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2027年中考专题复习：三角函数解直角三角形选填题计算题练习
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.“十次事故九次快，超速行驶害三代”，安全行驶警钟长鸣深圳交警在某次交通检查中，使用无人机检测小车经过某隧道的平均速度无人机悬停在隧道的正上方，高度为米保持静止当汽车刚进入山洞时，无人机测得俯角为；当汽车完全离开山洞时，无人机测得俯角为若汽车通过山洞的时间为秒，则小车过山洞的平均速度为米秒．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】解：如图：过点作，垂足为，
由题意得：米，
在中，，
米，
在中，，
米，
米，
汽车通过山洞的时间为秒，则
小车过山洞的平均速度米秒，
故选：．
过点作，垂足为，根据题意可得：米，然后分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出和的长，从而求出的长，最后进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
2.如图，工件上有一形槽截面，，测得上口宽，形角，则形槽的深可表示为( )
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】解：，，
，，
在中，，
．
故选：．
利用等腰三角形的三线合一性质可得，，然后在中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握等腰三角形的三线合一性质，以及锐角三角函数的定义是解题的关键．
3.如图，为了测量树的高度，在水平地面上取一点，在处测得，，则树的高为( )
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】解：由题意可得，，，
，
．
故选：．
由题意可得，，，再根据正切的定义计算即可得出结果．
本题考查解直角三角形的应用，掌握正切的定义是解题的关键．
4.如图，在一条笔直的海岸线东西方向的北边有一座灯塔小华在海岸线上的点测得灯塔在北偏东的方向上；小华继续沿着正东方向走了海里到达点处，此时测得灯塔在北偏东的方向上那么灯塔到海岸线的距离为( )
A. 海里 B. 海里 C. 海里 D. 海里
【答案】C
【解析】解：如图，过点作交延长线于点．
由题意，知，，，
由三角形的内角和等于，得．
．
是等腰三角形．
海里．
，
．
在中，，海里，，
灯塔到海岸线的距离海里．
故选：．
根据三角形内角和定理证出，由此得到，进而构造，并运用的正弦值即可求得灯塔到海岸线的距离．
本题考查了解直角三角形方位角问题、等腰三角形的性质、三角形内角和定理．正确作出辅助线构造直角三角形，并灵活应用等腰三角形的性质及方位角的定义是解答本题的关键．
5.如图，某博物馆大厅电梯的截面图中，的长为米，与的夹角为，则高是( )
A. 米 B. 米 C. 米 D. 米
【答案】A
【解析】解：，
米，
米．
故选：．
直接根据的正弦可得结论．
本题考查了解直角三角形的应用，掌握正弦的定义是解本题的关键．
6.如图，矩形为一个正在倒水的水杯截面图，，杯中水面与交于点，当水杯底面与水平面的夹角为时，则杯中水的最大深度即的长为( )
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】解：如图：
由题意得：，
，
，
在中，，
，
杯中水的最大深度即的长为，
故选：．
根据题意易得：，从而利用等式的性质可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义进行计算，即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用，准确熟练地进行计算是解题的关键．
7.如图，已知正方形的边长为，点，为边的三等分点，与交于点，连接，则的值为( )
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】解：如图，过点作交于点，
由题意知，，，
，
在与中，
≌，
，
为等腰三角形，
；
，，
，
∽，
，
即，
解得；
．
故选：．
过点作交于点，证明≌以及∽，结合解题即可．
本题考查正方形的性质，解直角三角形，相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
8.如图，在平面直角坐标系中， 的边在轴上，点在轴正半轴上，已知，，将沿翻折得到，交于点，则点的坐标为( )
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】解： 的边在轴上，，
，，
在中，，
，
设，则，
，
，
，，
，
翻折，
，
，
过作于，并反向延长交于，
，
，
，
四边形是矩形，
，
，
，，
∽，
，
，
设直线解析式为，将，代入得，
则，
解得，
，
当时，，
解得，
．
故选：．
在中，解直角三角形求出，，结合翻折的性质可求出，过作于，并反向延长交于，根据矩形的判定与性质求出，证明∽，求出，则，根据待定系数法求出直线解析式为，然后把代入，求出的值即可．
本题考查翻折变换折叠问题，平行四边形的性质，坐标与图形变化对称，解直角三角形，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
9.如图，中，，，，是的中点，，分别在边，上，若为等边三角形，则等边的边长为( )
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】解：如图，延长至点，使得，连接．
是的中点，
，
，
≌，
，，
，
，
，
，
连接，
为等边三角形，
，
，
，
，
，
∽．
，
，，
，
设，则，
，
，
，
，
解得，
，，
．
故选：．
延长至点，使得，连接易证三角形全等于三角形，所以，同时易得垂直于连接，易证角，可以证明三角形与三角形相似．相似比是：设，则，，在利用解方程即可解得，进一步根据勾股定理即可求．
本题是三角形的综合题，考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，勾股定理等知识点，综合性强，难度较大，是一道难题．
10.如图，在边长为的小正方形构成的网格中，的半径为，圆心在格点上，则等于( )
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】解：，，
，
由圆周角定理得，，
．
故选：．
根据锐角三角函数的定义求出，再根据圆周角定理得到，得到答案．
本题考查的是锐角三角函数的定义、圆周角定理的应用，利用圆周角定理得到是解题的关键．
二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分。
11.近几年，许多旅游景点推出“背经典免门票”活动，既提升游客参与感，又增强景区文化传播效果市实验高中几位学生在江西研学期间，通过背诵滕王阁序免费参观了滕王阁如图，并通过相关数学知识测量了滕王阁的高度，如图，小组成员甲在点处测得滕王阁最高点的仰角，再沿正对滕王阁方向前进至处测得最高点的仰角，，滕王阁的高度 结果精确到，参考数据：，，
【答案】
【解析】解：在中，，
，
在中，，
，
，
，
解得，
则滕王阁的高度的长度约为，
故答案为：．
利用三角函数解和，用含的式子表示出，，根据，即可求解．
本题考查了解直角三角形的应用，关键是直角三角形性质的熟练掌握．
12.如图，是小红同学安装的化学实验装置，安装要求为试管略向下倾斜，试管夹应固定在距试管口的三分之一处，已知试管，，试管倾斜角为实验时，为了保持装置稳定，导气管紧贴水槽壁，延长交的延长线于点，点，，，在一条直线上，经测得：，，则铁架台和点的水平距离的长度 结果精确到参考数据：，，
【答案】
【解析】解：过点分别作，，垂足分别为、，
，
四边形为矩形，
，，，
，
，
在中，，
，
，
，
，
，
，
，
，，则线段的长度约为．
故答案为：．
过点分别作，，垂足分别为、，在中得出，的长，进而求得的长，根据，即可求解．
本题考查解直角三角形的应用，通过作辅助线构造直角三角形，掌握直角三角形中的边角关系是解题的关键．
13.如图是一辆小汽车与墙平行停放的平面示意图，停靠时汽车靠墙一侧与墙平行，小汽车车门宽为米当车门打开角度至少为时，人方可顺利下车为了车门不碰到墙且能顺利下车，车可以停靠离墙最近的距离是 米结果保留一位小数，参考数据：，，
【答案】
【解析】解：如图所示，过点作，
由题意可知，车门宽米，车门打开角度，墙面，
，
在中，，
离墙最近的距离
米，
车可以停靠离墙最近的距离是米．
故答案为：．
由题意可知，车门宽米，车门打开角度，墙面，根据平行线的性质可得与墙面的夹角为，它的垂直投影就是离墙最小的安全距离．过点作，在中，由正弦定义可得：，进而得出答案．
本题考查了解直角三角形的应用，平行线的性质，掌握锐角三角函数定义，平行线的性质是解题的关键．
14.如图，课外兴趣小组测量公园内古塔的高度，在距离该古塔塔底点的处，用测角仪测得塔顶部的仰角为，则该古塔的高度约为 结果保留整数，参考数据：，，
【答案】．
【解析】解：由题意得：，
在中，，米，
米，
古塔的高度约为米，
故答案为：．
根据题意可得：，然后在中，利用锐角三角函数的定义进行计算，即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，准确熟练地进行计算是解题的关键．
15.如图，是直角的平分线，，，则 ．
【答案】
【解析】解：如图，过点作于点，于点，
，，，
，
，
平分，，，
，
．
故答案为：．
首先在直角三角形 中利用余弦定义和勾股定理求出 和 的长，然后利用角平分线的性质，结合三角形面积公式，将面积比转化为边长比进行求解．
本题考查的是解直角三角形，角平分线的性质，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
16.在中，，，点在边上，连接，若为直角三角形，则的值为 ．
【答案】或
【解析】解：，，
，
为直角三角形，
分三种情况：；；，
当时，如图所示：
在中，，，则；
当时，与矛盾，此种情况不存在；
当时，如图所示：
在中，，，则；
故答案为：或．
由为直角三角形，分三种情况讨论，结合三角函数定义与的对应关系求解即可得到答案．
本题考查特殊角的三角函数，根据题意，作出图形，数形结合求解是解决问题的关键．
17.如图，在中，，点在延长线上，点在上，交于点，若，，则的长为 ．
【答案】
【解析】解：如图，过点作的垂线，为垂足，过向作垂线，为垂足，过点向作垂线，垂足为

设，根据题意易得为等腰直角三角形，则：，，
，
，
，
，
，，
，
，，

同理可得：
，
，
，即：或
把代入得：或
无解，

解得：，

故答案为：．
通过辅助线构造等腰直角及的两条高线，然后设，由及，推出关于的表达式，再分别求出和关于的表达式，最后通过建立方程，解方程求出即可得到的长度．
本题考查了等腰直角三角形的性质，三角函数在直角三角形中的应用，勾股定理等，根据题意利用辅助线构建直角三角形是解答本题的关键．
18.如图，矩形中，，，动点、分别从点、同时出发，以相同的速度沿、向终点、运动，过点、作直线，过点作直线的垂线，垂足为，连接，则的最大值为 ．
【答案】
【解析】解：连接交直线于点，设的中点为点，连接，如图所示：

四边形是矩形，，
，，，
，，是直角三角形，
在中，，，
，
，
，
由点，的运动可知：，
在和中，
，
≌，
，
直线于点，
，
是直角三角形，
点是的中点，
是的斜边上的中线，
，
点在以点为圆心，以为半径的上，
过点作于点，连接，设的延长线交于点，如图所示：

，，
，和都是直角三角形，
，
，
在中，，，
，，
，
在中，由勾股定理得：，
，
点在上，
当点与点重合时，的值为最大，最大值为线段的长，
即的最大值为
故答案为：．
连接交直线于点，设的中点为点，连接，在中，根据得，进而得，证明和全等得，由已知得是直角三角形，再根据直角三角形斜边中线性质得，由此得点在以点为圆心，以为半径的上，过点作于点，连接，设的延长线交于点，则，解得，，进而得，在中，由勾股定理得，则，然后根据点在上得当点与点重合时，的值为最大，最大值为．
此题主要考查了矩形的性质，解直角三角形，点与圆的位置关系，熟练掌握矩形的性质，矩形的性质，灵活利用锐角三角函数的定义及勾股定理进行计算是解决问题的关键，正确地求出点在以点为圆心，以为半径的上是解决问题的难点．
19.如图，在中，，点在边的延长线上，点在边上不与点，重合，连接，以点为顶点作，的边交边于点，若，，则 ．
【答案】
【解析】解：如图，过点作于点设．
，，
，，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
∽，
．
故答案为：．
如图，过点作于点设证明∽，推出，求出，，可得结论．
本题考查相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题．
20.如图，菱形的对角线，交于点，，，则该菱形的面积是 ．
【答案】
【解析】解：四边形是菱形，，
，，，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
由菱形的性质得，，，再由锐角三角函数定义求出，然后由勾股定理求出，则，即可解决问题．
本题考查了菱形的性质以及解直角三角形等知识，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
三、计算题：本大题共8小题，共48分。
21.计算：．
【答案】
【解析】解：
．
根据实数的运算法则计算即可．
本题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是关键．
22.计算：．
【答案】
【解析】解：
．
，，，，．
本题考查了实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，掌握相应的运算法则是关键．
23.；
先化简，再求值：，在，，，中选一个合适的值代入求值．
【答案】 ，当时，原式的值为
【解析】解：原式
；
原式
．
根据分式有意义的条件，可得，，，
因此只能取．
将代入得：原式．
利用零指数幂法则．二次根式化简方法．特殊角的三角函数值．负整数指数幂法则分别计算每一项，再合并同类项即可得到结果．
根据分式的混合运算法则化简原式，再根据分式有意义的条件确定可取值的，代入计算即可得到结果．
本题考查的是分式的化简求值，实数的运算，零指数幂及负整数指数幂，熟知分式混合运算的法则是解题的关键．
24.计耸：．
【答案】．
【解析】解：
．
先根据零指数幂、算术平方根、负整数指数幂、绝对值、特殊角的三角函数值计算，再合并即可．
本题考查了实数的运算，特殊角的三角函数值，熟练掌握运算法则是解题的关键．
25.计算：．
【答案】，
【解析】解：原式
．
先化简二次根式，计算绝对值，代入特殊角的三角函数值，再分别计算负整数指数幂和零指数幂，最后进行加减运算即可．
本题考查了实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，掌握相应的运算法则是关键．
26.计算：．
【答案】
【解析】解：原式
．
根据实数的运算法则计算即可．
本题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是关键．
27.先化简，再求值：，其中．
【答案】；．
【解析】解：
；
，
原式．
将括号内的式子通分并计算，然后算除法，再利用特殊锐角三角函数值求得的值，然后将其代入化简结果中计算即可．
本题考查分式的化简求值，特殊锐角三角函数值，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
28.计算：．
【答案】解：
．

【解析】先根据绝对值、零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值计算，再合并即可．
本题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
四、解答题：本题共7小题，共56分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
29.本小题分
计算及解方程
计算：．
解方程：
【答案】
【解析】解：原式
；
，
，
方程两边同乘得：，
解得，
检验：当时，，
所以原方程的解为．
先化简，然后去括号，再算加减法即可；．
将分式方程去分母转化为整式方程，解整式方程后检验即可得到原方程的解．
本题考查实数的运算、解分式方程，熟练掌握运算法则和解分式方程的方法是解答本题的关键．
30.本小题分
计算：．
【答案】解：
．
【解析】先根据负整数指数幂、特殊角的三角函数值、算术平方根、绝对值的定义计算，再合并即可．
本题考查了实数的运算，特殊角的三角函数值，熟练掌握运算法则是解题的关键．
31.本小题分
计算：．
【答案】
【解析】解：原式
．
先算三角函数、负整数指数幂、零指数幂、去绝对值，再算加减即可．
本题考查了含三角函数的混合运算、绝对值、负整数指数幂、零指数幂，解题的关键是掌握特殊角的三角函数值．
32.本小题分
计算：．
【答案】
【解析】解：
．
先根据负整数指数幂、算术平方根、特殊角的三角函数值、绝对值的性质计算，再合并即可．
本题考查了实数的运算，特殊角的三角函数值，熟练掌握运算法则是解题的关键．
33.本小题分
计算：．
【答案】
【解析】解：原式．
根据相关运算法则计算即可．
本题考查了实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，掌握相应的运算法则是关键．
34.本小题分
先化简，再求代数式的值，其中．
【答案】解：原式．
，
原式．
【解析】分别化简代数式和的值，代入计算．
本题的关键是化简，然后把给定的值代入求值．同时还考查了特殊三角函数的值．
35.本小题分
计算：．
【答案】解：原式，
，
．
【解析】本题涉及零指数幂、负指数幂、绝对值、特殊角的三角函数个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算．
第1页，共1页2027年中考专题复习：三角函数解直角三角形选填题计算题练习
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.“十次事故九次快，超速行驶害三代”，安全行驶警钟长鸣深圳交警在某次交通检查中，使用无人机检测小车经过某隧道的平均速度无人机悬停在隧道的正上方，高度为米保持静止当汽车刚进入山洞时，无人机测得俯角为；当汽车完全离开山洞时，无人机测得俯角为若汽车通过山洞的时间为秒，则小车过山洞的平均速度为米秒．
A. B. C. D.
2.如图，工件上有一形槽截面，，测得上口宽，形角，则形槽的深可表示为( )
A.
B.
C.
D.
3.如图，为了测量树的高度，在水平地面上取一点，在处测得，，则树的高为( )
A.
B.
C.
D.
4.如图，在一条笔直的海岸线东西方向的北边有一座灯塔小华在海岸线上的点测得灯塔在北偏东的方向上；小华继续沿着正东方向走了海里到达点处，此时测得灯塔在北偏东的方向上那么灯塔到海岸线的距离为( )
A. 海里 B. 海里 C. 海里 D. 海里
5.如图，某博物馆大厅电梯的截面图中，的长为米，与的夹角为，则高是( )
A. 米 B. 米 C. 米 D. 米
6.如图，矩形为一个正在倒水的水杯截面图，，杯中水面与交于点，当水杯底面与水平面的夹角为时，则杯中水的最大深度即的长为( )
A.
B.
C.
D.
7.如图，已知正方形的边长为，点，为边的三等分点，与交于点，连接，则的值为( )
A.
B.
C.
D.
8.如图，在平面直角坐标系中， 的边在轴上，点在轴正半轴上，已知，，将沿翻折得到，交于点，则点的坐标为( )
A.
B.
C.
D.
9.如图，中，，，，是的中点，，分别在边，上，若为等边三角形，则等边的边长为( )
A.
B.
C.
D.
10.如图，在边长为的小正方形构成的网格中，的半径为，圆心在格点上，则等于( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分。
11.近几年，许多旅游景点推出“背经典免门票”活动，既提升游客参与感，又增强景区文化传播效果市实验高中几位学生在江西研学期间，通过背诵滕王阁序免费参观了滕王阁如图，并通过相关数学知识测量了滕王阁的高度，如图，小组成员甲在点处测得滕王阁最高点的仰角，再沿正对滕王阁方向前进至处测得最高点的仰角，，滕王阁的高度 结果精确到，参考数据：，，
12.如图，是小红同学安装的化学实验装置，安装要求为试管略向下倾斜，试管夹应固定在距试管口的三分之一处，已知试管，，试管倾斜角为实验时，为了保持装置稳定，导气管紧贴水槽壁，延长交的延长线于点，点，，，在一条直线上，经测得：，，则铁架台和点的水平距离的长度 结果精确到参考数据：，，
13.如图是一辆小汽车与墙平行停放的平面示意图，停靠时汽车靠墙一侧与墙平行，小汽车车门宽为米当车门打开角度至少为时，人方可顺利下车为了车门不碰到墙且能顺利下车，车可以停靠离墙最近的距离是 米结果保留一位小数，参考数据：，，
14.如图，课外兴趣小组测量公园内古塔的高度，在距离该古塔塔底点的处，用测角仪测得塔顶部的仰角为，则该古塔的高度约为 结果保留整数，参考数据：，，
15.如图，是直角的平分线，，，则 ．
16.在中，，，点在边上，连接，若为直角三角形，则的值为 ．
17.如图，在中，，点在延长线上，点在上，交于点，若，，则的长为 ．
18.如图，矩形中，，，动点、分别从点、同时出发，以相同的速度沿、向终点、运动，过点、作直线，过点作直线的垂线，垂足为，连接，则的最大值为 ．
19.如图，在中，，点在边的延长线上，点在边上不与点，重合，连接，以点为顶点作，的边交边于点，若，，则 ．
20.如图，菱形的对角线，交于点，，，则该菱形的面积是 ．
三、计算题：本大题共8小题，共48分。
21.计算：．
22.计算：．
23.；
先化简，再求值：，在，，，中选一个合适的值代入求值．
24.计耸：．
25.计算：．
26.计算：．
27.先化简，再求值：，其中．
28.计算：．
四、解答题：本题共7小题，共56分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
29.本小题分
计算及解方程
计算：．
解方程：
30.本小题分
计算：．
31.本小题分
计算：．
32.本小题分
计算：．
33.本小题分
计算：．
34.本小题分
先化简，再求代数式的值，其中．
35.本小题分
计算：．
第1页，共1页

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