资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
第14讲 函数图象及应用
【题1】已知向量，，．
(1)求函数f（x）的对称中心；
(2)利用“五点法”画出函数f（x）在一个周期内的图象．
【题2】某同学用“五点法”画函数在某一周期内的图像时，列表并填入的部分数据如下表：
0 π 2π
0 1 0 -1 0
0 0 0
(1)请填写上表的空格处；并画出函数图像或者写出函数的解析式
【题3】设在区间单调，且都有
(1)求的解析式；
(2)用“五点法”作出在的简图，并写出函数在的所有零点之和.
【题4】为得到 的图象，只需将函数的图象（ ）
A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
【题5】将函数图象上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的，然后将所得图象向左平移个单位，可得函数的图象，则（ ）
A． B． C． D．
【题6】要得到的图像，只需要将的图像（ ）
A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
【题7】将函数图象上得所有点向右平移个单位，所得图象的函数解析式为（ ）
A． B． C． D．
【题8】将函数的图象向左平移个单位长度后，所得到的图象关于原点对称，则m的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【题9】已知函数的大致图像如图所示，将函数的图像向右平移后得到函数的图像，则（ ）
A． B． C． D．
【题10】已知函数的部分图像如图所示，下列说法不正确的是（ ）
A．的最小正周期为
B．
C．关于直线对称
D．将的图像向左平移个单位长度后得到的图象关于原点对称
【题11】已知函数（，，），将函数的图像向左平移个单位长度，得到函数的部分图像如图所示，则函数的单调增区间为（ ）
A．（） B．（）
C．（） D．（）
【题12】已知函数（其中）的部分图像如图所示，将函数图像上所有点的横坐标伸长到原来的3倍，再向右平移个单位，得到函数的图像，则的解析式可能为（ ）
A．
B．
C．
D．
【题13】已知函数的部分图象如图所示，将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，再将所得函数图象向右平移个单位长度，得到函数的图象．
(1)求函数的解析式；
(2)若对于恒成立，求实数m的取值范围．
【题14】已知函数，函数的图象可以由函数的图象先向右平移个单位长度，再将所得函数图象保持纵坐标不变，横坐标变为原来的得到，若是函数图象的一条对称轴，则的最小值为（ ）
A．3 B．6 C．9 D．15
【题15】将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移个单位长度，得到函数的图象，若为奇函数，则ω的最小值为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【题16】设，若函数的图象向左平移个单位长度后与函数的图象重合，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【题17】函数图象上各点的纵坐标不变，把横坐标变为原来的3倍，得到的图象解析式为，则的值为（ ）
A．3 B． C．9 D．
【题18】将函数的图像向左平移个单位长度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【题19】已知函数为奇函数，且当时，.
(1)求的解析式；
(2)将函数的图象向右平移个单位长度，再把纵坐标缩小为原来的（横坐标不变），得到函数的图象，求函数在区间上的最大值和最小值.
【题20】已知函数，将的图象向右平移个单位长度，再将所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象．
(1)求的解析式；
(2)若函数，求在区间上的所有最大值点．
【题21】已知函数的最小正周期为，将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象.求
(1)函数的表达式，并写出它的单调区间；
(2)函数在区间上的值域.
【题22】已知函数 ．
(1)若，，求的值；
(2)将函数的图象向左平移个单位，再将图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，若曲线与的图象关于直线对称，求函数在上的值域．
【题23】已知函数．
(1)求函数的最小正周期；
(2)现将图像上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变；再向右平移个单位长度得到的图像，若当时，恒成立，求实数m的取值范围．
【题24】已知函数，若将函数的图象向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到函数的图象.
(1)求函数的解析式和值域并求取得最值时x的集合.
(2)若对任意的，恒成立，求实数m的取值范围.
【题25】请从“①函数的图象关于直线对称；②函数的图象关于点对称；③对任意实数，恒成立”这三个条件中任选一个，补充到下面横线处，并作答．
已知函数（，），其图象中相邻的两个对称中心间的距离为，且______．
(1)求的解析式
(2)将的图象向左平移个单位长度，得到曲线，若在区间上存在满足，求实数的取值范围．
【题26】已知函数的图象两相邻对称轴之间的距离为2．
(1)求函数的解析式；
(2)将函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变）得到函数的图象，若对任意的恒成立，求实数的取值范围．
【题27】已知函数，将函数的图像向右平移的单位长度，可得到函数的图像．
(1)求函数的表达式以及函数的零点；
(2)当时，方程有解，求实数m的取值范围；
【题28】已知函数，将的图像向左平移个单位长度，再将纵坐标缩小为原来的，横坐标不变，得到的图象．
(1)求的函数解析式；
(2)若关于x的方程在区间上有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围．
【题29】已知函数在区间上的最大值为6.
（1）求常数的值以及函数当时的最小值
（2）将函数的图象向下平移4个单位，再向右平移个单位，得到函数的图象
（i）求函数的解析式；
（ii）若关于的方程在时，有两个不同实数解，求实数的取值范围.
【题30】已知．
(1)求最小正周期；
(2)若函数在上有两个不同的零点，求实数的取值范围．
【题31】已知函数的相邻两对称轴间的距离为.
(1)求的解析式.
(2)将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的（纵坐标变），得到函数的图象，当时，求函数的值域.
(3)对于第（2）问中的函数，记方程在上的根从小到依次为，求的值域.
【题32】已知函数，将的图象向右平移个单位长度，再把所有点的横坐标缩小为原来的(纵坐标不变)，得到函数的图象.
(1)当时，求函数的值域；
(2)方程在上的根从小到大依次为试确定的值，并求的值.
【题33】函数在同一个周期内，当时y取最大值1，当时，y取最小值﹣1．
（1）求函数的解析式y=f(x)；
（2）函数y=sinx的图象经过怎样的变换可得到y=f(x)的图象？
（3）若函数f（x）满足方程f(x)=a（0＜a＜1），求在[0，2π]内的所有实数根之和．
【练习1】已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，）的部分图象如图所示（1）+f（2）+f（3）（2024）等于（　　）
A． B．0 C． D．
【练习2】如图是函数f（x）＝cos（ωx+φ）（ω＞0）的部分图象（x）在上的值域为（　　）
A．[﹣1，1] B． C． D．
【练习3】若将函数的图象向右平移个单位长度后（x）的图象，则＝（　　）
A． B． C．1 D．2
【练习4】已知函数f（x）＝sin（2x+φ）（0＜φ＜π）的图象关于点，则（　　）
A．函数f（x）的图象可由y＝sin2x向左平移个单位长度得到
B．函数f（x）的图象可由y＝cos2x向左平移个单位长度得到
C．f（x）在区间上单调递减
D．f（x）在区间上单调递增
【练习5】如图是函数y＝sin（ωx+φ）的部分图象，则函数的解析式可为（　　）
A． B．
C． D．
【练习6】将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数g（x），若函数g（x）在区间，则ω的最大值为（　　）
A．6 B．5 C．3 D．2
【练习7】已知函数．给出下列结论：
①f（x）的最小正周期为π；
②f（x）在上单调递增；
③把函数y＝sin2x的图象上所有点向左平移个单位长度，可得到函数y＝f（x）
其中所有正确结论的序号是（　　）
A．① B．①② C．②③ D．①②③
【练习8】（多选）已知函数f（x）＝sin（3x+φ）（﹣＜φ＜）的图象关于直线x＝，则（　　）
A．函数f（x+）为奇函数
B．函数f（x）在[，]上单调递增
C．若|f（x1）﹣f（x2）|＝2，则|x1﹣x2|的最小值为
D．函数f（x）的图象向右平移个单位长度得到函数y＝﹣cos3x的图象
【练习9】（多选）函数f（x）＝3sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象如图所示，则（　　）
A．
B．f（x）图象的一条对称轴是直线
C．f（x）图象的一个对称中心是点
D．函数是偶函数
【练习10】（多选）已知函数，则（　　）
A．f（x）的图象关于直线对称
B．为了得到函数的图象，可将f（x）的图象向右平移个单位长度
C．f（x）在上的值域为
D．f（x）两个相邻的零点之差的绝对值为π
【练习11】函数f（x）＝Asin（ωx+φ）+b的图象如图（0）+f（1）+f（2）（2020）+f（2021）+f（2022）（2023）的值为 　2024　 ．
【练习12】已知函数f（x）＝Acos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象如图所示．
（1）求f（x）的解析式；
（2）设．若关于x的不等式g2（x）﹣（3m+2）g（x）﹣m﹣23≤0恒成立，求m的取值范围．
【练习13】∫如图为函数f（x）＝2cos（ωx+φ）的部分图象，且，．
（1）求ω，φ的值；
（2）将f（x）的图象上所有点的横坐标扩大到原来的3倍（纵坐标不变），再向右平移，得到函数g（x）的图象（x）﹣a在区间的零点个数．
【练习14】已知函数f（x）＝2cosxcos（x﹣）﹣x+sinxcosx+1．
（1）求f（x）的最小正周期和最大值；
（2）将f（x）的函数图象向左平移φ（φ＞0）个单位后得到的函数g（x），求φ的最小值．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
第14讲 函数图象及应用
【题1】已知向量，，．
(1)求函数f（x）的对称中心；
(2)利用“五点法”画出函数f（x）在一个周期内的图象．
【答案】(1)
(2)图见解析
（1）
∵，
∴
∴，
由，得，
∴对称中心为，
（2）
列表如下：
x
0
y 0 0 －2 0
画出图象：
【题2】某同学用“五点法”画函数在某一周期内的图像时，列表并填入的部分数据如下表：
0 π 2π
0 1 0 -1 0
0 0 0
(1)请填写上表的空格处；并画出函数图像或者写出函数的解析式
【答案】(1)答案见解析
解：根据表中的数据可得 ，解得，
故，所以，
又，故.
所以完善表如下：

0 π 2π
0 1 0 -1 0
0 0 0
所以.
函数图像如图：
【题3】设在区间单调，且都有
(1)求的解析式；
(2)用“五点法”作出在的简图，并写出函数在的所有零点之和.
【答案】(1)
(2)图象见解析，所有零点之和为
(1)
解：依题意在时取最大值，在时取最小值，又函数在区间单调，所以，即，又，所以，
由得，即，
又因为，所以，，
所以.
(2)
解：列表如下
0
0 0 1
所以函数图象如下所示：
由图知的一条对称轴为有两个实数根，记为，
则由对称性知，所以所有实根之和为.
【题4】为得到 的图象，只需将函数的图象（ ）
A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
【答案】D
【详解】因为，
故将函数的图象向右平移个单位长度，即得到的图象，
故选：D
【题5】将函数图象上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的，然后将所得图象向左平移个单位，可得函数的图象，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：将函数图象上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的，得的图象，
然后将所得图象向左平移个单位，得的图象，
又因为得到的函数，
所以，
所以.
故选：D.
【题6】要得到的图像，只需要将的图像（ ）
A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
【答案】D
【详解】根据题意，得，
又因为，
所以向右平移个单位长度可得到，即.
故选：D.
【题7】将函数图象上得所有点向右平移个单位，所得图象的函数解析式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由已知所得函数解折式为，
故选：D
【题8】将函数的图象向左平移个单位长度后，所得到的图象关于原点对称，则m的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】将向左平移个单位长度得：，
图象关于原点对称，
，解得：，又，
当时，取得最小值.
故选：D.
【题9】已知函数的大致图像如图所示，将函数的图像向右平移后得到函数的图像，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：依题意，，，故，
故，故，
将代入可知，，
解得，故，
故，
则.
故选：A.
【题10】已知函数的部分图像如图所示，下列说法不正确的是（ ）
A．的最小正周期为
B．
C．关于直线对称
D．将的图像向左平移个单位长度后得到的图象关于原点对称
【答案】D
【详解】解：由图可知，，即，故选项A正确；
由，可得，则，
因为，即，
所以，，得，，
因为，所以，所以，故选项B正确；
由，可得，即关于直线对称，故选项C正确；
将的图象向左平移个单位长度后得到，
所以为偶函数，图象不关于原点对称.
故选：D.
【题11】已知函数（，，），将函数的图像向左平移个单位长度，得到函数的部分图像如图所示，则函数的单调增区间为（ ）
A．（） B．（）
C．（） D．（）
【答案】A
【详解】，将函数的图像向左平移个单位长度，得到函数．
由图像可知：A=1，，，，
，，
∴，，即，，
∵，∴
∴
令，，
可得，，
函数的单调增区间为，
故选：A
【题12】已知函数（其中）的部分图像如图所示，将函数图像上所有点的横坐标伸长到原来的3倍，再向右平移个单位，得到函数的图像，则的解析式可能为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】由图可知，，又，所以，
，，，
又最小正周期，所以，又，
所以，，
将函数图像上所有点的横坐标伸长到原来的3倍，得解析式，再向右平移个单位，得，
故选：C.
【题13】已知函数的部分图象如图所示，将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，再将所得函数图象向右平移个单位长度，得到函数的图象．
(1)求函数的解析式；
(2)若对于恒成立，求实数m的取值范围．
【答案】(1)，
(2).
（1）
由的图象可得，，
所以，所以，得，
所以，
因为的图象过，
所以，所以，
所以，得，
因为，所以，
所以，
将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，可得，
再将所得函数图象向右平移个单位长度，得
，
所以
（2）
由，得，
所以，
所以，
所以，
当时，恒成立，
当时，则由，
得，
因为函数在上为增函数，
所以
所以，
当，则由，
得，
因为函数在上为增函数，
所以
所以，
综上，
即实数m的取值范围为.
【题14】已知函数，函数的图象可以由函数的图象先向右平移个单位长度，再将所得函数图象保持纵坐标不变，横坐标变为原来的得到，若是函数图象的一条对称轴，则的最小值为（ ）
A．3 B．6 C．9 D．15
【答案】B
【详解】由题知，
因为是函数图象的一条对称轴，
则，
所以，
又，所以的最小值为6．
故选：B．
【题15】将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移个单位长度，得到函数的图象，若为奇函数，则ω的最小值为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C
【详解】由题意，，
因为为奇函数，所以，解得，
又，所以当k＝0时，ω取得最小值2．
故选：C
【题16】设，若函数的图象向左平移个单位长度后与函数的图象重合，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】函数的图象向左平移个单位长度后对应的解析式为：
，
但该函数图象与的图象重合，故，
故，但，故，
故选：B.
【题17】函数图象上各点的纵坐标不变，把横坐标变为原来的3倍，得到的图象解析式为，则的值为（ ）
A．3 B． C．9 D．
【答案】B
【详解】解：函数图象上各点的纵坐标不变，把横坐标变为原来的3倍，得到的图象解析式为，所以，
故选：B.
【题18】将函数的图像向左平移个单位长度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】将函数的图像向左平移个单位长度后得到曲线C，对应的函数解析式为，曲线关于轴对称，
则，，又，
所以的最小值是．
故选：D．
【题19】已知函数为奇函数，且当时，.
(1)求的解析式；
(2)将函数的图象向右平移个单位长度，再把纵坐标缩小为原来的（横坐标不变），得到函数的图象，求函数在区间上的最大值和最小值.
【答案】(1)
(2)最大值为，最小值为.
（1）
由题意，
因为时，，
∴，∴，
又为奇函数，
∴，即，
∵，
∴
∴
（2）
将函数的图象向右平移个单位长度，再把纵坐标缩小为原来的（横坐标不变），
可得，
令，即，故函数的增区间为；
令，即，故函数的减区间为.
故在区间上是减函数，在区间上是增函数.
又 ，，.
所以，函数在区间上的最大值为，最小值为.
【题20】已知函数，将的图象向右平移个单位长度，再将所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象．
(1)求的解析式；
(2)若函数，求在区间上的所有最大值点．
【答案】(1);
(2)与.
（1）
的图象向右平移个单位长度，得到,
再将所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数
（2）
，
当时，，所以，
因为，所以，
故当，即时，取得最大值，最大值为2；
当时，，所以，
因为，所以，
故当，即时，取得最大值，最大值为2；
两者取到的最大值相同均为2，
综上：求在区间上的所有最大值点有与.
【题21】已知函数的最小正周期为，将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象.求
(1)函数的表达式，并写出它的单调区间；
(2)函数在区间上的值域.
【答案】(1)，单调减区间为；单调增区间为；
(2)．
（1）
因为
的最小正周期为，
所以，即，将函数的图象向左平移个单位长度后，函数，
由，得，
由得，
所以的单调减区间为；单调增区间为；
（2）
当时，，当时，即时，函数取得最大值，最大值为；
当时，即，函数取得最小值，最小值为，所以函数的值域为.
【题22】已知函数 ．
(1)若，，求的值；
(2)将函数的图象向左平移个单位，再将图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，若曲线与的图象关于直线对称，求函数在上的值域．
【答案】(1)或0或；
(2)．
（1）
，
由，得，即，
故或，，
即或，，
又∵
∴或0或.
（2）
将函数的图象向左平移个单位，可得函数图象的解析式为，
再将图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数，∵又曲线与的图象关于直线对称，
∴，
∵当时，，即，
故函数的值域为.
【题23】已知函数．
(1)求函数的最小正周期；
(2)现将图像上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变；再向右平移个单位长度得到的图像，若当时，恒成立，求实数m的取值范围．
【答案】(1)
(2)
（1）
由
所以
所以最小正周期为；
（2）
将图像上所有点的横坐标缩短为到原来的，纵坐标不变得，
再向右平移个单位长度得到.
要使恒成立，只需，
只需的最小值大于等于即可，
由，则
. 所以的最小值为，
则，得，
所以实数m的取值范围是..
【题24】已知函数，若将函数的图象向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到函数的图象.
(1)求函数的解析式和值域并求取得最值时x的集合.
(2)若对任意的，恒成立，求实数m的取值范围.
【答案】(1)，值域为，取最小值集合，取最大值集合
(2)
(1)
解：将向左平移个单位长度得到，
再将向上平移个单位长度得到，
即，
因为，所以.
所以函数值域为；
令，，解得，，
即时函数取得最小值，
令，，解得，，
即时函数取得最大值；
(2)
解：记，则
由恒成立，可知，在上恒成立.
即恒成立，因为，所以，
令，因为在上单调递减，在上单调递增.
又，.
当时，不等式恒成立.
所以实数m的取值范围是
【题25】请从“①函数的图象关于直线对称；②函数的图象关于点对称；③对任意实数，恒成立”这三个条件中任选一个，补充到下面横线处，并作答．
已知函数（，），其图象中相邻的两个对称中心间的距离为，且______．
(1)求的解析式
(2)将的图象向左平移个单位长度，得到曲线，若在区间上存在满足，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(1)
解：因为函数（，），其图象中相邻的两个对称中心间的距离为，
所以函数的最小正值周期为∶,故.
若选①：函数的图象关于直线对称，
则，所以，解得，
由于，所以，
故；
若选②：函数的图象关于点对称，则，所以，整理得，
由于，所以，
故；
若选③：对任意实数，恒成立，则，所以，整理得，
由于，所以，
故；
(2)
解：将的图象向左平移个单位长度，得的图象，
由，得，所以，
所以.
【题26】已知函数的图象两相邻对称轴之间的距离为2．
(1)求函数的解析式；
(2)将函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变）得到函数的图象，若对任意的恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)；
(2).
(1)
由已知得：，
由函数图象两相邻对称轴之间的距离为2，所以该函数的最小正周期为4，
于是，解得，
所以函数的解析式为．
(2)
由题意知：，
当时，，，，
要使对任意的恒成立，只需，
所以，因此实数的取值范围为．
【题27】已知函数，将函数的图像向右平移的单位长度，可得到函数的图像．
(1)求函数的表达式以及函数的零点；
(2)当时，方程有解，求实数m的取值范围；
【答案】(1)，函数的零点为，
(2)
(1)
因为
所以函数的图像向右平移的单位长度，得
，
令，则，
解得，
所以函数的零点为
(2)
由，得，
所以，即，
令，则问题转化为在上有解，
即在上有解，
令，，
因为在上递减，在上递增，
所以，
因为，，
所以，
所以实数m的取值范围为
【题28】已知函数，将的图像向左平移个单位长度，再将纵坐标缩小为原来的，横坐标不变，得到的图象．
(1)求的函数解析式；
(2)若关于x的方程在区间上有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(1)
函数向左平移个单位得到函数 ，再将纵坐标缩短为原来的 ，得到函数，或写成；
(2)
即，有两个解，
，结合正弦曲线，数形结合，
易知
∴．
【题29】已知函数在区间上的最大值为6.
（1）求常数的值以及函数当时的最小值
（2）将函数的图象向下平移4个单位，再向右平移个单位，得到函数的图象
（i）求函数的解析式；
（ii）若关于的方程在时，有两个不同实数解，求实数的取值范围.
【答案】（1）3, 3（2）（i）（ii）
【详解】（1），
又
时，，
解得，
当时，.
（2）（i）的图象向下平移4个单位，再向右平移个单位得函数
，
（ii）由可得，
在同一直角坐标系内作出的图象，
由图可知，当时，即时，图象有2个交点，
即有2个根.
【题30】已知．
(1)求最小正周期；
(2)若函数在上有两个不同的零点，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
（1）
故，所以最小正周期为．
（2）
由，可得，
而函数在上单调递增，；在上单调递减，．
所以若函数在上有两个不同的零点，即与有两个交点，则．
【题31】已知函数的相邻两对称轴间的距离为.
(1)求的解析式.
(2)将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的（纵坐标变），得到函数的图象，当时，求函数的值域.
(3)对于第（2）问中的函数，记方程在上的根从小到依次为，求的值域.
【答案】(1)
(2)
(3)
（1）
由题意，函数
，
因为函数图象的相邻两对称轴间的距离为，所以，可得，
故函数.
（2）
将函数的图象向右平移个单位长度，可得的图象，
再把横坐标缩小为原来的，得到函数的图象，
当时，，
当时，函数取得最小值，最小值为，
当时，函数取得最大值，最大值为，
故函数的值域.
（3）
由方程，即，即，
因为，可得，
设，其中，即，
结合正弦函数的图象，如图所示：
可得方程在区间有5个解时，即，
其中，
即，，
解得，
所以.
从而
【题32】已知函数，将的图象向右平移个单位长度，再把所有点的横坐标缩小为原来的(纵坐标不变)，得到函数的图象.
(1)当时，求函数的值域；
(2)方程在上的根从小到大依次为试确定的值，并求的值.
【答案】(1)
(2)
(1)
将函数的图象向右平移个单位长度，可得的图象，
再把横坐标缩小为原来的，得到函数的图象，

因为， 所以，
所以，， 所以，的值域为
(2)
由方程，即，即，
因为，可得，
设，其中，即，
结合正弦函数的图象,可知
可得方程在区间有3个解，即，
其中，
即
解得
所以
.
【题33】函数在同一个周期内，当时y取最大值1，当时，y取最小值﹣1．
（1）求函数的解析式y=f(x)；
（2）函数y=sinx的图象经过怎样的变换可得到y=f(x)的图象？
（3）若函数f（x）满足方程f(x)=a（0＜a＜1），求在[0，2π]内的所有实数根之和．
【答案】（1） ；（2）见解析；（3） .
【详解】（1）∵ ，∴，
又因，∴，又，得
∴函数 ；
（2）y=sinx的图象向右平移个单位得的图象，
再由图象上所有点的横坐标变为原来的．
纵坐标不变，得到的图象，
∵的周期为，
∴在[0，2π]内恰有3个周期，
∴在[0，2π]内有6个实根且，
同理，，
故所有实数之和为．
名校真题练
【练习1】已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，）的部分图象如图所示（1）+f（2）+f（3）（2024）等于（　　）
A． B．0 C． D．
【答案】B
【分析】由图象可得函数解析式，进而由正弦型函数的对称性求解．
【解答】解：由图象可知，A＝2，故，f（x）＝2sin（，
又f（0）＝6且，∴φ＝0，故．
又根据函数的对称性可知，f（2）＝﹣f（6）＝8，
所以f（1）+f（2）+f（3）+ +f（8）＝0，
所以f（1）+f（2）+f（3）+ +f（2024）＝253×[f（1）+f（2）+f（3）+ +f（8）]＝0．
故选：B．
【练习2】如图是函数f（x）＝cos（ωx+φ）（ω＞0）的部分图象（x）在上的值域为（　　）
A．[﹣1，1] B． C． D．
【答案】D
【分析】根据所给图象可确定周期，进而根据周期公式求解得ω＝3，根据五点作图可得，进而知，由得，即可求解值域．
【解答】解：由图象知函数的周期，
即，
所以ω＝3，
由五点对应法得，
可得，
则，
因为，
所以，
所以．
故选：D．
【练习3】若将函数的图象向右平移个单位长度后（x）的图象，则＝（　　）
A． B． C．1 D．2
【答案】C
【分析】根据三角恒等变换公式化简得f（x）＝2sin（2x+），根据函数图象的平移变换求得g（x）的解析式，进而求出g（）的值．
【解答】解：由题意得f（x）＝sin2x+cos6x＝2sin（2x+），
将f（x）的图象向右平移个单位长度，
可得f（x﹣）＝2sin[2（x﹣]＝2sin（2x+，
所以g（x）＝2sin（2x+），可得．
故选：C．
【练习4】已知函数f（x）＝sin（2x+φ）（0＜φ＜π）的图象关于点，则（　　）
A．函数f（x）的图象可由y＝sin2x向左平移个单位长度得到
B．函数f（x）的图象可由y＝cos2x向左平移个单位长度得到
C．f（x）在区间上单调递减
D．f（x）在区间上单调递增
【答案】C
【分析】根据正弦函数图象的中心对称性，可得f（）＝0，由此列式算出φ＝，可得f（x）＝sin（2x+）．然后根据函数图象平移的公式加以计算，判断出A、B两项的正误；根据正弦函数的单调性判断出C、D两项的正误，即可得到本题的答案．
【解答】解：由题意得x＝时，f（x）＝7，
所以2×+φ＝kπ（k∈Z），取k＝2得φ＝）．
对于A，曲线y＝sin3x向左平移，可得y＝sin（2x+，
y＝sin（8x+）与y＝f（x）不是同一个函数；
对于B，y＝cos3x向左平移，可得y＝cos（2x+，
而y＝cos（2x+）＝sin[）]＝sin（2x+），故B项不正确；
对于C，令+3kπ≤2x+≤，可得+kπ（k∈Z），
所以f（x）的单调递减区间为[+kπ，，
可知f（x）在区间上单调递减；
对于D，根据f（x）在区间）＝﹣1，
可知f（x）在区间上先减后增．
故选：C．
【练习5】如图是函数y＝sin（ωx+φ）的部分图象，则函数的解析式可为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】观察图象，确定函数y＝sin（ωx+φ）的周期，排除B；由图象可得当时，函数取最小值，求出φ，由此判断AC；结合诱导公式判断D．
【解答】解：观察图象可得函数y＝sin（ωx+φ）的最小正周期为，
所以，故ω＝7或ω＝﹣2；
观察图象可得当时，函数取最小值，
当ω＝2时，可得，
所以，k∈Z；
当ω＝﹣2时，可得，
所以，k∈Z，，
故函数的解析式可能为，A正确；
，D错误．
故选：A．
【练习6】将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数g（x），若函数g（x）在区间，则ω的最大值为（　　）
A．6 B．5 C．3 D．2
【答案】B
【分析】根据“左加右减，上加下减”求出函数g（x）的解析式，再利用函数的单调性即可求出ω的最大值．
【解答】解：将函数的图象向右平移，
当时，．
因为g（x）在区间上单调递减，
所以，所以0＜ω≤5．
故选：B．
【练习7】已知函数．给出下列结论：
①f（x）的最小正周期为π；
②f（x）在上单调递增；
③把函数y＝sin2x的图象上所有点向左平移个单位长度，可得到函数y＝f（x）
其中所有正确结论的序号是（　　）
A．① B．①② C．②③ D．①②③
【答案】B
【分析】由已知结合正弦函数的周期公式可判断①，直接代入区间即可判断②，结合函数图象的平移可判断③．
【解答】解：因为，
①由周期公式可得，f（x）的最小正周期；
②由x∈，则3x+，] [﹣，]；
③根据函数图象的平移法则可得，函数y＝sin8x的图象上的所有点向左平移，得到．
故选：B．
【练习8】（多选）已知函数f（x）＝sin（3x+φ）（﹣＜φ＜）的图象关于直线x＝，则（　　）
A．函数f（x+）为奇函数
B．函数f（x）在[，]上单调递增
C．若|f（x1）﹣f（x2）|＝2，则|x1﹣x2|的最小值为
D．函数f（x）的图象向右平移个单位长度得到函数y＝﹣cos3x的图象
【答案】AC
【分析】使用代入法先求出φ的值，得函数解析式；再根据三角函数的性质逐一判断．
【解答】解：∵函数f（x）＝sin（3x+φ）（﹣＜φ＜对称+φ＝，k∈Z；
∵﹣＜φ＜；∴f（x）＝sin（3x﹣）；
对于A，函数f（x+）﹣，根据正弦函数的奇偶性）是奇函数．
对于B，由于x∈[，]∈[5，]）在[，，故B错误；
对于C，因为f（x）max＝1，f（x）min＝﹣5又因为|f（x1）﹣f（x2）|＝2，f（x）＝sin（3x﹣，所以则|x1﹣x4|的最小值为，C正确；
对于D，函数f（x）的图象向右平移）＝sin[3（x﹣]＝﹣sin3x．
故选：AC．
【练习9】（多选）函数f（x）＝3sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象如图所示，则（　　）
A．
B．f（x）图象的一条对称轴是直线
C．f（x）图象的一个对称中心是点
D．函数是偶函数
【答案】BD
【分析】由函数的部分图象列方程，可得ω，φ的值，即求出函数的解析式，由三角函数的性质分别判断出所给命题的真假．
【解答】解：由图知：，解得ω＝2，
所以f（x）＝3sin（2x+），
A中，可得A不正确；
B中，函数的对称轴方程为2x+＝，k∈Z，
解得x＝﹣+，k∈Z，
当k＝﹣1时，x＝﹣；
C中，令2x+，解得x＝﹣+，
不论k为任何整数，（，0）都不成立；
D中，函数）+）＝3cos2x，所以D正确．
故选：BD．
【练习10】（多选）已知函数，则（　　）
A．f（x）的图象关于直线对称
B．为了得到函数的图象，可将f（x）的图象向右平移个单位长度
C．f（x）在上的值域为
D．f（x）两个相邻的零点之差的绝对值为π
【答案】AD
【分析】由x的值求出的值可判断A；通过函数的平移原则可判断B；直接根据正弦函数的性质可判断C；令解出x可判断D．
【解答】解：因为2×+＝，所以f（x）＝2sin（4x+对称．
由y＝f（x﹣）＝2sin[2（x﹣]+2＝7sin（2x﹣）+2＝g（x）知．
由0＜x＜，得＜2x+＜+2＜2sin（4x+，选项C错误．
由f（x）＝0，得，则，
即，所以f（x）两个相邻的零点之差的绝对值为π．
故选：AD．
【练习11】函数f（x）＝Asin（ωx+φ）+b的图象如图（0）+f（1）+f（2）（2020）+f（2021）+f（2022）（2023）的值为 　2024　 ．
【答案】2024．
【分析】根据图象可确定f（x）最小正周期T＝4，由此可得S＝506×[f（0）+f（1）+f（2）+f（3）]，由此可求得结果．
【解答】解：由函数f（x）＝Asin（ωx+φ）+b的图象可知：f（x）最小正周期T＝4，
f（0）+f（1）+f（2）+f（3）＝4，
∴S＝f（0）+f（1）+f（2）+…+f（2020）+f（2021）+f（2022）+f（2023）
＝506×[f（0）+f（1）+f（2）+f（3）]＝506×4＝2024．
故答案为：2024．
【练习12】已知函数f（x）＝Acos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象如图所示．
（1）求f（x）的解析式；
（2）设．若关于x的不等式g2（x）﹣（3m+2）g（x）﹣m﹣23≤0恒成立，求m的取值范围．
【答案】（1）f（x）＝2cos（2x+）；
（2）m的取值范围是[﹣，1]．
【分析】（1）由图求出A、T、ω和φ的值，即可写出f（x）的解析式；
（2）由（1）可得g（x）的解析式，设t＝g（x），问题等价于h（t）≤0在[﹣3，5]上恒成立，列出不等式组求出m的取值范围．
【解答】解：（1）由图可知A＝2，T＝﹣＝，
解得T＝π，所以ω＝，所以f（x）＝6cos（2x+φ）；
因为f（x）的图象过点（，2）+φ）＝2，k∈Z；
因为0＜φ＜π，所以φ＝，
所以f（x）＝6cos（2x+）；
（2）由（1）可得g（x）＝7cos（2x+）+8﹣6x）+1
＝2cos（5x+）+2）+1
＝6sin（2x++）+1
＝4cos7x+1；
设t＝g（x），因为﹣1≤cos2x≤1；
又因为不等式g2（x）﹣（3m+2）g（x）﹣m﹣23≤0恒成立，
即h（t）＝t2﹣（3m+2）t﹣m﹣23≤4在[﹣3，5]上恒成立，
则，即，
解得﹣≤m≤1，
所以m的取值范围是[﹣，1]．
【练习13】∫如图为函数f（x）＝2cos（ωx+φ）的部分图象，且，．
（1）求ω，φ的值；
（2）将f（x）的图象上所有点的横坐标扩大到原来的3倍（纵坐标不变），再向右平移，得到函数g（x）的图象（x）﹣a在区间的零点个数．
【答案】（1）ω＝2，
（2）当a＝﹣2或﹣1＜a≤1时，y＝g（x）﹣a有1个零点；
当﹣2＜a≤﹣1时，y＝g（x）﹣a有2个零点；
当a＜﹣2或a＞1时，y＝g（x）﹣a有0个零点．
【分析】（1）由周期求出ω，根据求出φ；
（2）首先求出g（x）的解析式，函数y＝g（x）﹣a在区间的零点个数即为函数g（x）的图象与直线y＝a在上的交点个数，由x的取值范围，求出的取值范围，再结合余弦函数的图象即可得解．
【解答】解：（1）根据题意得，，故T＝π，．
将代入，得，
又|φ|＜，故．
（2）依题意，．
函数y＝g（x）﹣a在区间的零点个数即为函数g（x）的图象与直线y＝a在．
当时，，结合余弦函数图象可知，
当时，g（x）单调递减，当时，
且g（﹣π）＝﹣1，，，
作出函数g（x）在上的大致图象如图所示．
观察可知，当a＝﹣2或﹣2＜a≤1时；
当﹣2＜a≤﹣4时，y＝g（x）﹣a有2个零点；
当a＜﹣2或a＞4时，y＝g（x）﹣a有0个零点．
【练习14】已知函数f（x）＝2cosxcos（x﹣）﹣x+sinxcosx+1．
（1）求f（x）的最小正周期和最大值；
（2）将f（x）的函数图象向左平移φ（φ＞0）个单位后得到的函数g（x），求φ的最小值．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）利用三角恒等变换花简f（x）的解析式，再利用正弦函数的周期性和最值，得出结论．
（2）利用函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，求得g（x）的解析式，再利用三角函数的奇偶性，求 的最小值．
【解答】解：（1）由题意：
＝＝，
由此可得：，f（x）max＝2．
（2）由题意可知：，
因为g（x）为偶函数，所以，
∴，
又因为 ＞0，所以当k＝0时．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑