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2027年中考复习：圆的相关知识
一、解答题：本题共16小题，共128分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
1.本小题分
如图，是的切线，为切点，连接交于点，且，上有一点且，连接，求证：
为等边三角形；
是的切线．
【答案】证明：是的切线，为切点，连接交于点，
，
，
，即点为的中点，
，
点、在上，
，
，
为等边三角形 证明：由题意可得：，
点、在上，
，
在和中，
，
≌，
，
，
是的半径，
是的切线
【解析】证明：是的切线，为切点，连接交于点，
，
，
，即点为的中点，
，
点、在上，
，
，
为等边三角形；
证明：上有一点且，连接，．
为等边三角形，，
，
点、在上，
，
在和中，
，
≌，
，
，
是的半径，
是的切线．
由切线的性质得出，由直角三角形的性质及圆的基本性质可得出，即可得证；
由等边三角形的性质得出，证明≌得，由切线的判定即可得证．
本题考查切线的判定与性质，等边三角形的判定与性质，直角三角形的性质等知识点，掌握切线的判定与性质是解题的关键．
2.本小题分
中，，点在上，以为半径的圆交于点，交于点，且．
求证：是的切线；
若，，求的半径长．
【答案】连接，
，，，
≌，
；为的半径，
是的切线 的半径长为
【解析】证明：连接，
，，，
≌，
；
为的半径，
是的切线；
解：，，，
，
由知，≌，
，
，
，
，
，
，
即的半径长为．
利用证明≌，推出，据此即可证明结论成立；
根据全等三角形的性质和勾股定理即可得到结论．
本题考查了切线的判定，勾股定理，全等三角形的判定和性质，正确引出辅助线解决问题是解题的关键．
3.本小题分
如图，在中，，的平分线交于点，以为圆心的与相切于点．
求证：与相切；
当，时，求的半径．
【答案】证明：过点作，垂足为，连接，
是圆的切线，
，
又为的平分线，
，即是的半径，
与相切；
，即，
，
，
解得：．
即的半径为．
【解析】过点作，垂足为，连接，根据角平分线的性质可得出，继而可得出结论；
根据，可得出的半径．
本题考查了切线的判定及性质，利用等积法求圆的半径是很巧妙的方法，也比较重要，希望同学们认真掌握．
4.本小题分
如图，是的直径，直线与相切于点，是圆内接三角形，小李发现与相等，他的思路是：连接请按照小李的思路补充完善证明过程．
【答案】证明：连接，
直线与相切于点，
，
，
，
是的直径，
，
，
，
又，
，
．

【解析】证明：连接，
直线与相切于点，
，
，
，
是的直径，
，
，
，
又，
，
．
连接，根据圆的切线性质可得，根据圆周角定理可得，则，推出，根据圆周角定理得到，即可得证．
本题考查切线的性质，正确进行计算是解题关键．
5.本小题分
如图，在每个小正方形的边长为的网格中，的顶点落在格点上，点，点均在网格线上，的外接圆交网格线于点，的外接圆的圆心为．
Ⅰ为的______；
Ⅱ上有一点，连接，满足，请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺画出点，并简要说明点的位置是如何找到的不要求证明．
【答案】Ⅰ直径；
Ⅱ图形见解答．
【解析】Ⅰ为的直径；
故答案为：直径；
Ⅱ如图，
取格点，，连接，交圆于点，，
连接交于点，
连接并延长交圆于点，延长交网格线于点，连接交圆于点，
点即为所求．
Ⅰ根据度的圆周角所对弦是直径即可解决问题；
Ⅱ取格点，，连接，交圆于点，，连接交于点，连接并延长交圆于点，延长交网格线于点，连接交圆于点，此时，即可解决问题．
本题考查了作图复杂作图，三角形的外接圆与外心，解决本题的关键是掌握三角形外接圆与外心．
6.本小题分
如图，已知为的直径，过上点作的切线，与的延长线交于点，弦，垂足为点，连接，．
求证：；
若，求与弦围成的阴影部分的面积．
【答案】证明：已知为的直径，过上点作的切线，与的延长线交于点，
为切线，
，
，
，
，
，
，

【解析】已知为的直径，过上点作的切线，与的延长线交于点，
为切线，
，
，
，
，
，
，
；
解：，
，
，
，
，
，
，，
在中，，即，
，
．
根据切线的定义得，由得，再根据得，最后根据等角的余角相等即可得出结论；
先根据垂径定理得，再解，求出，进而得，，解，求出，然后根据求解即可．
本题考查切线的性质，正确进行计算是解题关键．
7.本小题分
如图，等腰的顶角，以腰为直径作半圆，交于点，交于点．
当，求的度数．
若点为的中点，求的度数．
【答案】的度数是 的度数是
【解析】解：设以腰为直径作半圆的圆心为点，连接，则，
，
是等腰的顶角，
，
，
，
，
，
，
的度数是．
连接、，则，
是的直径，
，
，，
，
，
点为的中点，
，
，
，
是等边三角形，
，
的度数是．
设以腰为直径作半圆的圆心为点，连接，则，所以，由是等腰的顶角，可知，则，所以，则，所以，则的度数是．
连接、，则，由是的直径，得，由，，得，则，而，所以，则，可证明是等边三角形，所以．
此题重点考查圆心角、弧、弦的关系定理、等腰三角形的性质、圆周角定理、等边三角形的判定与性质等知识，正确地添加辅助线是解题的关键．
8.本小题分
某直五棱柱实心木质配件的立体图如图所示，其底面是由边长为的正方形裁去一个等腰三角形后得到的五边形，立体图标注尺寸为实际尺寸单位：，按：的比例绘制的三视图如图所示．
求该配件的表面积．
如图，若垂直于配件上下底面打磨出一个完整的圆柱体，该圆柱体上底面分别与俯视图中的，，相切于点，，，求的半径．
【答案】
【解析】解：根据题意得：裁去一个等腰三角形的底边长为，
该配件的表面积；
由得：，
设的半径为，
如图，连接，，，，，，，，则，
根据题意得：，，，
≌，
，，
点在的垂直平分线上，
分别与，，相切于点，，，
，，
四边形为矩形，
，
四边形为正方形，
，
，
，
≌，
，，
点在的垂直平分线上，
垂直平分，
点在上，且，
，
在中，，
即，
解得：，
即的半径为．
根据题意求出裁去一个等腰三角形的底边长，即可求解；
设的半径为，连接，，，，，，，，则，证明≌，可得，，且点在的垂直平分线上，再由切线的性质可得，，从而得到四边形为正方形，可得，可得≌，从而得到垂直平分，进而得到点在上，且，然后在中，利用勾股定理解答即可．
本题考查了全等三角形的性质及判定，勾股定理等，掌握综合知识是解题的关键．
9.本小题分
如图，四边形内接于，且是的直径，．
如图，求证：；
如图，连接，过点作的切线与的延长线相交于点，若求的长．
【答案】证明：是的直径，
，
，
，


．

【解析】证明：是的直径，
，
，
，



解：是的切线，
，即，
，

，

点，，共线，

设，则，

在中，，
，
解得，
，
在中
的半径
在中，
由知，

弧的长．
根据直径所对的圆周角是直角结合余角的性质推出，可得出结论；
根据切线的性质结合余角的性质推出，推出的半径再根据弧长公式求解．
本题考查了切线的性质，弧长公式，熟记切线的性质，弧长公式是解题的关键．
10.本小题分
足球是跨越国界与文化的通用语言，用激情与拼搏连接人心，成为全世界情感交流的桥梁图是某次足球比赛的奖杯，图是从奖杯中抽象出的几何模型，，是圆的切线，，为切点．
请用无刻度的直尺和圆规作出这个圆的圆心不写作法，保留作图痕迹；
在的条件下，延长交射线于点，若，，请补全图形，并求的长．
【答案】
【解析】解：如图所示，连接，在圆上取点，连接，分别作出，的垂直平分线交于点，点即为所求；
如图所示，连接，
，是圆的切线，，为切点．
，，，则，
在中，由勾股定理得，
设，则，
在中，由勾股定理得出，
即，
，
解得，
．
连接，在圆上取点，连接，分别作出，的垂直平分线交于点即可；
如图所示，连接，由切线长定理得到，则，利用勾股定理求出，设，则，然后利用勾股定理求解即可．
本题考查作图应用与设计作图、切线的性质，勾股定理的应用，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
11.本小题分
如图所示，破残的圆形轮片上，弦的垂直平分线交弧于点，交弦于点已知：，．
求作此残片所在的圆不写作法，保留作图痕迹；
求中所作圆的半径．
【答案】解：连接，作弦的垂直平分线与弦的垂直平分线交于点，以为圆心，长为半径作圆就是此残片所在的圆，如图．
连接，设，，，
则根据勾股定理列方程：
，
解得：．
即圆的半径为．
【解析】由垂径定理知，垂直于弦的直径是弦的中垂线，故作，的中垂线交于点，则点是弧所在圆的圆心；
在中，由勾股定理可求得半径的长．
本题利用了垂径定理，中垂线的性质，勾股定理求解．
12.本小题分
已知：如图，在四边形中，，点为边上一点，与分别为和的平分线．
作线段的垂直平分线交于点，并以为直径作要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法；
在的条件下，连接，请你添加一个适当的条件：______，使得四边形是菱形，并证明你的结论；
在的条件下，交边于点，连接，交于点，若，，求的半径．
【答案】见解析；
添加，证明见解析；
．
【解析】解：如图，为所求，
添加条件：答案不唯一．
证明：，，
四边形是平行四边形，
在中，，
，
又平分，
，
，
，
又，
四边形是平行四边形，
又，
四边形是菱形；
，
，
与分别为与的平分线，
，
，
为圆的直径，点在圆上，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
则圆的半径为．
根据要求作出图形；
添加：，根据邻边相等的平行四边形是菱形证明；
解直角三角形求出即可．
本题考查作图复杂作图，角平分线的定义，菱形的判定和性质，圆周角定理，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，
13.本小题分
如图，是的直径，为圆上一点，是劣弧的中点，于，过点作的平行线，连接并延长与相交于点，连接与交于点．
求证：是的切线；
若，，求的值．
【答案】证明：连接交于点，
是劣弧的中点，
，
垂直平分，
，
，
是的半径，且，
是的切线．
解：，，，
，，
，
∽，
，
，
，
的值为．
【解析】连接交于点，由，证明垂直平分，而，所以，即可证明是的切线；
由，得，，而，则∽，所以，求得，则．
此题重点考查垂径定理、平行线的性质、切线的判定定理、圆周角定理、相似三角形的判定与性质等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．
14.本小题分
如图，直线与相切于点，为的直径，延长交直线于点．
尺规作图：过点作于点；保留作图痕迹，不要求写出具体作法在的条件下，求证：平分；
如果，，求的半径．
【答案】见解析；
见解析；
．
【解析】解：如图，所作即为所求．
证明：如图，连接．
直线与相切于点，
．
由条件可知，
．
，
，
，
平分；
解：设的半径为，则，
在中，，，，
由勾股定理得，解得：，
的半径为．
直接运用尺规作图作垂线即可；
由切线的性质以及的作图可得即，再根据等边对等角以及等量代换可得即可证明结论；
设的半径为，则，然后运用勾股定理列方程求解即可．
本题主要考查了作垂线、切线的性质、等边对等角、勾股定理等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键．
15.本小题分
如图，等边三角形的边长为，点，在上，点在内，的半径为，将绕点逆时针旋转，点的对应点记作．
用无刻度直尺在图中，作出第一次落在上时的位置，此时旋转角为______；
用无刻度直尺和圆规在图中，作出与相切时的位置，此时的值为______．
【答案】如图中，点即为所求，此时的旋转角为
如图中，直线即为所求，此时的值为或

【解析】如图中，点即为所求；
方法：作直径，连接，点即为所求；
理由：连接．
，，
是等腰直角三角形，
，
是直径，
，
，
，
，故点即为所求，此时旋转角．
故答案为：；
如图中，直线即为所求．
过点作交的延长线于点连接．
由可知，
是切线，
，
，
，
，
．
当在的下方时，同法可得．
故答案为：或．
作直径，连接，点即为所求；再根据旋转角的定义求解；
连接，过点作，且使得，分别以，为圆心，为半径作弧，两弧交于点，连接，即可．过点作交的延长线于点连接利用勾股定理求出．
本题考查了切线的性质，等边三角形的性质，直线与圆的位置关系，旋转的性质，熟练掌握旋转的性质，等边三角形，圆的切线性质是解题的关键．
16.本小题分
如图，以为直径的交于点，，垂足为．
若，求证为的切线；
在的条件下，若，，求的半径．
【答案】见解析；
的半径为．
【解析】证明：为直径，
，
，
，
连接，
，
是的中位线，
，
，
，
是的半径，
为的切线；
解：，，，
，
，
，，
，
，
∽，
，
，
，
的半径为．
根据圆周角定理得到，根据等腰三角形的性质得到，连接，根据三角形中位线定理得到，求得，根据切线的判定定理得到结论；
根据三角函数的定义得到，根据勾股定理得到，根据相似三角形的性质即可得到结论．
本题考查切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，三角形中位线定理，勾股定理，解直角三角形，等腰三角形的性质，熟练掌握各知识点是解题的关键．
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2027年中考复习：圆的相关知识
一、解答题：本题共16小题，共128分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
1.本小题分
如图，是的切线，为切点，连接交于点，且，上有一点且，连接，求证：
为等边三角形；
是的切线．
2.本小题分
中，，点在上，以为半径的圆交于点，交于点，且．
求证：是的切线；
若，，求的半径长．
3.本小题分
如图，在中，，的平分线交于点，以为圆心的与相切于点．
求证：与相切；
当，时，求的半径．
4.本小题分
如图，是的直径，直线与相切于点，是圆内接三角形，小李发现与相等，他的思路是：连接请按照小李的思路补充完善证明过程．
5.本小题分
如图，在每个小正方形的边长为的网格中，的顶点落在格点上，点，点均在网格线上，的外接圆交网格线于点，的外接圆的圆心为．
Ⅰ为的______；
Ⅱ上有一点，连接，满足，请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺画出点，并简要说明点的位置是如何找到的不要求证明．
6.本小题分
如图，已知为的直径，过上点作的切线，与的延长线交于点，弦，垂足为点，连接，．
求证：；
若，求与弦围成的阴影部分的面积．
7.本小题分
如图，等腰的顶角，以腰为直径作半圆，交于点，交于点．
当，求的度数．
若点为的中点，求的度数．
8.本小题分
某直五棱柱实心木质配件的立体图如图所示，其底面是由边长为的正方形裁去一个等腰三角形后得到的五边形，立体图标注尺寸为实际尺寸单位：，按：的比例绘制的三视图如图所示．
求该配件的表面积．
如图，若垂直于配件上下底面打磨出一个完整的圆柱体，该圆柱体上底面分别与俯视图中的，，相切于点，，，求的半径．
9.本小题分
如图，四边形内接于，且是的直径，．
如图，求证：；
如图，连接，过点作的切线与的延长线相交于点，若求的长．
10.本小题分
足球是跨越国界与文化的通用语言，用激情与拼搏连接人心，成为全世界情感交流的桥梁图是某次足球比赛的奖杯，图是从奖杯中抽象出的几何模型，，是圆的切线，，为切点．
请用无刻度的直尺和圆规作出这个圆的圆心不写作法，保留作图痕迹；
在的条件下，延长交射线于点，若，，请补全图形，并求的长．
11.本小题分
如图所示，破残的圆形轮片上，弦的垂直平分线交弧于点，交弦于点已知：，．
求作此残片所在的圆不写作法，保留作图痕迹；
求中所作圆的半径．
12.本小题分
已知：如图，在四边形中，，点为边上一点，与分别为和的平分线．
作线段的垂直平分线交于点，并以为直径作要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法；
在的条件下，连接，请你添加一个适当的条件：______，使得四边形是菱形，并证明你的结论；
在的条件下，交边于点，连接，交于点，若，，求的半径．
13.本小题分
如图，是的直径，为圆上一点，是劣弧的中点，于，过点作的平行线，连接并延长与相交于点，连接与交于点．
求证：是的切线；
若，，求的值．
14.本小题分
如图，直线与相切于点，为的直径，延长交直线于点．
尺规作图：过点作于点；保留作图痕迹，不要求写出具体作法在的条件下，求证：平分；
如果，，求的半径．
15.本小题分
如图，等边三角形的边长为，点，在上，点在内，的半径为，将绕点逆时针旋转，点的对应点记作．
用无刻度直尺在图中，作出第一次落在上时的位置，此时旋转角为______；
用无刻度直尺和圆规在图中，作出与相切时的位置，此时的值为______．
16.本小题分
如图，以为直径的交于点，，垂足为．
若，求证为的切线；
在的条件下，若，，求的半径．
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