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深圳市2025-2026学年高一下学期数学期末考前自测卷
一、单选题
1．已知复数z满足，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用复数的除法法则求得复数，进而利用复数的模的公式可求解.
【详解】由，可得.
所以，所以.
故选：C.
2．为考察某植物幼苗的生长速度，将六个品种的幼苗在相同的环境下培养7天，得到它们的高度（单位：厘米）分别为33，36，32，38，42，40，则这组数据的上四分位数为（ ）
A．37 B．38 C．40 D．41
【答案】C
【分析】根据给定条件，利用上四分位数的定义求解判断.
【详解】将数据按照从小到大的顺序排列为：32，33，36，38，40，42，
由，得该组数据的上四分位数为40.
故选：C
3．已知，，且，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由，得，化简可得两向量的夹角.
【详解】由，得，
因为，所以，
所以，
所以，
因为，
所以，所以，
因为，所以，
故选：A.
4．若，则的值可以为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】因为，
由已知，故，
所以或
所以或.
则的值可以为.
5．已知，是两个不同的平面，则下列命题一定正确的是（ ）
①存在平面，使得，；
②存在平面，使得，；
③存在直线，使得，；
④存在直线，使得，.
A．①④ B．②③ C．①② D．③④
【答案】A
【分析】对①，讨论的位置关系，结合面面垂直的判定定理分析；对②，分析时的位置关系判断；对③，分析时的位置关系判断；对④，讨论的位置关系，结合线面平行的判定及定义分析.
【详解】对于命题①，当时，作平面垂直于交线，则，；
当时，存在直线，使得，，
因此存在平面，使得，所以，命题①正确.
对于命题②，当时，若，则，
此时不存在平面，使得，，命题②错误.
对于命题③，当时，若，则与不垂直，
此时不存在直线，使得，，命题③错误.
对于命题④，当时，存在，，，所以，；
当时，存在无数条直线，使得，，命题④正确.
故选：A.
6．在某校新高考物理方向的学生中，有60%的同学选了化学学科，40%同学选了生物学科，80%的同学选了化学学科或生物学科．现从该校新高考物理方向的学生中，随机调查一名同学，已知该同学选了化学学科，则该同学选科组合为“物理、化学、生物”的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用公式求出，利用条件概率的公式求出.
【详解】设事件表示“选化学”，事件表示“选生物”，
题目给出，，，
则，
已知选了化学，所求为条件概率：.
7．在中，角所对的边分别为，已知，则面积的最大值为（ ）
A． B． C．12 D．15.
【答案】C
【分析】先利用正弦定理化边为角，可得出的关系，再利用余弦定理求出，进而可得出，再根据三角形的面积公式结合二次函数的性质即可得解.
【详解】由，由正弦定理得，即，
所以，
由余弦定理得，
所以，
所以，
当，即时，取得最大值.
故选：C.
8．设正四棱锥的底面中心为O，以O为球心的球面与正四棱锥的所有棱均相切，若正四棱锥的体积为，则球O的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】取的中点，的中心为，连接，，，计算即可得出为等腰直角三角形，所以再应用正四棱锥的体积即得,最后应用球O的体积公式计算.
【详解】如图，
取的中点， 的中心为，连接，,
设球的半径为，则，
球与正四棱锥的各棱均相切，则底面正方形棱长为，
过作，则，，
，为等腰直角三角形，
为等腰直角三角形，
所以
正四棱锥的体积为，
所以，
球的半径为，则球O的体积为
故选:B
二、多选题
9．已知，为复数，则下列命题正确的是（ ）
A．
B．若，则
C．若，则
D．若，则的最大值为
【答案】BCD
【分析】令，则求出和，即可判断选项A；设，则根据共轭复数的概念及复数的模长公式即可判断选项B，C；根据复数的几何意义，可得复数在复平面内对应的点的轨迹是以原点为圆心，1为半径的圆，而则表示复数在复平面内对应的点到点的距离，求出圆上的点到点的最大距离，即可判断选项D.
【详解】令，则，，显然，故选项A错误；
设，则，所以，
所以，故选项B，C正确；
根据复数的几何意义，可得复数在复平面内对应的点的轨迹是以原点为圆心，1为半径的圆，
而则表示复数在复平面内对应的点到点的距离，
故的最大值即为圆上的点到点的最大距离，即，故选项D正确.
故选：BCD.
10．甲、乙、丙、丁四名同学各掷骰子5次，分别记录骰子每次出现的点数，根据这四名同学的统计结果，可以判断该同学掷得的点数一定有6的是（ ）
A．甲：极差为4，平均数为4.4 B．乙：中位数为3，平均数为3.4
C．丙：平均数为3，方差不小于4 D．丁：中位数为2，方差大于2.5
【答案】AC
【分析】根据极差，中位数的定义，假设5个数据不含6，确定固定的数，其余数字按平均数或方差构造合理数字检验假设是否成立.
【详解】选项A，假设没有6，则必有1，5，平均数为4.4，所以其余三个数之和应为16，所以假设不成立；
选项B，当5个数字为2，2，3，5，5时，中位数为3，平均数为3.4，满足条件；
选项C，假设没有6，方差最大时5个数字为1，1，3，5，5时，
平均数是3，方差为，假设不成立；
选项D， 当五个数字为1，2，2，5，5时，中位数是2，平均数3，
方差为，满足题意.
11．在正方体中，下列结论正确的是（ ）
A．与所成的角为
B．与所成的角为
C．与平面所成的角为
D．与平面所成的角为
【答案】BCD
【分析】结合正方体性质，根据异面直线夹角，线面角的定义求解判断即可.
【详解】如下图， 且为等边三角形，则与所成的角为，A错误；
由 ，且，则，故与所成的角为正确；
由平面，则与平面所成的角为，C正确；
由平面平面，则，又，
且都在平面内，则平面，
所以与平面所成的角为，且，
故，D正确.
三、填空题
12．从1，2，3，4，5这五个数中随机抽取两个不同的数，则所抽到的两个数的和大于6的概率为__________（结果用数值表示）．
【答案】/0.4
【分析】求出所有的基本事件个数以及符合题意的基本事件个数，利用古典概型求概率即可.
【详解】根据题意，从1，2，3，4，5这五个数中随机抽取两个不同的数共有，
所抽到两个数的和大于6共有，，，共4种，
所以所抽到的两个数的和大于6的概率为.
故答案为：
13．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，点M，N在边BC上，AM为边BC上的中线，AN为的平分线，若，，的面积等于，则______.
【答案】/
【分析】利用向量可建立起的关系式，再结合面积即可求得，再利用面积相等即可求角平分线的长.
【详解】因为为边上的中线，，
即，即，
即，.
因为，，
，
，
因为为平分线，，故，
又，所以，
即，解得，
14．已知在中，．若点为外接圆的圆心，则__________．
【答案】
【分析】利用余弦定理求出，取的中点，连接，由点为外接圆的圆心，得到，利用向量的数量积的定义，结合在直角三角形中的余弦公式求出的值.
【详解】，，
，
取的中点，连接，
点为外接圆的圆心，
，
.
四、解答题
15．某大学就业部从该大学2018年已就业的大学本科毕业生中随机抽取了100人进行了问卷调查，其中有一项是他们的月薪情况，经调查统计发现，他们的月薪收入在3000元到10000元之间，根据统计数据得到如下的频率分布直方图：
若月薪落在区间的左侧，则认为该大学本科生属“就业不理想”的学生，学校将联系本人，咨询月薪过低的原因，从而为本科毕业生就业提供更好的指导意见．其中分别为样本平均数和样本标准差，计算可得s≈1500元（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）．
（1）现该校2018届大学本科毕业生张茗的月薪为3600元，试判断张茗是否属于“就业不理想”的学生？
（2）为感谢同学们对这项调查工作的支持，该校利用分层抽样的方法从样本的前3组中抽出6人，各赠送一份礼品，并从这6人中再抽取2人，各赠送某款智能手机1部，求获赠智能手机的2人中恰有1人月薪不超过5000元的概率；
（3）位于某省的一高校2018届某专业本科毕业生共200人，现他们决定于2019年元旦期间举办一次同学联谊会，并收取一定的活动费用．假定这200人与所抽取样本中的100人月薪分布情况相同，并用样本频率进行估计，现有两种收费方案：
方案一：按每人一个月薪水的10%收取；
方案二：月薪高于样本平均数的每人收取800元，月薪不低于4000元但低于样本平均数的每人收取400元，月薪低于4000元的不收取任何用．
问：哪一种收费方案最终总费用更少？
【答案】（1）见解析；（2）；（3）见解析
【分析】（1），，经比较可知张茗属于就业不理想的学生；（2）月薪不超过5000的有3人，超过5000的有3人，从6人中抽2人共有15种，其中符合恰有1人月薪不超过5000的有9种，由古典概型概率公式可得；（3）方案一收取133000元，方案二收取108000元，经比较可知方案二符合题意．
【详解】（1）=3500×1000×0.00005+4500×1000×0.00010+5500×1000×0.00015+6500×1000×0.00030
+7500×1000×0.00020+8500×1000×0.00015+9500×1000×0.00005=6650，
-2s=6650-3000=3650＞3600，所以张茗属于“就业不理想“的学生．
（2）第一组有1000×0.00005×100=5人，第二组有1000×0.00010×100=10人，第三组有1000×0.00015×100=15人，所以按照分层抽样抽6人时，第一组抽1人，记为A，第二组抽2人，记为B，C，第三组抽3人，记为D，E，F，
从这6人中抽2人共有15种：（A，B），（A，C），（A，D），（A，E），（A，F），（B，C），（B，D），（B，E），（B，F），（C，D），（C，E），（C，F），（D，E），（D，F），（E，F）．其中恰有一人月薪不超过5000元的有9种：（A，D），（A，E），（A，F），（B，D），（B，E），（B，F），（C，D），（C，E），（C，F）．
根据古典概型概率公式可得P==．
（3）同一组中的数据用该组区间的中点值作代表可得：
方案一：月薪在3000-4000之间的收取1000×0.00005×200×3500×0.1=3500；
月薪在4000-5000之间的收取1000×0.00010×200×4500×0.1=9000；
月薪在5000-6000之间的收取1000×0.00015×200×5500×0.1=16500；
月薪在6000-7000之间的收取1000×0.00030×200×6500×0.1=39000；
月薪在7000-8000之间的收取1000×0.00020×200×7500×0.1=30000；
月薪在8000-9000之间的收取1000×0.00015×200×8500×0.1=25500；
月薪在9000-10000之间的收取1000×0.00005×200×9500×0.1=9500；
共收取133000元．
方案二：月薪高于6650的收取800×200×1000×（0.00020+0.00015+0.00005）=64000；
月薪不低于4000但低于6650的收取400×200×1000×（0.00010+0.00015+0.00030）=44000；
共收取108000．
故方案二最终总费用更少．
【点睛】本题考查了频率分布直方图中平均数的计算，考查古典概型的概率的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
16．如图，在圆台中，，分别为上、下底面圆的直径，，分别为上、下底面圆的圆心，，，，分别为上、下底面圆周上的动点，其中异于，，在下底面的射影为点.
(1)设.
（ⅰ）证明：.
（ⅱ）求四棱锥的体积.
(2)求二面角的正弦值的最小值.
【答案】(1)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）4
(2)
【分析】（1）（ⅰ）由投影的性质得，垂直于底面，所以，且，又，在中，利用勾股定理，求得；在中，，证得，在根据线面垂直的判定定理，证得平面，最终得到.（ⅱ）根据长度关系：，，，，所以，，三点共线，于点，为直径，所以于点，所以四边形的面积，四棱锥的体积，计算即可得出体积.
（2）利用空间向量的方法，建立空间直角坐标系；由题意得：点在以为圆心，半径的圆上，根据三角函数的定义，假设，，，分别计算平面和平面的法向量，最终计算得出二面角正弦值的最小值.
【详解】（1）（ⅰ）因为在下底面的射影为点，所以.
又，所以.
连接.因为上底面圆的直径为2，所以，
所以，则，即.
因为平面，平面，所以.
又，所以平面.
因为平面，所以.
（ⅱ）连接.因为，，，所以，，三点共线.
又，所以四边形的面积，
则四棱锥的体积.
（2）以为坐标原点，，所在的直线分别为，轴，
建立如图所示的空间直角坐标系.设，，
则，，，
，
设平面的法向量为，
则由可得
令，得.
由图可知，平面的一个法向量为.
.
设二面角的大小为，
则.
因为，所以，
则，则二面角的正弦值的最小值为.
17．在锐角△ABC中，．
(1)证明：；
(2)求C；
(3)若△ABC的内切圆半径为．
（i）当△ABC的外接圆半径为时，求△ABC的周长；
（ii）求AB的最小值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)（i）18；（ii）6
【分析】（1）根据两角和差的余弦公式计算即可证明；
（2）根据和差化积和两角和差的余弦公式证明，利用二倍角的余弦公式可得，进而求解即可；
（3）（i）根据正、余弦定理和三角形面积公式化简计算即可求解；（ii）根据完全平方公式和基本不等式化简计算即可求解.
【详解】（1） ；
（2）证明一个引理：．
，
所以
，
因为≠0，所以，又，所以．
（3）不妨记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．
（i）由余弦定理得，
则，所以，
记△ABC内切圆的半径为r，
则，
所以．
所以，由正弦定理得，
故△ABC的周长．
（ii）由（i）得，
则，
整理可得，当且仅当时等号成立，
即，解得或，
又，所以，则，
故AB的最小值为6．
18．在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立．发送0时，收到1的概率为，收到0的概率为；发送1时，收到0的概率为，收到1的概率为．现有两种传输方案：单次传输和三次传输．单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输是指每个信号重复发送3次．收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码（例如，若收到1，则译码为1，若收到0，则译码为0）；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到，则译码为1，若依次收到，则译码为1）．
(1)已知．
①若采用单次传输方案，重复发送信号0两次，求至少收到一次0的概率；
②若采用单次传输方案，依次发送，证明：事件“第三次收到的信号为1”与事件“三次收到的数字之和为2”相互独立．
(2)若发送1，采用三次传输方案时译码为0的概率大于采用单次传输方案时译码为0的概率，求的取值范围．
【答案】(1)① ；②证明见解析
(2)
【分析】（1）①记事件为“至少收到一次0”，利用相互独立事件、互斥事件的概率公式计算可得；②记事件为“第三次收到的信号为1”，事件为“三次收到的数字之和为2”，证明即可；
（2）记事件为“采用三次传输方案时译码为0”，事件为“采用单次传输方案时译码为0”，根据题意可得，解不等式可解.
【详解】（1）①记事件为“至少收到一次0”，则．
②证明：记事件为“第三次收到的信号为1”，则．
记事件为“三次收到的数字之和为2”，
则．
因为，
所以事件“第三次收到的信号为1”与事件“三次收到的数字之和为2”相互独立．
（2）记事件为“采用三次传输方案时译码为0”，则．
记事件为“采用单次传输方案时译码为0”，则．
根据题意可得，即，
因为，所以，
解得，故的取值范围为．
【点睛】关键点点睛：利用相互独立事件、互斥事件的概率公式计算各事件的概率.
19．已知直三棱柱，，D，E分别是边，的中点．

(1)证明：平面；
(2)若三棱锥体积为，且，设与平面所成的角为，求的最大值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）证法一：取中点F，证明四边形ADEF是平行四边形，得到，再利用线面平行的判定定理证明即可；证法二：取BC中点F，先证明，，然后利用线面平行的判定定理证明 平面，再利用面面平行的判定定理证明平面平面，即可得证；
（2）根据线面角的定义，先确定即为角，再通过等体积法求出，即可利用重要不等式求出的最小值，再根据即可求出的最大值.
【详解】（1）证法一：如下图所示，取中点F，连接EF，FA，
E是的中点， EF为的中位线，
且，
又 且， 且，
四边形ADEF为平行四边形， .
又 平面，平面， 平面；

证法二：如下图所示，取BC中点F，连接EF，DF，
D是的中点，DF为中位线， ，
又 平面，平面， 平面.
在三棱柱中， 且，
四边形为平行四边形， ，
又 平面，平面， 平面.
，平面DEF，平面平面，
又 平面DEF， 平面；

（2）如下图所示，连接，
是直三棱柱， 平面，
平面， .
，,平面，
平面， 就是在平面内的射影，
即为与平面所成的角.
，
， （当且仅当时等号成立）.
在中， .
故的最大值为.

试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页深圳市2025-2026学年高一下学期数学期末考前自测卷
一、单选题
1．已知复数z满足，则（ ）
A． B． C． D．
2．为考察某植物幼苗的生长速度，将六个品种的幼苗在相同的环境下培养7天，得到它们的高度（单位：厘米）分别为33，36，32，38，42，40，则这组数据的上四分位数为（ ）
A．37 B．38 C．40 D．41
3．已知，，且，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
4．若，则的值可以为（ ）
A． B． C． D．
5．已知，是两个不同的平面，则下列命题一定正确的是（ ）
①存在平面，使得，；
②存在平面，使得，；
③存在直线，使得，；
④存在直线，使得，.
A．①④ B．②③ C．①② D．③④
6．在某校新高考物理方向的学生中，有60%的同学选了化学学科，40%同学选了生物学科，80%的同学选了化学学科或生物学科．现从该校新高考物理方向的学生中，随机调查一名同学，已知该同学选了化学学科，则该同学选科组合为“物理、化学、生物”的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．在中，角所对的边分别为，已知，则面积的最大值为（ ）
A． B． C．12 D．15.
8．设正四棱锥的底面中心为O，以O为球心的球面与正四棱锥的所有棱均相切，若正四棱锥的体积为，则球O的体积为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知，为复数，则下列命题正确的是（ ）
A．
B．若，则
C．若，则
D．若，则的最大值为
10．甲、乙、丙、丁四名同学各掷骰子5次，分别记录骰子每次出现的点数，根据这四名同学的统计结果，可以判断该同学掷得的点数一定有6的是（ ）
A．甲：极差为4，平均数为4.4 B．乙：中位数为3，平均数为3.4
C．丙：平均数为3，方差不小于4 D．丁：中位数为2，方差大于2.5
11．在正方体中，下列结论正确的是（ ）
A．与所成的角为
B．与所成的角为
C．与平面所成的角为
D．与平面所成的角为
三、填空题
12．从1，2，3，4，5这五个数中随机抽取两个不同的数，则所抽到的两个数的和大于6的概率为__________（结果用数值表示）．
13．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，点M，N在边BC上，AM为边BC上的中线，AN为的平分线，若，，的面积等于，则______.
14．已知在中，．若点为外接圆的圆心，则__________．
四、解答题
15．某大学就业部从该大学2018年已就业的大学本科毕业生中随机抽取了100人进行了问卷调查，其中有一项是他们的月薪情况，经调查统计发现，他们的月薪收入在3000元到10000元之间，根据统计数据得到如下的频率分布直方图：
若月薪落在区间的左侧，则认为该大学本科生属“就业不理想”的学生，学校将联系本人，咨询月薪过低的原因，从而为本科毕业生就业提供更好的指导意见．其中分别为样本平均数和样本标准差，计算可得s≈1500元（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）．
（1）现该校2018届大学本科毕业生张茗的月薪为3600元，试判断张茗是否属于“就业不理想”的学生？
（2）为感谢同学们对这项调查工作的支持，该校利用分层抽样的方法从样本的前3组中抽出6人，各赠送一份礼品，并从这6人中再抽取2人，各赠送某款智能手机1部，求获赠智能手机的2人中恰有1人月薪不超过5000元的概率；
（3）位于某省的一高校2018届某专业本科毕业生共200人，现他们决定于2019年元旦期间举办一次同学联谊会，并收取一定的活动费用．假定这200人与所抽取样本中的100人月薪分布情况相同，并用样本频率进行估计，现有两种收费方案：
方案一：按每人一个月薪水的10%收取；
方案二：月薪高于样本平均数的每人收取800元，月薪不低于4000元但低于样本平均数的每人收取400元，月薪低于4000元的不收取任何用．
问：哪一种收费方案最终总费用更少？
16．如图，在圆台中，，分别为上、下底面圆的直径，，分别为上、下底面圆的圆心，，，，分别为上、下底面圆周上的动点，其中异于，，在下底面的射影为点.
(1)设.
（ⅰ）证明：.
（ⅱ）求四棱锥的体积.
(2)求二面角的正弦值的最小值.
17．在锐角△ABC中，．
(1)证明：；
(2)求C；
(3)若△ABC的内切圆半径为．
（i）当△ABC的外接圆半径为时，求△ABC的周长；
（ii）求AB的最小值．
18．在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立．发送0时，收到1的概率为，收到0的概率为；发送1时，收到0的概率为，收到1的概率为．现有两种传输方案：单次传输和三次传输．单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输是指每个信号重复发送3次．收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码（例如，若收到1，则译码为1，若收到0，则译码为0）；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到，则译码为1，若依次收到，则译码为1）．
(1)已知．
①若采用单次传输方案，重复发送信号0两次，求至少收到一次0的概率；
②若采用单次传输方案，依次发送，证明：事件“第三次收到的信号为1”与事件“三次收到的数字之和为2”相互独立．
(2)若发送1，采用三次传输方案时译码为0的概率大于采用单次传输方案时译码为0的概率，求的取值范围．
19．已知直三棱柱，，D，E分别是边，的中点．

(1)证明：平面；
(2)若三棱锥体积为，且，设与平面所成的角为，求的最大值．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页

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