向量，且，则与共线
C．若，则存在唯一的实数λ使得＝λ
D．若，是两个单位向量，且．则
【练习3】设是非零向量，则＝2是＝（　　）
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分又不必要条件
【练习4】设，是两个非零向量．则下列命题为真命题的是（　　）
A．若|+|＝||﹣||，则⊥
B．若|+|＝||﹣||，则存在实数λ，使得＝λ
C．若⊥，则|+|＝||﹣||
D．若存在实数λ，使得＝λ，则|+|＝||﹣||
【练习5】如图所示，单位圆上有动点A，B，当取得最大值时，（　　）
A．0 B．﹣1 C．1 D．2
【练习6】已知正方形ABCD的边长为4，点P满足，则的最大值为（　　）
A．﹣16 B．0 C．12 D．﹣12
【练习7】如图，已知等腰△ABC中，AB＝AC＝3，点P是边BC上的动点，则（　　）
A．为定值10 B．为定值6
C．最大值为18 D．与P的位置有关
【练习8】（多选）下列关于平面向量的说法中正确的是（　　）
A．已知均为非零向量，若，则
B．若且，则存在唯一的实数λ，使得
C．若．且，则
D．设向量满足，则
【练习9】（多选）已知平面向量，，则下列说法正确的是（　　）
A．
B．
C．向量与的夹角为钝角
D．向量在上的投影向量为
【练习10】（多选）若平面向量，，其中n，m∈R（　　）
A．若，则∥
B．若，则与同向的单位向量为
C．若n＝1，且与的夹角为锐角，则实数m的取值范围为
D．若，则z＝2n+4m的最小值为4
【练习11】勒洛三角形是一种典型的定宽曲线，以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，三段圆弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形．在如图所示的勒洛三角形中，已知AB＝2（含端点）上的一点，则的范围为 　[0，2]　 ．
【练习12】已知边长为2的正三角形ABC的中心为O，正方形MNPQ的边长为，则＝　2　 ．
【练习13】如图，在矩形ABCD中，AB＝2BC＝2，N为边AB上任意点（包含端点），则的最大值为 　　 ．
【练习14】如图，在△ABC中，，，P为CD上一点，若AC＝2，AB＝4，则　3　 ．
【练习15】设，若在方向上的投影为，且在方向上的投影为3，则和　　 ．
【练习16】已知平面向量，．
（1）若与垂直．求k；
（2）若向量，若与共线，求．
【练习17】已知为单位向量，且与的夹角为60°．
（1）求|﹣2|的值；
（2）若向量与的夹角为锐角，求实数λ的取值范围．
【练习18】已知向量＝（﹣2，2），＝（4，3）．
（1）若向量∥，且＝3，求的坐标；
（2）若向量+k与﹣k，求实数k的值．
【练习19】已知，，．
（1）求与的夹角和的值；
（2）设，，若与共线，求实数m的值．
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第15讲名校真题练
【练习1】已知非零向量，则下列命题错误的是（　　）
A．
B．
C．与向量共线的单位向量为
D．记，则向量在向量上的投影向量为
【答案】C
【分析】利用向量数量积的定义判断A；利用向量加法的三角形法则判断B；利用单位向量的定义判断C；利用投影向量的定义判断D．
【解答】解：对于选项A：，故A正确；
对于选项B：当不共线时，可得；当，可得；当，可得，故B正确；
对于选项C：与向量共线的单位向量为；
对于选项D：由，易知在向量
＝，故D正确．
故选：C．
【练习2】下列说法正确的是（　　）
A．若，则与的方向相同或者相反
B．若，为非零向量，且，则与共线
C．若，则存在唯一的实数λ使得＝λ
D．若，是两个单位向量，且．则
【答案】B
【分析】当时可判断A错误，利用共线向量的定义可判断B正确，当，为非零向量时可判断C错误，对两边平方求出＝，进而求出的值可判断D．
【解答】解：对于A，当时，与的方向可以既不相同也不相反；
对于B，若，为非零向量，且，则与，故B正确；
对于C，当，为非零向量时，故C错误；
对于D，若，是两个单位向量，且，
所以（）2＝1，即，
所以＝，
所以＝＝1+2×，
所以＝，故D错误．
故选：B．
【练习3】设是非零向量，则＝2是＝（　　）
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分又不必要条件
【答案】B
【分析】由已知＝2，得共线同向，则＝；反之，由＝，可得共线同向，不一定有＝2，结合充分必要条件的判定得答案．
【解答】解：对于非零向量，由＝2，得，则＝；
反之，由＝，可得，但不一定是．
∴＝2是＝．
故选：B．
【练习4】设，是两个非零向量．则下列命题为真命题的是（　　）
A．若|+|＝||﹣||，则⊥
B．若|+|＝||﹣||，则存在实数λ，使得＝λ
C．若⊥，则|+|＝||﹣||
D．若存在实数λ，使得＝λ，则|+|＝||﹣||
【答案】B
【分析】由两向量模的性质，可得，反向共线，即可判断A；
运用向量共线定理，可判断B；由向量垂直，即不共线，即可判断C；
由向量共线定理和向量模的性质，可判断D．
【解答】解：，是两个非零向量，
对于A，若|+|﹣||，则，，即有A错误；
对于B，若|+|﹣||，则，，由向量共线定理可得
存在实数λ，使得，B正确；
对于C，若⊥，则，不共线|+|﹣|，即C错误；
对于D，存在实数λ＝λ，则，同向共线．
故选：B．
【练习5】如图所示，单位圆上有动点A，B，当取得最大值时，（　　）
A．0 B．﹣1 C．1 D．2
【答案】D
【分析】由题可得，可得AB为直径时最大．
【解答】解：因为，A，B是单位圆上的动点，
所以的最大值为2与反向．
故选：D．
【练习6】已知正方形ABCD的边长为4，点P满足，则的最大值为（　　）
A．﹣16 B．0 C．12 D．﹣12
【答案】D
【分析】建立平面直角坐标系，利用向量数量积的坐标，结合二次函数配方法即可求得结论．
【解答】解：建立如图所示平面直角坐标系，
由正方形边长为4，，
可得，故P（4λ，
又C（7，4），4），
则＝﹣16λ2+16λ﹣16＝，
故当时，取得最大值为﹣12．
故选：D．
【练习7】如图，已知等腰△ABC中，AB＝AC＝3，点P是边BC上的动点，则（　　）
A．为定值10 B．为定值6
C．最大值为18 D．与P的位置有关
【答案】A
【分析】先利用向量共线的条件把向量用表示出来，然后代入结论化简即可．
【解答】解：由题意可设，
∴
＝．①
又因为在等腰△ABC中，AB＝AC＝4，
∴
，，代入①式化简得：
9x+（8﹣x）×9+1＝10．
故选：A．
【练习8】（多选）下列关于平面向量的说法中正确的是（　　）
A．已知均为非零向量，若，则
B．若且，则存在唯一的实数λ，使得
C．若．且，则
D．设向量满足，则
【答案】AB
【分析】由共线向量的定义可判断AB，由向量的数量积运算可判断CD．
【解答】解：对于A，因为，，所以；
对于B，因为且，使得＝；
对于C，由＝，得（﹣），
所以（﹣），所以不一定有＝；
对于D，因为|﹣，所以（）2＝16，
所以＝16，
又因为＝3＝18，
所以|+|＝＝＝，故D错误．
故选：AB．
【练习9】（多选）已知平面向量，，则下列说法正确的是（　　）
A．
B．
C．向量与的夹角为钝角
D．向量在上的投影向量为
【答案】ABD
【分析】根据给定条件，利用数量积的坐标表示，结合各选项的条件逐一求解判断．
【解答】解：由题意，，，
由，可得；
由，可得；
由，，
可得＝＝，
而，因此，故C错误；
由，，
可得向量在上的投影向量为＝＝．
故选：ABD．
【练习10】（多选）若平面向量，，其中n，m∈R（　　）
A．若，则∥
B．若，则与同向的单位向量为
C．若n＝1，且与的夹角为锐角，则实数m的取值范围为
D．若，则z＝2n+4m的最小值为4
【答案】BD
【分析】根据向量的线性运算可判断AB选项，再根据向量夹角公式可判断C选项，结合向量垂直的坐标表示及基本不等式可判断D选项．
【解答】解：由，，
A选项：，
则，解得，则，，
所以，不共线；
B选项：，则，解得m＝0，
即，，，
所以与同向的单位向量为；
C选项：n＝6时，，
又与的夹角为锐角，
则，解得，
即，C选项错误；
D选项：由，得，即6m+n＝2，
所以，
当且仅当8n＝22m，即n＝2m＝1时，等号成立．
故选：BD．
【练习11】勒洛三角形是一种典型的定宽曲线，以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，三段圆弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形．在如图所示的勒洛三角形中，已知AB＝2（含端点）上的一点，则的范围为 　[0，2]　 ．
【答案】[0，2]．
【分析】利用向量数量积的运算量，结合即可求解．
【解答】解：取BC中点为O，
则＝
＝
＝，
其中易得，故．
故答案为：[7，2]．
【练习12】已知边长为2的正三角形ABC的中心为O，正方形MNPQ的边长为，则＝　2　 ．
【答案】2．
【分析】根据题意画出正三角形ABC和正方形MNPQ，由题意知BP⊥AC，||＝1，||＝，由此计算|+|的值．
【解答】解：正三角形ABC的中心为O，边长为BC＝2sin，
在线段BP上画线段PM，使PM＝2，
以PM为对角线，画正方形MNPQ，
所以BP⊥AC，且|，||＝，
所以＝＝＝8．
故答案为：2．
【练习13】如图，在矩形ABCD中，AB＝2BC＝2，N为边AB上任意点（包含端点），则的最大值为 　　 ．
【答案】．
【分析】利用向量的坐标运算，转化求解即可．
【解答】解：以AB，AD所在直线为坐标轴，如图，
AB＝2BC＝2，AC与BD的交点为M，D（3，A（0，B（2，C（3，
＝（1，﹣），
＝（x，﹣1），2]，
则＝x+，]，
则的最大值为：．
故答案为：．
【练习14】如图，在△ABC中，，，P为CD上一点，若AC＝2，AB＝4，则　3　 ．
【答案】3．
【分析】由，P为CD上一点，且满足，可求得m＝，再用及表示出及，进而求数量积即可．
【解答】解：由，可得，
又C，P，D三点共线，
则有＝m+，
∵，
∴＝，即m＝，
又＝﹣+，
且，AC＝2，
故＝（）
＝﹣+﹣
＝
＝3．
故答案为：3．
【练习15】设，若在方向上的投影为，且在方向上的投影为3，则和　　 ．
【答案】．
【分析】根据题意，利用向量的投影公式求出，然后利用向量的夹角公式算出、的夹角，可得答案．
【解答】解：根据题意，可得＝，，结合，＝，．
设的夹角为α＝＝，结合α∈[7，可得α＝．
故答案为：．
【练习16】已知平面向量，．
（1）若与垂直．求k；
（2）若向量，若与共线，求．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）利用和平面向量的坐标运算即可求解；
（2）利用向量共线求，得，由向量模的坐标表示即可求解．
【解答】解：（1）因为，，
所以，
因为与垂直，
所以，
整理得：﹣k2+12＝0，解得；
（2）因为，，，
所以，
因为与共线，
所以存在唯一实数λ，使得，
所以，解得，
所以，，
所以．
【练习17】已知为单位向量，且与的夹角为60°．
（1）求|﹣2|的值；
（2）若向量与的夹角为锐角，求实数λ的取值范围．
【答案】（1）；
（2）．
【分析】（1）对于求向量的模长，可先对其平方，再利用向量数量积运算求解；
（2）对于两向量夹角为锐角的问题，可根据向量数量积大于0且两向量不同向共线来确定参数的取值范围．
【解答】解：（1），
因为，为单位向量，
又因为与的夹角为60°，
则，
所以，
所以；
（2）因为向量与的夹角为锐角，
所以且与不同向共线，
因为，
所以，
整理得：，即，解得，
若两向量同向共线，则存在实数k＞2，
使得，即，
所以可得，将λ＝k（k＞0）代入2＝kλ得λ8＝2，解得，
所以当两向量不同向共线时，，
综合，实数λ的取值范围是．
【练习18】已知向量＝（﹣2，2），＝（4，3）．
（1）若向量∥，且＝3，求的坐标；
（2）若向量+k与﹣k，求实数k的值．
【答案】（1）（﹣3，3）或（3，﹣3）．
（2）±．
【分析】（1）由题意利用两个向量平行的性质，用待定系数法求出向量的坐标．
（2）由题意利用两个向量垂直的性质，用待定系数法求出k的值．
【解答】解：（1）∵向量＝（﹣2，＝（4，向量∥，且，
可设＝（﹣2λ，∵＝3＝|λ|，
∴＝（﹣3，﹣5）．
（2）∵向量+k与互相垂直+k﹣k﹣k2 ＝8﹣25k2＝5，
∴实数k＝±．
【练习19】已知，，．
（1）求与的夹角和的值；
（2）设，，若与共线，求实数m的值．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）利用已知条件，化简求解向量的数量积，然后求解向量的夹角以及向量的模．
（2）化简向量，利用向量共线的充要条件，转化求解即可．
【解答】解：（1），，，
，，，
所以，
所以与的夹角为，；
（2）由（1）可得：与不共线，，，
若与共线，
所以m＝2λ，4＝﹣λ．
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