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第15讲 平面向量及运算
【题1】设 是 的相反向量，则下列说法错误的是（　　）
A．与的长度必相等 B．
C．与一定不相等 D．是的相反向量
【题2】（多选）下列说法中正确的是（ ）
A．若为单位向量，则 B．若与共线，则或
C．若，则 D．是与非零向量共线的单位向量
【题3】有下列命题：
①单位向量一定相等；
②起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量；
③相等的非零向量，若起点不同，则终点一定不同；
④方向相反的两个单位向量互为相反向量；
⑤起点相同且模相等的向量的终点的轨迹是圆．
其中正确的命题的个数为______．
【题4】给出如下命题：
①向量的长度与向量的长度相等；
②向量与平行，则与的方向相同或相反；
③两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；
④两个公共终点的向量，一定是共线向量；
⑤向量与向量是共线向量，则点，，，必在同一条直线上．
其中正确的命题个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【题5】设，都是非零向量，成立的充分条件是（ ）
A． B．
C． D．且
【题6】如图，等腰梯形中，对角线与交于点，点、分别在两腰、上，过点，且，则下列等式中成立的是（　　）
A． B．
C． D．
【题7】如图，和是在各边的处相交的两个全等的三角形，设的边长为，图中列出了长度均为的若干个向量，则：
（1）与相等的向量有______；
（2）与共线，且模相等的向量有______．
【题8】，，，均为非零向量，且，，，则四边形ABCD的形状是______．
【题9】在四边形中， ，则四边形是（ ）
A．菱形 B．矩形 C．正方形 D．平行四边形
【题10】在正方形中，是的中点．若，，则（ ）
A． B．
C． D．
【题11】如图，在中，为的中点，点在上，且，则等于（ ）
A． B．
C． D．
【题12】如图，在平行四边形中，设．试用求表示及．
【题13】已知G是的重心，则 等于（ ）
A． B．
C． D．
【题14】已知，若记，则______．
【题15】已知，若记，则的值为______．
【题16】化简：___________.
【题18】已知，则下列结论中成立的是（ ）
A．，，三点共线 B．，，三点共线
C．，，三点共线 D．，，三点共线
【题19】如图，在平行四边形中，，．设，．
(1)用，表示，；
(2)用向量的方法证明：，，三点共线．
【题21】如图所示，在中，，分别是，的中点，.
(1)用表示；
(2)求证：，，三点共线．
【题22】已知平行四边形中，点为的中点，， （），若，则（　　）
A．1 B．2 C． D．
【题23】设，是平面内两个不共线的向量，，，，若，，三点共线，则的最小值是（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
【题24】设两个非零向量与不共线，
（1）若，，，求证：，，三点共线；
（2）试确定实数，使和共线．
【题25】已知是平面内两个不共线向量，，，A，B，C三点共线，则m＝（ ）
A．－ B． C．－6 D．6
【题26】已知向量，不共线，且向量与平行，则实数（ ）
A． B． C． D．
【题27】已知不共线向量，，，若A，B，C三点共线，则实数 __________.
【题28】在中，，，，则（ ）
A． B． C． D．15
【题29】已知在等腰中，，点在线段上，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【题30】若向量在向量上的投影向量为，且，则数量积___________．
【题31】如图，在矩形中，，，点为的中点，点在边上，若＝，则的值是________．
【题32】在中，，，，点是的中点，则（ ）
A． B．4 C．6 D．
【题33】设向量，夹角的余弦值为，且，，则（ ）
A． B． C． D．
【题34】已知，向量与的夹角为，则________.
【题35】已知四边形为菱形，，，且，则__________．
【题36】设向量，满足，，则（ ）
A．2 B． C．3 D．
【题37】已知两个非零向量、满足，则（ ）
A． B． C． D．
【题38】已知平面向量、、是两两夹角均为的单位向量，则_____________．
【题39】正方形的边长为1，则（ ）
A．1 B．3 C． D．
【题4】已知向量，满足，，，则（ ）
A．3 B． C． D．4
【题41】已知向量，满足，，，则_________.
【题42】已知单位向量，，且，则___________.
【题43】若向量，满足，，，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【题44】已知平面向量，的夹角为，且，，则与的夹角是（　 ）
A． B． C． D．
【题45】已知，，若，则与的夹角为______．
【题46】若向量，满足，，且，则向量与夹角的余弦值为（ ）.
A． B． C． D．
【题47】已知，，当时，向量与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【题48】已知，，，则______．
【题49】知，，当时，在方向上的投影数量为______；当时，在方向上的数量投影为______；当时，在方向上的数量投影为______．
【题50】已知向量与的夹角为，且，，则在方向上的投影向量与投影数量分别是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【题51】已知，，、的夹角为，则在方向上的数量投影为________．
【题52】已知，则向量在向量上的投影向量为__________．
【题53】设单位向量与非零向量的夹角是，且，则的最小值为（ ）
A． B．
C． D．1
【题54】若向量，互相垂直，且满足，则的最小值为（ ）
A． B．1 C．2 D．
【题55】已知平面向量，，，若，，，，则的最大值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．7
【题56】已知两个不共线的向量，的夹角为，且，.
(1)若与垂直，求；
(2)若，求的最小值及对应的的值，并指出此时向量与的位置关系.
【题57】已知，是两个互相垂直的单位向量，且，，则对任意的正实数的最小值是（ ）
A．2 B． C．4 D．
【题58】已知单位向量，满足，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【题59】已知向量，，满足：|+|=3，且，则|－|的取值范围是______．
【题60】在中，，，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【题61】如图所示，半圆的直径，为圆心，是半圆上不同于，的任意一点，若为半径上的动点，则(＋)·的最小值是（ ）
A． B． C．－ D．
【题62】已知圆的半径为3，，为该圆的两条切线，为切点，则的最小值为___________.
【题63】边长为1的正六边形ABCDEF，点M满足，若点P是其内部一点（包含边界），则的最大值是_________．
【题64】如图所示是毕达哥拉斯的生长程序：正方形上连着等腰直角三角形，等腰直角三角形上再连接正方形，…，如此继续，正方形的边长为1，为正方形上的任一点，则的最大值为______.
【题65】已知正方形的边长为1，点是边上的动点．的最大值为______．
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第15讲 平面向量及运算
【题1】设 是 的相反向量，则下列说法错误的是（　　）
A．与的长度必相等 B．
C．与一定不相等 D．是的相反向量
【答案】C
【详解】根据相反向量的定义可知，与的长度必相等，相反向量为共线向量，故A，B正确；
当与都为零向量时，它们是相反向量，此时相等，故C错误，
是 的相反向量，则是的相反向量，D正确，
故选：C.
【题2】（多选）下列说法中正确的是（ ）
A．若为单位向量，则 B．若与共线，则或
C．若，则 D．是与非零向量共线的单位向量
【答案】CD
【详解】对于A中，向量的方向不一定相同，所以A错误；
对于B中，向量与的长度不一定相等，所以B错误；
对于C中，由，根据零向量的定义，可得，所以C正确；
对于D中，由，可得与向量同向，
又由的模等于，所以是与非零向量共线的单位向量，所以D正确.
故选：CD.
【题3】有下列命题：
①单位向量一定相等；
②起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量；
③相等的非零向量，若起点不同，则终点一定不同；
④方向相反的两个单位向量互为相反向量；
⑤起点相同且模相等的向量的终点的轨迹是圆．
其中正确的命题的个数为______．
【答案】
【详解】对于①，两个单位向量方向不同时不相等，①错误；
对于②，方向相同且模长相等的向量为相等向量，与起点无关，②正确；
对于③，相等的非零向量方向相同且模长相等，若起点不同，则终点不同，③正确；
对于④，单位向量模长相等，又方向相反，则这两个向量为相反向量，④正确；
对于⑤，若两个向量起点相同，且模长相等且不为零，则终点的轨迹为球面，⑤错误；
则正确的命题个数为个.
故答案为：.
【题4】给出如下命题：
①向量的长度与向量的长度相等；
②向量与平行，则与的方向相同或相反；
③两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；
④两个公共终点的向量，一定是共线向量；
⑤向量与向量是共线向量，则点，，，必在同一条直线上．
其中正确的命题个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【详解】对于①，向量与向量，长度相等，方向相反，故①正确；
对于②，向量与平行时，或为零向量时，不满足条件，故②错误；
对于③，两个有共同起点且相等的向量，其终点也相同，故③正确；
对于④，两个有公共终点的向量，不一定是共线向量，故④错误；
对于⑤，向量与是共线向量，点，，，不一定在同一条直线上，故⑤错误．
综上，正确的命题是①③．
故选：B．
【题5】设，都是非零向量，成立的充分条件是（ ）
A． B．
C． D．且
【答案】B
【详解】解：因为表示与同向的单位向量，表示与同向的单位向量，
所以要使成立，即、方向上的单位向量相等，则必需保证、的方向相同，
故成立的充分条件可以是；
故选：B．
【题6】如图，等腰梯形中，对角线与交于点，点、分别在两腰、上，过点，且，则下列等式中成立的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】在等腰梯形中，、不平行，、不平行，AB均错；
因为，则，则，则，
即，即，
，则，，即为的中点，
所以，，C错，D对.
故选：D.
【题7】如图，和是在各边的处相交的两个全等的三角形，设的边长为，图中列出了长度均为的若干个向量，则：
（1）与相等的向量有______；
（2）与共线，且模相等的向量有______．
【答案】 、 、、、、
【详解】（1）由图可知，与相等的向量有、；
（2）由图可知，与共线，且模相等的向量有、、、、，
故答案为：、；、、、、.
【题8】，，，均为非零向量，且，，，则四边形ABCD的形状是______．
【答案】矩形
【详解】由已知，，
则且共线反向，且共线反向，
则四边形ABCD为平行四边形，
又，对角线相等，
所以四边形ABCD为矩形.
故答案为：矩形.
【题9】在四边形中， ，则四边形是（ ）
A．菱形 B．矩形 C．正方形 D．平行四边形
【答案】D
【详解】因为四边形中，,
所以四边形为平行四边形，
故选：D
【题10】在正方形中，是的中点．若，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】
如图，，，且在正方形中，
，，
，，
故选：C
【题11】如图，在中，为的中点，点在上，且，则等于（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】解：在中，为的中点，所以，
又，所以，
所以；
故选：C
【题12】如图，在平行四边形中，设．试用求表示及．
【答案】
【详解】在平行四边形中,,
所以
进而得
【题13】已知G是的重心，则 等于（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】延长交于，则为的中点，，
，
故选：D
【题14】已知，若记，则______．
【答案】
【详解】，
∴，
则有，
∴.
故答案为：
【题15】已知，若记，则的值为______．
【答案】
【详解】由得,
故答案为：
【题16】化简：___________.
【答案】
【详解】解：，
，
，
故答案为：
【题18】已知，则下列结论中成立的是（ ）
A．，，三点共线 B．，，三点共线
C．，，三点共线 D．，，三点共线
【答案】C
【详解】解：,
所以A，D，C三点共线.
故选:C.
【题19】如图，在平行四边形中，，．设，．
(1)用，表示，；
(2)用向量的方法证明：，，三点共线．
【答案】(1)，；
(2)答案见详解.
【详解】（1）解：根据向量加法的平行四边形法则，可得.
.
（2）证明：由（1）知，，所以，
所以，
所以，，共线.
又直线，直线有公共点，
所以，，，三点共线.
【题21】如图所示，在中，，分别是，的中点，.
(1)用表示；
(2)求证：，，三点共线．
【答案】(1)，，，，
(2)证明见解析
【详解】（1）解：在△ABC中，D，F分别是BC，AC的中点，
则，
故，
，
，
；
（2）证明：因为，，
所以，
所以，
又因有公共点，
所以B，E，F三点共线．
【题22】已知平行四边形中，点为的中点，， （），若，则（　　）
A．1 B．2 C． D．
【答案】B
【详解】解：依题意设，
则，
即，所以，故；
故选：B．
【题23】设，是平面内两个不共线的向量，，，，若，，三点共线，则的最小值是（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
【答案】A
【详解】因为A，B，C三点共线，所以向量、共线，
所以存在，使得，即，
即，
因为、不共线，所以，消去，得，
因为，，所以，当且仅当，时，等号成立.
故选：A
【题24】设两个非零向量与不共线，
（1）若，，，求证：，，三点共线；
（2）试确定实数，使和共线．
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【详解】（1）证明：，，，
，共线，
又∵它们有公共点B，
∴A，B，D三点共线．
（2）和共线，
∴存在实数λ，使，
即，.
，是两个不共线的非零向量，
，.
【题25】已知是平面内两个不共线向量，，，A，B，C三点共线，则m＝（ ）
A．－ B． C．－6 D．6
【答案】C
【详解】因为A，B，C三点共线，
所以，共线，又是平面内两个不共线向量，
所以可设，因为，，
所以，
所以，
所以，
故选：C.
【题26】已知向量，不共线，且向量与平行，则实数（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】与平行，，向量不共线，
∴存在实数k，使得，
，解得，
故选：B．
【题27】已知不共线向量，，，若A，B，C三点共线，则实数 __________.
【答案】##
【详解】因为A，B，C三点共线，所以存在实数k，使得，
所以，
即，
因为不共线，所以，解得
故答案为：
【题28】在中，，，，则（ ）
A． B． C． D．15
【答案】C
【详解】．
故选：C
【题29】已知在等腰中，，点在线段上，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】如图，
因为，故，
可得，
则，
故选：B.
【题30】若向量在向量上的投影向量为，且，则数量积___________．
【答案】16
【详解】设的夹角为，
因为向量在向量上的投影向量为，
所以，
因为，则.
故答案为：16
【题31】如图，在矩形中，，，点为的中点，点在边上，若＝，则的值是________．
【答案】
【详解】∵，，
∴，
∴，，
∴，
∵,
,，
故答案为：.
【题32】在中，，，，点是的中点，则（ ）
A． B．4 C．6 D．
【答案】D
【详解】在中，，则，
又，，所以，
因为点是的中点，所以，
所以
，故A，B，C错误.
故选：D．
【题33】设向量，夹角的余弦值为，且，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】因为向量，夹角的余弦值为，且，，
所以.
所以．
故选：B.
【题34】已知，向量与的夹角为，则________.
【答案】##
【详解】由已知可得.
故答案为：.
【题35】已知四边形为菱形，，，且，则__________．
【答案】
【详解】，为中点，
.
故答案为：.
【题36】设向量，满足，，则（ ）
A．2 B． C．3 D．
【答案】D
【详解】因为，，
以上两式相减可得，，
所以，
即，
故选：D.
【题37】已知两个非零向量、满足，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】因为，所以，
所以，化简可得，又、为非零向量，
故，
故选：B.
【题38】已知平面向量、、是两两夹角均为的单位向量，则_____________．
【答案】
【详解】因为平面向量、、两两夹角均为，，
所以，，则，
故答案为：．
【题39】正方形的边长为1，则（ ）
A．1 B．3 C． D．
【答案】D
【详解】在正方形中，如图所示,
，
故选：D.
【题4】已知向量，满足，，，则（ ）
A．3 B． C． D．4
【答案】D
【详解】∵向量满足，，，
，，
，
，
故选：D
【题41】已知向量，满足，，，则_________.
【答案】
【详解】由可得，，即，解得：，所以．
故答案为：．
【题42】已知单位向量，，且，则___________.
【答案】
【详解】因为单位向量，，且，
所以，即，
因为，
所以，
故答案为：.
【题43】若向量，满足，，，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：因为，，，所以，
即，所以，设与的夹角为，
则，因为，所以；
故选：B
【题44】已知平面向量，的夹角为，且，，则与的夹角是（　 ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】，
，
所以，，则.
故选：D.
【题45】已知，，若，则与的夹角为______．
【答案】
【详解】因为，
所以，又，，
所以，又，
所以向量与的夹角为.
故答案为：.
【题46】若向量，满足，，且，则向量与夹角的余弦值为（ ）.
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】因为，且，
所以，
因为，
所以向量与夹角的余弦值为，
故选：D
【题47】已知，，当时，向量与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】根据题意，设向量与的夹角为，
若，则，
变形可得：，
又由，则，
故选：B．
【题48】已知，，，则______．
【答案】
【详解】因为，，，
所以，
因为，所以.
故答案为：.
【题49】知，，当时，在方向上的投影数量为______；当时，在方向上的数量投影为______；当时，在方向上的数量投影为______．
【答案】 0
【详解】在方向上的投影数量为：
当时或者，所以
当时，所以
当时，所以
故答案为：
【题50】已知向量与的夹角为，且，，则在方向上的投影向量与投影数量分别是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】D
【详解】设在方向上的投影向量为，则，
故，故在方向上的投影向量为，
在方向上的投影数量为.
故选：D.
【题51】已知，，、的夹角为，则在方向上的数量投影为________．
【答案】
【详解】由已知得，在方向上的数量投影为
因为，，、的夹角为，
所以
所以在方向上的数量投影为
故答案为：2
【题52】已知，则向量在向量上的投影向量为__________．
【答案】##
【详解】解：因为
所以，解得，
所以，向量在向量上的投影向量为
故答案为：
【题53】设单位向量与非零向量的夹角是，且，则的最小值为（ ）
A． B．
C． D．1
【答案】B
【详解】由可得，，
且，代入上式可得，
，
当且仅当时，的最小值为.
故选:B.
【题54】若向量，互相垂直，且满足，则的最小值为（ ）
A． B．1 C．2 D．
【答案】B
【详解】由题设，且，
∴，而，当时等号成立，
∴.
故选：B．
【题55】已知平面向量，，，若，，，，则的最大值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．7
【答案】C
【详解】因，，，则，
又，于是有，
当且仅当与同向共线时取“=”，
所以的最大值为4.
故选：C
【题56】已知两个不共线的向量，的夹角为，且，.
(1)若与垂直，求；
(2)若，求的最小值及对应的的值，并指出此时向量与的位置关系.
【答案】(1)
(2)时，的最小值为，与垂直
(1)解：∵与垂直，∴，
∴，即.
∵，，∴，∴.
∵，∴，∴.
(2)解：当时，，
所以
，
∴时，的最小值为，
此时，
∴与垂直.
【题57】已知，是两个互相垂直的单位向量，且，，则对任意的正实数的最小值是（ ）
A．2 B． C．4 D．
【答案】B
【详解】因，是两个互相垂直的单位向量，则，
，
当且仅当，即时取等号，则
所以当时，的最小值是.
故选：B
【题58】已知单位向量，满足，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由，得，两边平方，得，
即，整理得，
所以或
因为，所以，所以，
所以.
故选:B.
【题59】已知向量，，满足：|+|=3，且，则|－|的取值范围是______．
【答案】
【详解】
而，故，
故答案为：
【题60】在中，，，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】设，则，
由余弦定理得：，
；
，，，
即的取值范围为.
故选：D.
【题61】如图所示，半圆的直径，为圆心，是半圆上不同于，的任意一点，若为半径上的动点，则(＋)·的最小值是（ ）
A． B． C．－ D．
【答案】C
【详解】因为点是线段的中点，所以向量，
所以，
又因为向量，方向相反，
所以
．
故选：C．
【题62】已知圆的半径为3，，为该圆的两条切线，为切点，则的最小值为___________.
【答案】
【详解】如图所示，设（），，
则，，，
，
当且仅当即时等号成立，
∴的最小值是.
故答案为：．
【题63】边长为1的正六边形ABCDEF，点M满足，若点P是其内部一点（包含边界），则的最大值是_________．
【答案】1
【详解】由题，作图如下
因为，所以为线段中点，
由边长为1的正六边形ABCDEF，知，
因为点P是正六边形ABCDEF内部一点（包含边界），
显然，当点与点重合时，在方向上的投影最大，且两者同向共线，
又因为，
所以
故答案为：1.
【题64】如图所示是毕达哥拉斯的生长程序：正方形上连着等腰直角三角形，等腰直角三角形上再连接正方形，…，如此继续，正方形的边长为1，为正方形上的任一点，则的最大值为______.
【答案】##2.5
【详解】设
由图形得到：，
展开得到
向量和向量夹角等于和的夹角等于，
向量和向量夹角等于和的夹角等于，
，当时取得最大值为：.
故答案为：.
【题65】已知正方形的边长为1，点是边上的动点．的最大值为______．
【答案】1
【详解】设，
所以，
所以，
所以的最大值为1.
故答案为：1.
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