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第二十八章 旋转
28.1 图形的旋转
第二十八章 旋转
28.1 图形的旋转
第1课时 旋转的概念及性质
学习目标
1.了解生活中的旋转现象，理解旋转的相关概念.
2.体会旋转的形成过程，掌握旋转的基本性质.
3.能够根据旋转的基本性质解决实际问题.
学习重难点
掌握旋转的基本性质.
根据旋转的基本性质解决实际问题.
难点
重点
导入新知
情境引入
这些图片中的运动有什么共同特点？
知识点1
旋转的概念
①
如图1，钟表的指针在不停地转动，从3时到5时，时针转动了多少度？
如图2，风车车轮的每个叶片在风的吹动下转动到新的位置.
如图3，改变航向时，舵柄绕船舵中间的轴转动.
思考
图1
图2
图3
把指针看作平面图形，那么它可以绕着中心固定点转动一定角度.
从3时到5时，时针转动了 度
把叶片看作平面图形，那么它可以绕着中心固定点转动一定角度.
怎样来定义这种图形变换？
60
把一个平面图形绕着平面内某一点O 转动一个角度，叫作图形的旋转，点O 叫作旋转中心，转动的角叫作旋转角.如果图形上的点P经过旋转变为点P′，那么这两个点叫作这个旋转的对应点.
定义
旋转“三要素”
旋转中心、旋转方向、旋转角
图形旋转时图形上的每一个点都绕点O沿相同的方向旋转相同的角度.
解读
如图，时针在旋转，表盘的中心是旋转中心，旋转角是60°，在3时的时针端点P与在5时的时针端点P′是对应点.
旋转方向有两种：顺时针和逆时针. 如图所示的旋转方向是顺时针
例1
如图，若叶片 A 绕 O 顺时针旋转到叶片 B，请指出旋转中心、旋转角及对应点.
A
C
D
E
F
B
解：旋转中心为点O，旋转角为∠AOB，对应点为A与B，B与C，C与D，D与E，E与F，F与A.
O
现实生活还有哪些旋转的实例？与同学分享，并指出旋转中心和旋转角.
归纳
判断一种运动是否是旋转要紧扣旋转的“三要素”，即看是否同时具有：旋转中心，旋转方向，旋转角．
注意
旋转中心可能在图形内部，可能在图形外部，也可能在图形边上．
知识点2
旋转的性质
②
探究
如图，利用以下方法或信息技术工具，将△ABC绕点O旋转一个角度，得到△A'B'C'.
（1）在硬纸板上，挖一个三角形洞，再另挖一个小洞O作为旋转中心.
（2）硬纸板下面放一张白纸，先在纸上描出这个挖掉的三角形图案（△ABC），2然后围绕旋转中心O转动硬纸板，再描出这个挖掉的三角形（△A′B′C′），移开硬纸板.
①OA与OA′，OB与OB′，OC与OC′分别有什么关系？
②∠AOA′，∠BOB′，∠COC′之间有什么关系？
③△ABC与△A′B′C′的形状和大小有什么关系？
OA=OA′，OB=OB′，OC=OC′
∠AOA′=∠BOB′=∠COC′
△ABC与△A′B′C′的形状和大小完全相同，即△ABC≌△A′B′C′
旋转的性质
一般地，旋转具有性质：
一个图形和其旋转得到的图形中，对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段所成的角相等，都等于旋转角.
确定旋转角的关键：找到对应点及旋转中心
如图，将△ABC绕点C顺时针旋转35°，得到△A'B'C, 若∠BCA'=100°, 求∠B'CA的度数.
解：由旋转的性质可知.
∠BCB'=∠ACA'=35°.
又因为∠BCB' + ∠B'CA + ∠ACA' = ∠BCA' = 100°，
所以 ∠B'CA = 30°.
例2
例3
如图，将等腰三角形ABC绕顶点B逆时针方向旋转α度到△A1BC1的位置，AB与A1C1相交于点D，AC与A1C1，BC1分别交于点E，F．
求证：△BCF≌△BA1D；
提示：根据等腰三角形的性质和旋转的性质得到相等的边、相等的角，根据全等三角形的判定定理得到△BCF≌△BA1D.
证明：∵△ABC是等腰三角形，
∴AB=BC，∠A=∠C，
由旋转的性质，可得 A1B=AB=BC，
∠A=∠A1=∠C，∠A1BD=∠CBC1，
在△BCF与△BA1D中，
∴△BCF≌△BA1D.
归纳
1.可以用来判断线段或角是否相等；
2.可以用来计算图形的面积、线段的长度或角的大小.
3.可以用来确定旋转中心：因为对应点到旋转中心的距离相等，所以旋转中心在对应点所连线段的垂直平分线上，因此旋转中心是两对对应点所连线段的垂直平分线的交点.
旋转的性质的作用
随堂演练
D
1. 下列现象中属于旋转的有（ ）
①火车行驶；
②荡秋千运动；
③方向盘的转动；
④钟摆的运动；
⑤圆规画圆．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
B
2. 下列说法正确的是（ ）
A.旋转改变图形的形状和大小
B.平移改变图形的位置
C. 图形可以向某方向旋转一定距离
D.由平移得到的图形也一定可由旋转得到
3. 如图，将△ ABC 绕点C 顺时针旋转得到△ DEC，使点A 的对应点D 恰好落在边AB 上， 点B 的对应点为E， 连接BE，下列结论一定正确的是（ ）
A. AC=AD
B. AB ⊥ EB　　　
C. BC=DE
D. ∠ A= ∠ EBC
D
4.如图，点E是正方形ABCD内一点，连接AE、BE、CE，将△ABE绕点B顺时针旋转90°到△CBE′的位置，若AE＝1，BE＝2，CE＝3则∠BE′C＝________度．
解析：如图，连接EE.
由旋转性质知BE＝BE′，∠EBE′＝90°，
∴∠BE'E=45°，EE′=
在△EE′C中，E′C＝1，EC＝3，
由勾股定理逆定理可知∠EE′C＝90°，
∴∠BE′C＝∠BE′E＋∠EE′C＝135°.
135
课堂小结
旋转
概念
性质
相关概念
三要素
应用
第二十八章 旋转
28.1 图形的旋转
第2课时 旋转作图
学习目标
1.能按要求作出简单平面图形旋转后的图形.
2.能通过图形的旋转设计图案，体会数学中的图形美.
学习重难点
利用旋转进行简单作图.
根据旋转的性质解决实际问题.
难点
重点
复习旧识
1.旋转三要素是 ， ， .
2.将图形旋转后，对应点到 的距离相等，对应点与旋转中心所连线段的夹角等于 ，旋转前、后的图形 .
旋转中心
旋转方向
旋转角
旋转中心
旋转角
全等
知识点1
旋转作图
①
探究
如图，E 是正方形ABCD 中CD 边上任意一点，以点A为中心，把△ADE 顺时针旋转90°，画出旋转后的图形.
分析
A
B
C
D
E
作图的关键是确定△ADE三个顶点的对应点，即它们旋转后的位置
探究
A
B
C
D
E
（1）因为A是旋转中心，所以它的对应点是 .
（2）根据正方形的性质：AD＝AB，∠DAB＝90°，所以旋转后点D 的对应点是点 .
（3）设E 的对应点为E′，因为旋转前、后的两个图形全等，所以∠ABE′= =90°，BE′= .
因此，在CB的延长线上取点E′，使BE′=DE，则△ABE′为旋转后的图形.
E′
它本身
B
∠ADE
DE
思考
旋转作图的依据是旋转的性质，即对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角.
旋转作图的依据
旋转作图的一般步骤
1.确定旋转中心、旋转方向和旋转角.
2.找出图形的关键点.
3.作旋转后的对应点，方法如下：
①连：连接图形的每个关键点与旋转中心；
②转：把连线绕旋转中心按旋转方向旋转相同的角度(作旋转角)；
③截：在作得的角的另一边截取与关键点到旋转中心的距离相等的线段，得到各个关键点的对应点.
4.按原图形的顺序连接这些对应点，所得到的图形就是旋转后的图形.
5.得出结论.
一般是图形中的转折点
例1
如图，△ ABC绕点O旋转，使点A旋转到点D处，画出顺时针旋转后的三角形，并写出简要作法.
·
D
解：如图.①连接OA，OB，OC，OD;
②分别以OB，OC 为边作∠ BOM=∠ CON= ∠ AOD；
③分别在OM，ON 上截取OE=OB，OF=OC；
④依次连接DE，EF，FD，△ DEF 就是所求作的
三角形．
归纳
在旋转作图时，要紧扣以下三点：(1)对应点到旋转中心的距离相等；(2)旋转的角度相等；(3)旋转的方向相同．
知识点2
旋转的应用
②
选择不同的旋转中心、不同的旋转角旋转同一图案，会出现不同的图案.
O
α
O
β
如图，两个旋转中，旋转中心不变，旋转角改变了，产生了不同的旋转效果.
选择不同的旋转中心、不同的旋转角旋转同一图案，会出现不同的图案.
如图，两个旋转中，旋转角不变，旋转中心改变了，产生了不同的旋转效果.
O1
O2
可以借助旋转设计出许多美丽的图案
欣赏由旋转得到的美丽图案
随堂演练
1. 如图，在图①②③中，能通过旋转得到右侧图形的有(　　)
A．①② B．①③
C．②③ D．①②③
B
2.将△AOB绕点O旋转180°得到△DOE，则下列作图正确的是（ ）
A
B
C
D
C
3.以点O为旋转中心旋转如图所示的图形，若旋转后的图形与原图形重合，则旋转角可以为（ ）
A.60° B.180°
C.90° D.120°
D
4.如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点都在格点上，将△ABC绕着某点顺时针旋转一定角度后，得到△A′B′C′，则旋转中心的坐标为 .
4.如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点都在格点上，将△ABC绕着某点顺时针旋转一定角度后，得到△A′B′C′，则旋转中心的坐标为 .
解析：如图，点P即为所求，P（-1，1）
（-1，1）
注意
若旋转中心在图形上，哪一点在旋转过程中位置没有改变，哪一点就是旋转中心；
若旋转中心不在图形上，对应点连线的垂直平分线的交点就是旋转中心.
课堂小结
旋转作图
确定旋转三要素
找出关键点
作出关键点的对应点
顺次连接各对应点
得到新图形

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