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第二十九章 圆
29.1 圆的有关概念
29.1.1 圆的有关概念
学习目标
1.了解圆的概念.
2.了解弧、弦、半圆、等圆、等弧等与圆有关的概念.
学习重难点
了解圆及与圆有关的相关概念.
了解圆及与圆有关的相关概念.
难点
重点
导入新知
情境引入
这些图片中都有哪种图形？
知识点1
圆
观察画圆的过程，你能说出圆是如何画出来的吗？
思考
·
r
O
A
怎样来定义这种图形？
在一个平面内，线段OP 绕它固定的一个端点O 旋转一周, 另一个端点P 所形成的图形叫作圆．其固定的端点O 叫作圆心，线段OP叫作半径.以点O为圆心的圆，记作⊙ O，读作“圆O”.
定义
圆的动态定义.
O
P
决定圆的位置.
决定圆的大小.
确定一个圆的二要素：圆心和半径.
从画图过程中可以看出：
（1）圆上各点到定点（圆心O）的距离都等于 （半径r）；
（2）到定点的距离等于定长的点都在同一个 上.
因此，可得到圆的静态定义：
圆心为O、半径为r的圆可以看成是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合.
定长
思考
圆
例1
下列说法中, 错误的有（ ）
①经过点P 的圆有无数个；
②以点P 为圆心的圆有无数个；
③半径为3 cm 且经过点P 的圆有无数个；
④以点P 为圆心，3 cm 长为半径的圆有无数个.
A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个
解析：确定一个圆必须有两个条件，即圆心和半径，只满足一个条件或不满足任何一个条件的圆都有无数个.故①②③都正确，④错误.故选A.
A
平面上的圆把平面分成了哪几部分？
圆内
圆外
圆上
思考
知识点2
点与圆的位置关系
②
观察点和圆的位置关系，能否对这六个点进行分类？
B
C
A
D
E
F
点C，F在圆外
点A，D在圆内
点B，E在圆上
思考
点P在圆内
点P在圆外
点P在圆上
P
O
P
O
P
O
d＞r
d r
d＜r
位置关系
数量关系
设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP d；
符号“ ”读作“等价于”，它表示从符号左端可以推出右端，从右端也可以推出左端.
矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O.求证：A，B，C，D四个点在以O为圆心的同一圆上.
例2
A
B
C
D
O
证明：∵四边形ABCD 是矩形，对角线AC，BD相交于点O ，
∴OA=OC= AC，OB=OD = ,AC=BD.
∴OA =OC =OB =OD.
∴A，B，C，D 四个点在以点O为圆心、OA为半径的圆上.
归纳
1.圆指的是圆周，而不是圆面.
2.确定一个圆要紧扣圆的“两要素”，即圆心和半径，两者缺一不可．
3.“圆上的点”指圆周上的点.
4.圆上各点到圆心的距离都等于半径.
弦和直径
连接 圆上任意两点的线段叫作弦，经过圆心的弦叫作直径，
直径长是半径长的2倍.如图，AB，AC是弦，AB是直径.
C
A
B
·
O
直径和弦有什么关系？
知识点3
与圆有关的概念
③
1.弦和直径都是线段.
2.直径是弦，是圆内最长的弦.但弦不一定是直径．
注意
弧
圆上任意两点间的部分叫作圆弧，简称弧．以 A，B 为端点的弧记作AB，读作“圆弧 AB”或“弧 AB”．
圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫作半圆．
C
A
B
O
半圆是弧，但弧不一定是半圆.
优弧与劣弧
大于半圆的弧（用三个点表示，如图中的弧ABC）叫作优弧．
小于半圆的弧（如图中的 弧AC ）叫作劣弧．
C
O
A
B
能够重合的两个圆叫作等圆.
容易看出：等圆是两个半径相等的圆.
在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫作等弧.
等圆与等弧
长度相等的弧是等弧吗？
例3
下列语句中：①直径是弦；②弦是直径；③半径相等的两个半圆是等弧；④长度相等的两条弧是等弧；⑤半圆是弧，弧不一定是半圆. 正确的有_________ .
解：直径是弦，故①正确；直径是过圆心的弦，但弦不一定是直径，故②错误；半径相等的两个半圆能互相重合，所以是等弧，故③正确；在同圆或等圆中，长度相等的两条弧才是等弧，故④错误；半圆是弧，弧不一定是半圆，故⑤正确.答案为：①③⑤.
1.弦与直径的关系：直径是过圆心最长的弦，但弦不一定是直径.
2.弧与半圆的关系：半圆是弧，但弧不一定是半圆.
3. 弦与弧的关系：①弦是圆上两点间的线段，有无数条；弧是圆上两点间的部分，是曲线，也有无数条.
②每条弧对一条弦；而每条弦对的弧有两条:一条优弧、一条劣弧或两个半圆.
4.等弧不等同于长度相等的弧，等弧仅仅存在于同圆或等圆中.
归纳
随堂演练
D
1.下列说法正确的是（ ）
A.直径是弦，弦是直径
B.半圆是弧，弧是半圆
C.弦是圆上两点之间的部分
D.半径不是弦，直径是最长的弦
2.如图，图中有 条直径， 条非直径的弦，圆中以A为一个端点的优弧有 条，劣弧有 条．
A
B
C
D
O
F
E
1
2
4
4
7cm或3cm
3.一点和⊙O上的最近点距离为4cm,最远的距离为10cm, 则这个圆的半径是 .
4.如图，菱形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，E，F，G，H 分别为边AB，BC，CD，DA 的中点，那么点E，F，G，H 是否在同一个圆上？请说明理由.
解：点E，F，G，H 在同一个圆上.理由如下：
如图，连接OE，OF，OG，OH.
∵四边形ABCD 是菱形，
∴ AB=BC=CD=DA，AC ⊥ BD.
又∵ E 为AB 边的中点，∴OE = AB.
同理可得，OF = BC，OG = CD，OH = DA.
∴ OE =OF =OG =OH.
∴点E，F，G，H 在以点O 为圆心，OE 为半径的圆上.
课堂小结
圆的有关概念
定义
动态定义
静态定义
有关概念
圆心与半径
弦与直径
弧与半圆
等圆与等弧
位置关系
点在圆外
点在圆内
d＞r
点圆上
d=r
d＜r
29.1.2 过三点的圆
学习目标
1.了解三角形的外接圆和三角形的外心的概念.
2.了解反证法.
学习重难点
了解三角形的外接圆和三角形的外心的概念.
三角形的外接圆和三角形的外心的概念.
难点
重点
过已知点作圆
条件：过一点A作圆
作法：以点A 以外的任意一点圆心，以该点与点A 的距离为半径作圆
可作无数个圆
知识点1
确定圆的条件
①
条件：过两点A，B 作圆
作法：连接AB，作线段AB 的垂直平分线l，以其垂直平分线上任意一点为圆心，以该点与点A(或点B)的距离为半径作圆
可作无数个圆
条件：过不在同一条直线上的三点A，B，C作圆
作法：连接AB，BC，分别作线段AB，BC 的垂直平分线DE 和FG，DE和FG 相交于点O，以点O 为圆心，OA(或OB，OC)为半径作圆，⊙ O 就是所求作的圆
这样作出的圆只有一个
不在同一条直线上的三个点确定一个圆.
有且仅有
由图可以看出，经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆叫作三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，叫作这个三角形的外心，这个三角形叫作圆的内接三角形.
例1
小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块如图所示，为配到与
原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块是( )
A. ①
B. ②
C. ③
D. ④
B
1.三角形外接圆的作法
（1）作三角形任意两边的垂直平分线，确定其交点；
（2）以该交点为圆心，以交点到三个顶点中任意一点的距离为半径作圆即可.
2.三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，等于其外接圆的半径.
归纳
如图，假设过同一条直线l上三点A，B，C 三点可以作一个圆，设这个圆的圆心为P，那么点P 既在线段AB 的垂直平分线l1上，又在线段BC 的垂直平分线l2上，即点P为l1与l2的交点，而l1⊥l，l2⊥l ，这与我们以前学过的“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”矛盾.所以,经过同一条直线上的三点不能作圆．
l1
l2
A
B
C
P
知识点2
反证法
②
经过同一条直线上的三个点能作出一个圆吗？
思考
先提出与结论相反的假设，再推导出和定义、基本事实、定理或题设等相矛盾的结果，然后由矛盾断定假设不正确，从而得到原命题成立，这种方法叫作反证法．
用反证法证明：两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等.
已知：如图，AB//CD，直线EF交AB于点O，
求证：∠1=∠2.
　证明：假设 1≠ 2，过点O作直线A′B′，使 EOB′ 2.
根据“同位角相等，两直线平行”，可得A′B′//CD，这样，
过点O就有两条直线AB，A′B′都平行于CD，这与平行公理
“过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线平行”矛盾.
这说明 1≠ 2不正确，所以 1 2.
B′
F
E
A
A′
O
B
C
D
1
2
反设
归谬
存真
例2
用反证法证明的步骤：
（1）假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立.
（2）从这个假设出发，通过推理论证，得出矛盾.
（3）由矛盾断定假设不正确，从而肯定原命题的结论成立.
归纳
随堂演练
1.若一个三角形的外心在一边上，则此三角形的形状为( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰三角形
B
2.如图，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是（ ）
A．点P B．点Q
C．点R D．点M
M
R
Q
A
B
C
P
B
随堂练习
不在同一条直线上的
3.判断正误：
(1) 任意的一个三角形一定有一个外接圆. ( )
(2) 任意一个圆有且只有一个内接三角形 . ( )
(3) 三角形的外心到三角形各顶点的距离相等. ( )
(4) 经过三点一定可以确定一个圆. ( )
一个三角形只有一个外接圆，但一个圆有无数个内接三角形.
4.完成下面的证明过程：
已知：如图，直线l1，l2， l在同一平面内，且l1 l，l2 l.
求证：l1//l2.
证明：假设 ，则l1与l2相交，设l1与l2交于点P.
由已知条件 ， 得知，
过点P有两条直线与直线l垂直，
这与“ ”相矛盾，所以，“假设 ”不成立，故 .
l1不平行l2
l1 l
l2 l
过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
l1//l2
l1不平行l2
课堂小结
过三点的圆
确定圆的条件
三角形的外接圆
三角形的外心
反证法

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