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第二十七章 反比例函数
27.2 反比例函数的图象和性质
第二十七章 反比例函数
27.2 反比例函数的图象和性质（第1课时）
学习目标
1．会根据解析式画出反比例函数的图象，归纳得到反比例函数的图像特征和性质.
2．在画出反比例函数的图象，并探究其性质的过程中，体会“分类讨论”“数形结合”以及“从特殊到一般”的数学思想.
学习重难点
难点
重点
理解并掌握反比例函数的图象和性质.
理解反比例函数性质；
应用性质解决简单的问题.
回顾复习
1.反比例函数
　　一般地，形如　　 （k 为常数，k ≠ 0）的函数，叫作反比例函数，其中 x 是自变量，y 是x 的函数.
2.一次函数、二次函数的图象
一次函数的图象是一条直线.
二次函数的图象是一条抛物线.
3.描点法画图
列表
连线
描点
活动1
知识点1 反比例函数图象的画法
画出反比例函数　　 和　　 的图象.
列表
x … -12 -6 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 6 12 …
… -1.5 -2 6 2 1 …
… -1 -2 -4 -6 12 4 3 1 …
描点、连线
活动1
画出反比例函数　　 和　　 的图象.
思考
问题1　每个图象分别位于哪些象限？
观察反比例函数　　 和　　 的图象，回答下列问题.
一、三象限
问题2　在每个象限内，随x的增大，y如何变化？你能由它们的解析式说明理由吗？
在每个象限内，y随x的增大而减小.
问题3　对于反比例函数 （k>0），考虑问题1，2，你能得出同样的结论吗？
归纳总结
一般地，当 k >0 时，对于反比例函数 由函数图象，并结合解析式，我们发现：
（1）函数图象分别位于第一、第三象限；
（2）在每一个象限内，y随 x 的增大而减小.
活动2
画出反比例函数　　 的图象，并观察图象.
图象分别位于第二和第四象限.
在每个象限内，y随x的增大而增大.
归纳总结
一般地，当 k <0 时，对于反比例函数 由函数图象，并结合解析式，我们发现：
（1）函数图象分别位于第二、第四象限；
（2）在每一个象限内，y随 x 的增大而增大.
反比例函数的图象有两条曲线组成，它是双曲线.
活动3
反比例函数 与 的图象有什么共同特征？有什么不同点？不同点是由什么决定的？
共同特征：
1.图象都是以原点为对称中心的中心对称图形；
2.两个函数的图象既关于关于x轴对称，也关于y轴对称；
3.随着 的增大，两个函数的图象都逐渐趋近x轴.
活动3
反比例函数 与 的图象有什么共同特征？有什么不同点？不同点是由什么决定的？
不同点：
1.图象分布的象限不同；
2.随着x的增大，y的变化趋势不同.
由k的正负决定！
（1）反比例函数的图象由两条曲线组成，它是双曲线.
（2）当 k > 0 时，函数图象分别位于第一、第三象限；在每一个象限内，y 随 x 的增大而减小；
当 k < 0 时，函数图象分别位于第二、第四象限；在每一个象限内，y 随 x 的增大而增大.
反比例函数 的图象特征和性质如下：
知识点2 反比例函数的性质
归纳总结
课堂巩固
1. （1）下列图象中是反比例函数的是（ ）.
答案：C
答案：C
1. （2）如图所示的图象对应的函数解析式为（ ）.
A.y=5x B.y=2x+3
C.y= D.y=
答案：（1）一、三
（2）< 增大
2.填空：
(1)反比例函数 的图象在________象限.
(2)反比例函数 的图象如图所示，则k_____0；
在图象的每一支上，y随x的增大而________.
课堂小节
函数 图象形状 图象位置 图象变化
趋势
函数图象分别位于第一、第三象限 在每一个象限内，y 随 x 的增大而减小
函数图象分别位于第二、第四象限 在每一个象限内，y 随 x 的增大而增大
k＞0
k＜0
第二十七章 反比例函数
27.2 反比例函数的图象和性质（第2课时）
学习目标
1．进一步理解和掌握反比例函数的图象与性质.
2．灵活运用反比例函数的图象和性质解题.
3．领会反比例函数的解析式与图象之间的联系，体会数形结合及转化的思想方法.
学习重难点
难点
重点
灵活运用反比例函数的图象和性质解题.
根据自变量的大小关系，判断函数值的大小关系.
回顾复习
（1）图象位于第一、三象限的是　　　　；
（2）图象位于第二、四象限的是　　　　.
② ④
① ③
下列反比例函数：
①　　 ；②　　 　；③ 　　　 　；④ 　　　　.
问题1
k>0
k<0
（1）若 x1＜x2 ，则 y1＜y2 的函数是　　　　；
（2）若 x1＜x2 ，则 y1＞y2 的函数是　　　　.
问题2
在反比例函数① 　 ；② 　 ；③ 　　　　；④ 　　　　的图象上，（x1，y1），（x2，y2）是其图象上同一象限内的两个点：
② ④
① ③
k>0，在每一个象限内，y 随 x 的增大而增大
k<0，在每一个象限内，y 随 x 的增大而减小
典型例题
例1
已知反比例函数的图象经过点 A（-2，4）.
（1）这个函数的图象位于哪些象限？y 随 x 的增大如何变化？
（2）点 B（1，-8），C（ ，-3），D（2，4）是否在这个函数的图象上？
解：（1）反比例函数图象的位置只有两种可能:位于第一、第三象限，或者位于第二、第四象限.因为点A(-2，4)在第二象限，所以这个函数的图象位于第二、第四象限.在每一个象限内，y随x的增大而增大.
典型例题
（2）设这个反比例函数的解析式为 ，因为点 A(-2，4)在其图象上，所以点 A 的坐标满足 ，即 ,解得k =-8.
所以，这个反比例函数的解析式为 .
因为点 B，C 的坐标都满足 ，点 D 的坐标不满足 ，
所以点 B，C 在函数 的图象上，点 D 不在这个函数的图象上.
归纳总结
（1）已知反比例函数图象上一点P（x,y）.
①判断函数图象分布的象限：xy>0，分布在第一、第三象限；xy<0，分布在第二、第四象限.
②求函数解析式：待定系数法.
（2）点P（x,y）满足关系式 ，则点P在函数 的图象上.
k=xy
典型例题
例2
图中的曲线是反比例函数 　　　 图象的一支，根据图象，回答下列问题：
（1）图象的另一支位于哪个象限？常数 m 的取值范围是什么？
（2）在这个函数图象的某一支
上任取点 A（x1，y1）和点 B
（x2，y2），如果x1＞x2，那么
y1 和 y2 有怎样的大小关系？
解：（1）反比例函数的图象只有两种可能：位于第一、第三象限，或者位于第二、第四象限.因为这个函数的图象的一支位于第一象限，所以另一支必位于第三象限.
因为这个函数的图象位于第一、第三象限，
所以m – 5 ＞0，解得m＞5.
（2）因为 m – 5 ＞ 0，
所以在这个函数图象的任一支上，y 都随 x 的增大而减小，因此当 x1 ＞ x2 时，y1 ＜ y2.
归纳总结
（1）已知函数图象分布的象限，可以判断k的正负；
（2）已知k的正负，可以由自变量的大小关系推出函数值的大小关系.
反比例函数 .
课堂巩固
1.已知反比例函数的图象经过点A(3,-4).
（1）这个函数的图象位于哪些象限？在图象的每一支上， y随x的增大如何变化？
（2）点B(-3,4)，C( -2, 6)，D(3,4)是否在这个函数的图象上？为什么？
解：（1）函数的图象第二、第四象限.
在图象的每一支上，y随x的增大而增大.
（2）点B，C在这个函数的图象上，点D(3,4)不在这个函数的图象上.
课堂巩固
2.已知点A（x1，y1），B（x2，y2）在反比例函数 的图象上.如果 x1＜x2，而且 x1，x2 同号，那么 y1，y2 有怎样的大小关系？为什么？
解：y1＞y2.
因为函数 的图象位于第一、第三象限，所以在每个象限内，y 随 x 的增大而减小.因为 x1＜x2，所以 y1＞y2.
课堂小节
k的正负决定反比例函数 图象的分布及增减性.
（1）当 k > 0 时，函数图象分别位于第一、第三象限；在每一个象限内，y 随 x 的增大而减小；
（2）当 k < 0 时，函数图象分别位于第二、第四象限；在每一个象限内，y 随 x 的增大而增大.

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