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第三十章 直线与圆的位置关系
30.1 直线与圆
第三十章 直线与圆的位置关系
30.1 直线与圆
30.1 .1 直线与圆相离、相切、相交
学习目标
1.了解直线和圆的三种位置关系.
2.理解圆心到直线的距离d和圆的半径r之间的数量关系.
3.会运用直线和圆的三种位置关系的性质与判定进行有关计算.
学习重难点
理解圆心到直线的距离d和圆的半径r之间的数量关系.
会运用直线和圆的三种位置关系的性质与判定进行有关计算.
难点
重点
点在圆外
点在圆上
点在圆内
d > r
d = r
d< r
●
●
●
O
●
导入新知
复习引入
点和圆的位置关系有哪几种？如何判断？
知识点1
直线和圆的位置关系
①
1.如果我们把太阳看成一个圆，地平线看成一条直线，那你能根据直线和圆的公共点个数想象一下，直线和圆有几种位置关系吗？
思考
2.在纸上画一条直线l，把一枚硬币看作一个圆，在纸上移动钥匙环，你能发现在移动钥匙环的过程中，它与直线l的公共点个数的变化情况吗？
思考
l
可以发现，直线与圆有三种位置关系
1.直线与圆没有公共点，这时称这条直线与圆相离.
2.直线与圆只有一个公共点，这时称这条直线与圆相切，这条 直线叫作圆的切线，这个点叫作切点.
3.直线与圆有两个公共点，这时称这条直线与圆相交，这条直线叫作圆的割线.
设⊙O半径为 r , 圆心O到直线l的距离为d，根据直线和圆相交、相切、相离的定义，容易得到：
直线l和圆相交
直线l和圆相切
直线l和圆相离
d < r
d = r
d > r
直线与圆的位置关系 相离 相切 相交
图示
公共点个数 0 1 2
公共点名称 切点 交点
直线名称 切线 割线
d 与r 的关系 d＞r d=r d ＜ r
归纳
例1
判断下列各图中直线与圆的位置关系.
.O
l
O
.
.O
l
相离
相交
相切
例2
如图，设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d.则d与⊙O的半径r的大小有什么关系
相离
相切
相交
.O
r
d
.O
r
d
.O
r
d
例3
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5，BC=12，以边AB的中点D为圆心，以r为半径作⊙D.若r=2.5，分别判断AC，BC与⊙D的位置关系.
C
B
A
解：如图，过圆心D分别作AC，BC的垂线，垂足分别为E， F，则DE，DF的长分别为圆心D到AC，BC的距离.
连接CD，由D为AB的重点，得CD=AD=BD，
因而E，F分别为AC，BC的重点.
所以DE=BC，DF=AC.
在Rt△ABC中，∠C=90°，
∵BC=12，AC=5，r=2.5，
∴DE＞r，DE=r，
∴AC与⊙D相离，BC与⊙D相切.
C
B
A
E
F
D
归纳
判定直线与圆的位置关系的方法有两种：
1.根据定义，由直线与圆的公共点的个数来判断；
2.由圆心到直线的距离与半径的大小关系来判断.
随堂演练
1.已知平面内有⊙O和点A，B，若⊙ O 半径为2 cm，线段OA=3 cm，OB=2 cm，则直线AB 与⊙ O 的位置关系为( )
A. 相离 B. 相交 C. 相切 D. 相交或相切
D
2.直线l与半径为r的⊙O相离，且点O到直线l的距离为6，则r的取值范围是( )
A.r＜6 B.r=6 C.r＞6 D.r≥6
A
3.已知⊙O 的半径为 ，直线l与点O的距离为d，若直线l与⊙O有公共点，则( )
A.d﹥ B.d= C.d﹤ D.d≤
D
4.如图，在平面直角坐标系中有一矩形OABC，点B的坐标为(4，2)，现有一圆同时和这个矩形的三边都相切，则此圆的圆心D 的坐标为 .
解析：若与OA,AB,BC 三条边相切，D 的坐
标为（3,1）；若与OA,BC,CO 三条边相切,
D 的坐标为（1,1）；若与OA,AB,CO 三条边
相切,D 的坐标为（2,2）；若与AB,BC,CO 三
条边相切,D 的坐标为（2,0）.
(1，1)或(3，1)或(2，2)或(2，0)
课堂小结
直线与圆相离、相切、相交
位置关系
相离
相交
d＞r
相切
d=r
d＜r
判断位置关系的方法
第三十章 直线与圆的位置关系
30.1.2 圆的切线
第1课时 切线的性质与判定
学习目标
1.理解并掌握切线的性质定理与判定定理.
2.运用切线的性质定理与判定定理解决简单的几何问题.
学习重难点
掌握切线的性质定理与判定定理.
运用切线的性质定理与判定定理解决简单的几何问题.
难点
重点
导入新知
复习引入
1. 和圆有且只有一个公共点的直线与圆相切.
2. 圆心到直线的距离等于半径的直线与圆相切.
判断直线与圆相切有哪两种方法？
生活中，有许多直线和圆相切的实例.例如，当你在下雨天快速转动雨伞时飞出的水珠，在砂轮上打磨工件时飞出的火星，都是沿着圆的切线方向飞出的.
知识点1
切线的性质
①
思考：如图，如果直线l是⊙O 的切线，点A为切点，那么OA与l垂直吗？
A
l
O
圆的切线垂直于过切点的半径.
切线的性质定理
切线的性质
（1）切线和圆只有一个公共点.
（2）圆心到切线的距离等于半径.
（3）圆的切线垂直于过切点的半径.
（4）经过圆心且垂直于切线的直线必过切点.
（5）经过切点且垂直于切线的直线必过圆心.
几何语言
∵直线l切⊙O于点Ａ，
∴OA⊥l .
l
.O
.
A
例1
如图，AB 为⊙ O 的直径，PD 切⊙ O 于点C，
交AB 的延长线于点D，且∠ D=2 ∠ CAD.
(1)求∠ D 的度数.
(2)若CD=2，求BD 的长.
解：（1）如图，连接OC.
∵ AO=CO，∴∠ OAC= ∠ ACO.
∴∠ COD=2 ∠ CAD.
又∠ D=2 ∠ CAD，∴∠ D= ∠ COD.
∵ PD 切⊙ O 于点C，
∴ OC ⊥ PD，即∠ OCD=90° ，∴∠ D=45° .
（2）由(1)可知△ OCD 是等腰直角三角形.
∴ OC=CD=2.
由勾股定理，得OD=
∴ BD=OD－OB=
1.有切线时常用辅助线添加方法
见切点，连半径，得垂直.
2.经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点;经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.
归纳
如图，在⊙O中，经过半径OA的外端点A作直线 l ⊥OA ，则圆心O到直线l的距离是多少？直线l与⊙O有什么位置关系？
显然，圆心到直线的距离d =半径 r
直线l与⊙O相切，直线l是⊙O的切线
思考
.O
A
l
知识点2
切线的判定
②
经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
切线的判定定理
两个必备条件：
1.直线过半径的外端;
2.直线垂直于这条半径.
如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AB与⊙O相切于点D.
求证：AC是⊙O的切线.
证明：如图，过点O作OE⊥AC，垂足为E，
连接OD，OA.
∵AB与⊙O相切于点D，
∴OD⊥AB
又△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点.
∴AO是∠BAC的平分线，
∴OE=OD，即OE是⊙O的半径，
∴AC是⊙O的切线.

E
例2
归纳
1.判定直线与圆相切的方法
(1)定义法：与圆有唯一公共点的直线是圆的切线；
(2)数量法：圆心到直线的距离等于半径的直线是圆的切线；
(3)判定定理法：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
2.证切线时辅助线的添加方法
有交点，连半径,证垂直; 无交点，作垂直,证半径.
随堂演练
1.下列说法正确的是 （ ）
A.与圆有公共点的直线是圆的切线
B.到圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线
C.垂直于圆的半径的直线是圆的切线
D.过圆的半径的外端的直线是圆的切线
B
2.如图，已知⊙O 的直径AB 与弦AC 的夹角为31°，过C点的切线PC 与 AB 的延长线交于点P，则∠P 等于( )
A.24° B.25° C.28° D.30°
C
3.如图，在△ ABC 中，AB=6，以点A 为圆心，3 为半径的圆与边BC 相切于点D， 与AC，AB 分别交于点E 和点G，点F 是优弧GE 上一点，∠CDE=18°，则∠ GFE 的度数是( )
A.50° B.48°
C.45° D.36°
B
4.如图，AB是⊙O的直径,∠B=∠CAD.求证：AC是⊙O 的切线.
证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠BDA =90°.
∴∠B +∠BAD = 90°.
又∠B =∠CAD.
∴∠CAD +∠BAD =∠BAC =90°.
∵AC 过点A,
∴AC 是⊙O 的切线.
5.如图， 已知AB 是⊙ O 的直径，AB=4，点C 在线段AB 的延长线上，点D 在⊙ O 上，连接CD，且CD=OA，OC=2 ，求证：CD 是⊙ O 的切线.
证明：如图，连接OD.
由题意可知CD=OD=OA= AB=2.
∵ OC=2 ，∴ OD2+CD2=OC2.
∴∠ ODC=90°，即OD ⊥ CD.
又点D 在⊙ O 上，∴ CD 是⊙ O 的切线.
课堂小结
切线的性质与判定
判定方法
定义法
判定定理
常作辅助线
性质定理
数量关系法
切线的性质
第三十章 直线与圆的位置关系
30.1.2 圆的切线
第2课时 切线长定理
学习目标
1.了解圆的切线长，能叙述并证明切线长定理.
2.理解三角形的内切圆，知道三角形内心的含义和性质.
3.运用切线长定理和三角形内心的性质来解决简单的问题.
学习重难点
掌握切线长的定义及切线长定理.
运用切线长定理和三角形内心的性质来解决简单的问题.
难点
重点
导入新知
复习引入
上节课我们学习了过圆上一点作已知圆的切线(如左图所示)，如果点P是圆外一点，又怎么作该圆的切线呢？过圆外的一点作圆的切线，可以作几条？
P
O
B
A
O.
P
A
B
知识点1
切线长定理
①
如图，P是⊙O外一点，过点P作⊙O的切线.因为两点确定一条直线，并且所求作的直线过点P且与 ⊙O相切，所以需在⊙O上确定一点A，满足OA⊥AP，
即∠OAP=90°由此可知，点O，P，A可以确定一个圆，OP是这个圆的直径，因此以OP为直径作圆，该圆与⊙O的交点即所要确定的点。
O.
P
根据上面的想法，可以用直尺和圆规作出过圆外一点的圆的切线.
如图:
(1)连接OP，作线段OP的垂直平分线MN，与OP交于点C;
(2)以点C为圆心，CO为半径作圆，与⊙O相交于A，B两点;
(3)作直线PA，PB，即所求作的切线。
可以看到，过圆外一点可以作出两条直线与这个圆相切，我们把经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的长（如图中的线段PA，PB的长)，叫作这点到圆的切线长.
如图，PA，PB是⊙O 的两条切线，
切点分别为A，B，过点O，P作直线OP.线段
PA与PB，∠APO与∠BPO有什么关系？
思考
O.
P
B
A
证明：如图，连接OA，OB
∵PA和PB是⊙O 的两条切线，
∴OA⊥AP，OB⊥BP.
又OA=OB，OP=OP，
∴Rt△POA≌ Rt△POB.
∴PA=PB, ∠APO=∠BPO.
O.
P
B
A
∟
∟
从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，并且这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.
切线长定理
可用来证明线段相等、角相等
几何语言
∵PA，PB分别切⊙O于点A，B，
∴PA = PB，∠OPA=∠OPB
例1
如图，PA，PB是OO的两条切线，A，B是切点，连接AB，若∠APO=30°，OP=2，求△PAB的周长.
解：如图，连接 OA.
∵PA，PB是⊙O的两条切线，A，B是切点，
∴ PA=PB，∠APO=∠BPO，OA⊥PA.
又∠APO=30°，∴ ∠APB=60°，
∴ △PAB是等边三角形.∴ AB=PA=PB.
又在Rt△POA中，∠APO=30°，OP=2,
∴ OA=1，PA==。
∴ △PAB的周长为3.
归纳
1.切线是直线，不可度量；切线长是切线上切点与切点外另一点之间的线段的长，可以度量.
2.经过圆外一点作圆的切线，有两条，这点和两个切点所连的两条线段相等.
归纳
3.如图 是切线长定理的一个基本图形, 可以直接得到结论：
(1)PO ⊥ AB；
(2)AO ⊥ AP，BO ⊥ BP；
(3)AP=BP；
(4)∠ 1= ∠ 2= ∠ 3= ∠ 4；
(5)AD=BD；
(6)弧AC =弧 BC.
随堂演练
1.如图，直线AB，AD 分别与⊙ O 相切于点B，D，C 为⊙ O 上一点，且∠ BCD=130°，则∠ A的度数是( )
A.70° B.85° C.80° D.100°
C
2.如图，AB，BC，CD 分别与⊙ O 相切于点E，F，G， 若∠ BOC=90°，求证：AB ∥ CD．
证明：∵∠BOC＝90°，∴∠OBC＋∠OCB＝90°.
又BE与BF为⊙O的切线，∴BO为∠EBF的平分线．
∴∠OBE＝∠OBC.同理可得∠OCB＝∠OCG.
∴∠OBE＋∠OCG＝∠OBC＋∠OCB＝90°.
∴∠OBC＋∠OCB＋∠OBE＋∠OCG＝180°，
即∠ABF＋∠DCF＝180°.∴AB∥CD.
3.已知：如图，四边形ABCD 的边AB、BC、CD、DA与⊙O 分 别相切于点E、F、G、H.求证：AB+CD=AD+BC.
证明：∵AB、BC、CD、DA与⊙O分别相切于点E、F、G、H，
∴ AE=AH，BE=BF，CG=CF，DG=DH.
∴ AE+BE+CG+DG=AH+BF+CF+DH.
∴AB+CD=AD+BC.
·
A
B
C
D
H
G
F
E
课堂小结
切线长定理
切线长的定义
切线长定理

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