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第 二十五章 一元二次方程
25.2 降次——解一元二次方程
25.2.1配方法
第 二十五章 一元二次方程
25.2 降次——解一元二次方程
25.2.1配方法
第1课时 直接开平方法
学习目标
学习重难点
通过平方根的意义解形如x2=p(p≥0)的一元二次方程
体会“降次”的数学思想.
难点
重点
（1）能根据平方根的意义解形如x2=p(p≥0)的一元二次方程.
（2）能运用开平方法解形如(mx+n)2=p(p≥0)的方程.
（3）体会“降次”的数学思想.
导入新知
问 题1
一桶某种油漆可刷的面积为1500 dm2，
李林用这桶油漆恰好刷完10个同样的正
方体形状的盒子的全部外表面，你能算
出盒子的棱长吗
知识点1
形如x2=p(p≥0)型方程的解法
①
设其中一个盒子的棱长为x dm，则这个盒子的表面积为6x2 dm2，根据一桶油漆可刷的面积，列出方程
10×6x2=1500. ①
整理，得 x2=25 .
根据平方根的意义，得 x=±5 ，
即 x1=5， x2=－5.
可以验证，5和－5是方程①的两个根，
因为棱长不能是负值，所以盒子的棱长为5 dm.
注意
用方程解决实际问题时，要考虑所得结果是否符合实际意义.
巩固练习
解方程
2x2=36 5x2+1=21
解：x2=4
x=±2
x1=2，x2=-2
解：x2=18
x=±
x1=，x2=-
知识点2
形如(mx+n) =p(p≥0)型方程的解法
②
对照上面解方程x2＝25的过程，你认为应怎样解方程(x＋3)2＝5
在解方程x2＝25时，由方程x2＝25得x＝±5.
由此想到：由方程 (x＋3)2＝5，②
得 x＋3＝± ，
即 x＋3＝ ，或x＋3＝－ ，③
于是，方程(x＋3)2＝5的两个根为
x1＝－3＋ ，x2＝－3－ .
探究
利用平方根的意义直接开平方求一元二次方程解的方
法，叫作直接开平方法.
定义
一般地，对于方程 x2=p，
当p>0时，方程x2=p有两个不相等的实数根 x1= ， x2=；
当p=0时，方程x2=p有两个相等的实数根 x1=x2=0；
当p<0时，方程x2=p无实数根.
归纳
上面的解法中，由方程②得到③，实质上是根据平方根的意义，把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程，这样就把方程②转化为我们会解的方程了．
归纳
一般地，对于方程(mx+n)2=p(p≥0) ，
当p≥0时，方程(mx+n)2=p的解是， x2=
当p<0时，方程(mx+n)2=p无实数根.
例 解下列方程．
(1)4x2－3= 0 ； (2)（x+2）2－9 = 0.
解：(1)移项，并将二次根式系数化为1，得x2＝，
由此可得x=±， 即x1＝，x2＝－.
(2)移项，得（x+2）2=9，
由此可得x+2=±， 即x+2=，或x+2=-，
即 x1=，x2=.
随堂演练
一元二次方程(x+3)2=64可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是x+3=8，则另一个一元一次方程是（ ）
A. x-3=-8 B. x-3=8 C. x+3=-8 D. x+3=8
2. 已知b＜0，关于x的一元二次方程(x－1)2＝b的根的情况是(　　)
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．有两个实数根
D．没有实数根
C
D
3. 解下列方程：
(1)x2-81＝0； (2)(x＋1)2=4 .
解：x1＝9, x2＝－9；
解：x1＝1, x2＝－3.
4.下面是一名同学解答的一道一元二次方程的具体过程，你认为他解的对吗 如果有错，指出具体位置并帮他改正.
解：
①
②
③
④
解：不对，从②开始错，应改为
课堂小结
1.形如x2=p(p≥0)，(mx+n)2=p(p≥0)的方程可以用直接开平方法解.
2.一般地，对于方程 x2=p，
当p>0时，方程x2=p有两个不相等的实数根 x1= , x2=
当p=0时，方程x2=p有两个相等的实数根 x1=x2=0;
当p<0时，方程x2=p无实数根.
一般地，对于方程(mx+n)2=p(p≥0) ，
当p≥0时，方程(mx+n)2=p的解是, x2=.
当p<0时，方程(mx+n)2=p无实数根.
第 二十五章 一元二次方程
25.2 降次——解一元二次方程
25.2.1 配方法
第2课时 配方法
学习目标
学习重难点
用配方法解一元二次方程.
用配方法解决相关问题.
难点
重点
（1）了解配方的概念.
（2）掌握用配方法解一元二次方程及解决相关问题.
回顾复习
完全平方公式
a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2
a2－2ab＋b2＝(a－b)2
导入新知
知识点1
配方法
①
探究
怎样解方程x2+6x+4=0
我们已经会解方程(x+3)2=5. 因为它的左边是含有x的完全平方式，右边是非负数，所以可以直接降次解方程.那么，能否将方程x2+6x+4=0转化为可以直接降次的形式再求解呢？
分析
(x+3)2=5



x2+6x+4=0
x2+6x=－4
x2+6x+9=－4+9
移项
两边加9， 使左边配成x2+2bx+b2的形式
左边写成完全平方式
降次
解一元一次方程
思考
为什么要在x2+6x=-4两边加9而不是其他数？
因为两边加9，式子左边可以恰好凑成完全平方式.
像上面这样通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫作配方法.
定义
巩固练习
1.对下列各式进行配方：
x2+10x+25 x2+5x+
=(x+5)2
2.将代数式a2＋4a－5变形，结果正确的是(　　)
A．(a＋2)2－1 B．(a＋2)2－5
C．(a＋2)2＋4 D．(a＋2)2－9
D
知识点2
用配方法解一元二次方程
②
解下列方程：
例1
(1) x2-8x+1=0 ； (2)2x2+1=3x ； (3)3x2-6x+4=0 .
(1)解：移项，得 x2-8x=-1.
配方，得 x2-8x+42=-1+42
(x-4)2=15.
由此可得，
(2) 2x2+1=3x
(2) 解：移项，得2x2-3x=-1
二次项系数化为1，得
配方，得
由此可得，
(3) 3x2-6x+4=0
(3) 解：移项，得3x2-6x=-4
二次项系数化为1，得
配方，得
因为实数的平方不会是负数，所以x取任何实数时，
(x-1)2都是非负数，上式都不成立，所以原方程无实数根.
归纳
一般地，一元二次方程可以通过配方转化成
(x+n)2=p
的形式.
①当p>0时，方程的两个不相等的实数根
②当p=0时，方程的两个相等的实数根
x1=x2=-n.
③当p<0时，因为对任意实数x，都有方程 (x+n)2≥0，所以方程无实数根.
随堂演练
1. 一元二次方程x2－6x－6=0配方后化为( )
A. (x－3)2=15 B. (x－3)2=3
C. (x+3)2=15 D. (x+3)2=3
2. 填空.
(1) 4x2+4x+1=
(2) x2－30x+225=
A
(2x+1)2
(x－15)2
3.解下列方程：
（1）x2+4x-9=2x-11；（2）x(x+4)=8x+12； （3）4x2-6x-3=0.
解：x2+2x+2=0，
(x+1)2=-1.
此方程无解；
解：x2-4x-12=0，
(x-2)2=16.
x1=6,x2=-2；
4. 试用配方法说明：不论k取何实数，多项式k2－4k＋5 的值必定大于零.
解：k2－4k＋5=k2－4k＋4＋1
=（k－2）2＋1
因为（k－2）2≥0，所以（k－2）2＋1≥1.
所以k2－4k＋5的值必定大于零.
课堂小结
配方法解一元二次方程
定义
步骤
一移常数项，二次项系数化为1；
二配方[配上一次项系数一半的平方]；
三写成（x+n)2=p (p ≥0)；
四直接开平方法解方程.
通过配成完全平方形式解一元二次方程的方法.

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